插值及其误差
Ch2_2插值余项与误差估计
一、插值余项
2.2 .3 插值多项式中的误差
从上节可知 , y f ( x )的 Lagrange 插值
Ln ( x )
yl
j0
n
j j
( x)
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0 ,1, , n L n ( x ) f ( x ) 不会完全成立
K ( x)
f
( n 1)
( ) f
( n 1)
( n 1)! ( ) ( n 1)!
所以
R n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
n 1 ( x )
称 R n ( x )为插值多项式 Pn ( x )的余项 ( 截断误差 )
定理1. 设 f ( x )在区间 [ a , b ]上 n 1阶可微
0.0167
0.330365.
由（2.17）,其截断误差
R1 ( x) M2 2
1 2
( x x0 )( x x1 ) ,
1 2 f ( )( x x0 )( x x1 ),
其中
Байду номын сангаас
R1 ( x)
f ( )2 ( x)
M 2 max f ( x) max sin x sin x1 0.3335,
x0 x x1 x0 x x1
于是
R1 (0.3367) sin 0.3367 L1 (0.3367)
1 2
0.3335 0.0167 0.0033
5
0.92 10 .
用抛物插值计算，由公式（2.5）得
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、高斯（GausS等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究一一有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系y f （x）在某些离散点上的函数值：X X） X1 L L X n 1 X n y y。
y1 L L y n 1 y n 插值问题：根据这些已知数据来构造函数y f （x）的一种简单的近似表达式, 以便于计算点X X i，i 0,1,L ,n的函数值f （X），或计算函数的一阶、二阶导数值。
2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示:3、多项式插值 3.1基本概念假设y f(x)是定义在区间a,b 上的未知或复杂函数，但一直该函数在 点a x o X i L X n b 处的函数值y °,y i 丄y “。
找一个简单的函数，例如函数P(x )，使之满足条件P(x) y i ,i 0,1,2,L , n,(3.1)通常把上述X o X 1 L X n 称为插值节点，把P(x)称为f (x)的插值多项式，条件(3.1 )称为插值条件，并把求P(X)的过程称为插值法3.2插值多项式的存在性和唯一性如果插值函数是如下m 次的多项式:那么插值函数的构造就是要确定P m (x)表达式中的m+1个系数ao,a1,L am1,am。
Ch22插值余项与误差估计精
2.2.3插值多项式中的误差一、插值余项从上节可知y = f(x)^JLagrang^值)=0满足厶”3)= /(兀)心0,1,・・・,〃但^xe[a,b] L n M = f(x)不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差，那么我们怎样估计这个截断误差呢？1OI2M切上/Xr)的插值多项式為(x)令& (x) = /(x)-化(x)显然在插值节点为;(心0丄・・/)上&(齐)=/(兀)-出(兀)=o ,t=O,l,--,n因此人(力右巾切上至少有乃+1个零点设R”(x) = K(x)%(x)其中叫+](x) = (x-x t))(A i-召)…仗一占)K(x)为待定函数=0 若W 入辅助换数7") =/(/)-化(/)-K(x)^・|(/) 则有 讽x) =/(朗-化(x)- K(x)%](x) = 0=心兀）-K （x>w 讪（兀）=0 / = 0丄…』因此若令"兀，X ）在区间a 勿上至少伽+2个零点即（P （x ） = 0,倾兀）=0 • i = O.I2・・・M由于巴（X ）和为多项式因此若f （x ）町微则凶）也可微 K12H再由Rolle 定理,矿⑴在区卩％b ） 1:/f 至州个零点 依此类推在区MR"）内至少仃个点^使得卩⑴的舁+1阶导数为零0 E 它）=0 倚）=几 KO- K （x ）由于 0"⑴可曲⑴-於⑷⑴-K （对砒:;”⑴且 张兀）=/（兀）一出（气）一 “讪―（兀） 一心叽Q ） 了理,0（/）在区间（。
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拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
数值分析中的插值误差控制技巧
数值分析中的插值误差控制技巧在数值分析领域中，插值是一种常用的数值逼近方法，用于根据已知数据点的取值来推算未知数据点的取值。
然而，插值过程中存在着误差，这种误差往往会对插值结果的准确性产生影响。
为了有效控制插值误差，数值分析学家们提出了许多技巧和方法，在本文中，我们将介绍一些常见的插值误差控制技巧。
