直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。
勾股定理是直角三角形中一条重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨直角三角形和勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中包含一个角度为90度的角。
这个角被称为直角。
直角三角形的其他两个角度则被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是，它的两条边相互垂直。
二、勾股定理的定义勾股定理是直角三角形中的一条定理，表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a² + b² = c²，其中a和b 表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
勾股定理可以用来计算直角三角形中任意一条边的长度，只要已知其他两条边的长度即可。
三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明：1. 测量距离：假设你想要测量两个不相邻点之间的距离，但是这两个点之间有一片湖泊无法直接测量。
你可以选择一个合适的位置作为测量起点，然后以直角三角形的形式测量出湖泊的宽度和起点到目标点的距离，再利用勾股定理计算出两个目标点之间的距离。
2. 建筑斜坡：在建筑设计中，经常会遇到需要设计斜坡的情况。
假设你需要设计一个台阶高度为a，长度为b的斜坡，你可以应用勾股定理计算出斜坡的斜边长度，以确定所需材料的长度和角度。
3. 导航和航空：导航和航空领域利用勾股定理来计算飞机或船只的航行距离和角度，以便安全导航和飞行。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一个特例，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5。
根据毕达哥拉斯定理，我们可以推导出勾股定理的一般表达式。
证明过程略。
五、总结直角三角形和勾股定理是几何学中的重要概念和定理。
直角三角形的定义是包含一个90度角的三角形，而勾股定理则描述了直角三角形的三边之间的关系。
勾股定理与直角三角形的关系
勾股定理与直角三角形的关系在数学中，勾股定理是一个基本的几何定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
勾股定理的形式化表述为：在一个直角三角形中，三条边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设其两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，因此也叫毕达哥拉斯定理。
它是数学中的重要定理之一，被广泛应用于各个领域。
勾股定理与直角三角形的关系是密不可分的。
直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
根据勾股定理，如果三条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2的关系，则这个三角形是一个直角三角形。
换句话说，通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
直角三角形和勾股定理在几何学中有着广泛的应用。
首先是测量，通过测量直角三角形的两条直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度，这在实际生活中非常有用。
其次，勾股定理还可以解决一些几何问题，例如求解角度、寻找缺失边长等等。
在建筑、设计、工程等领域，勾股定理也经常被用来计算和解决实际问题。
除了应用，勾股定理还有着深厚的数学内涵。
它是三角函数的基础之一，通过勾股定理可以导出正弦定理、余弦定理等重要的三角函数定理。
同时，勾股定理也是代数和几何之间的桥梁，在代数中，勾股定理可以用于解决二元二次方程。
总之，勾股定理与直角三角形的关系不仅仅局限于几何，还涉及到许多其他数学领域的运用。
它解决了很多实际问题，为我们提供了计算和推理的工具。
勾股定理的发现和应用是数学研究中的重要里程碑，深刻影响了数学和人类文明的发展。
无论是在学校教育中的数学教学，还是在实际生活中的应用，勾股定理都扮演着重要的角色，为我们提供了便利和启示。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
直角三角形的勾股定理
直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是数学中一个重要的定理，用于描述直角三角形中三边之间的关系。
它由古代数学家毕达哥拉斯所发现，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
下面将详细介绍直角三角形的勾股定理及其应用。
一、勾股定理的表述在欧几里得几何中，直角三角形的勾股定理可以表述如下：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有a²+ b²= c²。
其中，a²表示a的平方，b²表示b的平方，c²表示c的平方。
二、勾股定理的证明毕达哥拉斯定理的证明可以通过几何或代数方法进行。
几何证明通常利用面积的概念，而代数证明则通过代数运算推导得出。
在此不再详述证明过程，重点是理解定理的应用。
三、勾股定理的应用勾股定理在几何中有广泛的应用，其中一些常见的应用包括：1. 求解直角三角形的边长：当已知直角三角形的两条边时，可以利用勾股定理求解第三边的长度。
例如，已知直角三角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，可以用勾股定理计算斜边长：c² = 3² +4² = 9 + 16 = 25，从而得出斜边长为5。
2. 判定三条边是否构成直角三角形：根据勾股定理，若三条边满足a² + b² = c²，则可以判定这三边构成一个直角三角形。
例如，已知三边长度为3、4、5，则可以利用勾股定理验证：3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²，因此这三条边构成一个直角三角形。
3. 求解几何问题：勾股定理常用于解决与直角三角形相关的几何问题。
例如，已知长方形的两条相邻边长为3和4，可以利用勾股定理求解对角线的长度。
因为长方形的对角线是直角三角形的斜边，所以对角线的长度d满足d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，即d = 5。
四、勾股定理的推广勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到其他类似的三角形形状。
直角三角形勾股定理
探究 3
= ∠ ADE ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形
.如图沿 AE 折叠矩形，点 D 恰好落在 BC ∴ BC=AD AB =CD ∠ C =
边上的点 F 处，已知 AB =8cm，BC = 10cm， ∠ ADE =900
求 EC 的长.
