力学第六章万有引力定律

G M m 1引 R
2
m 1惯 g1 ,
即
m 1惯 m 1引

GM R g1
2
G
M m 2引 R
2
m 2惯 g 2 , 即
m 2惯 m 2引

GM R g2
2
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第六章 万有引力定律
若不同质点在同一位置下落的加速度相同，则：
m 1惯 m 1引 m 2惯 m 2引 GM R g
r
v
4
第六章 万有引力定律
§6.2 万有引力定律 引力质量 惯性质量
i. 万有引力定律
• 任何物体间都存在相互吸引力，两质点间的引力与两质点 的质量成正比，与两质点的距离平方成反比，力的方向在 两质点连线上。
F G m 1m 2 r
2
G 是一个对任何物体都适用的普适常数
5
第六章 万有引力定律
E p G m地m R地
(m 与 地 球 相 距 无 穷 远 处 势 能 为 0 )
后来：m 摆脱地球引力，速度为 v’ (相对地球)
E
p
0, E k
1 2
m v
2
21
第六章 万有引力定律
1 2
m v3 G
2
m地m R地

1 2
m v
2
(2) 求 v’ 以太阳为参考系，相对太阳速度为 v 3
an 4 R
2 3

4
2 2

C1 R
2
（3）源自文库
6
C0 R
C0 R
第六章 万有引力定律
其中：C1
4
2
C0
(C0 对各行星都相同，设仅与太阳有关)
若：地球上物体和月球绕地心的运动在性质上和 行星绕日运动相同，则向心加速度也可写作：
an月
C2 R
2
（4）
（C2 仅与地球性质有关 ）
7
第六章 万有引力定律
7.9km / s
G m地m R地
gR地 Gm地 R地 7 .9 k m / s
2
GM 地 R地
v1
2
（环绕速度）
证明： m g m
R地
v1
18
第六章 万有引力定律
第二宇宙速度
v2
脱离地球引力成为太阳系中的人造卫星 的最小速度
2 R地 g 11.2km / s
（脱离速度）
FT
FC*=mω2R
W
质量为m 的质点悬挂于线的末端且相对于地球静止。
* FT F F c 0
W -F T * 2 Fc m R
2 W F m R
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第六章 万有引力定律
即，质点重力为地球引力和惯性离心力的合力。 把地球看作惯性系,重力就是地球的引力。 ⒉ 重力偏离引力的角度α 应用正弦定理：
地球运动由下面相互作用力引起的，并与该力成正比
F m an m C1 R
2
（5）
（C1仅与太阳有关，与施力物体的性质有关） 假设相互作用力可以写成 ，
F C R
2
,
C与施力物体和受力物体的性质有关。
8
第六章 万有引力定律
既然，C与施力物体和受力物体的性质有关，令：
C GMm
于是写成：
m R / sin W / sin
2
ω R F α λ W
FT
FC*=mω2R
m R 地 cos / sin m g / sin
2
sin R 地 sin co s / g R 地 sin 2 / ( 2 g )
2 2
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第六章 万有引力定律
Mechanics 力学
1
第六章 万有引力定律
Chap. 6 Law of Universal Gravitation 万有引力定律
F=ma的应用 & 现象讨论 简单了解 理论力学一课会明确详细求解!
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第六章 万有引力定律
§6.1 开普勒定律
i. 地心说与日心说
• 公元2世纪, 埃及人托勒密提出地心说: 地球是静止不动的宇宙中心，其它天体都围绕地球做匀速 圆周运动(1300多年） • 16世纪，波兰天文学家哥白尼提出日心说： 太阳是静止不动的宇宙中心，其它天体围绕太阳做匀速圆 周运动
'
' v3 v v地
' 当 v 与 v 地 方向相同， v 3 最大
v3 v v地
'
由于
v3
2
Gm太 R太
,
v地
Gm太 R太
22
第六章 万有引力定律
v