一、构造更高阶的插值多项式传统的插值方法通常使用低阶的插值多项式来逼近函数曲线，这样会导致插值误差较大。
为了有效降低插值误差，我们可以考虑构造更高阶的插值多项式。
高阶插值多项式能够更准确地逼近函数曲线，从而降低插值误差的程度。
二、使用等距节点和非等距节点相结合的插值方法在插值过程中，节点的选择对插值误差有重要影响。
等距节点常常会导致插值误差较大，而非等距节点则可以提高插值的精度。
因此，我们可以采用等距节点和非等距节点相结合的插值方法，以克服等距节点带来的插值误差问题。
三、使用最小二乘拟合在一些情况下，数据点之间的误差较大，直接进行插值可能会导致较大的误差。
为了解决这个问题，我们可以考虑使用最小二乘拟合方法。
最小二乘拟合能够通过对数据进行拟合，得到逼近函数的近似解析表达式，从而有效地降低插值误差。
四、引入辅助函数在某些情况下，我们可以引入辅助函数来改进插值结果。
辅助函数是一种辅助插值多项式的方法，通过引入其他函数的特性可以更好地逼近函数曲线。
这样做不仅可以提高插值的精度，还可以有效地控制插值误差。
五、使用分段插值有时，函数曲线在不同区间上具有不同的特性，此时可以考虑使用分段插值方法。
分段插值将插值区间进行划分，并分别对每个区间进行插值。
这样能够更好地逼近函数曲线，控制插值误差。
总结起来，数值分析中的插值误差控制技巧有多种方法，包括构造更高阶的插值多项式、使用等距节点和非等距节点相结合的插值方法、最小二乘拟合、引入辅助函数以及分段插值等。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适合的方法，以达到控制插值误差的目的。
拉格朗日 插值 区间误差限
拉格朗日插值区间误差限拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。
然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。
一、拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。
具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。
二、插值误差限的计算尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。
在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。
三、拉格朗日插值法的应用示例为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。
假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。
已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。
首先，我们可以根据已知数据点构造拉格朗日插值多项式P(x)，并计算出未知值的近似值。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
拉格朗日插值法理论及误差分析
拉格朗日插值法理论及误差分析首先，我们先来了解一下拉格朗日多项式的基本概念。
对于给定的n个不同的点(xi, yi)，其中xi是x轴上的点，yi是对应的函数值。
拉格朗日多项式的一般形式可以表示为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + y2 * l2(x) + ... + yn *ln(x)其中，li(x)是拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)使用拉格朗日插值法，我们可以根据已知数据点构造出一个多项式L(x)，该多项式在给定数据点上与原始函数的值完全相同。
求解出多项式L(x)后，我们可以通过求解L(x)的值得到在x处的近似值。
然而，在实际应用中，我们常常关注的是拉格朗日插值法的误差分析。
即，我们需要评估插值多项式与原始函数之间的误差有多大。
f(x) - L(x)，≤ M / (n + 1)! * ，(x - x0)(x - x1)...(x - xn)其中，M是在给定区间上的最大值函数M = max，f^(n+1)(x)。
需要注意的是，这个误差上界取决于插值节点的选择，并且对于特定的节点，可以找到与原始函数完全匹配的插值多项式。
进一步地，如果对于给定的k>n，求得插值多项式L(x)的k阶导数，则该导数也可以与原始函数f(x)的k阶导数具有很大的相似性，从而提供了在估计导数时的一种方法。
总的来说，拉格朗日插值法是一种简单而有效的插值方法，可以对给定数据进行插值和近似，而误差分析能够帮助我们评估插值结果的准确程度。
当然，拉格朗日插值法也有其局限性，例如在大数据集上计算困难，并且在边界条件不明确或节点选择不当时会出现振荡。
因此，在具体应用中，我们需要根据实际情况选择合适的插值方法。
如何解决测绘技术中常见的数据插值和插值误差问题
如何解决测绘技术中常见的数据插值和插值误差问题测绘技术在现代社会中扮演着至关重要的角色，它为我们提供了准确的地理数据，帮助我们更好地了解和利用地球的各种资源。
然而，在测绘过程中，常常遇到数据插值和插值误差问题，这给数据的准确性和可靠性带来了很大的挑战。
本文将讨论如何解决测绘技术中常见的数据插值和插值误差问题，以保证测绘数据的质量。
