概率论与数理统计期末复习题1-3
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率论与数理统计期末考试试题库及答案
概率论与数理统计期末考试试题库及答案概率论与数理统计概率论试题一、填空题1.设 A、B、C是三个随机事件。
试用 A、B、C分别表示事件1)A、B、C 至少有一个发生 2)A、B、C 中恰有一个发生3)A、B、C不多于一个发生2.设 A、B为随机事件, ,,。
则=3.若事件A和事件B相互独立, ,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________________8. 设~,且,则 _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_________10.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+x+10有实根的概率是11.设,,则12.用()的联合分布函数F(x,y)表示13.用()的联合分布函数F(x,y)表示14.设平面区域D由y x , y 0 和 x 2 所围成,二维随机变量x,y在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x 1 处的值为。
15.已知,则=16.设,且与相互独立,则17.设的概率密度为,则=18.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记YX1-2X2+3X3,则D(Y)19.设,则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有~ 或 ~ 。
特别是,当同为正态分布时,对于任意的,都精确有~ 或~.21.设是独立同分布的随机变量序列,且,那么依概率收敛于22.设是来自正态总体的样本,令则当时~。
23.设容量n 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值,样本方差24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本,则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件,且,则下列式子正确的是(A)P A+B P A; (B)(C) (D)2. 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率统计复习题(含答案)
概率论与数理统计复习题（一）一．填空1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
概率论与数理统计试题
《概率论与数理统计》期末试题（1）一、填空题(每小题3分，共15分)1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为____________4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P5． 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 ( ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立。
（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立。
2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为( ） （A)2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.(C ）2(2)-Φ。
（D ）12(2)-Φ. 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 (） （A ）X 与Y 独立。
（B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =。
4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立,则,αβ的值为 （)（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C) 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案：161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y=≤=≤=≤-- 因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________.答案：2λ=，-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==，故2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>41e-=-.5．设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ.nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案：1111lnniixnθ==-∑解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnn i niL x x x x xθθθθθ==+=+∏1ln ln(1)lnniiL n xθθ==++∑1lnln01niid L nxdθθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （ ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= （2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数， 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.（1）(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z d x dy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰ 20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望.1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰；（2）22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）2~(,)X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x=，样本方差20.16s=. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2:0.1Hσ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t nαα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n tα=====所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）2:0.1Hσ≤的拒绝域为22(1)nαχχ≥-.221515 1.6240.1Sχ==⨯=，20.05(15)24.996χ=因为220.052424.996(15)χχ=<=，所以接受H.《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：共8页第8页。
概率论与数理统计 期末复习1
概率论与数理统计 期末复习（一）第二章 随机变量及其分布一、了解离散性随机变量及其概率分布：特征：可列无穷多 二、熟练掌握三种常用离散性随机变量的分布律(0-1)分布 、 二项分布、 泊松分布(泊松定理的应用) (知道：期望方差)【例1-1】某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧>=，其他00100,10002x x x f现有一大批此种器件(设备损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率.【例1-2】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数，写出Y 的分布律，并求出{}1≥Y P .【例1-3】设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人维护20台；其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.【例2-1】一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求某一分钟内呼唤次数大于2的概率.【例2-2】保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份.在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元. 设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各个投保人是否死亡相互独立. 求该公司对于这批投保人的赔付金额总数不超过30万元的概率.三、熟练掌握连续型随机变量分布函数的概念，以及概率密度和随机变量分布函数的关系要点: {}x X P x F ≤=)(；⎰=∞-xdt t f x F )()(，若)(x F 在x 点连续，则有)()('x f x F =； 概率密度的性质：⎰=≥∞∞-1)(,0)(dx x f x f 满足这两个条件的函数才可以认为是概率密度；四、熟练掌握三种连续型随机变量的分布 均匀分布、指数分布、正态分布(知道：概率密度、分布函数、期望方差) 【例3-1】设随机变量X 的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F X ,11,ln 1,0)((1) 求{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<≤<<252,30,2X P X P X P ;(2) 求概率密度)(x f X .【例3-2】设随机变量X 的概率密度为：()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他，，,021210x x x x x f求X 的分布函数.【例3-3】设()()x g x f ,都是概率密度函数，求证：()()()()10,1≤≤-+=αααx g x f x h 是一个概率密度函数.