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珠海二中18届高三数学(理科)复习检测试题(3)
一.选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分)
1.已知集合M ＝{x | x 29＋y 24＝1}，N ＝{y | x 3＋y
2
＝1},则M ∩N ＝( ).
A.φ
B.R
C.[]2,2- D .[]3,3- 2.已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为( )
A .32-
B.32
C.23-
D.2
3 3.函数x y 2cos 1+=的图象( )
A.关于x 轴对称
B.对称关于原点对称 C .关于直线2
π
=x 对称 D.关于直线4
π
=
x
4.下列四个命题：
①”“b a >是”22“b
a >成立的充要条件；
②”“b a =是"lg lg "a b =成立的充分不必要条件；
③函数)()(2
R x bx ax x f ∈+=为奇函数的充要条件是”0“=a
④定义在R 上的函数)(x f y =是偶函数的必要条件是”1)
()
(“
=-x f x f . 其中真命题的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
5.为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到 回归直线方程1l 和2l , 两人计算知x 相同，y 也相同，则1l 与2l 的关系为( ) A .相交于点(x ，y ) B.平行 C.重合 D.无法判断
6.具有性质:)1
(x
f ＝－)(x f 的函数我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数：
①x x y 1-=,②x x y 1+=,③⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<<=-)
1()1(0)
10(1x x x x x y 中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①②
B. ①③
C.②③
D.只有①
7.已知函数)(|2|)(2
R x b ax x x f ∈+-=. 给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当
)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x ＝1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在
区间[a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2
b a -A.①② B.② ③ C.③ D.④ 8.已知函数)3||(log )(3
1+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈， 值域是]0,1[-，则满足条件的整数数对),(b a 有( ). A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
二.填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分)
9.执行右边的程序框图,若4p =,则输出的S = .
· P
E O
D C B
A
F
10.曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积是 .
11.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图 都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）， 可得这个几何体的体积是 3
cm .
12.已知函数y =f (x ) (x ∈R)满足)1()1(),()(x f x f x f x f -=+-=, 且x ∈[-1，1]时，f (x )=x 2，若方程ax x f =)(在]5,3[上有两个 不等实根，则a 的取值范围是 .
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选只计算前两题的得分.
13.已知函数x x y -++=642,则当x = 时, y 取得最大值 . 14.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
，则直线l 的参数方程可写为 ;
若直线l 与圆422=+
y x 相交与两点
,A B . 15.如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线，弦CD ∥AP ， AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC, 若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，则PA 的长为 .
三.解答题(本大题共6小题,满分80分)
16.(12分)已知函数2
1(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩
≤满足2
9()8f c =.
(1)求常数c 的值；
(2)解不等式()1f x >
．
17.(12分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：
2)(,cos )(,sin )(,)(,3)(,)(65433||21======x f x x f x x f x x f x f x x f x
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数， 求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的 卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望.
F
E D
C
B A G
F
D
E
C
B
A 18.(14分)已知点M 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上, 以M 为圆心的圆与x 轴相切于
椭圆的右焦点F .
(1)若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；
(2)若圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.
19.(14分)已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =∠BAD =
2
π
, AB=BC=2AD=4，E 、F 分 别是AB 、CD 上的点, EF ∥BC, AE = x , G 是BC 的中点.沿EF 将梯形ABCD 翻折， 使平面AEFD ⊥平面EBCF(如图). (1)当x =2时，求证：BD ⊥EG;
(2)若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f (x )，求f (x )的最大值; (3)当 f (x )取得最大值时，求二面角D —BF —C 的余弦值.
20.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (
21
)＝－1，且∀x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy
y x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x 1＝21
，x n ＋1＝212n
n x x +，求f (x n ); ⑶求证
2
5
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
21.(14分)设函数f (x )＝x |x －a |－2．
(1)若a ＝－2，写出函数f (x )的单调区间； (2)若a >0，写出函数f (x )的单调区间；
(3)若a <1，且当x ∈[0，1]时，恒有f (x )<0，求a 的取值范围.
