八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题
专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)
专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
三角形全等之倍长中线(习题及答案)知识讲解
三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。
倍长中线法证明全等例题
选择题在三角形ABC中，AD是中线，倍长AD至点E，连接BE，若要证明三角形ADC与三角形EDB 全等，需要添加的条件是？A. 角ADC = 角EDBB. AD = BDC. 角CAD = 角EBD（正确答案）D. AC = BE已知三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线，延长AD至E使得DE = AD，连接BE。
若角ADC = 角EDB，则下列哪一对三角形全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBDD. 三角形ABD与三角形EBD在三角形ABC中，D为BC的中点，AD为中线。
延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。
若AC平行于BE，则下列结论正确的是？A. 三角形ADC与三角形EDB不全等B. 三角形ADC与三角形EDB全等（正确答案）C. 三角形ABC与三角形EBD全等D. 无法判断三角形ADC与三角形EDB的全等关系在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。
延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。
若要证明三角形ADC全等于三角形EDB，可依据的判定定理是？A. SSSB. ASAC. SAS（正确答案）D. AAA已知三角形ABC，D为BC的中点，AD为中线。
延长AD至E，使DE = AD，连接BE。
若角C = 角E，则下列哪一对三角形一定全等？A. 三角形ABD与三角形ECDB. 三角形ABC与三角形EBDC. 三角形ADC与三角形EDB（正确答案）D. 三角形ABC与三角形ADC在三角形ABC中，D是BC的中点，AD是中线。
延长AD到E，使得DE = AD，连接BE。
若三角形ADC与三角形EDB全等，则它们的对应角一定相等，即？A. 角ADC = 角EBD（正确答案）B. 角ADC = 角EDCC. 角CAD = 角CDED. 角BAC = 角E已知三角形ABC，D是BC的中点，AD是中线。
延长AD至E，使得DE = AD，连接BE。
八年级数学上册 三角形全等之倍长中线(习题及答案)(人教版)
三角形全等之倍长中线（习题）例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE C D BA见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCEF？？GG ？？FE CD B A （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B D CE F？？G在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CB A2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ． 求证：AB =EF ．DA3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．FEBAGFA5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDB A比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．FE DB CA方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角21ECDB A 21ECDB A三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD12AB．DCB A【参考答案】巩固练习1. 22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）思考小结1.倍长中线SAS AAS 角2.证明略。
倍长中线最全总结 例题+练习(附答案)
倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。
目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。
易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。
DAB C模块一 有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。
【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。
初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19 答案：C解题思路：延长AD至E,使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中,根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC,即9＜CE＜19。
则9＜AB＜19.故选C.2。
如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB,给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④ C。
①②③ D.①②③④ 答案：A解题思路:①正确,延长CD至点F，使得DF=CD,连接AF，可先证明△ADF≌△BDC,再证明△ACF≌△BEC,由这两个三角形全等可以得知②、④正确。
由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E，若要∠ACD=∠BCE,则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3。
如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE,延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A。
①②③ B。
②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A解题思路:可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF,③正确.④不正确。
4.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点，G、F分别为AD,BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）A。
1 B。
2 C.3 D.4 答案：C解题思路:延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF,再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3,答案选C5。
《全等三角形》中“中线倍长法”和“截长补短法”练习题(超经典)
全等三角形中“中线倍长法”和“截长补短法”练习题在希翼和憧憬中，最重要的是脚踏实地。
学习就像登山，必须一步一个脚印。
不要以粗心为借口原谅自己，全心全意朝着目标前进，全世界都会为你让路。
1.如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上中线，求AD取值范围（7分）2.如图，四边形ABCD 是正方形，CF 是∠BCD 的外角平分线（1）E 是BC 上一动点，EF ⊥AE 交CF 于F ，求证：AE=EF （4分）（2）若(1)中的E 点运动到BC 的延长线上，(1)中的结论是否仍然成立，试说明理由（4分）。
（3）若(1)中的E 点运动到BC 的反向延长线上，试画出图形，并判断(1)中的结论是否成立（画图3分，结论1分）(39)FEDCB A(40)F E D C B A (41)C B A E F M D3、如图，已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且B E ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝E F4、如图，已知D 为△ABC 边BC 的中点，D E ⊥DF ，则B E ＋C F （ ）A 、大于EFB 、小于EFC 、等于EFD 、与EF 的大小关系无法确定5、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 的延长线于E ，交AC 于F 。
求证：BE ＝CF ＝21（AB ＋AC ）(42)C D B A (43)A B D C (44)D C B A (45)Q P C B A6、如图,在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于D ，且AB ＋BD ＝DC ，那么∠C 的度数是7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B ＝2∠C ，求证：AB ＋BD ＝CD.8、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＋BD ＝AC ，则∠B ︰∠C 的值为9、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP 。
初二数学全等三角形倍长中线法
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已知:在 中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且 ,延长BE交AC于F,求证: .
