2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

2018年高考数学数列专题复习通项与前n 项和通法

一、问题描述

一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用n S 与1-n S 的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。第二、求数列的前n 项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。这是解决好数列问题的重中之重。 二、智慧笔记

1. 证明等差等比数列

① 等差数列的证明方法：

（1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ ② 等比数列的证明方法： （1）定义法：

1

n n

a q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥g 2. 通项}{n a 的求法

① 累加法：数列有形如)(1n f a a n n +=+的递推公式，且)}({n f 的前n 项和可求，可利用累加法求))((2

1

1∑=--+

=n

i i i

n n a

a a a a 。

② 累乘法：数列有形如n n a n f a ⋅=+)(1的递推公式，且)}({n f 的前n 项积可求，则利用累乘法求出通项))2((1

23

121≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=-n a a a a a a a a a n n n n 。 ③ 已知通项公式n a 与前n 项和n S 关系求通项：利用n a 和n S 的关系，若给出n S 或

可以求出n S ，则可利用⎩⎨⎧≥-==-2,1

,11n S S n a a n n

n ，求n a 。

④ 辅助数列法：（Ⅰ）递推公式为q pa a n n +=-1型【其中，p,q 为常数，

0)1)(1(≠--q p pq 】方法为：利用待定系数法将其变形为)(1λλ+=+-n n a p a ，再设n n b a =+λ，则}{b n 即为以λ+=11a b 为首项，p 为公比的等比数列，求出}{b n 的通项

公式，从而求出n a ；

（Ⅱ）递推公式为11--+=n n n q pa a 型【其中p,q 为常数0)1)(1(≠--q p pq 】.方法为：先在原递推公式两边同除以n q ，得

q

q a q p q a n n n n 111+⋅=--，引入辅助数列}{b n （其中n

n n q a b =

），得q

b q p b n n 1

1+⋅=-，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。

a,c 为常数且0≠ac ）型的数列，取倒数

得

n n n n aa c

a b aa c ba a +

=+=+11，当b a =时}1{n a 是等差数列；当b a ≠时n

n n n aa c a b aa c ba a +=+=+11 ，令n

n n n a b a b 1

111==

++，，可利用类型（Ⅰ）的方法解决。 3. 典型的求和方法

① 分组求和法：数列的通项公式为n n b a +的形式，其中}{a n 和}{n b 满足不同的求和公式，常见于}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列或者}{n a 和}{b n 分别是数列的奇数项和偶数想，并满足不同的规律。

② 倒序相加法：讲一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项和公式的推导即用此方法）。

③ 错位相减法：求数列}{n n b a ⋅和}b a {

n

n

的前n 项和，数列}{n a ，}{b n 分别为等差与等比数列，求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q 后，向后错一项，与原数列的和做差，即n n qS S -，然后求n S 即可。

④ 裂项相消：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项。

常见的裂项相消变化有：

（Ⅰ）11

1)1(1+-=+=

n n n n a n ；

（Ⅱ）)1

1(1)(1k

n n k k n n a n +-=+=

；

（Ⅲ）)121

121(21)12(1-21+--=+=

n n n n a n ）（；

（Ⅳ）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++=

n n n n n n n a n ；

（Ⅴ）n n n n a n -+=++=

11

1；

4. 几个重要考点

① 方程思想：1()

2

n n n a a S +=

=1(1)2n n d na -+等差数列中的“知三求二”问题，

即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。

② 函数思想：等差数列{}n a 的前n 项的和221()()22

n d d

S f n n a n An Bn ==

+-=+，（A 、B 是与n 无关的常数），关于n 的二次型函数，没有常数项.

③ n S 的最大（小）值：方法一：不等式组思想：n S 的最大值⇔1

0n n a a +≥⎧⎨

≤⎩,求得n

的值再求n S .n S 的最小值⇔10

n n a a +≤⎧⎨

≥⎩，求得n 的值再求n S .方法二：利用项的单调性

求解.判断哪些项为负数，哪些项为非负数，从而求n S 的最值.方法三：(函数思想)利用n S ：由21()22

n d d

S n a n =

+-，利用二次函数，数形结合，求得最大（小）值时n 的值. n S 的最大值⇔2()n S f n An Bn ==+的最大值。