【例4-1】设K 在(0,5)服从均匀分布，求关于x 的方程：02442=+++K Kx x有实数根的概率.【例4-2】（记住正态分布引理） 设随机变量()22,3~N X :(1) 求{}52≤<X P ;(2) 试确定常数c,使得{}{}c X P c X P ≤=>;(3) 试确定常数d 的最小值，使得{}9.0≥>d X P .【例4-3】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数，写出Y 的分布律，并求出{}1≥Y P .五、求随机变量的函数分布的两种方法： (1)直接法:{}{})]'())[(?()())(?()()(111y g y g x f y f y g x F y x g P y Y P y F X Y X Y ---=⇒=≤=≤=(2)定理法：P52 定理直接套公式(套公式要注意在x 的定义域上)(x g y =必须是严格单调！)【例5-1】设)1,0(~N X (1) 求X e Y =的概率密度；(2) 求122+=X Y 的概率密度； (3) 求X Y =的概率密度.【例5-2】设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,x e x f x 求2X Y =的概率密度.【练习】1. 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试估计他至少击中2次的概率.2. 设()λπ~X ，且{}{}21===X P X P ，求{}4=X P .3. 设()λπ~X ，其分布律为{},...2,1,0,!===-k k e k X P kλλ，试确定k 的值，使得{}k X P =最大.4. 设()p n b X ,~，其分布律为{}10.,...,2,1,0,)1(<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n ，试确定k 的值，使得{}k X P =最大.5. 设连续型随机变量X 的分布函数为： ()()+∞<<∞-+=x x B A x F arctan(1) 求B A ,的值；(2) 求X 的概率密度()x f .6. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()⎩⎨⎧<<+=其他,010,x b ax x f且8521=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P ,(1) 求b a ,的值；(2) 求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<2141x P ;(3) 求随机变量X 的分布函数()x F .7. 对某地区考生抽样调查的结果表明,考生的数学成绩（百分制）近似服从()2,72σN ，其中σ未知，已知96分以上的考生占总数的2.3%.试求考生的数学成绩介于60分与84分之间的概率.8. 设321,,X X X 是随机变量，且()()()232213,5~,2,0~,1,0~N X N X N X ,{}22≤≤-=x P P j ，（j=1,2,3）,则（ ）（13-8）(A) 321P P P >> (B) 312P P P >> (C) 213P P P >> (D) 231P P P >>9. （13-14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则{}a Y a Y P >+≤1的值为.10. （11-8）设()()x F x F 21，为2个分布函数，其相对应的概率密度为()()x f x f 21,，其都是连续函数，则下列选项中必为概率密度的是（ ）(A) ()()x f x f 21 (B) ()()x F x f 122 (C) ()()x F x f 21 (D) ()()()()x F x f x F x f 1221+11. （10-8）设()x f 1为标准正态分布的概率密度，()x f 2为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若()()())0,0(0,0,21>>⎩⎨⎧>≤=b a x x bf x x af x f 为概率密度，则b a ,应该满足( )(A) 432=+b a (B) 423=+b a (C) 1=+b a (D) 2=+b a12. （06-14）设随机变量X 服从正态分布()2111,σμN ,随机变量Y 服从正态分布()2222,σμN ，且{}{}1121<-><-μμY P X P ,则下列结论成立的是（ ）(A) 21σσ< (B) 21σσ> (C) 21μμ< (D) 21μμ>13. （02-21）设随机变量X 的概率密度为： ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,00,2cos 21πx x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.14. 设随机变量),(~σμN X ,求证：随机变量)0,(≠+=a b a b aX Y 为常数，也服从正态分布 ()2','~σμN Y ，并指出2','σμ的值.15. 设随机变量X 在区间()10，服从均匀分布. (1) 求X e Y =的概率密度；(2) 求X Y ln 2-=的概率密度.。
概率论与数理统计复习题（1）
概率论与数理统计复习题（1）复习题概率论与数理统计复习题一、填空题1．已知则．2．已知，A, B两个事件满足条件，且，则。
3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用表示取出的3件产品中的次品件数，则．4．同时抛掷3枚硬币，以X表示出正面的个数，则X的概率分布为．5．设随机变量X的概率密度为用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则。
6．设随机变量X～，且，则_________7．若二维随机变量（X, Y）的区域上服从均匀分布，则（X，Y）的密度函数为8．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则。
9．设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3。
10．设随机变量X的概率密度为则 A = 。
11．设，则，。
12．已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，，则。
13．设，，，则．14．设总体是来自总体X的样本，则，。
15．设是总体的样本，则当常数时，是参数的无偏估计量．16．一袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到红球的概率为。
．17．已知、两事件满足条件，且，则= 。
18．已知，，，则、、都不发生的概率为。
．19．设一次试验中事件发生的概率为，又若已知三次独立试验中至少出现一次的概率等于，则。
．20．设事件和中至少有一个发生的概率为，和中有且仅有一个发生的概率为，那么和同时发生的概率为．21．20个运动员中有两名国家队队员，现将运动员平分为两组，则两名国家队队员分在不同的组的概率为。
．22．已知，，则．23．甲袋中有5只白球，5只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，5只红球，10只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为．24．设、是随机事件，，，，则，，．25．设两两相互独立的三个事件、、满足条件，，且已知，则．26．若，且，，则．27．设、为随机事件，已知，，，则．28．设，，，则0.1，0.5，．29．已知，，，则．30．设、相互独立，，，则．31．已知，，，则．32．一个实习生用同一台机器接连独立的制造了3个同种零件，第个零件不合格的概率为，以表示3零件中合格品的个数，则。
概率论与数理统计期末考试复习
j 1
此公式即为贝叶斯公式;
P(Bi ) ,i 1,2 ,…,n ,通常叫先验概率; P(Bi / A) ,i 1,2 ,…,n ,通常 称为后验概率;贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由
果朔因”的推断;
我们作了n 次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生；
n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样；
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥;基本事件是互不相容的;
-A 称为事件A 的逆事件,或称A 的对立事件,记为 A ;它表示A 不发生 的事件;互斥未必对立;
②运算：
结合率：ABC=ABC A∪B∪C=A∪B∪C
分配率：AB∪C=A∪C∩B∪C A∪B∩C=AC∪BC
7 概率 的公 理化 定义
2° PΩ =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,…有 常称为可列完全可加性;
则称 PA 为事件 A 的概率;
1° 1,2 n ,
2°
P(1 )
P( 2
)
P( n
)
1 n
;
设任一事件 A ,它是由1,2 m 组成的,则有
PA=(1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
则称 X 为连续型随机变量; f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函
数,简称概率密度;
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ;
2° f (x)dx 1;
3 离散与 积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
连续型 P(X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似; 随机变
用;
Φ-x＝1-Φx 且 Φ0＝ 1 ;
概率论与数理统计第一章期末复习