证明:如图,延长AD到点G,使得 ,连接BG.
是BC边上的中线(已知),
,
在 和 中,
第四题
如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠DBA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F.求证：BE+CF＞EF
答案
解：
证明：延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，
∴∠1=∠4=12∠ADB，∠3=∠5= 12∠ADC，
第三题
如图，已知△ABC中，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．
解析
证明：设
BC的中点为M，连AM并延长至N，使AM＝MN，连BN、DN，则
∵
M是BC中点，
∴
BM＝MC．
在△
AMC和△NMB中，
AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，CM＝MB，
∴△
AMC≌△NMB．
∴
BN＝AC．
同理△
AME≌△NBD，
∴
AE＝DN．
延长
AD交BN于F点，则
∵
AB＋BF＞AD＋DF，且FN＋DF＞DN，
∴
AB＋BF＋FN＋DF＞AD＋DF＋DN．
∴
AB＋BN＞AD＋DN．
即
AB＋AC＞AD＋AE．
提示：
点悟：结论中的四条线段都共点于
A，没有相应的结论或定理使用，只有利用三角形中的不等关系来证明．故设法构造基本图形．
倍长中线法(经典例题)
创作者（人）： 轻秘张日 期：倍长中线法【1】知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 AD 是BC 边中线连接BE于F ，到N ， 连接例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年1月8日自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.FEABC第 14 题图DF CBEADAB CMTE。
初中数学三角形全等辅助线作法—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜192．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE．3．如图，在△AB C 中，AD 为中线，求证：AB+AC＞2AD．4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范围是小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长．5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF．6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C．7-10,换汤不换药(多题一解)7．如图，D 是△AB C 的BC 边上一点且CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．求证：∠C=∠BAE．8．如图，已知D 是△AB C 的边BC 上的一点，CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．（1）若∠B=60°，求∠C 的值；（2）求证：AD 是∠E A C 的平分线．9．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠B D A，AE是△AB D 的中线，求证：AC=2AE．10．已知，如图，AB=AC=BE，CD 为△AB C 中AB 边上的中线，求证：CE=2CD．11．已知：如图，△AB C 中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT 平分∠BA C 交CM 于D，交BC 于T，过D 作DE∥AB交BC 于E，求证：CT=BE．12．如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O，且PM∥NQ，可证△PM O≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形ABCD 中，AB∥DC，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC 的延长线相交于点F．试探究线段AB 与AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论；(图3 是原题的第2 问)13．如图，在△AB C 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 的中点，EF∥AD交CA 的延长线于点F，交EF 与于点G．若BG=CF，求证：AD 为△AB C 的角平分线．14．如图，已知在△AB C 中，∠C AE=∠B，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE．（1）求证：AC=BD；（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x 的取值范围．15．已知在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF=2A D．