又 ∵ AB =8cm BC =10cm ∴ AF=10cm CD =8cm
且
∠ QPN=30° ， 点 A 处 有一 所 学 校 ，
AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围 100m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用心 爱心 专心
4
内受噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上以 18km/h 的速度沿 PN 方向行驶时， 学校是否受到噪音的影响？如果学校 受到影响，那么受影响将持续多长时 间？
DN CB
MP
学生分组探讨： 1 有一个角是直角的三角 形。 2 两个角互余的三角形。 3 如果三角形的三边长 a、
b、c 有关系 a2+b2=c2,那 么这个三角形是直角三 角形
学生互相交流。
3、4、5； 5、12、13
7、24、25； 8、15、17
9、40、41；
二
探究 1
如图，以 Rt△ ABC 的三边为边向外作 讨论：
A
D
在 Rt Δ BF=
ABF 中
AF2 AB2 102 82 6
E
∴ FC = 4cm
设 EC =xcm
则 DE=EF=（8-x）cm
B
FC
在 Δ CFE 中，
∵
EF2=EC2+FC2
∴ （8-x）2 = x2+42
解得 x=3
答：EC 的长为 3cm.
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理一、直角三角形的定义与性质1.1 定义：在平面直角坐标系中，有一个角为直角（即90度），由两条直角边和一条斜边组成的三角形称为直角三角形。
1.2 性质：（1）直角三角形的两个锐角互余，即它们的和为90度。
（2）直角三角形的两个直角边互为邻边。
（3）直角三角形的斜边是直角边的非邻边。
（4）直角三角形的斜边长度大于任意一个直角边的长度。
（5）直角三角形的中线、高线、角平分线三线合一。
二、勾股定理的定义与证明2.1 定义：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边长度，a和b为直角边长度。
2.2 证明：（1）几何法：通过画出直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC为直角边，BC 为另一直角边，AB为斜边，利用平行线等知识进行证明。
（2）代数法：通过构造直角三角形ABC的相似三角形，利用相似三角形的性质进行证明。
三、勾股定理的应用3.1 直角三角形边长求解：已知直角三角形中，两个直角边的长度，可以通过勾股定理求出斜边的长度。
3.2 直角三角形面积求解：已知直角三角形中，两个直角边的长度，可以通过勾股定理求出三角形的面积。
3.3 逆定理：如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
四、与直角三角形和勾股定理相关的数学文化4.1 勾股定理的历史：勾股定理是古代中国数学家毕达哥拉斯发现的，被称为“勾三股四弦五”。
4.2 勾股定理的应用：在建筑、工程、物理学等领域有着广泛的应用。
以上是关于直角三角形和勾股定理的知识点介绍，希望对您有所帮助。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形ABC中，∠C为直角，AB为斜边，AC=3，BC=4，求斜边AB的长度。
方法：根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC2，代入已知数值，得AB2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25，所以AB = √25 = 5。
直角三角形的性质与定理
直角三角形的性质与定理直角三角形是指一个三角形中有一个内角为90度的三角形。
在数学中，直角三角形有许多独特的性质与定理。
本文将介绍直角三角形的一些重要性质与定理。
1. 勾股定理直角三角形的最著名与最基本的定理是勾股定理。
它描述了直角三角形的三条边之间的关系。
勾股定理表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：a² = b² + c²这个定理可以用来求解直角三角形的边长，也是解决许多几何问题的关键。
2. 正弦定理正弦定理是另一个重要的直角三角形的定理，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。
正弦定理可以用于求解直角三角形中的角度以及边长的比例。
正弦定理可以表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：sinA = b / csinB = a / csinC = a / b其中A、B、C为直角三角形的三个角度。
3. 余弦定理余弦定理也是直角三角形的一个重要定理，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。
余弦定理可以用于求解直角三角形中的角度以及边长的比例。
余弦定理可以表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：cosA = b / ccosB = a / ccosC = a / b同样，A、B、C为直角三角形的三个角度。
4. 直角三角形的旋转对称性直角三角形具有旋转对称性，即围绕直角边旋转90度后，仍然得到一个与原直角三角形相似的三角形。
这个性质可以用来证明许多相关的定理以及进行相关的几何推导。
以上是直角三角形的一些重要性质与定理。
通过了解和应用这些定理，我们能够更好地理解和解决与直角三角形相关的问题。
直角三角形作为几何学中的基础形状，在数学和实际应用中具有广泛的应用价值。
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间有着重要的关系，可以用数学公式来表示。
1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的关系公式，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
2. 正弦定理：正弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
3. 余弦定理：余弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