概率论与数理统计第一章期末复习(一)随机事件1.随机现象定义1在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．定义2只有一个结果的现象称为确定性现象．2.样本空间定义3一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．就称这样的试验是一个随机试验，记作E．定义4随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Ω．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记作ω．3.随机事件定义5随机试验的某些样本点的集合称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母A，B，C，…表示．定义6由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件．而样本空间Ω的最大子集(即Ω本身)称为必然事件，样本空间Ω的最小子集(即空集∅)称为不可能事件．4.事件的关系与运算下面的讨论总是假设在同一个样本空间Ω中进行．1)包含关系⊂如果属于A的样本点必属于B，则称A包含于B或称B包含A，记作A B ⊃．用概率的语言说：事件A发生必然导致事件B发生．或B A对任一事件A，必有∅Ω⊂A．⊂2)相等关系如果属于A的样本点必属于B，且属于B的样本点必属于A，即BA⊂且=．AB⊂，则称事件A与B相等，记作A B3)互不相容(互斥)如果A 与B 没有相同的样本点，则称A 与B 互不相容(互斥)．即事件A 与事件B 不可能同时发生．4)两事件的和事件“事件A 与B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的和(或并)，记作B A ．5)两事件的积事件“事件A 与B 同时发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的积(或交)，记作B A (或AB )．6)两事件的差事件“事件A 发生而B 不发生”，这样的事件称为事件A 对B 的差，记作A B -．7)对立事件或逆事件若=AB ∅且Ω=B A ，则称A 与B 为对立事件或互为逆事件，事件A 的对立事件记作A ．【例1】设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则(1)事件{A 发生且B 与C 至少有一个发生}可表示为：)(C B A ；(2)事件{A 与B 发生而C 不发生}可表示为：C AB ；(3)事件{A 、B 、C 中至少有两个发生}可表示为：BC AC AB ；(4)事件{A 、B 、C 中至多有两个发生}可表示为：ABC ；(5)事件{A 、B 、C 中不多于一个发生}可表示为：AB BC AC ；(6)事件{A 、B 、C 中恰有一个发生}可表示为：ABC ABC ABC ．【例2】关系()成立，则事件A 与B 为对立事件．A ．=AB ∅B ．Ω=B AC ．=AB ∅，Ω=B AD ．=AB ∅，Ω≠B A 【解析】由对立事件的概念可知选项C 正确．【例3】甲、乙两人谈判，设事件A ，B 分别表示甲、乙无诚意，则B A 表示()A ．两人都无诚意B ．两人都有诚意C ．两人至少有一人无诚意D ．两人至少有一人有诚意【解析】由题可知A 与B 分别表示甲、乙有诚意，则B A 表示甲、乙两人至少有一人有诚意，故选项D 正确．5.事件的运算性质(1)交换律：A B B A =，BA AB =；(2)结合律：C B A C B A )()(=，)()(BC A C AB =；(3)分配律：()()()A B C AB AC = ，()()()A B C A C B C = ；(4)对偶律：B A B A = ，B A AB =．一些有用的等式：A A A = ，A Ω=Ω ，A A ∅= AA A =，A A Ω=，A ∅=∅A B A AB AB -=-=，A B A B A =【例4】化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．【解】(1) A B B A B A B A ==)())((ØA =；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3)))(())((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．(二)随机事件的概率1.概率的公理化定义定义1设E 是随机试验，Ω是它的样本空间．对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为)(A P ，称为事件A 的概率，如果集合函数)(⋅P 满足下列条件：(1)非负性0)(≥A P ，对Ω∈A ；(2)规范性()1P Ω=；(3)可列可加性若=j i A A ∅，j i ≠， ,2,1,=j i ，有∑+∞=+∞==11)()(i i i i A P A P ．2.概率的性质性质1不可能事件的概率为0，即()0P ∅=．性质2概率具有有限可加性，即若=j i A A ∅(n j i ≤<≤1)，则∑===ni i n i i A P A P 11)()( ．性质3对任一随机事件A ，有()1()P A P A =-．性质4若A B ⊂，则)()()(B P A P B A P -=-．推论若A B ⊂，则)()(B P A P ≥．性质5对任意的两个事件A ，B ，有)()()(AB P A P B A P -=-．性质6对任意的两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB =+- ．对任意三个事件A ，B ，C ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= ．推论对任意的两个事件A ，B ，有)()()(B P A P B A P +≤ ．【例1】设A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是()A ．A 与B 为对立事件B ．A 与B 互不相容C ．)()()(B P A P B A P -=-D ．)()(A P B A P =-【解析】因为A 与B 互不相容，所以AB =∅，0)(=AB P ，故选项A ：互不相容不一定对立，故选项A 错误；选项B ：互不相容不一定对立，故B A 不一定等于Ω，所以B A B A =不一定等于∅，即A 与B 不一定互不相容，故选项B 错误；选项C ：)()()()(A P AB P A P B A P =-=-，故选项C 错误，进而选项D 正确．【例2】已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．【解】(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．【注】事件的概率的计算常常需要结合对偶律，应用性质3．【例3】已知事件A ，B ，B A 的概率分别是0.4，0.3，0.6，求(B A P ．【解】)()()()(AB P B P A P B A P -+= )(3.04.06.0AB P -+=所以1.0)(=AB P ，则3.0)()()((=-=-=AB P A P B A P B A P ．【例4】已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ．求：(1)A ，B ，C 中至少发生一个的概率；(2)A ，B ，C 都不发生的概率．【解】(1)因为0)(=AB P ，且AB ABC ⊂，所以由概率的单调性知0)(=ABC P ；再由加法公式，得A ，B ，C 中至少发生一个的概率为)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 8516243=-=．(2)因为{A ，B ，C 都不发生}的对立事件为{A ，B ，C 中至少发生一个}，所以A ，B ，C 都不发生的概率为83851(=-=C B A P ．3.古典概型定义2若随机试验E 具有下述特征：(1)样本空间的元素(即样本点)只有有限个，不妨设为n 个，并记它们为12,,,n ωωω ．(2)每个样本点出现的可能性相等(等可能性)，即有12()()()n P P P ωωω=== ．则称这种等可能性的概率模型为古典概型．对任意一个随机事件Ω∈A ，有nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含有样本点的个数事件)(．【例5】袋中有大小相同的4个白球，3个黑球，从中任取3个至少有2个白球的概率为．【解析】袋中共有7个球，从中任取3个，共有37C 中取法，即样本空间Ω中共有37C 个样本点．取出的3个球中至少有2个白球，分为2个白球1个黑球和3个白球两种情况．当取出的3个球中有2个白球1个黑球时，共有1324C C 中取法；当取出的3个球中有3个白球时，共有0334C C 中取法．记=A {从中任取3个至少有2个白球}，则事件A 中共有03341324C C C C +个样本点．因此3522)(3703341324=+=C C C C C A P ．(三)条件概率1.条件概率定义1设A 与B 是样本空间Ω中的两个事件，若0)(>B P ，则称)()()(B P AB P B A P =为“在事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率”，简称条件概率．【例1】已知31)()(==B P A P ，61)(=B A P ，求(B A P ．【解】∵61)()()(==B P AB P B A P ，∴181)(=AB P ，)(1)()()()(B P B A P B P B A P B A P -== )(1)]()()([1B P AB P B P A P --+-=127=．【注】条件概率的计算通常与概率的性质结合使用．【技巧】在计算过程中，只要有概率的性质可以用，就一直用概率的性质计算，直到没有概率的性质可用时，对得到的式子进行化简整理，代入已知数据计算．2.乘法公式定理1(乘法公式)(1)若0)(>B P ，则)()()(B A P B P AB P =．(2)若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．【例2】一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第三次才取得合格品的概率．【解】设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ．由题意知，所求概率为)(321A A A P ，易知10010)(1=A P ，999)(12=A A P ，9890)(213=A A A P ．由此得)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =0083.0989099910010≈⋅⋅=．3.全概率公式定义2设Ω为试验E 的样本空间，1B ，2B ，…，n B 为E 的一组事件．如果=j i B B ∅，j i ≠，n j i ,,2,1, =且Ω=n B B B 21，则称1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分．定理2(全概率公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任一事件A 有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==．4.贝叶斯公式定理3(贝叶斯公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>A P ，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则∑==n i j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()(，n i ,,2,1 =．