高代-行列式测试题
高中数学 行列式 试题及解析
高中数学行列式试题一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）A．38B．﹣38C．360D．﹣3604．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣118．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1} D．∅二．填空题（共23小题）13．若＝0，则锐角x ＝．14．已知，则λ＝．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}2的第n+j 项，则此行列式的值是．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．17．把表示成一个三阶行列式是18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为．19．行列式的最大值为．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为．21．行列式中x的系数是22．行列式的元素π的代数余子式的值等于．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为．24．若行列式，则m的值是．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．27．函数的最小正周期T＝．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．30．方程组的增广矩阵是．331．若行列式＝0，则x ＝．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是（将你认为的正确命题的序号都填上）．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性（相关、无关）34．规定运算，则＝．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．4参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i【分析】化简行列式，再计算．【解答】解：复数z 满足＝iz+i，则z ＝＝1﹣i．故选：B．【点评】本题考查行列式，复数，属于基础题．2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A ：＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C ：＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选：C．【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）5A．38B．﹣38C．360D．﹣360【分析】根据行列式的展开A32＝﹣（8×7﹣6×3），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素9的代数余子式的A32＝﹣（8×7﹣6×3）＝﹣38，故选：B．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．4．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】函数＝＝2sin（x +），从而y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，由此能出n的最小值．【解答】解：∵，∴函数＝＝2sin（x +），∵f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，∴y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，∴n +＝+kπ，k∈Z，即n＝k，k∈Z，n＞0．∴当k＝1时，n 取最小值．故选：D．【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13＝（﹣1）4＝2×6﹣5×3＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．6．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【分析】由二阶行列式的性质得：f（x ）＝，再由三角函数恒等式和诱导公式得到f（x）＝2cos（2x ﹣），由此利用三角函数图象的平移变换能求出结果．【解答】解：f（x ）＝＝＝2sin（2x ﹣）＝2cos[﹣（2x ﹣）]＝2cos（2x ﹣），∴要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象y＝2cos2x 的图象向右平移个单位．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式、三角恒等式、三角函数图象的平移变换诱导公式等知识的合理运用．7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣1【分析】本题可根据二阶行列式的定义算法进行计算，然后根据三角函数计算公式可得结果．【解答】解：由题意，可知：＝cosθ•cosθ﹣sinθ•（﹣sinθ）＝cos2θ+sin2θ＝1．7故选：C．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算，以及三角函数计算．本题属基础题．8．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．【解答】解：因为，所以＝zi+z＝2．所以z ＝＝＝1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，所以，故可得结论【解答】解：若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．810．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．【解答】解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣9a3b2c1；故正确；对于④故选：C．【点评】本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，＝ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．∅【分析】按照新的运算＝ad﹣bc ，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x ﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．【解答】解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．故选：C．【点评】本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．二．填空题（共23小题）1013．若＝0，则锐角x＝．【分析】直接利用矩阵知识的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：由于＝0，所以2cos2x﹣sin2x＝0，由于x为锐角，所以sin x＝cos x，解得x＝．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：矩阵知识的应用，三角函数关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14．已知，则λ＝3．【分析】由行列式的公式化简求解．【解答】解：＝（λ﹣4）+2λ＝5，解之得λ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查行列式，属于基础题．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，则此行列式的值是0．