在测绘技术中，数据插值是一种常用的方法，用于推断未测量点的属性。
例如，在绘制地形图时，常常需要根据已知高程点的数据来推断未知地点的高程值。
这时就需要使用插值方法来填补数据的空缺。
然而，数据插值过程中常常会产生误差，影响数据的准确性。
一种常见的数据插值方法是基于统计的插值方法，如Kriging插值。
Kriging插值利用已知点的空间相关性，通过插值方法估计未知点的属性值。
它在数据插值中表现出较高的准确性和可靠性。
然而，Kriging插值过程中，由于需要进行空间相关性的计算，计算量较大，且对数据的要求较高。
因此，在使用Kriging插值方法时，需要注意数据的采样密度和空间相关性的分布情况。
另一种常见的数据插值方法是基于分段函数的插值方法，如样条插值。
样条插值通过将数据划分为若干段，并在每一段内使用分段函数来拟合数据。
这种方法可以较好地保持数据的平滑性，并减小插值误差。
然而，在样条插值过程中，需要确定分段函数的参数，这需要进行数值优化计算。
因此，在使用样条插值方法时，需要注意计算的效率和参数的选择。
除了插值方法的选择外，数据插值过程中常常还会遇到插值误差的问题。
插值误差指的是由于插值方法的近似性质和计算精度的限制而产生的误差。
为了减小插值误差，可以采取以下措施：首先，可以增加数据的采样密度。
数据的采样密度越大，插值结果的准确性和可靠性就越高。
因此，在测绘过程中，需要尽可能获取更多的数据点，以提高数据的密度。
其次，可以合理选择插值方法的参数。
不同的插值方法存在不同的参数，选择合适的参数可以减小插值误差。
三角Bezier曲线插值及其误差分析
和函数值 ＿ ，导 出了三次三 角 Ｂ ｚ ｒ曲线插值 算法，并对插值 的整体误差和节点 区间 厂 ） （ ４ｉ ｅ
［，＋ 内的误 差进行 了分析估 计 ；最后 给 出的应 用 实例验 证 了上 述结论 。 。 】
关
键
词：计算机应用；曲线插值 ；三角多项式；Ｂ ｚ ｒ ｔｉ 曲线 ｅ
文 章 编 号 ：１０ —１８２０ ）２００ —５ ０ ３０５ （０ ７０—１４０
中图分 类号 ：Ｔ １ ２ ４ ＿ Ｐ３ ． ；Ｏ ２ １ ９７ ３
Байду номын сангаас
文献 标识 码 ：Ａ
Ｔｒｇ ｎ ｍ ｅ ｒｃＰｏ ｙ ｏ ｉ ｌ ｚｅ ｒ ｅＩ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ＩｓＥｒ ｏ ａ ｙ ｉ ｉｏ ｏ ｔ ｉ ｌ ｎ ｍ ａ Ｂｔ ｉ ｒＣｕ ｖ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ｎ ｔ ｒ ｒ Ａｎ ｌ ｓｓ
ＣＵｒ ｒ ￣ｅ
Ｂ ｚ ｒ曲线 是 计 算机 辅 助 几 何 设 计 中 的一 ６ｉ ｅ
插 值 问题 。 献 ［】 出了 Ｂ ｚ ｒ曲线 的三 角 多项 文 ３给 ６ｉ ｅ 式 形式 ，在此 基础 上 ，该文 给 出三 次三 角 Ｂ ｚｅ ｔｉ ｒ
类重 要 曲线 ，文献 ［】 绍 了三 次 Ｂ ｚｅ １介 ６ｉ ｒ曲线插 值 ，文 献 【】 绍 了三次 Ｂ ｚ ｒ ２介 ６ｉ 曲线 的保 凸插 值 ， ｅ 但难 以解 决一端 曲率 为 ０ ，另 一端 曲率 比较大 的
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２ ０ 年 ０７
工 程 图 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＥＮＧＩ ０Ｆ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＧＲＡＰＨＩ ＣＳ
２ ０ ０ ７
ＮＯ２ ．
第 ２期
三角 Ｂ ｚｅ ６ｉ ｒ曲线插值及其误差分析
数值分析中的插值误差控制技巧探讨方向
数值分析中的插值误差控制技巧探讨方向数值分析是应用数学的一个分支，它研究利用数值方法解决数学问题的理论和算法。
其中，插值是数值分析中常用的技术之一，它通过已知数据点来估计未知数据点的值。
然而，插值过程中会引入一定的误差，因此探讨插值误差控制技巧对于优化数值计算过程具有重要意义。
本文将就数值分析中插值误差的控制技巧进行探讨，并介绍一些常用的方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值中常用的一种方法。
它通过已知的n个数据点来构造一个n次多项式，进而估计未知数据点的值。
然而，拉格朗日插值法在一些情况下可能会产生较大的误差。
为了降低插值误差，可以考虑以下几种技巧：1.1 均匀插值节点选择拉格朗日插值法中，节点的选择对插值结果的精度有较大影响。
一种常见的节点选择方式是均匀插值节点，即在插值区间上等距取点。
然而，均匀插值节点在某些函数上可能会产生较大的插值误差。
因此，在实际应用中，可以考虑非均匀插值节点选择，如Chebyshev节点，以减小插值误差。
1.2 引入高次插值多项式拉格朗日插值法是通过构造n次多项式来插值估计。
然而，低次多项式在某些情况下可能无法满足精度要求。
为了降低误差，可以考虑使用高次插值多项式。
通过增加多项式的次数，可以提高插值结果的精度，但也需要注意过高次数可能会引入过拟合问题。
二、牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法。