【例3】一批同型号的零件由编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三台机器共同生产，各台机器生产的零件占这批零件的比例分别为35%、40%和25%，各台机器生产的零件的次品率分别为3%、2%和1%．(1)求该批零件的次品率；(2)现从该批零件中抽到一颗次品，试问这颗零件由Ⅰ号机器生产的概率是多少？【解】设=A {零件是次品}，=1B {零件由Ⅰ号机器生产}，=2B {零件由Ⅱ号机器生产}，=3B {零件由Ⅲ号机器生产}，则由题设知35.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，25.0)(3=B P ，03.0)(1=B A P ，02.0)(2=B A P ，01.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 021.0=．(2)题目要求的是)(1A B P ，由贝叶斯公式，得21)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．【例4】有甲、乙、丙三厂同时生产某种产品．甲、乙、丙三厂的产量之比为1：1：3，次品率分别为4%，3%，2%．(1)若从一批产品中随机抽出一件，求这件产品为次品的概率．(2)若产品的售后部门接到一名顾客投诉，说其购买的产品为次品，请问哪个厂最该为此事负责，为什么？【解】设=A {产品为次品}，=1B {产品由甲厂生产}，=2B {产品由乙厂生产}，=3B {产品由丙厂生产}，则由题设知，2.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，6.0)(3=B P ，04.0)(1=B A P ，03.0)(2=B A P ，02.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 026.0=．(2)由贝叶斯公式，得134)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，133)|()()|()()(31222==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，136)|()()|()()(31333==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．所以在产品为次品的情况下，产品来自丙厂的可能性最大，丙厂最该负责．【注】全概率公式与贝叶斯公式通常一起考试．(四)独立性1.两个事件的独立性定义1若)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称A 与B 独立．否则称A 与B 不独立或相依．定理1若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立．【例1】甲、乙两人彼此独立的向同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率．【解】设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，则=B A {目标被击中}．则)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=98.0=．【例2】若事件A 与B 相互独立，8.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：)(B A P 和)|(B A A P ．【解】∵A 与B 相互独立，∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=92.0=．)())(()|(B A P B A A P B A A P =)()()()()(B A P B P A P B A P B A P ==13.0=．【例3】设)()(B A P B A P =，证明：A 与B 相互独立．【证】因为)()(B A P B A P =，所以有)(1)()()(1)()()()()(B P AB P A P B P B A P B P B A P B P AB P --=--==，即有)]()()[()](1)[(AB P A P B P B P AB P -=-，整理得)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 相互独立．2.多个事件的相互独立性定义2设A ，B ，C 是三个事件，若有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P (1)第11页共11页则称A ，B ，C 两两独立．若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，(2)则称A ，B ，C 相互独立．注意：只有(1)式与(2)式同时成立，事件A ，B ，C 才相互独立．(1)式成立不能保证(2)式成立；反过来，(2)式成立也不能保证(1)式成立．定义3设有n 个事件1A ，2A ，…，n A ，对任意的n k j i ≤<<<≤ 1，若以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()(2121n n k j i k j i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立．定理2如果n (2≥n )个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则其中任何m (n m ≤≤1)个事件换成相应的对立事件，形成的n 个新的事件仍相互独立．【例4】三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？【解】设A ，B ，C 分别表示三人独立译出密码，则51)(=A P ，31)(=B P ，41)(=C P ，且A ，B ，C 相互独立，有方法1：)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=6.0=．方法2：)(1)(C B A P C B A P -=(1C B A P -=()()(1C P B P A P -=53411)(311)(511(1=----=．。
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设随机变量X的分布函数为F(x)，以下哪个选项是正确的？A. F(x)是单调递增的函数B. F(x)是单调递减的函数C. F(x)是连续的函数D. F(x)是可导的函数答案：A2. 设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. X和Y的协方差为0B. X和Y的相关系数为0C. X和Y的联合分布等于X和Y的边缘分布的乘积D. X和Y的方差相等答案：C3. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = λB. D(X) = λC. E(X) = λ²D. D(X) = λ²答案：A4. 在假设检验中，以下哪个选项是正确的？A. 显著性水平α越大，拒绝原假设的证据越充分B. 显著性水平α越小，接受原假设的证据越充分C. 显著性水平α越大，接受原假设的证据越充分D. 显著性水平α越小，拒绝原假设的证据越充分答案：D5. 以下哪个选项不是统计量的定义？A. 不含未知参数的随机变量B. 含未知参数的随机变量C. 不含样本数据的随机变量D. 含样本数据的随机变量答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 设随机变量X和Y的方差分别为DX和DY，协方差为Cov(X,Y)，则X和Y的相关系数ρ的公式为______。
答案：ρ = Cov(X,Y) / √(DX × DY)7. 设随机变量X服从标准正态分布，则X的数学期望E(X) = ______，方差D(X) = ______。
答案：E(X) = 0，D(X) = 18. 设总体X的方差为σ²，样本容量为n，样本方差为s²，则样本方差的期望E(s²) = ______。
答案：E(s²) = σ²9. 在假设检验中，原假设和备择假设分别为H₀: μ = μ₀和H₁: μ ≠ μ₀，其中μ为总体均值，μ₀为某一常数。
概率论与数理统计第1-3章复习资料
其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求： （1）A=“点数和为奇数的概率”； （2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件， 求下列事件的概率： （1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880） （2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
（1）’
注：r, v 取值的规律称 r, v 的分布，分布函数是描 述 r, v 的概分布的主要方法之一。 （二）分布函数的性质： 一维：1、有界性：0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
（二）几何概型 所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] （三）条件概率及其全概率公式 1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式 如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足： （1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随 机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后 一只次品晶体管在下列情况发现的概率： （1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105） （2）B=“在第10次测试发现”。（2/5） 例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。 例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个， 共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率： （1）A=“两次都取到新球”； （2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”； （3）C=“至少有一次取到新球”。
概率论及数理统计期末考试试题及解答