【分析】根据题意等比关系代入求解．【解答】解：因为元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，所以设等比数列的公比为q，则a n+2＝qa n+1，，，…，，∴＝＝＝0，（两列（或行）相同的行列式值为0），故答案为：0【点评】本题考查行列式，等比数列，属于基础题．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．【分析】先求出代数余子式，再进行化简，求解．【解答】解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：【点评】本题考查代数余子式，属于基础题．17．把表示成一个三阶行列式是【分析】本题根据行列式第一列进行展开的逆运算即可得到结果．【解答】解：根据行列式按第一列展开式，可知：2++3＝2•（﹣1）1+1•+（﹣1）•（﹣1）2+1•+3•（﹣1）3+1•＝．故答案为：．【点评】本题主要考查行列式按列展开的相关概念．本题属基础题．18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【分析】本题先根据行列式代数余子式的定义写出第1行第2列的元素1的代数余子式，然后根据二阶行列式的计算法则进行计算，再化简三角函数，即可得到实数x 的取值集合．【解答】解：由题意，第1行第2列的元素1的代数余子式为：（﹣1）1+2•．（﹣1）1+2•＝﹣1，则＝1，即﹣sin（π+x）﹣cos（﹣x）＝1．sin x﹣（cos cos x+sin sin x）＝1，整理，得：cos x＝﹣1．∴x＝π+2kπ，k∈Z．故答案为：{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【点评】本题主要考查行列式的代数余子式及二阶行列式的定义计算能力，三角函数知识．本题属基础题．19．行列式的最大值为13．【分析】先写出行列式结果，再用三角函数知识求解最大值．【解答】解：原式＝，所以当时，行列式的最大值为13．故答案为：13【点评】本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为10．【分析】直接求代数余子式，求出k，再代入求向量的模．【解答】解：元素﹣3对应的行列式为，∴k＝6，∴，∴，所以向量的模为为10．故答案为：10．【点评】此题考查行列式的代数余子式，向量的模的公式．21．行列式中x的系数是﹣3【分析】利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．【解答】解：行列式＝35﹣2x﹣4﹣7﹣x﹣40＝﹣3x﹣16．∴行列式中x的系数是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．行列式的元素π的代数余子式的值等于7．【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【解答】解：行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1＝﹣（4cos﹣9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为4．【分析】利用代数余子式的定义、行列式的展开法则直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为：（﹣1）1+1＝0﹣（﹣4）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查代数余子式的求法，考查代数余子式、行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．若行列式，则m的值是0.5．【分析】利用行列式展开法则直接求解．【解答】解；∵行列式，∴2﹣1﹣2m＝0，解得m＝0.5．∴m的值为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为6【分析】利用代数余子式的定义直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：（﹣1）3＝﹣（18﹣24）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．函数的最小正周期T＝π．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为6．【分析】由题意，，求出x，y，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴x＝5，y＝1，∴x+y＝6．故答案为6．【点评】本题考查矩阵的加法，考查学生的计算能力，比较基础．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．【分析】通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x＝，再结合x的范围，求出结果即可．【解答】解：因为，所以cos x cos x﹣sin x cos x＝，即×﹣sin2x＝，∴tan2x＝，∵x∈（3，4）∴2x＝，∴x＝故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．30．方程组的增广矩阵是．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．31．若行列式＝0，则x＝1．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵＝0，∴2×2x﹣4＝0，即2x＝2，∴x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是③④（将你认为的正确命题的序号都填上）．【分析】①根据向量夹角的范围和钝角的范围可以判断①的真假；②利用长方体包含正四棱柱，进行判断；③把点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）分别代入x+y﹣2，判断x+y﹣2是否异号；④利用已知定义进行代入计算验证．【解答】解：①当向量夹角为π时，满足，但不是钝角，故①错误；②∵长方体底是长方形，正四棱柱底是正方形，∴A∩B＝A，故②错误；③∵|a|+|a﹣3|＞2，cosα+sinα≤＜2，∴|a|+|a﹣3|﹣2＞0，cosα+sinα﹣2＜0，∴点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧，故③正确；④对2×2数表定义平方运算如下：∴＝＝＝故答案为：③④．，【点评】此题考查的知识点比较多，有向量的计算，正四棱柱和长方体定义，集合之间的关系，以及矩阵的计算．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性相关（相关、无关）【分析】利用矩阵的列向量的性质直接求解．【解答】解：A为3×4矩阵，三行四列矩阵，也就是4个3维列向量，故A的列向量组必线性相关．故答案为：相关．【点评】本题考查A的列向量组是否线性相关的判断，考查矩阵的列向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34．规定运算，则＝1．【分析】根据新运算可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b、c、d的位置．再利用复数的运算法则计算即可．【解答】解：根据题目的新规定知，＝1×2﹣（﹣i）i＝2+i2＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式，解题的关键是根据题目信息列出算式．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．【分析】利用矩阵的加法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵矩阵A＝，B＝，则A+B＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的加法的意义，是一道考查基本运算的基础题．。
第一章行列式测试题2
[测试题二]
一、选择题
1.5阶行列式的展开式共有（ ）项.