与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法采用了差商的概念，可以简化计算过程。
然而，在插值过程中，牛顿插值法可能存在一些误差。
为了降低误差，可以考虑以下技巧：2.1 计算插值节点的差商时，采用高阶差商牛顿插值法中，通过计算差商来构建插值多项式。
一般而言，差商越高阶，插值精度越高。
因此，在计算差商时，可以考虑采用高阶差商来提高插值精度。
2.2 选择适当的插值节点与拉格朗日插值法类似，牛顿插值法中节点的选择也对插值结果有一定影响。
在实际应用中，可以根据函数的性质来选择合适的插值节点，以减小插值误差。
数值计算中的插值误差和截断误差分析
在数值计算中，插值误差和截断误差是两个重要的概念。
插值误差是指使用插值方法对函数进行逼近时，所引入的误差；而截断误差则是指数值计算方法所带来的误差。
本文将对插值误差和截断误差进行详细的分析和解释。
首先，我们从插值误差开始讨论。
插值是一种通过已知数据点的函数值来近似计算未知数据点的函数值的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
但无论使用何种插值方法，都会引入一定的误差。
这是因为通过有限多个数据点进行逼近，很难完全还原出原函数的形状。
插值误差可以通过理论上的分析或数值计算方法进行估计。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，对于插值节点x0, x1, ..., xn，我们希望通过这些节点来近似计算函数在其他位置的值。
利用插值方法可以构造一个插值多项式p(x)，近似地代替原函数f(x)。
那么插值误差就是f(x)和p(x)之间的差值，即插值误差e(x) = f(x) - p(x)。
插值误差的分析可以通过拉格朗日插值公式进行。
对于任意x，通过拉格朗日插值公式可以计算出插值多项式p(x) = ∑f(xi) * L(x)，其中L(x)是拉格朗日基函数。
然后可以通过将插值多项式代入插值误差公式，得到具体的误差表达式。
例如对于拉格朗日插值，插值误差可以表示为e(x) = [f(x)/((n+1)!)] * (x-x0)(x-x1)...(x-xn)。
接下来，我们来讨论截断误差。
截断误差是指数值计算方法所带来的误差，它是通过对原函数进行逼近的方法，例如泰勒级数展开。
截断误差会随着逼近程度的提高而减小，但是无法完全消除。
截断误差主要是由于原函数无法通过有限的项来精确表达。
以泰勒级数展开为例，假设函数f(x)在点a处的各阶导数存在。
那么对于给定的x，通过泰勒级数展开可以得到f(x)的近似值。
但是由于截断误差的存在，通过有限阶的泰勒级数展开无法完全还原出原函数的形状，因此会引入一定的误差。
截断误差的分析可以通过泰勒级数展开公式进行。
第6章 实验五插值多项式的误差
第6章 实验五插值多项式的误差实验目的：明确插值多项式逼近函数是有误差的，了解误差的分布，哪些地方误差大些，哪些地方误差小些。
我们应该如何控制这些误差。
6.1 插值误差余项多项式举例说明多项式插值误差情况，用ππ≤≤-x 上的5个等距点对函数)cos(x y =进行插值估计，插值多项式是通过以下给定的数据点的四次多项式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππ,2,0,2,x[])sin(),2/sin(),0sin(),2/sin(),sin(ππππ--=y误差定义为：)()cos()(4x L x x e -=),())(cos(!5))(2/)(0)(2/)(()5(ππξξππππ-∈---++=x x x x x其中)(x e 是插值余项，)(4x L 是5个数据点的拉格朗日插值多项式。
图6.1是函数和误差的图形，可以观察到误差曲线是震荡的，它的值在接近端点的区间上最大，这种误差特性在等距多项式插值中十分典型，误差分布形状上的变化还取决于被插函数的性质及插值区间的大小a b -。
-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8xc o s (x ) e (x )图6.1 函数和误差曲线的图形清单6.1 （是作图6.1的程序）clear clcx=[-pi,-pi/2,0,pi/2,pi]; % 插值节点横坐标 y=[cos(-pi),cos(pi/2),cos(0),cos(pi/2),cos(pi)]; % 插值节点纵坐标 x1=-pi:0.001:pi; % 绘图点的横坐标 y1=Lagran_(x,y,x1); % 绘图点的纵坐标 e=cos(x1)-y1; % 插值误差 y2=e;plot(x,cos(x),'.',x1,cos(x1),'b',x1,y2,'r') % 绘出两个函数曲线图形 xlabel('x');ylabel('cos(x) e(x)') text(1.2,0.6,'cos(x)','fontsize',18) text(-1.1,-0.1,'e(x)=cos(x)-y','fontsize',18)一般分析插值的误差：),()()!1()())(()(11)1(121+++∈+---=n n n x x f n x x x x x x x R ξξ)(m a x )!1()())(()()1(),(12111ξξ+∈+++---≤n x x n f n x x x x x x x R n 如果当被插值)(x f 是一个n 阶或更低阶多项式，则)(x R =0，即误差为零。
