高中数学常见题型解法归纳 绝对值常考题型的解法

高中数学常见题型解法归纳 绝对值常考题型的解法

【知识要点】

一、去绝对值常用的有两种方法.

方法一：公式法 0

||000x

x x x x

x

方法二：平方法 如：||x a = 所以2

2x a .（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a 或

三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+

使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两

个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.

四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.

五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.

【方法讲评】 题型一 解含一个绝对值的不等式 解题步骤

直接利用公式||x a

>||x a x a x a a x a 或解答，当然也可以使用零点

讨论法和数形结合，但是直接使用公式法最简单.

【例1】已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2．

（1）求整数m 的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：m x x ≥-+-31．

(2)即解不等式431≥-+-x x

【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.

【反馈检测1】已知函数2

()|1|f x x =-.

（Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；

（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.

题型二

解含两个绝对值的不等式 解题步骤 一般使用零点讨论法和数形结合法求解. 【例2】已知函数()12f x x x =+-。 （Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；

（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩

则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨

-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩ 解得5x ≤-或7x ≥.

故该不等式的解集是{

5x x ≤-，或}7x ≥.

（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，

即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域.

由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞，

∴2log 1a ≤，解得02a <≤.

【点评】对于形如||||ax b cx d e +++>的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时，要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并”.

【反馈检测2】已知函数()|21||23|.f x x x =++-

（1）求不等式6)(≤x f 的解集；

（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.

题型三

求绝对值函数的最值 解题步骤

直接使用重要绝对值不等式||||||||||||a b a b a b -≤-≤+求解，也可以利用数形结合求解.

【例3】已知函数()|1||3|f x x x =-++.

(1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.

(2)若关于x 的不等式()a 0f x -≤解集不是空集,求实数a 的取值范围.

(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4,

∴实数a 的取值范围为4a ≥.

方法二: |1||3||x 1(x 3)|x x -++≥--+

∴|1||3|4x x -++≥,

【点评】（1）关于x 的不等式()0f x a -≤解集不是空集，即关于x 的不等式()0f x a -≤有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.()f x a 恒成立等价于max (x)f a ，()f x a 有解等价于min (x)f a ，()f x a 恒成立等价于min (x)f a ，()f x a 有解等价于 max (x)f a .

【反馈检测3】已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+.

（1）解不等式|()|5g x <；

（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.

高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲：

绝对值常考题型的解法参考答案

【反馈检测1答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[4,]+∞.

【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）()22f x x ≤+，即2

|1|22x x -≤+，所以22122,1(22),x x x x ⎧-≤+⎪⎨-≥-+⎪⎩ 由2122x x -≤+，解得13x -≤≤；而2

1(22)x x -≥-+的解集为R . 所以原不等式的解集为{|13}x x -≤≤.

【反馈检测2答案】（1）}21|{≤≤-x x ；（2）3a <-或5a >.

【反馈检测2详细解析】（1）原不等式等价于

313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解得322

x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<- 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x