这些公式的应用可以帮助我们解决直角三角形的各种问题，如求解三角形的边长、角度大小等等。
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（也称为直角）。
直角三角形的性质可以用到数学中著名的勾股定理。
在本文中，我们将深入讨论直角三角形的特征和勾股定理的原理及应用。
一、直角三角形的特征直角三角形由三条边构成，其中一条边为直角边，与直角相对的两条边称为两腿。
下面我们将介绍直角三角形中著名的性质。
1. 勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腿的平方之和。
假设直角三角形的两腿分别为a和b，直角边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。
2. 边界性质直角三角形中，较长的一边称为斜边，而斜边是直角三角形中的最长边。
根据勾股定理，斜边的长度为两腿长度平方和的平方根。
3. 角度性质直角三角形中，另外两个角称为锐角和钝角。
锐角是指小于90度的角度，钝角则是大于90度的角度。
在直角三角形中，锐角和钝角的和必定为90度。
二、勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时非常有用。
下面我们将介绍几个应用例子：1. 求解缺失的边长当已知一个直角三角形的两腿长度时，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。
例如，如果一个直角三角形的两腿长度分别为3和4，我们可以计算斜边的长度：c = √(3^2 + 4^2) = 5。
2. 判断三角形是否为直角三角形我们可以应用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的边长满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 应用于几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常实用。
例如，当我们知道一个平面上的直角三角形的斜边长度和一个锐角的大小，可以利用勾股定理求解另外两个角的大小。
总结：直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和工具。
直角三角形的特征和勾股定理的原理帮助我们解决各种与三角形相关的问题。
通过合理运用勾股定理，我们可以计算边长、判断三角形类型以及解决几何问题。
深入理解和熟练掌握直角三角形和勾股定理的原理和应用，对于数学学习及实际生活中的几何问题都具有重要意义。
20 直角三角形与勾股定理
第四章 三角形
20 直角三角形与勾股定理
知识盘点
考点一 直角三角形的性质
考点二 直角三角形的判定
考点三 勾股定理的证明
真题探源
► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度：
1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题． 例3 如图22－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙
面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面
爬到柜角C1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最
快到达目的地的可能路径；
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，
求蚂蚁爬过的最短路径的长；
(3)求点B1到最短路是两个矩形ACC1A1和ABC1′D1. 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1′和AC1. (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1′，爬过的路径的长是
l1＝ 42＋（4＋5）2＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是
l2＝ （4＋4）2＋52＝ 89.
l1>l2，最短路径的长是l2＝ 89.
(3)作B1E⊥AC1于E，
则B1E＝BA1CC11·AA1＝
4
20
89·5＝89
89，
即点B1到最短路径的距离为2809 89.
什么是直角三角形和勾股定理
什么是直角三角形和勾股定理直角三角形和勾股定理是数学中常见且重要的概念。
本文将介绍直角三角形和勾股定理的基本定义、性质和应用。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，直角对边为最长边，其他两条边分别称为直角边。
直角三角形的性质有：1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边（即斜边的平方）的平方。
2. 直角三角形的两个直角边的长度可以满足勾股定理，即a² + b² =c²。
二、勾股定理的定义和证明勾股定理是描述直角三角形边长关系的定理，也叫毕达哥拉斯定理。
它可以用以下公式表示：a² + b² = c²。
勾股定理的证明有多种方法，其中最常用的是基于几何图形的证明和代数运算的证明。
几何证明是通过构造几何图形来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是通过在直角三角形的两条直角边上构建正方形，然后利用几何相似性和平行线性质得出结论。
例如，我们可以在直角三角形的直角边上分别构建以a和b为边长的正方形，然后通过几何推理得出这两个正方形加上斜边c所形成的大正方形的面积关系，进而证明a² + b² = c²。
代数证明是通过代数运算来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是通过使用平面直角坐标系。
假设直角三角形的顶点位于坐标原点，斜边c与x轴正方向的夹角为θ，那么顶点所对的两条直角边便可以表示为a = c*cosθ和b = c*sinθ，代入勾股定理可以得到c²*cos²θ +c²*sin²θ = c²，经过简化后即可得到a² + b² = c²。
三、勾股定理的应用勾股定理在解决实际问题时具有广泛的应用。
1. 测量：勾股定理可以用于测量无法直接测得的距离。
通过建立直角三角形，测量已知直角边的长度，就可以利用勾股定理计算出未知边的长度。
