《圆锥的侧面积和全面积》练习题

达标训练

基础·巩固·达标

1．圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为__________cm ，高为_________cm ，侧面积为__________cm 2. 提示：圆的面积为 S=πr 2，所以 r=

∏∏25=5(cm)；圆锥的高为22513-=12(cm)；侧面积为 21×10π·13=65π(cm 2).

答案：5 12 65π

2.圆锥的轴截面是一个边长10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2，锥角为

_________，高为__________cm.

提示：S 侧面积=2

1×10π×10=50π(cm 2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高. 答案：50π 60° 35

3.已知Rt △ABC 的两直角边AC =5 cm ，BC =12 cm ，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为___________cm 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________cm ，面积为_________cm 2

.

提示：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，母线长为13 cm.利用公式计算. 答案：65π 10π 65π 4.如图24-4-16，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.

图24-4-16

提示：圆锥的全面积为侧面积加底面积.

答案：16π

5.若圆锥的底面直径为6 cm ，母线长为5 cm ，则它的侧面积为___________.（结果保留π） 提示：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则r=3 cm ，l=5 cm ，

∴S 侧=πr ·l=π×3×5=15π（cm 2）.

答案：15π

6.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为（）

A.a

B. a 33

C.3a

D.23a 提示：展开图的弧长是a π，故底面半径是2

a ，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形.答案：D

7.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（）

A.6 m 2

B.6π m 2

C.12 m 2

D.12π m 2 提示：侧面积=21底面直径·π·母线长=21×4×π×3=6π(m 2). 答案：B

8．在Rt △ABC 中，已知AB =6，AC =8，∠A =90°.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2.那么S 1∶S 2等于（）

A.2∶3

B.3∶4

C.4∶9

D.5∶12

提示：根据题意分别计算出S 1和S 2即得答案.在求S 1和S 2时，应分清圆锥侧面展开图（扇形）的半径是斜边BC ，弧长是以AB （或AC ）为半径的圆的周长.

∵∠A =90°，AC =8，AB =6，

∴BC =222268+=+AB AC =10.

当以AC 为轴时，AB 为底面半径，S 1=S 侧＋S 底=πAB ·BC ＋πAB 2=π×6×10＋π×36=96π.

当以AB 为轴时，AC 为底面半径，S 2=S 侧＋S 底=80π＋π×82

=144π.

∴S 1∶S 2=96π∶144π=2∶3，故选

A . 答案：A 综合·应用·创用

9．一个圆锥的高为33 cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的全面积.

提示：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开图中扇形的弧长,锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.

解：如图，AO 为圆锥的高，经过AO 的截面是等腰△ABC ，则AB 为圆锥母线l ，BO 为底面半径r.

（1）因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl ，则

r

l =2； （2）因

r l =2，则有AB =2OB ，∠BAO =30°，所以∠BAC =60°，即锥角为60°. （3）因圆锥的母线l ，高h 和底面半径r 构成直角三角形，所以l 2=h 2＋r 2；又l=2r ，h=33 cm ，则r=3 cm ，l=6 cm.

所以S 表=S 侧＋S 底=πrl ＋πr 2=3·6π＋32π=27π（cm 2

）.

10．已知圆锥底面直径AB =20，母线SA =30.C 为母线SB 的中点.今有一小虫沿圆锥侧面从A 点爬到C 点觅食.问它爬过的最短距离应是多少？

提示：小虫沿圆锥侧面从A 点爬到C 点，其轨迹是空间的一条曲线，且在一曲面上.依题意画出圆锥的侧面展开图，如图所示.不难看出，母线S B 把扇形分成相等的两部分.从A 点到C 点的线段AC 的

长度就是所求的最短距离.

答案： 315. 回顾·热身·展望 11．（2010东北师大附中月考） 如图24-2-17①，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图24-2-17②所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系是（ ）

A.R=2r

B.R=94r

C.R=3r

D.R=4r

图24-2-17

答案： D 12．（河北模拟） 如图24-4-18，已知圆锥的母线长OA =8，地面圆的半径r =2.若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是__________.（结果保留根式）

图24-4-18

提示：如右图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是

︒∏

︒⨯∏⨯⨯90818022＝，连接AB ，则△AOB 是等腰直角三角形，OA =OB =8，所以AB =288822＝+.

答案：28 13.(江苏南通模拟) 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为 4 cm ，则它的侧面积为__________cm 2（结果保留π）.

提示：S 圆锥侧=21×2×π×2

1×4×4=8π. 答案：8π

14.(四川内江课改区模拟) 如图24-1-19，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是____________ｍ.（结果不取近似数）

图24-4-19 提示：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的P B （如图）.

则扇形的圆心角为6

6180⨯∏⨯∏⨯=180°.因为P 在AC 的中点上， 所以∠P AB =90°.在Rt △P AB 中，P A =3，AB =6，

则P B =533622＝+.