面向修复过程的B样条曲线插值及其误差分析
风 ） （ ＝ １
Ｂ ． ＝ （Ｕ ６ ２ ） ・ ３ ） ３ ｕ ＋４
Ｂ，“ ＝ｌ（ ２（） ３
－
（） ２
样 条 曲线 插 值 。另 一 种 是 曲 线 逼 近 ，如 最 小 二 乘 法 逼 近 。
曲线 只 是 对 采 样 点 进 行有 权 逼 近 ，它 不 一 定 要 求 所 有 的采
３ ＋３ ２ ３ ＋１ ｕ ｕ ＋“ ）
州 式 中表 示 的基 函数 分 属 四条 Ｂ样 条 ，但 处 于 相 同的 节
样 点 都 落 在 目标 曲 线 上 ．而 只 需 要 重 构 曲线 满 足 用 户 的 反 求 设 计 要 求 即 可 。逼 近 曲 线 虽 然 比 插 值 曲线 的 精 度 要 低 ， 但 是 逼 近 曲线 会 过 滤 掉 那 些 无用 的数 据 点 。 本 文 针 对磨 损 零 件 在 修 复 过 程 中的 模 型 重 构 问 题 ． 开 展 磨 损 区 域 的 曲线 重 构 研 究 。 基 于 磨 损 零 件 的 测 量 点 信
中 图 分类 号 ：Ｔ ３ １ ２ Ｐ９． ． ７ 文献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １０ — ４ ２ 【０ ０ ０ ０ ５ 一 ３ ０ ９ ９ ９ ＇ １）１－ ０ ４－ ２ 一 ０
１引 言
复杂 曲面 零 件 的精 密 修 复 是 当今 零 件 修 复 的 难 点 。就
像 涡 轮 叶 片顶 端 磨 损 的修 复 ，其 步骤 一般 为先 用 等 离 子 电
｝广 东 省科 技 攻 关 项 目 （ 号 ：２ ０ Ｂ １ ９０ ４ ） 高 校博 士 学 科 点 专 项 科研 基金 基金 （ 号 ：２ ０ ４ ２ １００１ 编 ０ ９ ０ ０ ００ ８ ； 编 ０ ９ ４ ０ ０ ） １ 收 稿 １ ：２ １ —４ ｌ ３期 ０００一２
数字示波器中插值算法误差的分析
数字示波器中插值算法误差的分析作者：张慧来源：《价值工程》2010年第34期摘要：本文主要介绍了插值算法在数字存储示波器中的应用,通过编程和仿真分析了利用正弦插值对几种不同波形的恢复结果,计算和比较了相关的均方误差。
Abstract: This paper introduces the application of interpolation algorithm to digital oscillograph.According to programming and simulation, the instauration results of sinc interpolation for form of some kinds of waves are compared, and the RMS errors are computed and analysed.关键词：数字存储示波器；正弦插值；线性插值；均方误差Key words: digital oscillograph；sinc interpolation；linearity interpolation；RMS errors中图分类号：TN911.72文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）34-0168-020引言在理论上，对于一个带宽受限信号，只要用高于该信号最高频率2倍的采样频率对其采样，就可以用采样后得到的样本值不失真地恢复原始信号[1]。
虽然采样定理中只要满足采样速率大于等于两倍的信号频率就可以恢复被采样信号，但实际采样时，每周期要采到25点，才能较好的恢复被采样信号的波形，所以，在数字示波器的较高扫速档（采样速率较高的档），要将采样数据插值处理后，才送到屏幕显示波形[2]。
1线性插值线性插值是在两个采样点之间插入一点，用直线将采样点和插值点连接起来[3]。
插入点的数据y（t）可用下式进行计算：y（t）=×y（t）+×y（t）其中t1、t2为相邻两采样点的时刻。
数值分析中的插值误差估计方法改进
数值分析中的插值误差估计方法改进在数值分析领域中，插值是一种重要的数值逼近方法，用于根据给定的数据点集合来构建一个函数。
然而，插值过程可能会引入误差，而误差的估计对于评估插值结果的准确性至关重要。
本文将探讨数值分析中的插值误差估计方法，并提出一种改进的方法。
一、传统的插值误差估计方法在传统的数值分析中，常用的插值误差估计方法包括理论误差估计和实际误差估计。
1. 理论误差估计理论误差估计方法是基于插值理论的推导，通过分析插值函数与原函数之间的差异来估计误差。
其中最常见的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
这些方法能够给出误差的上界，但并不能提供实际误差的具体数值。
2. 实际误差估计实际误差估计方法是基于给定的数据点来计算插值函数在数据点处的误差。
最常见的方法是残差法。
残差法通过计算插值函数在数据点处的残差来估计误差。
但由于数据点有限，残差法并不能准确反映插值函数在整个区间上的误差情况。
二、改进的插值误差估计方法为了改进传统的插值误差估计方法，我们可以考虑以下两种改进方法。
1. 区间误差估计传统的插值误差估计方法大多只考虑了插值函数在给定数据点处的误差，没有对整个插值区间内的误差进行估计。
为了更准确地评估插值结果的误差，我们可以采用区间误差估计方法。