1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，∵AD 是△AB C 的中线，∴B D=CD，在△AB D 和△ECD 中，，∴△AB D≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，2．证明：如图，过点D 作DG∥AE，交BC 于点G；3．证明：4．解：（1）如图2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．在△B ED 和△C AD中，，∴△B ED≌△C AD（SAS）．（2）∵△B ED≌△C AD，∴B E=A C=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，∴2＜2A D＜12，∴1＜AD＜6．解决问题：如图3 中，解：延长GE 交CB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥CM，∴∠A GE=∠M，在△AEG和△B EM 中，，∴△AEG≌△B EM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，∵B F=4，∴M F=B F+BM=2+4=6，∴GF=F M=6．5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC=D B，在△AD C 和△GD B中，∴△AD C≌△GD B（SAS），∴∠C AD=∠G，BG=A C又∵B E=A C，∴B E=BG，∴∠B ED=∠G，∵∠B ED=∠AEF，∴∠AEF=∠C AD，即：∠AEF=∠F AE，∴A F=EF．6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF 和△CE G中，∵，∴△DEF≌△CE G．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=A C，∴GC=A C．∴∠G=∠C AE．∴∠BA E=∠C AE．即AE 平分∠BA C．7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△AB D 的中线∴B E=ED，在△AB E 与△FDE 中∵，∴△AB E≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB 是△AD C 的外角，∴∠D A C+∠A CD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠E AD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠E A D=∠D A C+∠A CD，∴∠AD F=∠A DC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△AD F 与△AD C 中∵，∴△AD F≌△AD C（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．8．（1）解：∵∠B=60°，∠B D A=∠BAD，∴∠BAD=∠B D A=60°，∴AB=AD，∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠D A C=∠C，∴∠B D A=∠D A C+∠C=2∠C，∵∠BAD=60°，∴∠C=30°；（2）证明：延长AE 到M，使EM=AE，连接DM，在△AB E 和△MDE 中，，∴△AB E≌△MDE，∴∠B=∠MDE，AB=D M，∵∠AD C=∠B+∠BAD=∠MDE+∠B D A=∠A D M，在△MAD与△C AD，，∴△MAD≌△C AD，∴∠MAD=∠C A D，∴AD 是∠E A C 的平分线．9．证明：延长AE 至F，使AE=EF，连接BF，在△AD E 与△B FE 中，，∴△AED≌△FEB，∴B F=D A，∠FBE=∠AD E，∵∠AB F=∠AB D+∠FBE，∴∠AB F=∠AB D+∠ADB=∠AB D+∠BAD=∠A DC，在△AB F 与△AD C 中，，∴△AB F≌△CD A，∴A C=AF，∵AF=2A E，∴A C=2AE．10．证明：取AC 的中点F，连接BF；∵B为AE 的中点，∴BF 为△AE C 的中位线，∴EC=2B F；在△AB F 与△A CD 中，，∴△AB F≌△A CD（SAS），∴CD=BF，∴CE=2CD．11．证明：过T 作TF⊥AB 于F，∵AT 平分∠BA C，∠A C B=90°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠A C B=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠D AM=90°，∠A TC+∠C A T=90°，∵AT 平分∠BA C，∴∠D AM=∠C A T，∴∠ADM=∠A TC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，在△CDE 和△TF B中，，∴△CDE≌△TF B（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=T B﹣TE，即CT=BE．12．