直角三角形与勾股定理
FI直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形．2、勾股定理逆定理． 二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2． 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数．简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41．【典例精析】一、勾股定理的证明 例1、《几何原本》中关于勾股定理的证明方法：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，分别以a ，b ，c 为边长向外作正方形，求证：a 2＋b 2＝c 2变式练习：CD 是△ABC 中AB 边上的高，且CD 2=AD •DB ，试说明∠ACB=︒90AA CB AO YB D 例2、如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=︒30，∠ADC=︒60，AD=DC ．证明：222BC AB BD +=二、勾股定理的应用特殊直角三角形的三边之比三边之比为 三边之比为例3、在△ABC 中，∠B=︒45，∠A=︒105，AC=6，求AB 的长．变式练习：如图，已知∠XOY=︒60，M 是∠XOY 内的一点，它到边OX 的距离MA=2，到边OY 的距离MB=11，求OM 的长．DA BBC 例4、如图所示，P 为△ABC 边BC 上一点，且PB PC 2=，已知∠ABC=︒45，∠APC=︒60，求∠ACB 的度数例5、如图，△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 的三条边分别作垂线PD 、PE 、PF(D 、E 、F 为垂足)，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长．三、勾股定理的逆定理例6、在△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．（1）当△ABC 三边分别为6、8、9时△ABC 为 三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时△ABC 为 三角形.（2）猜想：当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为钝角三角形．（3）判断当24==a b ，时，三角形△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．M CD A B B'变式练习：已知△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，BC 边的高为a h ，b h AC 边的高为，b a h b h a ≤≤，且有求△ABC 的三个内角度数．四、用勾股定理建立方程，用方程思想解决实际问题例7、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B ’为CD 边上的点，B ’C=3，将纸片沿某一条直线折叠，使点B 落在B ’处，点A 的对应点为A ’，折痕分别与AD 、BC 边交于点M 、N ，求BN 和AM 的长．变式练习1、如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，求AP 的长为.五、综合运用例8、已知△ABC 中，AC AB例9、在直线l 上摆放着三个正方形，（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a ，b ，斜着放置的正方形的面积为S= ，两个直角三角形的面积之和为 ；（均用a ，b 表示） （2）如图2，小正方形面积S 1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积1m 和2m ，并给出图中四个三角形的面积关系；（3）如图3是由五个正方形所搭成的平面图，T 与S 分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T 与S 的关系式，并说明理由．例10、求9)12(422+-++a a 的最小值B C DAP CD A1997过关测试1．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD'重合，若AP ＝3，则PD 的长等于 ．2．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC4．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 ．5．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是CDA6．如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求AC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD ，求证：BD 2=AB 2+BC 2．BDA。
直角三角形的勾股定理
直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是数学中的一个重要定理，它表明在一个直角三角形中，三条边之间的关系可以通过一个简洁的等式来描述。
在本文中，我们将详细介绍直角三角形的勾股定理，包括定理的内容、推导过程以及实际应用。
一、定理内容直角三角形的勾股定理可以用一个简洁的等式来表示：c²= a²+ b²，其中c表示直角边，a和b表示其他两条边。
这个等式意味着，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方之和。
二、推导过程直角三角形的勾股定理可以通过几何推导和代数推导两种方法得出。
1. 几何推导：通过在直角三角形内部构造一个正方形，可以得到勾股定理的一种几何证明。
具体过程如下：假设直角三角形ABC，其中∠C为直角。
在三角形ABC内部，以边AC为边长，构造正方形ACDE。
连接线段BD，则线段BD的长度等于直角边AC的长度。
平方定理表明，在正方形ACDE中，AC² + AD² = CD²。
由于正方形的特点，AD的长度等于直角边BC的长度，即AD = BC。
代入以上等式，可得AC² + BC² = CD²。
