《基础拓扑学试卷》

《基础拓扑学试卷》

试卷2

一、填空题（每小题2分，共20分）

1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________.

2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________.

3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间.

4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点.

5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________.

6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=.

7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________.

8. 设12n X X X X =⨯⨯⨯为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间.

9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间.

10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________.

二、单项选择题 (每小题2分, 共20分)

11. 设:,,f X Y A B Y →⊂, 则下面不正确的命题是（ ）

A. 1(())A f f

A -= B. 111()()()f

A B f A f B ---= C. 111()()()f

A B f A f B ----=- D. 111()()

()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ⊂, 则下面不正确的命题是( ) A. d

d B A ⊂ B. 00B A ⊂

C. B A ''⊂

D. B A ⊂

13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( )

A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一.

B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.

C. 若X 是第一可数的, 则{}n x 的极限唯一.

D. 若X 是正则空间, 则{}n x 的极限唯一.

14. 设集合{0,1,2}X =, 那么下面不是X 上的拓扑的集族是( )

A. {{1},{1,2},,}X φ

B. {{0},,}X φ

C. {{2},{2,0},{0,1},,}X φ

D. {{1},{1,2,0},{2,1},}φ

15. 设X 为拓扑空间, 下面不正确的命题是( )

A. 若X 是第二可数的, 则X 是第一可数的.

B. 若X 是第二可数的, 则X 是可分的.

C. 若X 是可分的度量空间, 则X 是Lindel öf 的.

D. 若X 是Lindel öf 的空间, 则X 是可分的.

16. 对任意集合,,X Y Z , 下面命题正确的是( )

A. 若card X ≤card Y, 则X 是Y 的子集.

B. 若X 是Y 的子集, 则card X ≤card Y .

C. 若X 是Y 的子集, 则card X

D. 若X Y ≠, 则card X ≠card Y .

17. 设X 为拓扑空间, 下面正确的命题是( )

A. 若X 是正规空间, 则X 是1T 空间.

B. 若X 是0T 空间且正则, 则X 是1T 空间.

C. 若X 是正则空间, 则X 是1T 空间.

D. 若X 是完全正则空间, 则X 是1T 空间.

18. 设X 为拓扑空间, A 是X 的子集, 下面不正确的命题是( )

A. A 是列紧的当且仅当A 是序列紧的.

B. 若A 是序列紧的, 则A 是可数紧的.

C. 若A 是可数紧的, 则A 是列紧的.

D. 若A 是紧的, 则A 是列紧的.

19. 设1(,)X τ, 2(,)Y τ为拓扑空间, 关于X Y ⨯的积拓扑τ, 12,p p 分别是X Y ⨯到X 和Y 的投射, 则下面不正确的命题是( )

A. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个基.

B. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个子基.

C. 11

1122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个基.

D. 111122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个子基.

20. 设X 为拓扑空间, R 为实数空间, 则:f X →R 为连续映射的充分必要条件是( ) Ａ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈<<是X 的开集.

Ｂ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈≠是X 的开集.

Ｃ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈<是X 的开集.

Ｄ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈≤≤是X 的闭集.

三、简答题 (每小题5分, 共20分)

21. 证明n 维实数空间n R 的每一个子空间都是可分空间.

22. 证明:若X 是3T 空间, 则X 是2T 空间.

23. 证明:在一维实数空间R 的子空间[0,5)中, [0,2)是开集.

24. 叙述度量的定义.

四、反例论证题 (本题10分)

25. 举例说明存在这样的一个集合X 和X 上的两个拓扑1τ和2τ, 使得1

2ττ不是X 上的一个拓扑.

五、论证题 (每小题15分, 共30分)

26. 证明:若A 是2T 空间中的紧集, 则A 是闭集.

27. 设,X Y 为拓扑空间, 映射:f X Y →是一个满的连续开映射, X 满足第二可数性公理, 则Y 也满足第二可数性公理. 请证明.