区间误差估计方法通过将插值区间划分为若干个小区间，并在每个小区间内估计误差，然后将这些误差进行累加或求平均来得到整个插值区间的误差估计。
2. 自适应误差估计在传统的插值误差估计方法中，我们一般会事先给定一个误差限制，并根据这个限制来选择插值节点。
然而，在实际问题中，我们往往无法事先确定一个合适的误差限制。
为了解决这个问题，我们可以采用自适应误差估计方法。
自适应误差估计方法通过不断调整插值节点的密度，从而使得插值误差在整个插值区间上保持在一个可接受的范围内。
这种方法可以根据实际需要自动调整误差限制，并提供一个更准确的误差估计。
三、结论插值误差估计是数值分析中一个重要的课题，对于提高插值结果的准确性和稳定性具有重要意义。
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
数值分析中的插值误差控制技巧
数值分析中的插值误差控制技巧数值分析是一门研究如何用计算机来解决数学问题的学科，其中插值是其中重要的一个部分。
插值是一种通过已知点之间的函数值来估计其他点上函数值的方法。
在插值过程中，控制误差是至关重要的。
本文将介绍一些数值分析中常用的插值误差控制技巧。
1. Lagrange插值多项式Lagrange插值多项式是一种常用的插值方法，其基本思想是通过已知的n个数据点构造一个n次多项式，并用该多项式来逼近未知点上的函数值。
然而，由于插值多项式的次数较高，可能会导致龙格现象，即在边缘数据点处出现极大的振荡。
为了控制误差，可以通过限制插值多项式的次数或者选取合适的节点来减小插值误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是另一种常用的插值方法，其特点是可以通过差商来递推地构造插值多项式。
相比于Lagrange插值，牛顿插值在计算上更为高效。
为了控制误差，可以利用插值节点的分布来提高插值多项式的逼近性能。
此外，还可以使用割裂余项来估计插值误差，从而进行误差控制。
3. 分段插值分段插值是一种将插值区间划分为若干子区间，然后在每个子区间内进行插值的方法。
通过合理地选择子区间的位置和插值方法，可以在整体上减小插值误差。
常见的分段插值方法包括分段线性插值、分段三次样条插值等。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的分段插值方法来控制误差。
4. 拉格朗日余项在插值问题中，拉格朗日余项是一种用来估计插值误差的重要工具。
拉格朗日余项可以帮助我们分析插值多项式与原函数之间的误差，从而指导我们如何调整插值方法来控制误差。
通过仔细分析拉格朗日余项，我们可以找到误差的来源，并采取相应的措施来降低误差。
总之，插值误差控制是数值分析中的一个重要问题。
通过合理地选择插值方法、插值节点以及分析插值余项，我们可以有效地控制插值误差，提高插值的准确性和稳定性。
希望本文介绍的插值误差控制技巧对您有所帮助。
插值及其误差
插值及其误差用表中的数据和任一插值公式求： （1）用tan x 表格直接计算tan 5。
（2）用sin 5和cos 5来计算tan 5。
并讨论这两个结果中误差变化的原因。
插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
1 插值方法下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。
其基本问题是：已知函数()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 处的函数值()()0,1,,i i y f x i n ==，求一个至多n 次多项式()01n n n x a a x a x ϕ=+++（1）使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件()()n i i i x f x y ϕ==（2）()n i x ϕ称为插值多项式，()0,1,,i x i n =称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插值区间。
从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,iix f x i n =，作一条多项式曲线()n y x ϕ=近似曲线()y f x =。
n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程010000111101nn n n n nn n na a x a x y a a x a x y a a x a x y ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（3）记此方程组的系数矩阵为A ，则()01111det 1nnn nnx x x x A x x =是范德蒙特(Vandermonde)行列式。
当01,,,n x x x 互不相同时，此行列式值不为零。
因此方程组（3）有唯一解。
这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。
插值多项式与被插函数之间的差()()()n n R x f x x ϕ=-称为截断误差，又称为插值余项。
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（1）用tan x 表格直接计算tan 1.569 5。