WORD格式.《概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每题 3 分，共 15 分）1．设事件 A,B 仅发生一个的概率为0.3 ，且 P(A)P(B)0.5，则A,B起码有一个不发生的概率为 __________.答案： 0.9解：P(ABAB)0.3即0.3P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)0.52P(AB)因此P(AB)0.1P(AB ) P(AB)1P(AB)0.9.2．设随机变量 X 听从泊松散布，且 P( X1)4P(X2)，则P(X3)______.答案：1 e 16解答：P( X1)P ( X0)P(X1)ee,P(X2)e由 P(X1)4P(X2) 知 ee2e2即 210解得 1，故P(X3)e 3．设随机变量 X 在区间 (0,2)上听从平均散布，则随机变量密度为 f Y(y)_________.答案：2 221162YX在区间 (0,4)内的概率114,0y4,f( y) F(y)f(y)YYX2y解答：设 Y 的散布函数为 F Y(y),X的散布函数为F X(x) ，密度为2F(y)P(Yy)P(Xy)P(yXy ) F(y ) F(y )YXX由于 X~U(0,2) ，因此 F(y ) 0 ，即 F Y(y)F X(y )Xy0,.其余f X(x) 则专业资料整理WORD格式教育资料专业资料整理WORD 格式.故11,0y4,f( y) F(y)f(y )4yYYX2y0,其余.另解在 (0,2) 上函数2yx 严格单一，反函数为h(y)y因此11f(y)f(y)4,0y4,yYX2 y0,其余.4．设随机变量 X,Y 互相独立，且均听从参数为的指数散布，2P(X1)e ，则_________， P{min(X,Y)1}=_________.答案： 2，- 4P{min(X,Y)1}1e解答：2P(X1)1P(X1)ee ，故 2P{min(X,Y)1 }1P{min(X,Y)1 }1P(X1)P(Y1)41e.5．设整体 X 的概率密度为(1)x,0x1,f(x)1.0,其余X 1,X 2,,X 是来自 X 的样本，则未知参数的极大似然预计量为_________.n答案：$11n1xlnn i 1i解答：似然函数为nnL ( x ,L,x;)(1)x(1)(x,L,x)1ni1ni1nlnLnln(1)lnxii1dlnLn nlnx@0d1ii1专业资料整理WORD格式解似然方程得的极大似然预计为教育资料专业资料整理WORD格式.$11.n1ln xni 1i二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1．设 A,B,C为三个事件，且A,B 互相独立，则以下结论中不正确的选项是（A）若 P(C)1 ，则 AC与 BC也独立 .（B）若 P(C)1 ，则 AUC 与 B 也独立 .（C）若 P(C)0 ，则 AUC 与 B 也独立 .（D）若 CB，则 A 与 C也独立 . （）答案：（ D） .解答：由于概率为 1 的事件和概率为0 的事件与任何事件独立，因此（A），（B），（C）都是正确的，只好选（D） .事实上由图可见A与C不独立.SABC2．设随机变量X~N(0,1),X的散布函数为(x)，则P(|X|2)的值为（A） 2[1(2)]. （ B） 2(2)1.（C） 2(2). （ D） 12(2). （）答案：（ A）解答： X~N(0,1) 因此 P(|X|2)1P(|X|2)1P(2X2)1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]应选（A）.3．设随机变量 X 和 Y 不有关，则以下结论中正确的选项是（A）X 与 Y 独立 . （ B）D( XY)DXDY.（C）D(XY)DXDY. （ D） D(XY)DXDY.（）教育资料专业资料整理WORD 格式.答案：（ B ）解答：由不有关的等价条件知，xy0cov （ x ， y ）0D( XY) DXDY+2cov （ x ， y ）应选（ B ） .4．设失散型随机变量 X 和 Y 的结合概率散布为( X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1111 69183若 X,Y 独立，则 , 的值为（ A ）21.（ ）12.,A,9999 . （）（ C ）11（ D ）51,,661818答案：（ A ）解答：若 X,Y 独立则有P(X2,Y2)P(X2)P(Y2)Y123X1111 1121 169183()()() 11 3939233 21 111， 291899故应选（ A ） .5．设整体 X 的数学希望为 ,X 1,X 2,L,X n为来自 X 的样本，则以下结论中正确的选项是（A）X1是的无偏预计量 . （ B）X1是的极大似然预计量 .（C）X1是的相合（一致）预计量 . （ D） X1不是的预计量 . （）答案：（ A）解答：EX，因此 X1是的无偏预计，应选（A） .1三、（ 7 分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误以为是次品的概率为0.5 ，一个次品被误以为是合格品的概率为0.02 ，专业资料整理WORD格式教育资料专业资料整理WORD格式.求（ 1）一个产品经检查后被以为是合格品的概率；（ 2）一个经检查后被以为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 A‘任取一产品，经查验以为是合格品’B‘任取一产品确是合格品’则（ 1） P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A| B)0.9 0.950.10.020.857.P( B|A)0.9977（ 2）.P(A)0.857四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假定在各个交通岗碰到红灯的事件是互相独立的，而且概率都是2/5. 设 X 为途中碰到红灯的次数，求 X 的散布列、散布函数、数学希望和方差 .解： X 的概率散布为23kk3kP(Xk ) C()()k0,1,2,3.355X0123即2754368PX 的散布函数为0,x0,27,0x1,12581F(x),1x2,125117,2x3, 1251,x3.EX26 3,55 2318DX3.5525五、（ 10 分）设二维随机变量(X, Y) 在地区 D{(x,y)|x0,y0,xy1}上听从平均散布 . 求（ 1） ( X,Y) 对于 X 的边沿概率密度；（ 2） ZXY 的散布函数与概率密度 .专业资料整理WORD格式教育资料专业资料整理WORD格式.解：（ 1） (X,Y)的概率密度为y2,(x,y)D1f(x,y)0,.x+y=1其余DD122x,0x1 x f(x)f(x,y)dy0z1x+y=zX0,其余（2）利用公式 f Z(z)f(x,zx)dx2,0x1,0zx1x2,0x1,xz1.此中 f(x,zx)0,0,其余其余 .当 z0或 z1时 f Z(z)0zzzz=x0z1时f(z)2dx2x2zZ故 Z 的概率密度为x f(z)2z,0z1,Z0,其余 .Z 的散布函数为0,z00,z0,zz2f(z)f(y)dy2ydy,0z1z,0z1,ZZ1,z1.1,z1或利用散布函数法0,z0,F(z)P(Zz)P(XYz)2dxdy,0z1,ZD11,z1.0,z0,2z,0z1,1,z1.2z,0z1,f(z)F(z)ZZ0,其余 .专业资料整理WORD格式六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标 Y 相222互独立，且均听从N(0,2)散布.求（1）命中环形地区D{(x,y)|1xy2}的教育资料专业资料整理.概率；（ 2）命中点到目标中心距离WORD格式22ZXY的数学希望 .解：（ 1）P{X,Y)D}f(x,y)dxdyyDx D01212221rr 2r11ed ( )eee ；88828124821（ 2）222218EZE(XY)xyedxdy22xy 822rr 112882 rerdrderdr84000222 rrr21888reedredr2.0 022七、（11 分）设某机器生产的部件长度（单位：cm ）2X~N( ,) ，今抽取容量为 16 的样20.16 本，测得样本均值x10 ，样本方差0.95 的置信区s. （ 1）求的置信度为间；（2）查验假定2H 0:0.1 （明显性水平为 0.05 ） .专业资料整理WORD格式（附注） t 0.05 (16)1.746,t 0.05 (15)1.753,t0.025 (15)2.132,2220.4 (16)26.296,0.05 (15)24.996,0.025 (15)27.488.解：（1）的置信度为 1 下的置信区间为ss( Xt(n1),Xt(n 1))/2/2nnX10,s0.4,n16,0.05,t(15)2.1320.25因此的置信度为0.95 的置信区间为（9.7868 ， 10.2132 ）（2）H0:0.1222(n1).的拒绝域为教育资料专业资料整理WORD格式.2215S2151.624 0.05 (15)24.996由于，0.5222424.996(15)，因此接受H.0.26 0专业资料整理WORD格式教育资料专业资料整理。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
P( X 2, Y 2) P(X 2)P(Y 2)
1
1
21
(
)( ) ( )
3
9
39
2
1
，
9
9
故应选（ A ） .
5．设总体 X 的数学期望为
正确的是
, X1 , X 2 , , X n 为来自 X 的样本，则下列结论中
（ A ） X1 是 的无偏估计量 .
（ B） X1 是 的极大似然估计量 .
（ C） X1 是 的相合（一致）估计量 . （ D） X1 不是 的估计量 . （ ）
的指数分布， P( X 1) e 2 ，则
_________ ， P{min( X ,Y ) 1} =_________.
答案：
2 ， P{min( X ,Y ) 1} 1 e-4
解答：
P(X 1) 1 P( X 1) e e 2 ，故
2
P{min( X ,Y ) 1} 1 P{min( X ,Y ) 1}
事实上由图
S AB
C
可见 A 与 C 不独立 .
A ），（ B），（C）
2．设随机变量 X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ( x) ，则 P (| X | 2) 的值为
（ A ） 2[1 (2)] .
（ B） 2 (2) 1 .
（ C） 2 (2) .
（ D ） 1 2 (2) .
（）
答案：（ A ）
（ C） P( A) P( A1 A2 )
（ D） P( A) P( A1 ) P( A2 ) 1
（ 4）
设随机变量 X ~ N ( 3 , 1), Y ~ N ( 2, 1), 且 X 与 Y 相互独 立 , 令 Z X 2 Y 7 , 则 Z ~ ( ). (A) N (0, 5); (B) N ( 0, 3); (C) N ( 0 , 46 ); (D) N ( 0 , 54).