由于直角三角形的两个直角边分别等于AC和BC的长度，所以该等式可以转化成a² + b² = c²，即直角三角形的勾股定理。
2. 代数推导：通过使用平面直角坐标系，将直角三角形的三个顶点表示为坐标点，可以得到勾股定理的另一种代数证明。
具体过程如下：假设直角三角形ABC，其中∠C为直角。
将顶点A表示为坐标原点(0, 0)，顶点B表示为坐标点(b, 0)，顶点C表示为坐标点(0, c)。
则直角三角形的两个边分别可以表示为向量AB和向量AC。
向量AB的坐标为(b, 0)，向量AC的坐标为(0, c)。
根据向量的运算法则，向量的模长等于其坐标的平方和的平方根。
所以有|AB| = √(b² + 0²) = b ，|AC| = √(0² + c²) = c。
“直角三角形”的定理(整理)
“直角三角形”的定理（整理）直角三角形的定理：1. 勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即： AB2 + AC2 = BC斜边2 ）。
2. 两个锐角互余：在直角三角形中，两个锐角的和为90度。
（锐角B + 锐角 C = 90°）。
3. 斜边中线定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
（CD斜边中线 = AD = BD = BC斜边/2 ）。
4. 乘积定理：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。
（即：AB ×AC = BC斜边× AD高）。
5. 射影定理：在直角三角形中，斜边上的高的平方等于另外两边分成的线段的乘积。
（即 AD斜边高2 = BD × DC）。
6. 30度角与斜边的关系：如果一个锐角等于30°，那对应的直角边等于斜边的一半，反之亦然。
7. 相似性定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
拓展：直角三角形的判定方法1.有一个角为90度的三角形是直角三角形。
2.如果三角形的边长满足勾股定理，即（AB2 + AC2 = BC斜边2 ），那么它是一个直角三角形。
3.若一个三角形中30度内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是直角三角形。
4.两个锐角互为余角的三角形是直角三角形。
5.两条直线相交且斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直，构成直角三角形。
6.如果一个三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
7.一个三角形30度角所对的边等于邻边的一半，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形的边长关系
直角三角形的边长关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，被称为直角。
直角三角形的边长关系是指三条边之间的关系，即勾股定理。
勾股定理是数学中的重要定理，它描述了直角三角形的边长之间的数学关系。
本文将详细介绍直角三角形的边长关系及其应用。
一、勾股定理勾股定理是直角三角形中最常用的定理之一，描述了直角三角形的两个直角边（两个与直角相邻的边）的平方和等于斜边（与直角不相邻的边）的平方。
勾股定理可以用数学公式表示如下：c² = a² + b²其中，a和b代表两个直角边的长度，c代表斜边的长度。
例如，如果直角三角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，则斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：c² = 3² + 4²= 9 + 16= 25开平方根得到c的长度为5。
勾股定理可以应用于求解直角三角形中的任意一条边长，只需已知另外两条边长即可。
二、特殊直角三角形在直角三角形中，存在一些特殊的边长关系。
最常见的特殊直角三角形是3-4-5三角形。
这种三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度为5。
3-4-5三角形是勾股定理的一个特例。
还有一些其他的特殊直角三角形，如5-12-13三角形、8-15-17三角形等，它们的边长满足勾股定理。
特殊直角三角形在几何学中有着重要的应用，可以用于简化计算和推导其他平面几何问题。
三、推导直角三角形的边长关系直角三角形的边长关系可以通过勾股定理的推导得出。
假设直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
我们可以利用平方的性质来进行推导。
根据勾股定理，有 c² = a² + b²。
将a²和b²拆分为其因式，得到 c² = (a+b)(a-b)。
再进一步拆分为 (a+b)² - 2ab = (a-b)²。
化简得到 (a+b)² - (a-b)² = 2ab。
直角三角形勾股定理
直角三角形勾股定理在数学中，直角三角形勾股定理是一条非常重要的数学定理。
它揭示了直角三角形中三边之间的关系，为解决与直角三角形相关的问题提供了基础。
直角三角形勾股定理的表述如下：在一个直角三角形中，假设较短的两边的长度分别为a和b，而斜边的长度为c。
那么根据勾股定理可知 c^2 = a^2 + b^2。
这个定理的名字来源于古希腊数学家毕达哥拉斯，他是最早发现这一定理并将其推广开来的数学家之一。
尽管毕达哥拉斯不是第一个提出勾股定理的人，但他对该定理的研究和推广起到了重要的作用。
就像之前所述，直角三角形勾股定理是以直角三角形为前提的。
直角三角形是一种特殊的三角形，在其中有一个角是90度，被称为直角。
其他两个角则是锐角和钝角。
直角三角形是一类非常重要的三角形，它们广泛应用于各种领域，包括物理学、工程学和建筑学等。
在解决与直角三角形相关的问题时，勾股定理是非常有用的工具。
通过使用该定理，我们能够通过已知的两个直角三角形边长来求解第三个边的长度。
此外，它还可以用来判断一个三角形是否是直角三角形。
如果满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形就是直角三角形。
为了更好地理解勾股定理的应用，我们可以通过实际问题举例说明。
假设我们有一块长方形的园地，我们想要找到园地对角线的长度。
我们可以将长方形一分为二，得到两个直角三角形。
然后，我们可以使用勾股定理来计算每个直角三角形的斜边长度，然后将两个结果相加，即可得到对角线的长度。