2 1

Gm太 R太
(3) 代入 v’
v3 v 2
2 2
Gm地 R地

3
第六章 万有引力定律
ii. 开普勒的三个定律
⒈轨道定律 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于 椭圆轨道的一个焦点上。（大多数行星 轨道的偏心率都比较小，非常接近圆） ⒉面积定律 行星的位矢在相等的时间内扫过相等的 面积 ⒊周期定律 行星运动周期T的平方与半长轴a的立方 成正比，即 T 2 / a 3 C
F G Mm R
2
所以，这就是万有引力大小， 其中G成为引力常量。
（适用范围：质点）
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第六章 万有引力定律
讨 论：
1. 若物体不能视为质点，可把物体分为许多小部分进行计算
可证明，两个质量均匀分布，或按层均匀分布的球体 可视为质量集中球心的质点来计算引力。
积分……
2. 应用引力定律最成功的例子是海王星和冥王星的发现
2
W F (1
R地
2
co s )
2
1
g
按幂级数公式(1 x ) 1 n x
n
n ( n 1) 2!
2
x
2
2
展开
W 舍去高级无穷小量 ，得： F (1
R地
g
co s )
在赤道，λ=0，W最小；在两极，λ=±π/2，W=F,最大； λ=45°, W=(1-0.00174)F. 总之，重力与引力相差很小
G
mm r0
'
m’ r m
r
据势能定义：E p E p 0 A 保
o
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规定质点在无穷远处的势能为零
第六章 万有引力定律
则，m’ 距 m 为 r 处的引力势能为
E p Gm m / r
'
m
v v=v3
v=v2
ii、三种宇宙速度
第一宇宙速度
v1
v=v1 环绕地球表面做匀速圆周运动的速度：
2
这一比值与各质点的质量无关，其中G是以比例常数形 式出现的，适当选取G值，可使比值为1. 因此，任何质点的惯性质量与其引力质量相等，
m惯 m引
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第六章 万有引力定律
iv. 地球自转对重量的影响
1. 重力和引力 由于地球并非是精确的惯性系， 因此需考虑地球自转的影响： 惯性离心力。
ω R F

2 1

2
G
m太 R太
2
Gm地 R地
代入 m地, m太, R太, R
地
v 3 1 6 .7 k m / s
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人类已经实现的梦想：
人造地球卫星，太阳系内旅行
人类尚未实现的梦想：
到其它恒星系旅行
α—半人马座恒星离地球 4.3光年, 以每秒几十公里 的速度飞行，需要几万年 到达！
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E p 0, E k 0
1 2 m v2 G
2
m地m R地
0
v2
2 g R 地 1 1 .2 k m / s
(v2
2v1 )
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第六章 万有引力定律
第三宇宙速度 物体摆脱太阳的吸引，到其它恒星世界去的最小速度。
v3 16.7km / s
（逃逸速度）
证明： (1) 物体脱离地球地球引力场 开始： m 以 v3 速度抛出 1 2 E k m v3 2
ω
FT
FC*=mω2R W
R α F λ
解得
W F sin sin ( ) F sin sin co s co s sin
1
F (co s ctg sin )
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第六章 万有引力定律
sin R 地 sin 2 / ( 2 g ), co s 1
将 7.3 10
5
rad / s , R 6.4 10 m , g 9.8 m / s 代 入
6 2
3
sin 1 .7 4 1 0
若 45, 6 '
sin 2
⒊ 重力大小（重量）随纬度的变化 应用正弦定理：
W / sin F / sin (1 8 0 ) F / sin ( )
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第六章 万有引力定律
iii、引力质量和惯性质量
惯性质量：反映质点保持其原来运动状态不变的程度， 不涉及引力。
引力质量：反映质点吸引其他物体的能力，不涉及惯性。
二者之间有无联系？ 设两个质点在地球同一位置做自由落体运动，加速度分 别为g1,g2，据牛二定律 F引 m 惯 a 及引力定律，有：
证明： 物体 m 离开地球直至脱离地球引力过程，不计 其他星球和空气阻力的影响，m 只受地球引力， 机械能守恒。 开始： m 以 v2 速度抛出时
Ek 1 2 m v2
2
E p G
m地m
(m 与 地 球 相 距 无 穷 远 处 势 能 为 0 )
R地
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第六章 万有引力定律
后来：m 摆脱地球引力，至无穷远处，速度为零
ii、推导万有引力定律
假设：行星运动简化为绕太阳作匀速圆周运动轨道半径为R， 周期为T 。
重要 而行星运行的向心加速度： 回忆下一般轨道下加速度性 质2 4 R
R
3
2 2
由开普勒第三定律：
T
2
C0
（1）
an R R T
2
T
2
（2）
将（1）式代入（2）式得：
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第六章 万有引力定律
§6.3
Gravitational Potential Energy and Cosmic Velocity
i、万有引力势能 万有引力场是有心力场，是保守力----对应于引力势能
A保 G

'
r r0
G
mm r
2
'
dr G
mm r
r0
'
r
E p ( ) 0
mm r