概率论与数理统计复习题1
概率论与数理统计复习题（一）A. 古典概型选择题1. 在所有两位数(10－99)中任取一两位数，则此数能被2或3整除的概率为 （ ） A. 6/5 B . 2/3 C. 83/100 D.均不对2. 对事件A,B.下列正确的命题是 （ ） A ．如A,B 互斥，则A ，B 也互斥B. 如A,B 相容，则A ，B 也相容C. 如A,B 互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A.B 独立 D . 如A,B 独立，则A ，B 也独立3. 掷二枚骰子，事件A 为出现的点数之和等于3的概率为 （ ） A.1/11 B . 1/18 C. 1/6 D. 都不对5. 甲，乙两队比赛，五战三胜制，设甲队胜率为0.6，则甲队取胜概率为（ ） A. 0.6B. C 35*0.63*0.42C. C 350.63*0.42+C 45*0.64*0.4D .C 35*0.63*0.42+C 45*0.64*0.4+0.656. 某果园生产红富士苹果，一级品率为0.6，随机取10个，恰有6个一级品之概率（ ） A. 1B. 0.66C . C 46610 4.06.0D.（0.6）460.4）（7. 一大楼有3层，1层到2层有两部自动扶梯，2层到3层有一部自动扶梯，各扶梯正常工作的概率为 P ，互不影响，则因自动扶梯不正常不能用它们从一楼到三楼的概率为（ ） A.（1-P ）3 B. 1-P 3C . 1-P 2（2-P ）D.（1-P ）（1-2P ）8. 甲，乙，丙三人共用一打印机，其使用率分别p, q, r ，三人打印独立，则打印机空闲率为（ ） A. 1-pqr B . （1-p ）（1-q ）（1-r ） C. 1-p-q-r D. 3-p-q-r 9. 事件A,B 相互独立， P(A)=0.6, P( A B )＝0.3, 则 P(AB)=（ ） A . 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.110. 甲，乙各自射击一目标，命中率分别为0.6和0.5，已知目标被击中一枪，则此枪为甲命中之概率 （ ） A . 0.6 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.55 11. 下列命题中，真命题为 （ ）A. 若 P （A ）=0 ，则 A 为不可能事件B .若A,B 互不相容，则1BA P ）＝（ C.若 P(A)=1，则A 为必然事件D.若A,B 互不相容，则 P(A)=1-P(B)12. A,B 满足P(A)+P(B)>1，则A,B 一定（ ）A. 不独立B. 独立C. 不相容D . 相容13. 若 （ ），则〕〕〔＝〔）P(B)-1P(A)-1B A P(A. A,B 互斥B. A>BC. 互斥，B A D . A,B 独立14. 6本中文书，4本外文书放在书架上。
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出-1 0 10 Nhomakorabea1
0
0
0
………….4分
(2)因为
所以 与 不相互独立
…………8分
七、（8分）设二维随机变量 的联合密度函数为
求：（1） ；（2）求 的边缘密度。
解：（1） …………..2分
=
=[ ] ………….4分
（2） …………..6分
……………..8分
1. 2. , 3. 4.
（1）如果 ，则 .
（2）设随机变量 的分布函数为
则 的密度函数 ， .
（3）
（4） 设总体 和 相互独立,且都服从 ， 是来自总体 的
样本， 是来自总体 的样本，则统计量
服从分布（要求给出自由度）。
三、(6分)设 相互独立， ， ，求 .
解：0.88=
= (因为 相互独立)……..2分
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解：因为 是单调可导的，故可用公式法计算………….1分
当 时， ………….2分
由 ，得 …………4分
从而 的密度函数为 …………..5分
= …………..6分
六、（8分）已知随机变量 和 的概率分布为
而且 .
(1)求随机变量 和 的联合分布;
(2)判断 与 是否相互独立?
…………4分
即为[4.801,5.199]…………5分
令 ………..5分
于是 的最大似然估计：
。……….7分
十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率 服从正态分布，均值为 ，长期以来方差 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为 ，试求 的置信水平为95%的置信区间。（ ）
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案
1、（10分）甲箱中有 个红球， 个黑球，乙箱中有 个黑球， 个红球，先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后，再从乙箱取出一球，
（1）求从乙箱中取出的球是红球的概率；
（2）若已知从乙箱取出的是红球，求从甲箱中取出的是黑球的概率；
2、（8分）设二维随机变量的联合概率密度为：
求关于 的边缘概率密度，并判断 是否相互独立？
7、（8分）设有一种含有特殊润滑油的容器，随机抽取9个容器，测其容器容量的样本均值为10.06升，样本标准差为0.246升，在 水平下，试检验这种容器的平均容量是否为10升？假设容量的分布为正态分布。
（ ， ）
第二套
一、 判断题（2分 5）
1、设 ， 是两事件，则 。（）
2、若 是离散型随机变量，则随机变量 的取值个数一定为无限个。（）
2、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：
求边缘概率密度 ，并判断 与 是否相互独立？
3、（8分）设随机变量 的分布函数为：
求：（1） 的值；
（2） 落在 及 内的概率；
4、（8分）设随机变量 在 服从均匀分布，求 的概率密度；
5、（10分）设 及 为 分布中 的样本的样本均值和样本方差，求 （ ）
第一套
一、 判断题（2分 5）
1、设 ， 是两事件，则 。（）
2、若随机变量 的取值个数为无限个，则 一定是连续型随机变量。（）
3、 与 独立，则 。（）
4、若 与 不独立，则 。（）
5、若 服从二维正态分布， 与 不相关与 与 相互独立等价。（）
二、选择题（3分 5）
1、对于任意两个事件 和 （）
5、袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。
解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。
又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。
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概率与数理统计期末复习题一一、填空题1．设随机变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,31)(31xxexfx，则数学期=+-)(XeXE。
2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度。
3．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于6437，则事件A在一次试验中出现的概率P(A)= .4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数21=XYρ,则D(X+Y)= .5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 .6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且21}0{==XP,=<}2{XP.二、已知随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,01,2)(xxxf.求Y= 3lnX的分布函数.三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为0.9,0.06,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.四、设随机变量(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤=其他,0660,1,31),(xyxyxf,求 ( 1)边缘密度)(),(yfxfYX; (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关?五、已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布)6.0,(2μN,问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的绝对值小于0.1的概率达到0.95. [96.1)975.0(Φ=，6456.1)95.0(Φ=，29.1)90.0(Φ=]。
六、使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为6.27.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为 4.40. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显著地小(05.0=α)?七、设总体X的的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其它,010,11);(12xxxfθθθθ其中1>θ,是未知参数,),,,(21nxxx是总体X的样本观察值.求(1)θ的矩估计量;(2) θ的极大似然估计量Lθ,并问Lθ是θ的无偏估计吗?八、设随机向量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,1,8);(yxyxyyxf求 (1)条件概率密度)|(yxfX;(2) Z=X+Y的概率密度.;概率与数理统计期末复习题二一、一、选择题1.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为X 1 2 Y 1 21/3 2/3 1/3 2/3则下列命题正确的是。