除了直角三角形勾股定理之外，还有一些相关的定理和公式可以帮助我们解决与直角三角形相关的问题。
例如，正弦定理和余弦定理等。
这些定理和公式可以扩展我们的理解，并帮助我们解决更为复杂的三角形问题。
总结起来，直角三角形勾股定理是解决与直角三角形相关问题的基础。
它揭示了直角三角形中三边之间的关系，提供了求解直角三角形边长的方法。
勾股定理在数学和实际应用中都起着重要的作用，将直角三角形的研究带入了一个新的层面。
直角三角形的勾股定理
直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是数学中一个非常重要且广泛应用的定理。
该定理表明在一个直角三角形中，直角所对的两条边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理可以用数学符号表示如下：在一个直角三角形ABC中，假设边AB为直角边，边AC和边BC 为斜边，且C为直角所在的顶点。
则有以下关系成立：AC² + BC² = AB²勾股定理的证明可以采用多种方法，其中最常见的是基于平面几何和代数几何的证明。
1. 平面几何证明：根据直角三角形的性质，我们可以将三角形ABC放置在一个矩形坐标系中，其中点A位于坐标原点(0,0)，点B位于x轴上的某个点(x,0)，点C位于y轴上的某个点(0,y)。
假设AC = a，BC = b。
根据勾股定理，我们有：a² + b² = AB²另一方面，根据点A、B和C在坐标系中的位置关系，可以得到以下结论：AC = a = xBC = b = y那么勾股定理可以简化为：x² + y² = AB²根据点A、B和C在坐标系中的位置关系，我们可以得到以下两个方程：x² + y² = AB²AC + BC = AB将AC和BC的值代入第二个方程中，我们可以得到：x + y = AB由此可见，当点A、B和C位于坐标系中时，勾股定理可以通过距离公式和坐标系中点之间的距离关系进行证明。
2. 代数几何证明：假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)和C(x₃, y₃)。
根据勾股定理，我们有：AC² + BC² = AB²利用两点之间的距离公式，我们可以得到以下结果：AC² = (x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²BC² = (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²AB² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²将上述结果代入勾股定理的等式中，我们可以得到：(x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)² + (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²展开上式并进行化简，最终可以得到：x₁x₂ + y₁y₂ + x₂x₃ + y₂y₃ + x₃x₁ + y₃y₁ = 0通过以上推导，我们可以看到在代数几何的框架下，勾股定理可以通过点的坐标与距离之间的关系得到证明。
直角三角形的勾股定理
直角三角形的勾股定理直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中有一个重要的定理被称为勾股定理，是三角学中最有名且最基本的定理之一。
勾股定理建立了直角三角形的边之间的关系，它说明了三个边的关系性质。
在这篇文章中，我们将深入研究直角三角形的勾股定理以及它的应用。
勾股定理的表述如下：在直角三角形中，直角所对的两边分别为a和b（a、b为直角边），斜边的长度为c，则有a² + b²= c²。
这个定理可以用来计算直角三角形中任意两边的长度，只要已知其中的一边和另外两个角的大小。
例如，如果知道两条边的长度a和b，并且想要求出斜边的长度c，可以直接套用勾股定理进行计算。
在实际生活中，勾股定理有很多应用。
最常见的例子是用于测量直角三角形中的边长。
例如，如果我们想要知道一个地块的对角线长度，我们可以建立一个直角三角形来测量它。
通过测量两边的长度，我们可以使用勾股定理来计算出对角线的长度。
此外，勾股定理还可以用于解决一些几何问题。
例如，我们可以使用它来确定一个三角形是否是直角三角形。
如果一个三角形的边长满足勾股定理的条件，那么它是一个直角三角形。
勾股定理还可以推广到更高的维度。
在平面几何中，定理仍然有效，但在立体几何中，勾股定理的形式稍有不同。
在三维空间中，定理的表述是a² + b² + c² = d²，其中d是空间直角三角形的对角线长度。
总结来说，勾股定理是解决直角三角形的边长和判断三角形是否为直角三角形的重要工具。
它在数学和几何学中有着广泛的应用。
无论是在实际生活中还是在学术领域中，勾股定理都是一个不可或缺的基础。
通过本文的介绍，我们对直角三角形的勾股定理有了一个更好的了解。
它的形式简单明了，应用广泛。
希望读者通过学习本文，能够更加深入理解和应用勾股定理，提升数学和几何学的能力。
利用勾股定理求直角三角形的边长
利用勾股定理求直角三角形的边长直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
利用勾股定理可以求解直角三角形的边长关系。
勾股定理表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
假设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。
那么根据勾股定理可以得到以下等式：a^2 + b^2 = c^2利用勾股定理可以求解直角三角形的边长。
下面以一个实际例子进行演示。
假设已知直角三角形的两直角边分别为a = 3cm，b = 4cm，我们要求解斜边c的长度。
根据勾股定理，可以得到：3^2 + 4^2 = c^29 + 16 = c^225 = c^2这里我们可以发现，c的平方等于25，所以c等于5。
因此，直角三角形的斜边c的长度为5cm。
通过上述例子，我们可以看出，利用勾股定理可以方便地求解直角三角形的边长。
下面，我们再举一个例子来进一步说明。
已知直角三角形的斜边c = 10cm，一直角边a = 6cm，我们要求解另一直角边b的长度。
根据勾股定理，可以得到：6^2 + b^2 = 10^236 + b^2 = 100b^2 = 100 - 36b^2 = 64这里我们可以发现，b的平方等于64，所以b等于8。
