黑龙江省 2021届数学(理)高三9月月考

高三上学期月考 理科数学试题

一、单选题（每题5分，共60分）

1．已知集合{

}2

1,A y y x x Z ==-∈，{

}

3

sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）

A ．{}1,0,1-

B ．[1,0]-

C ．[1,1]-

D ．{}1,0-

2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020

i 21i

a z =-

-不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．

A ．

127

8 B ．

212 C ．

638

D ．

6332 4．已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22

sin cos 2cos sin αα

αα

=-( ) A ．1 B ．1- C ．27- D ．1

2

-

5．要得到函数()2cos2f x x =的图像，只需将函数()sin 2cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛

⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭的图像（ ）

A ．向左平移

34

π

个单位长度 B ．向左平移

4

π

个单位长度 C ．向左平移

2

π

个单位长度 D ．向右平移

4

π

个单位长度 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2

113234m m m a a a -+-+=，

214038m S -=，则m =（ ）.

A ．1000

B ．1010

C ．1020

D ．1030

7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三

角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A ．189

B ．1225

C ．1024

D ．1378 8. 边长为12的正三角形ABC 中，

E 为BC 中点，

F 在线段AC 上且1

2

AF FC =，若AE 与BF 交于M ，则MA MB ⋅=（ ） A ．-12

B ．27-

C ．152

-

D ．274

-

9．若3cos 22sin(

)4

π

αα=+，3(,

)2

π

απ∈，则sin 2α的值为( ) A ．42

9

-

B ．52

9

-

C ．79

-

D ．

79

10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则

2(log )10f =（ ）

A ．

35

B ．8

C ．35

-

D ．38

-

11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2

2cos

cos 25

2

A C

B -+=，且AB

C ∆的面积为

2

34

b ，则角B =（ ） A ．

π6

B ．

π3

C ．

π6或

5π

6

D ．

π3或2π

3

12．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB mAM =，AN nAD = （m ＞0，n ＞0），则

1

m

n +的最小值为（ ） A ．

22

B ．1

C ．22

D ．2

二、填空题（每题5分，共20分）

13.已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为120，向量1232m e e =-，则m =_____．

14.在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，31

2

a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.

15.若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________． 16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角4

B π

=

且

4sin 4csin csin 4sin a A C a B b B +=+，则ABC ∆的面积的最大值为_____________.

三、解答题（共70分）

17．（共12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2

52

n n n

S +=,*n N ∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()21n n

a

n n b a =+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .

18．（共12分）已知向量()cos ,sin ,(cos ,sin ),105

a b a b ααββ==-=

. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,02

2

π

π

αβ<<-

<<，且5

sin 13

β=-

，求sin α.

19．（共12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1055S S =，64202a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足*12

12

1

1,2n n n b b b n N a a a +

++

=-∈，证明：58

n b ≤ 20．（共12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足

2

4

2cos 1cos cos sin cos 23

C A B A B =-+．