(A)P(X=Y)=1/3 (B)P(X=Y)=2/3 (C)P(X=Y)=1 (D)P(X=Y)=5/9.2．设P(AB)=0,则下列命题正确的是.(A)A与B不相容(B)A与B独立(C)P(A)=0或P(B)=0 (D)P(A-B)=P(A).3.在假设检验中,记H1为备择检验,称为犯第一类错误.(A) H1为真,接受H1(B) H1不真,接受H1(C) H1为真,拒绝H1(D) H1不真,拒绝H1.二、二、填空题1．设两两相互独立的三事件A，B，C满足ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(AUBUC)=12/25.则P(A)= .2. 随机变量X的概率密度为.,21)(∞<<-∞=-xexf x则X的分布函数F(x)= .3．设随机变量X与Y均服从正态分布N(-1,1),且相互独立，则Z=X-2Y的概率密度。
4. 设X1,X2,…,X6为来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,而Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,试确定常数c= 使得随机变量cY服从χ2分布.5. 设X1,X2,…,X n为n个相互独立同分布的随机变量,且E(X i)=μ,D(X i)=8(i=1,2,….,n),对于∑==niiXnX11,用切比雪夫不等式估计P{μ-4<X<μ+4}______≥.6. 设X1,X2,…,X n为来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本,其中参数μ,σ>0未知,则μ的置信水平为1-α(0<α<1)的置信区间长度L= ,数学期望E(L2)= .三、某种产品,每一批中都有2/3的合格品.验收每批产品时规定:从中任取一个,若为合格品,则放回,然后再任取一个,如果仍为合格品,则接受这批产品;否则,拒绝接收该批产品.求:(1)每批产品被拒绝接收的概率;(2) 检验三批产品,最多有一批被拒绝接收的概率.四、两台同样的自动记录仪,每台正常工作的时间服从参数为θ=1/3的指数分布。
首先开动其中的一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动。
试求两台记录仪正常工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差。
五、设总体X服从参数为λ的泊松分布，λ>0未知，X1,X2,…,X n为来自总体X的一个样本观察值。
求λ的极大似然估计量λˆ，并求其方差)ˆ(λD。
六、设的联合概率密度为:⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他,0,2,41),(xyxyxf(1)边缘概率密度f X(x), f Y(y)和条件概率密度f Y(y|x);(2)证明X 与Y 不相关,但X 与Y 不独立. 七、有两个相互独立工作的电子装置,其寿命),2,1( =k X k 服从同一指数分布,分布函数为⎩⎨⎧>-=-其它， ,001)(x e x F x λ(1) 若将这两个电子装置串联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望; (2)若将这两个电子装置并联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望.八、某种织物的强力指标的均值为μ=21(kg).改进工艺后生产一批织物,今抽取25件,测得55.21=x (kg),2.1=S (kg).强力指标服从正态分布.问在显著水平α=0.01条件下,新生产织物比过去的织物的强力是否要高?附表:.492.2)24(,485.2)25(,064.2)24(,711.1)24(,708.1)25(,96.1,58.201.001.0025.005.005.0025.001.0=======t t t t t u u概率与数理统计期末复习题三三、 填空题1．设A 与B 是相互独立的随机事件，满足P(A)=0.3, P(B A )=0.7 ,则P(B)= .2. 随机变量X )4,1(~N ,随机变量Y 服从参数2=θ的指数分布, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0 , 00, 21)(21y y e y f yY 而且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ, 则),cov(Y X = .3．设离散型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤--<=x x x F 3 , 13x 2 , 522 , 0)(则随机变量X 的分布律为 。
4. 设随机变量X )1,0(~N , 随机变量Y )(~2n χ, 且X 与Y 是相互独立,令n YXT =，则~2T 分布.5.设总体X 服从参数为λ的泊松分布, 0>λ为未知参数。
),,,(21n X X X 是总体X 中抽取的一个样本，则参数λ的矩估计量λˆ= . 二 、选择题1． 在某大学任意选出一名学生。
令：A={选出的学生是男生}，B={选出的学生是三年级学生}，C={选出的学生是数学系的学生}，则当 时，ABC=C 成立。
（A ）数学系的学生都是三年级的男生 （B ）三年级的学生都是数学系的男生 （C ）该学校的男生都是数学系三年级的学生 （D ）三年级的男生都是数学系的学生2． 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（ ）（A ）22)(b a b +（B ）)1)(()1(-++-b a b a b b （C ）11-+-b a b （D ）b a b+3．设离散型随机变量X 的分布律为),2,1(!}{ ===k k ck X P kλ其中0>λ为常数，则c=（ ）（A ）λe - （B ）λe （C ）11--λe （D ）11-λe4． 设随机变量921,,,X X X 相互独立的且同分布，而且),9,2,1(1,1 ===i DX EX i i 令∑==91i iX X ，则对任意给定的0>ε，由切比雪夫不等式直接可得（ ）（A ）211}1{εε-≥<-X P （B ）211}9{εε-≥<-X P（C ）291}9{εε-≥<-X P （D ）211}191{εε-≥<-X P5．设总体X ),0(~2σN ,),,,(21n X X X 是从中抽取的一个简单随机样本，则2σ的无偏估计量为（ ）（A ）∑=-=n i iX n 12211ˆσ （B ）∑==ni i X n 1221ˆσ （C ）∑=+=n i i X n 12211ˆσ（D ）∑=+=ni iXn n1222)1(ˆσ三 设有两箱同种类零件,第一箱装有50件,其中10件为一等品;第二箱装有30件,其中18件为一等品,今从两箱中随意取出一箱,然从该箱取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求: (1) 第一次取出的零件为一等品的概率;(2) 在第一次取出的零件为一等品的条件下,第二次取出的也是一等品的概率.四.甲，乙两人进行比赛,规定若某人先赢得4局比赛的胜利得整场比赛的胜利. 设在每局比赛中,甲，乙两人获胜的概率都是21,令X 表示所需比赛的局数,求:(1) X 的可能取值; （2）X 的分布律; （3）E(X). 五.向平面区域}0,40:),{(2≥-≤≤=x x y y x D 内随机地投掷一点,即二维随机变量(X,Y)服从平面区域D 上的均匀分布.(1) 试求二维随机变量(X,Y)的联合密度函数; (2) 点(X,Y)到y 轴距离的概率密度函数;(3) 设(X,Y)∈D,过点(X,Y)作y 轴的平行线,设S 为此平行线与x 轴、y 轴以及曲线24xy -=所围成的曲边梯形的面积,求E(S).六.设随机变量X 与Y 的分布律分别为 X0 1Y0 1p 1-1p 1p p 1-2p 2p其中,101<<p ,102<<p 证明:如果X 与Y 不相关,则X 与Y 相互独立.七.假设一条自动生产线生产的产品的合格率为0.8,试用中心极限定理计算,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件? (已知,9015.0)29.1(=Φ,95.0)65.1(Φ=其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数)八.设总体X 服从区间),0(θ上的均匀分布,其中0>θ为未知参数. ),,,(21n X X X 是从该总体中抽取的一个样本.(1)求未知参数θ的极大似然估计θˆ(2)求θˆ的概率密度函数;(3)判断θˆ是否为未知参数θ的无偏估计.九.某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过0.9年,现随机地抽取了10只蓄电池, 测得样本的标准差为1.2年,假定使用寿命服从正态分布),(2σμN ,取显著性水平05.0=α,试检验81.0::81.0:2120<≥σσH H概率论与数理统计期末复习题四一. 单项选择题1.现有5个灯泡的寿命i ξ. ()5,4,3,2,1=i 独立同分布,且a E i =ξ b D i =ξ ()5,4,3,2,1=i .