因此，直角三角形的另一直角边b的长度为8cm。
通过以上例子，我们可以总结出利用勾股定理求解直角三角形边长的一般步骤：1. 已知直角三角形的两个边长，求解第三个边长时，将已知边长代入勾股定理的等式中；2. 化简等式，将带有未知数的一边移到等式的一边，将已知数移到等式的另一边；3. 对等式进行简化运算，求解未知数的平方；4. 对得到的未知数的平方进行开方运算，得出未知数的值。
以上就是利用勾股定理求解直角三角形边长的基本方法。
在实际问题中，我们可以根据已知条件灵活运用勾股定理，求解直角三角形的边长。
利用勾股定理，我们可以解决各种与直角三角形有关的实际问题，例如测量建筑物的高度、计算地理距离等。
总之，勾股定理是求解直角三角形边长的重要工具，通过灵活运用该定理，我们可以方便地求解直角三角形的边长关系，从而解决各种实际问题。
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是数学中一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。
下面将对直角三角形和勾股定理进行详细的介绍和论述。
一、直角三角形的定义直角三角形是由一个直角和两个锐角组成的三角形。
直角指的是一个角度为90度的角。
在直角三角形中，直角位于三角形的底边上。
二、勾股定理的表述勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
以三条边分别为a，b，c，直角边长度为c，非直角边的长度为a和b，则有公式：```c^2 = a^2 + b^2```三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
该证明可以用几何方法、代数方法和三角方法进行。
1. 几何证明：通过构造三个相似三角形和应用勾股定理的变形，可以得到勾股定理的几何证明。
2. 代数证明：通过应用平方差公式和对角线平方和的关系，可以得到勾股定理的代数证明。
3. 三角证明：通过应用正弦定理、余弦定理和正切定理等三角函数的关系，可以得到勾股定理的三角证明。
四、勾股定理的应用勾股定理是应用广泛的数学定理之一，具有重要的实际意义。
它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当已知直角三角形中的两条边长时，可以通过勾股定理计算出第三条边的长度。
2. 判断三条边是否能构成直角三角形：根据勾股定理，如果三条边的关系符合勾股定理的条件，则可以判断这三条边能够构成直角三角形。
3. 解决实际问题：勾股定理可以用于计算实际问题中的距离、速度、力的大小等。
五、勾股定理的发展历史勾股定理最早出现在古代的各国数学文化中，但公认的最早发现和使用勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派将勾股定理广泛应用于几何学和数学推理中。
在中国，勾股定理被称为“勾股数学”，早在公元前11世纪的商代时期就已经有了记录。
中国古代的数学家通过勾股定理解决了很多问题，并在勾股定理的基础上发展了许多数学定理和方法。
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直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2016·四川达州·3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）A． B． C． D．【考点】勾股定理的应用．【分析】从点A ，B ，C ，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：∵从点A ，B ，C ，D 中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD ，△ADC ，△ABC 是直角三角形，∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．故选D ．2.（2016·广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于D ，连接CD ，CD ＝( )A 、3B 、4C 、4.8D 、5图2A［难易］ 中等［考点］ 勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质［解析］ 因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC 为直角三角形，因为DE 为AC 边的中垂线，所以DE 与AC 垂直，AE=CE=4，所以DE 为三角形ABC 的中位线，所以DE=12BC =3,再根据勾股定理求出CD=5［参考答案］ D3. （2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是（ ）A．B．C．D．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接OC，由题意可得：OB=2，BC=1，则AC==，故点M对应的数是：．故选：B．4．（2016·山东烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC 分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40° B．70° C．70°或80°D．80°或140°【考点】角的计算．【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO．∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，∠BCD=40°或70°，∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，故选D．5．（2016.山东省威海市，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．6．（2016·江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A ．86B ．64C ．54D ．48【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系．【解答】解：如图1，S 1=AC 2，S 2=BC 2，S 3=AB 2．∵AB 2=AC 2+BC 2，∴S 1+S 2=AC 2+BC 2=AB 2=S 3，如图2，S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=16+45+11+14=86．故选A ．【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角7.（2016·江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是A ．3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。