()2
5A ()5!B ()10
C ()15
D B
答案：2.=0D 行列式的必要条件是（ ）()A D 中有两行（列）元素对应称比例
()B D 中至少有一行元素可用行列式的性质化为零()C D 中有一行元素全为零
()D D 中任意一行各元素都可用行列式的性质化为零.B
答案：3.D 若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式（ ）.()A 必为零
()B 必不为零()1C 必为()D 可为任意数
A
答案：二、填空题()()1.1,321,2,4,2___________.
n n - 排列，，的逆序数为()12
n n -答案：2112564335642.6____________.a a a a a a 阶行列式中的符号为答案：正号
10001200
3.__________.12301234行列式的值为24答案：1
0214-104.___________.2
210
1521
x x --行列式中元素的代数余子式是10
-答案：三、解答题
4
1053
1-121.4=.-20
6-425-32D 计算阶行列式218D =答案：。
高三数学矩阵行列式试题
高三数学矩阵行列式试题1.矩阵与变换：已知a，b∈R，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求的逆矩阵．【答案】【解析】根据矩阵乘法求变换：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得：其与完全一样得则矩阵则解：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得： 3分其与完全一样得则矩阵 6分则 10分【考点】矩阵变换，逆矩阵2.已知矩阵，点，．求线段在矩阵对应的变换作用下得到线段的长度．【答案】【解析】先根据逆矩阵公式求逆矩阵：，即，再根据矩阵运算求出对应点的坐标，由，，知点，最后根据两点间距离公式求长度，．设，则，所以，解得，即．由，，知点，所以．【考点】逆矩阵，矩阵运算3.关于方程的解为．【答案】2【解析】原方程为，即，，所以，．【考点】行列式，指数方程．4.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算. 试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.5.已知，，则y=．【答案】1【解析】由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．【考点】二阶行列式的定义点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题6.对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）．【答案】相反数的相反数是它本身，集合A的补集的补集是它本身，一个复数的共轭的共轭是它本身，等等.【解析】一个非零向量的反向量的反向量是它本身；一个命题的否命题的否命题是它本身；一个函数的反函数的反函数是它本身。
高等代数行列式
a2
a 1
2
a 2
2
a 3
2
(5)计算 D
b2 c2 d2
b 1 b 2 b 3 2 2 2 c 1 c 2 c 3 2 2 2 d 1 d 2 d 3
2 2 2
解：将行列式D看作 a 的多项式，按第一列展开可 知D是关于 a 的至多二次多项式。
an
0
0
(1)
2 n 1
bn
0
a b c d
1 1
0
cn 1 0
d n 1 0
0 dn
c
c
n
n 1
d
0
n 1
0
都按最后一行展开
由此得递推公式：
an d n D2 n2 bn cn D2 n2
D2n (an dn bncn )D2n2
即 而 得
D2 n (ai di bi ci ) D2
假设对于 (n 1) 阶行列式命题成立，即
Dn1 xn1 a1xn2
an2 x an1 ,
则Dn按第1列展开 :
Dn xDn 1 an (1) n 1 1 0 x 1 1 1 0 0 x 0 0 1
xDn1 an 右边
所以，对于 n 阶行列式命题成立.