高三数学(理科)复习检测试题(3)答案
一.选择题：DACB ABCD
二.填空题:9. 78; 10.1237; 11.π3
5; 12.)51
,0(;
13. 4, 25; 14.⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 211231, 2; 15.
3215 三.解答题
16.(1)因为01c <<，所以2
c c <；由29()8f c =，即3918c +=，12
c =．
(2)由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩
，，≤,
由()1f x >+得，
当102x <<
时，解得1
42
x <<，当112x <≤时，解得1528x <≤，
所以()18f x >+
的解集为58x ⎧⎫⎪⎪
<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
． 17(1)记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
由题意知.5
1
)(2623==C C A P
(2)ξ可取1，2，3，4.所以 10
3
)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，
20
1
)4(,
20
3
)3(13131411151216131413151
21613=
⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ 故ξ的分布列为(略)
.4
7
201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 答：ξ的数学期望为.47
18.(1)设),(00y x M ，圆M 的半径为r . 依题意得||00y r c x ===
将c x =0代入椭圆方程得：a
b y 20=，所以
c a b =2
，又222c a b -= 从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012
=-+e e
解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 2
1
5-=e .
(2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，
y
M 到圆y 轴的距离3=d 又由(1)知：a
b r 2
=，c d =
所以，3=c ，22
=a
b 又因为 222
c b a =-,解得：3=a , 622==a b 所求椭圆方程是：16
92
2=+y x
20(1)∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,
∴AE ⊥面平面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz .
则A(0，0，2)，B(2，0，0)，G(2，2，0)，D(0，2，2)，E(0，0，0)
BD =
（－2，2，2）
，EG = （2，2，0） BD EG ⋅=
(－2，2，2)·(2，2，0)＝0，∴BD ⊥(2)∵AD ∥面BFC ，所以()f x =V A-BFC ＝AE S BFC ⋅∆31
2288(2)333
x =--+≤
即2x =时()f x 有最大值8
3
.
(3) ∵AE=2, B(2，0，0)，D(0，2，2），
求出面DBF 的法向量为1(3,2,1)n = 、面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n =
则1414,cos 21>=<n n
由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为1414-. 19.(1)证明：令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0; 令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0
∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (x )为奇函数
(2)解：f (x 1)＝f (
21
)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n
n x x +)＝f (n n n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴
)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项,2为公比的等比数列, ∴f (x n )＝－2n －1
(3)解：)2
1
21211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f
22
1
2)212(11->+-=--=--n n
而221
2)212(252-<+--=++-=++-
n n n n ∴2
5
2)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n
21(1) f (x )＝x ｜x ＋2｜－2＝＝⎩⎨⎧(x ＋1)2－3， x ≥－2，
－(x ＋1)2
－1，x ＜－2．
结合函数图象，增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)，减区间为[－2，－1]．
(2) f (x )＝x ｜x －a ｜－2＝⎩
⎨⎧(x －a 2)2－2－a 2
4
， x ≥a ，
－(x －a 2)2－2＋a 2
4
，x ＜a ．
结合函数图象，增区间为(－∞，a 2 ]和[a ，＋∞)，减区间为[a
2 ，a ]．
(3)①当0＜x ≤1时,f (x )＜0恒成立,故|x －a |< 2 x 恒成立，即x － 2 x <a <x ＋ 2
x
恒成立,
令)(x g ＝x ＋ 2 x ，)(x g '＝1－ 2
x
2<0
故)(x g 是(0，1]上的单调减函数，所以)(x g ≥3，故a ＜3；
令)(x h ＝x － 2 x ，)(x h '＝1＋ 2
x
2＞0，
故)(x h 是(0，1]上的单调增函数，所以)(x h ≤－1，故a ＞－1． ②当x ＝0，f (0)＝－2＜0恒成立
又a <1，综上所述，a 的取值范围为(－1，1)．。