解：（1）AB=AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G 点，根据图①得△AB E≌△GCE，∴AB=C G，又AB∥DC，∴∠BAE=∠G而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AF=GF，∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；13．解：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E 是BC 中点，∴B E=CE，∴∠B E G=∠CEH，在△B E G和△CEH 中，，∴△B E G≌△CEH（SAS），∴∠B GE=∠H，∴∠BG E=∠F GA=∠H，∴B G=CH，∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠F GA，∵EF∥AD，∴∠F=∠C A D，∠BAD=∠F GA，∴∠C AD=∠BAD，∴AD 平分∠BA C．14．（1）证明：延长AE 到F，使EF=EA，连接DF，∵点E 是CD 的中点，∴EC=ED，在△DEF 与△CE A中，，∴△DEF≌△CE A，∴A C=FD，∴∠AFD=∠C AE，∵∠C AE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD 平分∠BAE，∴∠BAD=∠F AD，在△AB D 与△AFD 中，，∴△AB D≌△AFD，∴B D=FD，∴A C=BD；（2）解：由（1）证得△AB D≌△AFD，△DEF≌△CE A，∴AB=AF，∵AE=x，∴AF=2A E=2x，∴AB=2x，∵B D=3，AD=5，∴在△AB D 中，，解得：1＜x＜4，∴x 的取值范围是1＜x＜4．15 证明：延长AD 至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，∵AD=D G，B D=CD，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴A C=AF=BG，AB=AE=C G，∠BA C+∠ABG=180°，∵∠EAF+∠BA C=180°，∴∠EAF=∠ABG，在△EAF 和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF=AG，∵AG=2AD，∴EF=2A D．。
(完整版)倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 增加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线增加方法——倍长中线AAB CD △ ABC中方式1：延长AD到E，AD 是 BC 边中线使DE=AD，B C连接BED方式 2：间接倍长AFB D CEEA作 CF⊥ AD于 F，M 延长 MD到N，D作 BE⊥ AD的延长线于 E B 使 DN=MD，C连接 BEN连接 CN经典例题讲解：例 1：△ ABC中， AB=5， AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ ABC 中， AB=AC，D 在 AB 上， E在 AC的延长线上， DE 交 BC 于 F，且DF=EF，求证： BD=CEADBCFE例 3：已知在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE=AC，延长 BE 交 AC于F，求证： AF=EFAFEBD C例 4：已知：如图，在ABC 中， AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作 DF // BA交AE于点 F， DF=AC.A求证： AE 均分BACFB D E C例5：已知 CD=AB，∠ BDA=∠BAD，AE 是△ ABD的中线，求证：∠ C=∠ BAEAB CE D自检自测：1、如图，△ ABC中， BD=DC=AC,E是 DC的中点，求证， AD 均分∠ BAE.2、在四边形 ABCD中， AB∥ DC， E 为 BC边的中点，∠ BAE=∠EAF， AF 与 DC 的延长线订交于点 F。
试试究线段 AB 与 AF、 CF之间的数量关系，并证明你的结论 .ADBE CF3、如图，AD 为ABC 的中线，DE均分BDA 交AB于E，DF均分ADC 交AC于F.求证：BE CF EFAEFB CD第 14 题图4、已知：如图， ABC中， C=90 ， CM AB 于 M ，AT 均分 BAC交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作DE//AB 交 BC 于 E，求证： CT=BE.MAD BETC。
初二上学期全等三角形专题之倍长中线与截长补短教案(有答案)
倍长中线与截长补短互动精讲知识点一.倍长中线【知识梳理】∆ABC中AD是BC边中线方式延长AD到E,使DE二AD,连接BE•E方式2：间接倍长，延长MD到N,使DfMD,连接CN作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、∆ABC 中，AB 二5, AC=3,求中线AD 的取值范围。