n ( n 1) 2
n 1i j 1
n ( n 1) 2
[(a i 1) (a j 1)]
[(i j)] (1)
n ( n 1) 2
(1)
n 1i j 1
(1)
n ( n 1) 1 2
n 1i j 1
高等代数试题及参考答案
高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（ ）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= . 四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
线性代数—行列式题库
1 x x2 27、方程 1 2 4 = 0 的根的个数是 2 个。（ ）
13 9
28、 n(n > 1) 阶行列式主对角线上的元素全为零，则行列式的值必为零。（ ）
−3 0 4 29、行列式 5 0 3 中元素 3 的代数余子式是-6。（ ）
de
ab
ab
de
（A）
； （B）-
； （C）
； （D）-
gh
gh
gh
gh
12 5
7、若行列式 1 3 −2 =0 ，则 x = （ ）。
25 x
（A）2
（B） − 2
（C）3
8、线性方程组
3xx11
+ 2x2 + 7x2
=3 =4
，则方程组的解
(
x1
,
x2
)
=
（
（A）（13，5） （B）（-13，5） （C）（13，-5）
18、以下哪种情况，行列式的值为零（ ）。
（A）行列式某列元素全部相等
（B）行列式某列元素的余子式全为 0
（C）行列式某行元素全部相等
（D）行列式两行互换
19、下列哪种情况下，行列式的值一定不变（ ）。
2
（A）行列式转置
（B）行列式两列互换
（C）行列式某一列元素全部反号
（D）行列式两行互换
11 1
（C） a1a2b1b2c1c2d1d2
（D） (a1b2 − a2b1)(c1d2 − c2d1)
a1 b1 c1
c1 b1 + 2c1 a1 + 2b1 + 3c1
16、设行列式 D = a2 b2 c2 ，则 c2 b2 + 2c2 a2 + 2b2 + 3c2 = （ ）。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业第二章 行列式 §1—§4一、填空题1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，52．四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____.112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =则._____122122211121=n n nn nn a a a a a a a a a(1)2(1)n n d -- 4．行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2二、判断题1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√2. 设d =nnn n nna a a a a a a a a 212222111211则121112222121n n n nnn a a a a a a a a a =d （ ）×3. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221（ ）×4.abcd zzz dy y c x b a =000000 ( ) √ 5.abcd dcx b y x a z y x -=000000 （ ）× 6.0000000=yxh gf e d c b a （ ）√7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。
（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。
（ ）×三、选择题1．行列式01110212=-k k 的充分必要条件是 ( ) D（A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k 或 32．方程093142112=x x 根的个数是( )C （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）513312446526a a a a a a 4. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项 A（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n5．若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )B （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）3,1k l ==，符号为正； （D ）1,3k l ==，符号为负6．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M 7．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( )C（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24四、计算题1． 计算3214214314324321解：3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602. 计算3111131111311113. 解：3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章 行列式 §5—§7一、填空题1. 设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 .6- 3. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= .0,66- 4. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k . 2≠5. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0≠ 二、判断题1. 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -，则D=0 （ ）√2.222)(00000000a b b a a b b a ab -= （ ）√ 3.222)(00000000b a a b b a a b b a -= （ ）√4.0=dbac d b c a b d c a b d a c （ ）√ 5.483111131111311113= （ ）√三、选择题1. 行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )D（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D（A ）行列式主对角线上的元素全为零 （B ）行列式主对角线上有一个元素为零 （C ）行列式零元素的个数多于n 个 （D ）行列式非零元素的个数小于n 个 3．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )D（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-4．4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 5．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )B（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-77．如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( )C （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3 四、计算题1. 