解析：由两边之和大于第三边，可排除D ；由勾股定理：222a b c +=，当最长边比斜边c 更长时，最大角为钝角，即满足222a b c +<，所以，选C 。
8．（2016·江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．2.5D ．2【考点】几何问题的最值．【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG 得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．故选C．9．（2016•浙江省舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A．B．C．1 D．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AE于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∴DE=BF，∴AF=3﹣DE，∴AE=，∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴，∴AE=AF，∴=3﹣DE ，∴DE=，故选D ．二、填空题1. （2016·湖北黄冈） 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC=3DE=3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP=_______.A P(C) DEB F C（第13题）【考点】矩形的性质、图形的变换（折叠）、30°度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理.【分析】根据折叠的性质，知EC=EP ＝2a=2DE ；则∠DPE=30°，∠DEP=60°，得出∠PEF=∠CEF=21(180°-60°)= 60°，从而∠PFE=30°，得出EF=2EP=4a ，再勾股定理，得 出FP 的长.【解答】解：∵DC=3DE=3a ，∴DE=a ，EC=2a.根据折叠的性质，EC=EP ＝2a ；∠PEF=∠CEF ，∠ EPF=∠C=90°.根据矩形的性质，∠D=90°，在Rt △DPE 中，EP=2DE=2a ，∴∠DPE=30°，∠DEP=60°.∴∠PEF=∠CEF=21(180°-60°)= 60°.∴在Rt △EPF 中，∠PFE=30°.∴EF=2EP=4a在Rt △EPF 中，∠EPF=90°，EP ＝2a ，EF ＝4a ，∴根据勾股定理，得 FP=EP EF 22 =3a.故答案为：3a2. (2016·四川资阳)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，CO⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD=CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD 的面积为；④AD 2+BE 2﹣2OP 2=2DP•PE ，其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．【考点】勾股定理；四点共圆．【分析】①正确．由ADO≌△CEO，推出DO=OE ，∠AOD=∠COE，由此即可判断． ②正确．由D 、C 、E 、O 四点共圆，即可证明．③正确．由S △A B C =×1×1=，S 四边形D C E O =S △D O C +S △C E O =S △C D O +S △A D O =S △A O C =S △A B C 即可解决问题．④正确．由D 、C 、E 、O 四点共圆，得OP•PC=DP•PE ，所以2OP 2+2DP•PE=2OP 2+2OP•PC=2OP （OP+PC ）=2OP•OC ，由△OPE∽△OEC ，得到=，即可得到2OP 2+2DP•PE=2OE 2=DE 2=CD 2+CE 2，由此即可证明．【解答】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC ，CO⊥AB∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，在△ADO 和△CEO 中，，∴△ADO≌△CEO，∴DO=OE，∠AOD=∠COE，∴∠AOC=∠DOE=90°，∴△DOE 是等腰直角三角形．故①正确．②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，∴D、C 、E 、O 四点共圆，∴∠CDE=∠COE，故②正确．③正确．∵AC=BC=1，∴S △A B C =×1×1=，S 四边形D C E O =S △D O C +S △C E O =S △C D O +S △A D O =S △A O C =S △A B C =，故③正确．④正确．∵D、C 、E 、O 四点共圆，∴OP•PC=DP•PE，∴2OP 2+2DP•PE=2OP 2+2OP•PC=2OP（OP+PC ）=2OP•OC，∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，∴△OPE∽△OEC，∴=，∴OP•OC=OE 2，∴2OP 2+2DP•PE=2OE 2=DE 2=CD 2+CE 2，∵CD=BE，CE=AD ，∴AD 2+BE 2=2OP 2+2DP•PE，∴AD 2+BE 2﹣2OP 2=2DP•PE．故④正确．3.（2016·广东梅州）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （23，0），B （0，2），则点B 2016的坐标为______________．答案：（6048，2）考点：坐标与图形的变换—旋转，规律探索，勾股定理。