武汉理工大学whut线性代数考试试题及其参考答案(七)
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武汉理工大学w h u t线性代数考试试题及其参
考答案(七)
work Information Technology Company.2020YEAR
121
2
1
x n n x n n
+-+-；，互换A 的第一、第二列得矩阵B ，且
标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 （ A 卷）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、2
3
-； 2、E ； 3、-15； 4、5t ≠； 5、 2
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、C
2、A
3、B
4、C 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分）
1、 1210001
2
1000
(1)212100012
1
12
1n n n x x n x n x
n n D x x n n x
x n n
n n
-+-++⎡⎤=
=+
⎢⎥⎣⎦
+-+-- ………………
（4分）
(1)
12
(1)(1)
2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
………………………………………………………………（8分） 2、 由题意
(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………（4分）
又BX A =，即(1,2)AE X A =，所以
1(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………（8分）
3、 记1
200A
A A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则1
1
11200
A A A ---⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， ……………………………………………………………（2分） 又*11211,10A A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
，故
112110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
…………………………………………………………（4分）
*21211,31A A -⎛⎫
=-= ⎪-⎝⎭
，故
1
22131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭
………………………………………………………（6分）
所以
121
010*******
031A -⎛⎫ ⎪
-
⎪
= ⎪
- ⎪
-⎝⎭
。 …………………………………………………………………（8分）
4、记()1234,,,A αααα=，对A 进行行初等变换，将其化为行最简形：
1211241012213631A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～12
1
1003200320
064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～
1
2110
0320
00000
00-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭～11
20320
01300000000⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
…………………
（4分）
()2R A =，又显然13,αα线性无关，所以13,αα即为原向量组的一个最大无关
组；………………………（6分）
且212αα=，
4131
233
ααα=--。………………………………………………………………………………（8分）
或取13,αα为原向量组的一个最大无关组；且212αα=，31313
22
ααα=--。
取23,αα为原向量组的一个最大无关组；且1212αα=，42312
63ααα=--。
取24,αα为原向量组的一个最大无关组；且1212αα=，32413
42
ααα=--。
四（14分）、解 先将方程组的增广矩阵通过初等行变换化成行阶梯形
111
1
3213001265
4312a B b ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭～1111012630126012625a a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭～101520
12630000300
22a a b a a ---⎛⎫
⎪ ⎪
⎪-
⎪-⎝⎭
…………………（4分）
可见当1a =且3b =时，()()2R B R A ==，方程组有解，否则方程组无解； ……………………（7分）
在方程组组有解时，同解方程组为
1342
3452
263x x x x x x =+-⎧⎨
=--+⎩，取340x x ==，得原方程组一特解()*2,3,0,0T
η=-； ……………………（9分）
取()()()34,1,0,0,1T
T
T
x x =，得原方程组导出组的基础解系为()11,2,1,0T
ξ=-，
()25,6,0,1T
ξ=-；……………………………………………………………………………………
……（12分）
所以原方程组的同解为*1122c c ηξξη=++，12,c c 为任意常
数。 …………………………………（14分） 注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。
五（14分）、矩阵A 的特征多项式222082(6)(2)0
6A E a λ
λλλλλ
--=-=--+-，
故A 的特征值为126λλ==，
32λ=-。 …………………………………………………………………（4分）