计算D=1001100111aa aa---32r r ↔=aaa a a 10101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a10120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2：将行列式按第一行展开，有：100110011001a a a a ---=1011011010101a a a a a a-----=1]01111[2++---•a aa a a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2. 计算12125431432321-=n n n D n解：12125431432321-n n n121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n121125411431321)1(21-+=n n n n1110111111321)1(21n nnn n --+=111111111)1(21n nn n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n nn n n n n3. 计算6427811694143211111解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4. 计算=n D 12111111111n a a a +++解：=n D 12111111111na a a +++ na a a111101121++=12111111+111a a ++1211--+=n n n a a a D a ).11(121∑=+=ni in a a a a 5. 解方程：22x 9132513232x 213211--=0.解：22x 9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=22400130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明：()()()()()()()()()()()()43433232212222222222222222222222221232123252122123212325212221232521221232123252122123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a bb b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 40推论将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -后所得的新行列式。
高中数学行列式试题及解析
高中数学行列式试题2 .下列以行列式表达的结果中，与 sin （a- 3）相等的是（316|3 .三阶行列式3 5 7中，元素9的代数余子式的值为4 g 2I6.定义行列式运算:f （x ）的图象，只需将 y=2cos2x 的图象（2兀A.向左平移上“个单位, 2兀IC.向右平移己一个单位'J七口百e -sine .口 A =（）sino cosA . cos2 0B. sin2 04.定义行列式运算次］a 2a4=a t a 4-a 2a 3,将函数 f (x) = V3式回 1 CDEx|的图象向左平移A. 38B. - 38C. 360D. - 360n（n>0）个单位，所得图象关于 y 轴对称，则n 的最小值为（7VC.2KD.5.行列式 元素7的代数余子式的值为（）A. - 15B. - 3C. 3D. 12若复数z 满足 =l+2i ,则z 等于（-i iA. 1 + iB. 1 - iC. 3+iD. 3- i）B.向左平移三个单位 D,向右平移胃个单位*L JC. 1D. - 1.选择题（共12小题）1.定义:= a1a 4-a 2a 3,函数 f (x)则要得到函数9.设直线l i 与12的方程分别为 a i x+b i y+c i = 0与a 2x+b 2y+c 2= 0,则“"l1 // l2” 的(-bI③ a 1b 2c 3+a 2b 3c 1+a 3b 1c 2 — a 1b 3c2 — a 2b 1c 3 — a 3b 2c 1 ；c3al a 2 a311.展开式为ad - bc 的行列式是（A. {x|x< - 2 或 x>1} C. {x|-2<x< 1}二.填空题（共23小题）14.已知 1147 "11488.定义运算 =ad-bci -1 =2的复数2为（）A. 1 - 2iB. - 1 - iC. — 1 + iD. 1 - iA.a. bB.C.a .D.12.若规定a. b =ad - bc 则不等式 n-2-2 x13.若<：osu2eos JC 1=0,则锐角x = =0”是A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.下列四个算式: alc2 c 3b3c3 b] b 2C1 c2a2 a3其中运算结果与行列式A. 1个 1 bl♦ b口B, 2个 c2 的运算结果相同的算式有（C. 3个D, 4个B. {x|- 2<x<1} D.15.已知行列式中的元素an+j (j = 1, 2, 3,…,9) 是等比数列{a n }的第n+j 项，则此行列式的值是 16.若行列式 17.把 2 sr 5 8 1 4 3 7x9 18.若行列式中（xw 1）,元素1的代数余子式大于 0,则x 满足的条件是 3t 2 y2 sin( H 2 TT cns(~37T 表示成一个三阶行列式是 的第1行第2列的元素1的代数余子式-1,则实数 x 的取值集合为 19.行列式sim 3 5 的最大值为 20.行列式 行列式 22. 行列式23.24. 25. 26. 4 2k -3 5 4 -1 1 «： 的元素-3的代数余子式的值为10,则十（k. B ）的模为 1 4 -1 2 7 1 -1x5 中x 的系数是 2019 7T 三阶行列式 若行列式 49 sin 日 <DS 日.7T 7T sirry^ cos^ 1 -3 0 4 0-2 -12 3三阶行列式 若行列式 的元素冗的代数余子式的值等于 中，元素1的代数余子式的值为 =0,则m 的值是中，元素4的代数余子式的值为-2-1 a 3 0 1的展开式的绝对值小于6的解集为（-1,2）,则实数a 等27.函数f ㈤二cosz sinx sinx cosx的最小正周期T=28.已知矩阵A = -2y 0 -y 11-2x;r3 -3N 1,且 A+B=C,贝U x+y 的值为 COSK sinx29.方程 的增广矩阵是30.方程组二^xC （3, 4）实数解x 为31.若行列式2 4 = 0,则x=1 232.对于下列四个命题①若向量显,b,满足彳则a与b的夹角为钝角;②已知集合A=正四棱柱，8 =长方体，则AAB=B;③ 在直角坐标平面内，点M (|a|, |a - 3|)与N (cosa, sin a)在直线x+y-2=0的异侧；④对2X2数表定义平方运算如下：卜°)2工叫.卜1Cab+bd],则〔cd 【cdj〔cd/ ^ac+cdbc+d2J [1。
高等代数行列式单元测验答案
3 12
1 4 16 9
1 8 64 27
0013
3、 0
0
2
4 (1)(12)(34) 1
31
1 4
1126
2 43 1
3178
ab000
ab00 b000
0ab00
4、 D 0
0
a
b
0 按第一列展开
0
a
a
b
0a +b
b
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0 a5 b5
00ab 0ab0
000ab
《 高等代数—行列式 》单元考试答案
（A）卷
2017-2018 学年第 1 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
适用专业
2017 级数学
考核性质 考试
闭卷
命题教师
题号
一
二
三
四
五
得分
评阅人
复核人
一、计算题(30 分)
1 0 0 0
a1 a2 x an2 xn3 an1xn2 xn1
0 1 0 0
a2 x an2 xn4 an1xn2 xn2
0 0 0 0 0 0 0 1
an2 an1x x2 x an1
Dn
=
0
0 =
0 0 0 2 0
0 0 0 2 0
0 0 0 4 2
0 0 0 0 2
3 2 22 2n1 1 2 22 2n2 1 2 22 2n3 1 2 1
行列式习题及答案
行列式习题及答案行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅可以用于求解线性方程组，还可以用于计算矩阵的逆、特征值等。
下面我们将通过几个习题来加深对行列式的理解。
