数值计算方法 练习题

数值计算方法练习题

习题一

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；

（7）；

2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？

3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。

（1）；（2）；（3）

4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？

（1）；（2）；（3）

（4）

5. 序列满足递推关系式

若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用

。

7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

（1）；（2）

（3）；（4）

8. 设，求证：

（1）

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。

9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

11.下列公式如何才比较准确？

（1）

（2）

12.近似数x*=0.0310,

13.计算取

四个选项：

习题二

1. 已知，求的二次值多项式。

2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。

3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。

4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。

5. 已知，求及的值。

6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。

7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题

（1）试列出相应的差分表；

（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

8. 下表为概率积分的数据表，试问：

（1）时，积分

（2）为何值时，积分？

9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方

程在0.3和0.4之间的根的近似值。

10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。

表10

11. 依据数表11

12. 在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要

使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？

13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。

14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限

15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?

16、若，求和

17、若互异，求

的值，这里p≤n+1.

18、求证

19、已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

20、给定f(x)=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.

21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足

22.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证

明是［-1,1］上带权的正交多项式序列.

23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.

24、填空题

(1) 满足条件的插值多项式p(x)=().

(2) ,则f［1,2,3,4］=()，f［1,2,3,4,5］=().

(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝()，

＝().

(4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝()，＝()

习题三

1. 给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。

2. 用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。

（1）（2）

3. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计算均方误差。

4. 在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。

设已知t与W之间的关系为，试用最小二乘法确定参数a、s。

5. 试构造点集上的离散正交多项式系

。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。

6. 现测量长度和米、米，为了提高测量的可靠性，又测量到

米。试合理地决定长度和的值。

习题四

1. 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

2. 用辛甫生公式求积分的值，并估计误差。

3. 分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分：

（1），8等分积分区间；（2），4等分积分区间；

（3），8等分积分区间；（4），6等分积分区间。

4. 用复化梯形公式求积分，问将积分区间[ a, b ]分成多少等分，才能保证误差不超过e（不计舍入误差）？

5. 导出下列三种矩形公式的项

（1）；（2）；

（3）

提示：利用泰勒公式。

6. 用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过。

（1）；（2）；

7. 根据等式

以及当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求的近似值。