中考圆形综合题型考点分析

中考圆形综合题型考点分析

一、主要考试知识点

1、求特殊角度（难度系数：★★★）

2、证明相等的角（难度系数：★★★）

3、证明相似三角形（难度系数：★★★★）

4、证明相等线段（难度系数：★★★★）

5、证明线段乘积、比例关系（难度系数：★★★★）

6、求线段（或图形面积）比值（难度系数：★★★★★）

7、求一些角度的三角函数值（实质上线段的比值）（难度系数：★★★★★）

8、求特殊线段的长（难度系数：★★★★★）

9、求图形面积（难度系数：★★★★★）

10、求几何图形之间的函数解析式（难度系数：★★★★★★）

二、解题思路分析

1、注意等角的使用（包括等弦、等弧、等弦心距的运用）

分析：特别要分析图中相等的角的关系，看图中有没有相等有弦、相等的弧、相等的弦心距等，还要注意有没有垂径定理的情况。通过分析找出图中相等的角，为以后寻找相似埋下伏笔。

2、注意圆心角与圆周角的使用

分析：对于圆心角和圆周角的2倍关系，一定要特别注意。已知圆心角度数就要寻找相应的圆周角的度数；反之，已知圆周角的度数也要寻找相应的圆心角的度数。

3、注意一些特殊角度的运用

分析：图中一些特殊角度特别要引起注意，常见的如15°、30°、45°、60°、120°、150°等。这些角度都可以和直角组成特殊的直角三角形，从而解决问题。

4、直径对直角的运用

分析：一般直径常连接90°的圆周角，使图中出现直角三角形，便于思考。特别是配合一些特殊角度（30°、45°、60°）使用，能使计算更为便捷。

5、垂径定理的运用

分析：对于直径上作垂线（或高），特别要注意垂径定理的运用。这样就会出现相等的弧，也会产生相等的弦，进而出现相等的角。

6、切线与直径的关系的运用

分析：说起切线，一定要连接接切点和圆，这样便会产生垂直，进而产生直角三角形，从而使思考简化。

7、全等三角形的运用

分析：通过圆的对称性（轴对称、中心对称）、垂径定理、切线长定理思考图中全等三角形

8、相似三角形的运用

分析：俗话说：“圆内盛产相似”。通过寻找相等的角，产生相似三角形，为成比例具备条件。

特别是要注意圆内四点共圆（蝴蝶形）产生的几组相似。

寻找相等的角可以考虑：

（1）、是否有相等的弧、弦、弦心距等

（2）、是否有弦切角（弦切角=其所夹的弧所对的圆周角）

（3）、是否有四点共圆（对角互补，外角=内对角）

（4）、两条相交弦产生的相似（圆幂定理-------相交弦定理）

（5）、切线和割线产生的相似（圆幂定理-------切割线定理）

9、 射影定理的使用

分析：在圆内常出现直径上作高的情况，这样射影定理便可以直接运用了，省去了相似的步骤。射影定理中的“知二求四”特别是在计算一些直径上的线段时非常方便。 10、 弦切角定理的使用

分析：圆中有切线时，除了考虑垂直关系外，也要特别关注弦切角与圆周角的相等关系。使用

弦切角定理能够省去一些等量代换求角相等的步骤。 11、 切割线、割线定理的使用（实质上也是相似三角形的推广）

分析：对于圆中即有切线又有割线的情况，特别要考虑切割线、割线定理定理。这是计算圆中线段中必不可少的方法之一。直接运用切割线定理、割线定理比使用相似来分析要节省思考时间和空间。 12、 勾股定理的使用

分析：当圆中出现垂直，特别是不与直径垂直的情况时（与直径垂直时常用垂径定理），常考虑勾股定理的运用，结合一些特殊角度，能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉，在计算圆中线段的长中有非常重要的作用。 13、 连心线与公共弦的运用

分析：当有两圆相交时，公共弦和连心线是必不可少的思考方向。这两条特殊线段包含着两种特殊关系，即垂直又平分（位置关系：垂直 数量关系：平分），往往成为解题的入手点。 14、 余弦定理的使用（实质上是勾股定理的推广）

分析：在计算圆中线段时，有时使用余弦定理比较方便，特别是知道两边和夹角，求第三边时常用这种方法（不管夹角是否为直角）。虽然余弦定理是勾股定理的推广，但是直接使用也能节约思考的时间和空间（既使计算过程有些繁杂）。只是余弦定理公式较为复杂而已（复习一下：

A bc c b a

cos 22

22

-+=，注意：钝角的余弦值为负数）

。 15、

角平线成比例的运用（实质上也是相似三角形的推广）

分析：圆中经常会出现相等的角，有时还会有角平分线。此时用角平分线成比例定理可以使思考简化，在计算线段中收到意想不到的效果 16、 不规则面积的综合加减计算

分析：圆中经常会出一些图形面积的计算。有的可以直接求（常用的面积公式：①底⨯高 ②底⨯高2÷ ③对角线乘积的一半 ④上下底和的一半⨯高 ⑤中位线⨯高 ⑥ 两边与夹角正弦乘积

的一半 ⑦ 周长一半与内切圆半径之积 （圆面积为：

r 2

π）⑧ 边长的平方 ⑨ 长⨯宽 ⑩ 水

平宽度与竖直高度乘积的一半 等），有的只能间接求，用其他图形的面积的和与差来计算。如：总面积—部分面积，或几部分面积的和等。

三、 中考例题分析

1、（20XX 年四川成都，27题10分）如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ，

AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠. （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由： （2）若3

tan 4

ADB ∠=

，4333PA AH -=

，求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.

思路点拨：

（1） 实质上这就是弦切角定理的逆命题，但不能用弦切角定理来证明。只能用弦切角定理的证明方法来证。连接DO 并延长交⊙O 于Ｅ点，再连接AE 即产生Rt △ADE 。通过等量代换于是PD ⊥DE 即得证。

（2） 通过分析Rt △ADH 中的正弦值，引入一个参数k ，得到AH 、DH 的值k 3、k 4，利用

PA 和AH 的比值，求出PA 和AH 的值（含k 的代数式）。再用勾股定理求出PD 的值（含

k 的代数式）

。这样分析PD 和DH 的值，发现一个特殊角度（DH=2

1

PD ）。再用弦切角=圆周角求出∠DCB 的度数，从而分析出圆心角∠DOB 的度数，又已知了半径，所以利用勾股定理和特殊角度，可以求弦长（BD ）。（知识点梳理：圆内六组数量：①直径（半径）② 弦长 ③ 弦心距 ④ 圆心角 ⑤ 圆周角 ⑥ 弧长 任意知道两组数量，就可以求出其他数量）只是此题中圆心角的度数要通过圆外Rt △PDH 和弦切角来求得，可谓来之不易！

（3） 显然利用对对角线乘积的一半可求出四边形ABCD 的面积，转而全力求AC 的长。由相

似三角形可得BH ：HC=3：4。（BH=BD —DH ），于是可以用含k 的代数式表示HC ，再代入切割线定理表达式中可得含k 的方程。解之求出k 值，从而求出AC 的值，于是四边形ABCD 的面积就求出了。

要点：对于引入一个参数k 的方法越来越重要！有了参数k 计算就简单了，而且通过图中数量关系，最终也要求出参数的具体值。