# 习题1：计算二阶行列式设有一个二阶行列式：\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \]解答：二阶行列式的计算公式为：\[ \text{det} = ad - bc \]所以，该行列式的值为 \( a \times d - b \times c \)。
# 习题2：计算三阶行列式给定一个三阶行列式：\[ \begin{vmatrix} e & f & g \\ h & i & j \\ k & l & m\end{vmatrix} \]解答：三阶行列式可以通过展开法则计算，即：\[ \text{det} = e \cdot i \cdot m + f \cdot j \cdot k + g \cdot h \cdot l - g \cdot i \cdot k - f \cdot h \cdot m - e \cdot j \cdot l \]# 习题3：利用行列式解线性方程组考虑以下线性方程组：\[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \]解答：首先，我们可以将方程组写成矩阵形式：\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \]计算矩阵的行列式：\[ \text{det} = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 = -1 - 6 = -7 \]由于行列式不为零，方程组有唯一解。
高代行列式测试题
高等代数《行列式》测 验一 填空题（2'612'⨯=）1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 2402. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2a -或a +23. 0001002003004000=( ).(A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 124. 已知1112131111121213212223212122222331323331313232334142434141424243,,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式1112131112212223212231323331324142434142a a ab b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++（ ）.(A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) ()m n -+5. 已知231421,111D =- ij A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130A A A ++= (B) 1121310A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立6. 0001000020010n n =-( ).(A) 1(1)!n n +- (B) (1)2(1)!n n n --(C) (1)2(1)!n n n +- (D)!n二 填空题（2'816'⨯=）1. 2011阶反对称行列式的值为 .2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ，l = .3. 排列(1)321n n -的逆序数为 , 13(21)24(2)n n -的逆序数为 .4. 线性方程组 1212040x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩有唯一解，则λ满足 .5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2n n -，则D = .6.211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 .7.1111123414916182764= .8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值为1,2,5,4, 则行列式D = .三计算题（8'756'⨯=）1. 01000020000100nn-2.000000000000nx yx yx yDx yy x=3.121111100100100naaa4.12111111naaa5.12112122121111nnnn na a aa b a aa ab aa a a b+++6.1221 00010010000001nn x ax ax ax ax a-----+7.123123123123,nnnnx a a a aa x a a aa a x a aa a a x a++++（用3种方法求解）四．应用题（8'216'⨯=）1 一城市局部交通流如下图所示（单位：辆/小时）（1）建立12345,,,,x x x x x 所满足的线性方程组； （2）要同时控制2200x ≤与350x ≤可行吗？2. ,,A B C 3家公司相互拥有的股份及单独营业的净收入如下表所示，设,,A B C 的联合收入为,,.x y z(1)建立 ,,x y z 所满足的线性方程组； (2) 求3家公司的实际收入。
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业第二章 行列式 §1—§4一、填空题1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,52.四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3.设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4.行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题1、 若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√2、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×3、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ( )×4、 abcd zz z dy y c x b a =000000( ) √ 5、abcd dcx b y x a z y x-=000000 ( )× 6、0000000=yxh gf e d c b a ( )√7、 如果行列式D 的元素都就是整数,则D 的值也就是整数。
( )√ 8、 如果行列D 的元素都就是自然数,则D 的值也就是自然数。
( )×9、n na a a a a a ΛN 2121= ( )×10、 01000200010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！ ( )× 三、选择题1.行列式01110212=-k k 的充分必要条件就是 ( ) D(A)2=k (B)2-=k (C)3=k (D)2-=k 或 3 2.方程093142112=x x 根的个数就是( )C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( )A(A)665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C)346542165321a a a a a a (D)513312446526a a a a a a4、 n 阶行列式的展开式中,取“–”号的项有( )项 A(A)2!n (B)22n (C)2n (D)2)1(-n n5.若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-就是五阶行列式的一项,则l k ,的值及该项的符号为( )B (A)3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C)3,1k l ==,符号为正; (D)1,3k l ==,符号为负6.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ,则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C(A)2 M (B)－2 M (C)8 M (D)－8 M 7.