.∙. BD= CD I∙.∙ BD = CD t ZADC=ZBDE t AD=DE t ：.AADC 9 ΔEDB t：.EB=AC I 根据三角形的三边关系定理：5-3<∕lE<5 + 3 r .•・ 1 < AD < 4.例2、已知：如图，在ΔABC 中，ABHAC, D 、E 在BC 上，且DE 二EC,过D 作DF//BA 交AE 于点F, DF=AC.求证：AE 平分ZBAC≡ΔPEF 和 ZSCEG 中. ED= EC ZDEF = ZCEG , FE=EG・・^DEF 竺ΔCEG. ∖ DF=GC t ZDFE=ZG. ・• DF // AB l ・.ZDFE=乙BAE. :DF = AC l •・ GC=AC.・.厶G =ECAE..ZBAE=ZCA E .即AE 平分上BAC.{证明：如图，延长FE 到G,使EG=EF ,连接CG.E'：AD 是厶ABC 的中线，【课堂练习】1、在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF = EFOCG-AD是BC边上的中线（已知），•・.DC=DB .在厶ADC和AGDB中，'AD=DG< Z4DC-ZGDB(对顶角相等)DC=DBj.^ADC ^GDB(SAS) I:•厶CAD =厶G ■ BG=ACXv BE=AC e・・.BE=BG ,・・・ZBED ZG ,・.・ ZBED= ZAEF t .∖ΛΛEF^= Z.CAD t 即：/.AEF≈ΔFAE t.・・ AF = EF.2、如图，∆ABC中，E、F分别在AB、AC ±, DE丄DF, D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小・BE + CF > FP = EF・延长ED 至P , ^DP = DE t连接FP l CP t•・・D是BC的中点，/. BD= CD I在HBDE和ΔCZ)Pφf(DP=DE< 乙EDB=乙CDP[BD=CD・•・ 5BDE ^^CDP(SAS) f.∙. BE=CP l∖∙ DELDF I DE=DP J.∙. EF = FP,(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 在厶CFP中.CP + CF = BE+ CF > FP = EF・知识点二.截长补短 【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
全等三角形倍长中线法的经典例题
全等三角形倍长中线法的经典例题示例文章篇一：嘿，同学们！今天我要跟你们讲讲全等三角形倍长中线法，这可太有趣啦！先来说说啥是倍长中线法。
就好像我们搭积木，找到了关键的那块积木，整个造型就稳啦！倍长中线法就像是那个关键的“积木”，能帮我们解决好多全等三角形的难题呢。
比如说有这样一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。
那我们就延长AD 到点E，让AD = DE 。
这时候，连接BE ，哇塞，神奇的事情发生啦！“小明，你说说这时候能发现啥？”我问同桌小明。
小明挠挠头说：“好像能得到一些相等的边和角。
”“对呀！”我兴奋地说，“你看，因为AD 是中线，BD = DC ，又因为我们延长AD ，让AD = DE ，再加上对顶角相等，这不就可以证明三角形ADC 和三角形EDB 全等嘛！”再看这道题，三角形ABC 中，AD 是中线，AB = 5 ，AC = 3 ，求中线AD 的取值范围。
这可难倒了不少同学，可咱们用倍长中线法，不就轻松多啦？我跟后桌的小红一起讨论，我说：“小红，你想想，倍长中线之后，是不是能把条件都联系起来啦？”小红眼睛一亮：“对呀，这样就能构造出全等三角形，然后就能找到边的关系啦！”哎呀，这不就像我们找宝藏，倍长中线法就是那把能打开宝藏大门的钥匙嘛！通过这些例题，咱们是不是发现，倍长中线法简直就是解决全等三角形问题的神器呀！只要我们灵活运用，那些难题就都不在话下啦！我觉得呀，数学就像一个大宝藏，而这些解题方法就是我们挖掘宝藏的工具，只要我们用心去寻找，就能发现无数的惊喜！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊全等三角形里倍长中线法的那些经典例题！先来说说啥是倍长中线法吧。
就好像我们走路遇到一条河，直接过去太困难，但是如果修一座桥，是不是就轻松多啦？倍长中线法就像是那座桥，能让我们在解全等三角形的难题时，一下子找到出路！比如说有这么一道题：在三角形ABC 中，AD 是中线。
延长AD 到E，使DE = AD。
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倍长中线法
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC中
方式1：延长AD
到E，AD是BC边中线
使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF⊥AD于F，延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，
连接BE 连接CN
经典例题讲解：
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE
过D 作DG//AC
例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠
B
A
B
F
D
E
C
例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
自检自测：
1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
E D A
B
F E
A
B C
3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+
4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
第 14 题图
D
F C
B
E
A
D
A
B
C
M
T
E。