（2）用sin 1.569 5和cos 1.569 5来计算tan 1.569 5。
并讨论这两个结果中误差变化的原因。
插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
1 插值方法下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。
其基本问题是：已知函数()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 处的函数值()()0,1,,i i y f x i n ==，求一个至多n 次多项式 ()01n n n x a a x a x ϕ=+++（1）使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件()()n i i i x f x y ϕ==（2）()n i x ϕ称为插值多项式，()0,1,,i x i n =称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插值区间。
从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,i i x f x i n =，作一条多项式曲线()n y x ϕ=近似曲线()y f x =。
n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程010000111101nn n n n nn n na a x a x y a a x a x y a a x a x y ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（3）记此方程组的系数矩阵为A ，则()01111det 1n nn nnx x x x A x x =是范德蒙特(Vandermonde)行列式。
当01,,,n x x x 互不相同时，此行列式值不为零。
因此方程组（3）有唯一解。
这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。
插值多项式与被插函数之间的差()()()n n R x f x x ϕ=-称为截断误差，又称为插值余项。
当()f x 充分光滑时，()()()()()()()()11,,1!n n n n f R x f x L x x a b n ξωξ++=-=∈+其中()()10nn j j x x x ω+==∏-。
1.1.2 拉格朗日插值多项式实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数()()()()()()()()()()0110110,0,1,,i i n i i i i i i i n nj j i jj ix x x x x x x x l x x x x x x x x x x x i n x x -+-+=≠----=-----=∏=-()i l x 是n 次多项式，满足 ()01i j j i l x j i≠⎧=⎨=⎩令()()000nnn jn i i i j i i i j j i x x L x y l x y x x ===≠⎛⎫- ⎪==∏⎪-⎝⎭∑∑（4） 上式称为n 次 Lagrange 插值多项式，由方程（3）解的唯一性，1n +个节点的n 次Lagrange 插值多项式存在唯一。
1.1.3 用Matlab 作Lagrange 插值Matlab 中没有现成的Lagrange 插值函数，必须编写一个M 文件实现Lagrange 插值。
设n 个节点数据以数组0,0x y 输入，m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m 个插值。
编写一个名为lagrange.m 的M 文件： function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;for j=1:n if j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; endsin 1.5695=0.9999991749999999 cos 1.5695=0.001296300000000056 tan 1.5695=819.0342874999274 1.2 分段线性插值1.2.1 插值多项式的振荡用Lagrange 插值多项式()n L x 近似()f x ()a x b ≤≤，虽然随着节点个数的增加，()n L x 的次数n 变大，多数情况下误差()n R x 会变小。
但是n 增大时，()n L x 的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。
理论上，当n →∞，在[],a b 内并不能保证()n L x 处处收敛于()f x 。
Runge 给出了一个有名的例子：()[]21,5,51f x x x=∈-+对于较大的x ，随着n 的增大，()n L x 振荡越来越大，事实上可以证明，仅当3.63x ≤时，才有()()lim n n L x f x →∞=，而在此区间外，()n L x 是发散的。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