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( )C(A)8 (B)12- (C)24- (D)24 四、计算题 1. 计算3214214314324321解:3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602、 计算3111131111311113、 解:3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章 行列式 §5—§7一、填空题1、 设ij ij A M ,分别就是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02、 122305403-- 中元素3的代数余子式就是 、6-3、 设行列式4321630211118751=D ,设j j A M 44,分布就是元素j a 4的余子式与代数余子式,则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= 、0,66- 4、 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解,则k 、 2≠5、 含有n 个变量,n 个方程的齐次线性方程组,当系数行列式D 时仅有零解、 0≠ 二、判断题1、 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -,则D=0 ( )√2、222)(00000000a b b a a b b a ab -= ( )√ 3、222)(00000000b a a b b a a b b a -= ( )√4、0=d b a c d b c a b d c a b d a c ( )√ 5、483111131111311113= ( )√ 6、)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= ( )× 7、0107310111187654321=--- ( )√三、选择题1、 行列式102211321的代数余子式13A 的值就是( )D(A)3 (B)1- (C)1 (D)2-2.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的就是 ( )D(A)行列式主对角线上的元素全为零 (B)行列式主对角线上有一个元素为零 (C)行列式零元素的个数多于n 个 (D)行列式非零元素的个数小于n 个3.若111111111111101)(-------=x x f ,则)(x f 中x 的一次项系数就是( )D(A)1 (B)1- (C)4 (D)4-4.4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D(A)43214321b b b b a a a a - (B)))((43432121b b a a b b a a -- (C)43214321b b b b a a a a + (D)))((41413232b b a a b b a a -- 5.如果122211211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解就是( )B(A)2221211a b a b x =,2211112b a b a x = (B)2221211a b a b x -=,2211112b a b a x = (C)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x ----=(D)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x -----=6、 三阶行列式第3行的元素为4,3,2对应的余子式分别为2,3,4,那么该行列式的值等于( )B(A)3 (B)7 (C)–3 (D)-77.如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解,则 k =( )C(A)0 (B)1 (C)－1 (D)3 四、计算题1、 计算D=100110011001aa aa---解:方法1:100110011001aa a a ---21r r ↔=aa a a 100110001011---21r ar +=aaa a a 101100100112--+-32r r ↔=aa a a a 100101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2:将行列式按第一行展开,有:1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---•a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2、 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解:12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ121125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3、 计算6427811694143211111解:6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4、 计算=n D 12111111111na a a +++L L M M M L 解:=n D 12111111111na a a +++LL M M M Lna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(121∑=+=ni in a a a a Λ 5、 解方程:22x 9132513232x 213211--=0、解:22x 9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=224000130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1.证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明:()()()()()()()()()()()()43433232212222222222222222222222221232123252122123212325212221232521221232123252122123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a bb b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 40推论2.设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=,求证:n D D D D +++=Λ21,其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。
（完整版）行列式练习题及答案
（完整版）行列式练习题及答案一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。
《高等代数》课程习题 .doc
《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a ab aba -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---谢谢观赏（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
高等代数第二章课后习题
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
x1-m
x2
…
xn
x1
x2-m … xn
3）
.
.
.
.
. .
.
.
.
x1
x2
…
xn-m
第二章 行列式
第 章 行列式
2
1
第二章 行列式
5x1+6x2=1 x1+5x2+6x3=0 4） x2+5x3+6x4=0 x3+5x4+6x5=0
x4+5x5=1
2
第 章 行列式 3
ห้องสมุดไป่ตู้
a a ...a 2
n-1
n-1
n-1 n-1
其中 a1，a2，...，an-1 是互不相同的数. 1) 由行列式定义说明，p(x)是一个 n-1 次多项式;
2)由行列式性质,求 p(x)的根 .