则5个灯泡的平均寿命η的方差=ηD ( )(A) 5b (B) b (C) 0.2b (D) 0.04b 2.0=ξD 是1}{==C P ξ(C是常数)的( )(A) 充分条件,但不是必要条件 (B) 必要条件,但不是充分条件 (C) 充分条件又是必要条件 (D) 既非充要条件又非必要条件 3. 离散型随机变量ξ的概率分布为k b k P λξ==)(),2,1( =k 的充分必要条件是( )(A) 0>b 且10<<λ (B) λ-=1b 且10<<λ(C)11-=λb 且1<λ (D) b+=11λ且0>b 二．填空题1．某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率为41,则4人中最多1人需用台秤的概率为 .2. 从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于3. 设A , B 是两个相互独立的随机事件,且41)(=A P 31)(=B P 则=-)(B A P4. 设A , B 是两个随机事件,且0)(>B P .则由乘法公式知=)(AB P三.设21,ξξ是相互独立的,均服从(0-1)分布,且6.0)1()1(21====ξξP P .求},min{21ξξη=的概率分布.四. 已知随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤-+≥+=其他,012,)2(0,1)(2x x b x x ax f .已知43}1{=≤X P . 求: (1) 常数a ,b 的值. (2) X 的分布函数F (x ). (3)Y =X 3的概率密度函数.五. 对同一目标进行三次射击,第一,二,三次射击的命中概率分别为0.4,0.5,0.7.试求至少有一次击中目标的概率.六. 在次品率为61的一大批产品中,任意抽取300件,试计算在抽取的产品中次品件数在40到60之间的概率.已知标准正态分布函数)(x Φ的值:9394.0)55.1(=Φ 8849.0)2.1(=Φ七 设二维随机变量),(ηξ的概率分布为1-=η 0=η 1=η1-=ξ8181810=ξ81 0 811=ξ8181 81问ξ与η是否相互独立?八. 一种设备使用到2000小时不能正常工作的概率为0.06,使用到3000小时不能正常工作的概率为0.13,求已经工作了2000小时的设备能继续工作到3000小时的概率.九． 设某种电子管的寿命X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>=10,10,10)(2x x x x ϕ.问150小时内,上述三只电子管没有一只损坏的概率是多少?三只电子管全损坏的概率又是多少?概率论与数理统计 期末复习题(五)一. 已知21)(=A P , 31)(=B P , 按下列条件,试求)(B A P ⋃的值. (1)0)|(=B A P (2) )()|(A P B A P = (3))()|(B P B A P =二. 设X ~)2,10(2N ,10-=X Y ,2)210(-=X W ,求)(W Y D -三、在20件电子元件中,有一等品10件,二等品6件,三等品4件,已知一、二、三等品的寿命(单位:h)分别服从参数4001=θ ，2002=θ ，1003=θ的指数分布.(1) 从20件电子元件中任取一只元件使用,求寿命超过400小时的概率.(2) 从20件电子元件中有放回地任取4件使用,求至少有一间寿命超过400小时地概率. (37.01=-e,保留小数点后两位小数位)四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<=+-其他,031,1,)(22x Bx Ae x f xx . 其中A ,B 为大于零的常数,且已知41}2523{=<<X P .求: (1) A ,B 的值.(2)随机变量X 的分布函数)(x F .要求: 所求结果用)(x Φ表示,其中()dtex t x2221-∞-⎰=πΦ五、设二维随机变量(X ,Y)的联合密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,),(3x y x ax y x f(1) 求a ;(2) 求X 和Y 的边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y .并判断X 与Y 是否相互独立?(3) 求E(X), E(Y), 并判断X 与Y 是否相关？ (4) 求P{Y>X/2}; (5) 求YX Z+=的概率密度)(z f Z六. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=+-ax a x bx a b a x f b b ,0,),,()1(.其中参数0>a已知,0>b 未知.n x x x ,,,21 为来自总体X 的样本.求未知参数b 的最大似然估计和矩估计.七. 某厂用填装机将香水装入同一规格的瓶内,每瓶内香水的装量X ~)5,(2μN (单位:ml).现研制一种新的装速较快的填装机,已知它装入每瓶内的香水量服从正态分布),(2σμN .现从新机器所装的香水中任取20瓶,测得香水量为201,,x x .经计算得75.221)(2201=-∑=x x i i ,其中x 为样本均值.试问用新的机器投入生产,每瓶香水量得标准差较原来得标准差是否有显著得差异(显著水平05.0=α).附表:086.2)20(025.0=t 725.1)20(05.0=t 852.32)19(2025.0=χ170.34)20(2025.0=χ 117.10)19(205.0=χ 907.8)19(2975.0=χ 591.9)20(2975.0=χ 851.10)20(295.0=χ 410.31)20(205.0=χ9909.0)36.2(=Φ八. 设总体X ~)2,0(2N ,1021,,,X X X 为来自总体X 的样本.令∑∑==+=1062512)()(j j i i X X Y试确定常数C ,使CY 服从2χ分布,并指出其自由度.概率论与数理统计期末复习题六一 选择题1. 对于任意的两个随机变量ξ和η,若)()()(ηξξηE E E =,则有( )(A) )()()(ηξξηD D D = (B) )()()()(ηξηξD D D D +=+(C)ξ和η独立 (D) ξ和η不独立2. 对于任意事件A 和B ,若1)(0<<B P ,则有( )(A) 1)|()|(=+B A P B A P (B) 1)|()|(=+B A P B A P (C)1)|()|(=+B A P B A P (D) 1)|()|(=+B A P B A P3. 设a B A P =⋃)( b A P =)( c B P =)( 则)(B A P 等于( )(A)c c a )(+ (B) 1-+c a (C) c b a -+ (D) c b )1(-4. 设随机变量X 的密度函数为)(x f 是连续的偶函数(即)()(x f x f -=),而)(x F 是X 的分布函数,则对任意的实数a 有( ) (A))()(a F a F -= (B) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((C)⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( (D) )()(a F a F -=-二. 填空题1. 对目标进行独立射击,每次命中的概率均为25.0=p ,重复进行射击直至命中目标为止,设ξ表示射中的次数,则=ξE2. 设41)()(==B P A P , 21)(=C P , 0)(=AB P , 81)()(==BC P AC P , 则C B A ,,三者都不发生的概率=)(C B A P3. 袋中装有5个白球.3个黑球,4个红球.从中一次取出三个球,则三个球是同色的概率为4. 设随机变量ξ和η相互独立, 且0==ηξE E , 1==ηξD D ,则=+])[(2ηξE三. 一批零件中有9个正品与3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不再放回而再另取一个零件,直到取得正品为止,求在取得正品以前已取出废品数X 的分布律.四、 已知二维随机变量(X ,Y )联合密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,0,0,),()1(y x cx y x f y x求: (1) c 的值. (2) X ,Y 的边缘密度)(),(y f x f Y X ,并判断X 与Y 是否相互独立?五. 设随机变量X 服从参数为θ的指数分布)0(>θ,求随机变量2313+=X Y 的概率密度. 六. 随机地掷6颗骰子,试用切比雪夫不等式估计:6颗骰子出现的点数总和不小于9点且不超过33点的概率. 七. 甲乙二人独立地投篮,已知甲投中地概率为8.01=p , 乙投中地概率为5.02=p . 现两人各投三次,求两人投中次数相等的概率.八. 3各相互独立的元件串联成一个系统,若3个元件的使用寿命)3,2,1(=k X k 都服从同一参数为)0(>θθ的指数分布. 试求该系统的寿命Y 的分布函数和概率密度函数.九. 保险公司新增一个保险品种:每个被保险人年交纳报费为100元,每个被保险人若出事赔付金额为2万元.根据统计,这类被保险人年出事概率为0.0005.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下,一年内至少需要多少人参保,才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%? (901.0)29.1(=Φ 950.0)65.1(=Φ 9990.0)09.3(=Φ 9999.0)72.3(=Φ99999.0)27.4(=Φ )十．已知某厂生产的某种灯泡的寿命(单位:kh)服从正态分布),(2σμN ,并要求灯泡的寿命的标准差1.2≤σ.现从产品中任取5个灯泡进行试验,得结果为。