1.2.2 分段线性插值 简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作()n I x ，它满足()n i i I x y =，且()n i i I x y =在每个小区间[]1,i i x x +上是线性函数()0,1,,i n =。
()n I x 可以表示为()()0nn i i i I x y l x ==∑()[]()[]()1-11+11+1,,0,,0,i i i i i i i i i i i x x x x x i x x x x l x x x x i n x x --+-⎧∈=⎪-⎪⎪-=∈=⎨-⎪⎪⎪⎩时舍去时舍去其它()n I x 有良好的收敛性，即对于[],x a b ∈， ()()lim n n I x f x →∞=用()n I x 计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。
但n 越大，分段越多，插值误差越小。
实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。
1.2.3 用Matlab 实现分段线性插值用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函数interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')method 指定插值的方法，默认为线性插值。
其值可为： 'nearest' 最近项插值 'linear' 线性插值'spline' 逐段3次样条插值 'cubic' 保凹凸性3次插值。
所有的插值方法要求x0是单调的。
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
1.3 样条插值许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
1.3.1 样条函数的概念所谓样条（Spline ）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。
绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。
具体地说，给定区间[],a b 的一个分划011:n n a x x x x b -∆=<<<<=如果函数()s x 满足：（1）在每个小区间[]()1,0,1,,1i i x x i n -=-上()s x 是k 次多项式；（2）()s x 在[],a b 上具有1k -阶连续导数。
则称()s x 为关于分划∆的k 次样条函数，其图形称为k 次样条曲线。
01,,,n x x x 称为样条节点，121,,,n x x x -称为内节点，0,n x x 称为边界点，这类样条函数的全体记做(),P S k ∆，称为k 次样条函数空间。
显然，折线是一次样条曲线。
若()(),P s x S k ∈∆，则()s x 是关于分划∆的k 次多项式样条函数。
k 次多项式样条函数的一般形式为()()1!k!ikn k i ik j i j x s x x x i αβ-+===+-∑∑其中()0,1,,i i k α=和()1,2,,1j j n β=-均为任意常数，而()()(),,1,2,,10,kkj jj j x x x x x x j n x x +⎧-≥⎪-==-⎨<⎪⎩ 在实际中最常用的是k =2和3的情况，即为二次样条函数和三次样条函数。
二次样条函数：对于[],a b 上的分划011:n n a x x x x b -∆=<<<<=，则()()()12222010,22!2!n ij P j s x x x x x S βααα-+==+++-∈∆∑（5）其中()()()22,,1,2,,10,j j j j x x x x x x j n x x +⎧-≥⎪-==-⎨<⎪⎩。
三次样条函数：对于[],a b 上的分划011:n n a x x x x b -∆=<<<<=，则()()()1323323010,32!3!2!n ij P j s x x x x x x S αβααα-+==++++-∈∆∑（6）其中()()()33,,1,2,,10,j jj j x x x x x x j n x x +⎧-≥⎪-==-⎨<⎪⎩。
利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。
例如分段线性插值是一次样条插值。
下面我们介绍二次、三次样条插值。
1.3.2 二次样条函数插值首先，我们注意到()()2,2P s x S ∈∆中含有2n +个特定常数，故应需要2n +个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类： 问题（1）：已知插值节点i x 和相应的函数值()0,1,,i y i n =以及端点0x （或n x ）处的导数值0'y （或）'n y ，求()()2,2P s x S ∈∆使得()()()()()22000,1,2,,''i i n n n s x y i n s x y s x y ==⎧⎪⎨==⎪⎩或（7） 事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的。