4
1.计算下面的行列式:
第二章 行列式
246 427 327
1)
1014 543 443 ;
-342 721 621
1
第 章 行列式 2
第二章 行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章 行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证 因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1． 证 设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证 因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证 如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3． 由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证 设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证 因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。
高等代数与解析几何1~4章习题答案
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝xxx xx x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式） 4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000000001000001____________.2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B = ⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nnnn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n nn n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a 是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分)因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
行列式测试题(高等代数)
《高等代数》行列式（单元测试）学院： 班级： 姓名： 学号： 教师：一、填空题（每小题 3 分，共18 分）1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列.2．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =则._____122122211121=n n nnn n a a a a a a a a a3．设123,,x x x 是方程30x px q ++=的三个根，则行列式123231321x x x x x x x x x 的值是-____________.4．行列式11111111---x 的展开式中,x 的系数是_____.5．设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M6. 行列式12340000000000a a a a 的所有代数余子式之和为__________________________.二、判断说理（每小题5 分，共15 分）1．排列 j i 与排列 i j 排列的反序数相差1. ( )2．D=0, 则互换D 的任意两行或两列,D 的值仍为零.. （ ）3．ij ij A a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . （ ）三、计算题（共47分）1（16分）、xa a a a xaa a a xa a a a x D------=2、（16分）ba ab ba b a abb a ab b a D +++++=100000100010003.（15分） nn n n nn x a a a a a a a x a a a a a a a x a D +++=221222212121121四、证明题（20分）1、证明：1111100000000434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a2．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a。
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高等代数
《行列式》测 验
一 填空题（2'612'⨯=）
1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 240
2. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2a -或a +2
3. 0001002003004000
=( ).
(A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 12
4. 已知
1112131111121213212223212122222331323331313232334142
4341
4142
42
43
,
,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式
1112131112212223212231323331324142
434142
a a a
b b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++（ ）.
(A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) ()m n -+
5. 已知231421,1
1
1
D =- ij A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130A A A ++= (B) 1121310A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立
6. 0001000
02
00
10
n n =-( ).
(A) 1
(1)!n n +- (B) (1)2
(1)!n n n --
(C) (1)2
(1)
!n n n +- (D)!n
二 填空题（2'816'⨯=）
1. 2011阶反对称行列式的值为 .
2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ，
l = .
3. 排列(1)321n n -的逆序数为 , 13(21)24(2)n n -的逆序数为 .
4. 线性方程组 12
120
40
x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩有唯一解，则λ满足 .
5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2n n -，则D = .
6.
211203
101311
11
2
x x ----的展开式中2x 的系数为 .
7.
11
11123414
9
16
182764
= .
8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值
为1,2,5,4, 则行列式D = .
三计算题（8'756'
⨯=）
1. 0100
0020
000
1
00
n
n
-
2.
00
00
00
000
000
n
x y
x y
x y
D
x y
y x
=
3.
1
2
1111
100
100
100
n
a
a
a
4.
1
2
11
11
11
n
a
a
a
5.
12
112
122
12
1
1
1
1
n
n
n
n n
a a a
a b a a
a a
b a
a a a b
+
+
+
6.
1
2
2
1 000
100
1
000
0001
n
n x a
x a
x a
x a
x a
-
--
-
-+
7.
123
123
123
123
,
n
n
n
n
x a a a a
a x a a a
a a x a a
a a a x a
+
+
+
+
（用3种方法求解）
四．应用题（8'216'
⨯=）
1 一城市局部交通流如下图所示（单位：辆/小时）
（1）建立12345,,,,x x x x x 所满足的线性方程组； （2）要同时控制2200x ≤与350x ≤可行吗？
2. ,,A B C 3家公司相互拥有的股份及单独营业的净收入如下表所示，设,,A B C 的联合收入为,,.x y z
(1)
建立 ,,x y z 所满足的线性方程组； (2) 求3家公司的实际收入。