电磁学_静电场_16静电场的唯一性定理
关于静电场唯一性定理的讨论
关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理学中一个重要的定理，它规定了一个静电场的特性，即在一个静电场中，任意一点的电场强度只能由一个确定的值确定。
它是由德国物理学家卡尔·冯·诺依曼提
出的，他在1914年的一篇论文中提出了这一定理。
该定理表明，在一个静电场中，任何一点的电场强度都可以由一个唯一的值来确定，这个唯一的值是由该点的电荷量和距离决定的。
这意味着，在一个静电场中，任何一点的电场强度都是可以由一个唯一的值来确定的，而不会受到其他因素的影响。
该定理在现代物理学中得到了广泛的应用，它可以用来解释电磁学中的许多现象，也可以用来描述物理系统中的电场分布。
此外，它还可以用来解释电磁辐射的传播机制，以及电路中的电流分布情况。
1.8 静电场的唯一性定理
ρ ∇ U = − →泊 方 , 松 程 ε0
2
静电场 ＋边界条件 的边值 2 问题 or ∇ U 0 →拉 拉 方 ＝ 普 斯 程
物理系：杨友昌 编
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
唯一性定理
• 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒 对于静电场，给定一组边界条件， 定电场分布？——回答：否！ 电场分布？ 回答： 回答 • 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 电场的分布唯一 • 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至 关重要 • 理论证明在电动力学中给出，p67 给出普物方式的论证 理论证明在电动力学中给出， • 论证分三步：引理 论证分三步：引理——叠加原理 叠加原理——证明 叠加原理 证明
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的 以及各导体的形状、相对位置（ 以及各导体的形状、相对位置（统 称边界条件），求空间电场分布， ），求空间电场分布 称边界条件），求空间电场分布， 即在一定边界条件下求解 泛 定 方 程
Q Q ' r' Q ' + = 0⇒ = ⇒r'Q= −rQ' r r' r Q
2
R b R ' － 有b = ⇒Q = ± Q= ± Q 取 ？ a a a cos θ的系数 三角形
相似
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电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。
静电场边值问题的唯一性定理
静电场边值问题的唯一性定理摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。
由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽1、问题的提出实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。
这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；（1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ；其中K=1，2，……为导体的编号。
寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。
这类问题称为静电场的边值问题。
这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。
2、几个引理在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。
为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。
（1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。
用反证法。
设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ∇ρ必都指向P 点，即场强U E ∇-=ρρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。
）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为0)(>⋅=⎰S d E S E ρρϕ (1)根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。
然而这违背了我们的前提。
因此，U 不可能有极大值。
用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。
（2）引理二 若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0。
因为电势在无电荷空间里的分布是连续变化的，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上又处处等于0，在空间必然出现电势的极大（或极小）值，这违背引理一。
大学物理电磁学总结
大学物理电磁学总结电磁学部分总结静电场部分第一部分：静电场的基本性质和规律电场是物质的一种存在形态，它同实物一样也具有能量、动量、质量等属性。
静电场的物质特性的外在表现是：(1)电场对位于其中的任何带电体都有电场力的作用(2)带电体在电场中运动, 电场力要作功——电场具有能量1、描述静电场性质的基本物理量是场强和电势，掌握定义及二者间的关系。
电场强度 E =q 0∞ W a 电势 U a ==E ⋅d rq 0a2、反映静电场基本性质的两条定理是高斯定理和环路定理Φe =E ⋅d S =ε0∑qL E ⋅d r =0要掌握各个定理的内容，所揭示的静电场的性质，明确定理中各个物理量的含义及影响各个量的因素。
重点是高斯定理的理解和应用。
3、应用(1)、电场强度的计算1q E =r 02a) 、由点电荷场强公式 4πεr 及场强叠加原理 E = ∑ E 计i 0算场强一、离散分布的点电荷系的场强1q i E =∑E i =∑r 2i 0i i 4πεr 0i二、连续分布带电体的场强 d q E =⎰d E =⎰r 204πε0r其中，重点掌握电荷呈线分布的带电体问题b) 、由静电场中的高斯定理计算场源分布具有高度对称性的带电体的场强分布一般诸如球对称分布、轴对称分布和面对称分布，步骤及例题详见课堂笔记。
还有可能结合电势的计算一起进行。
c) 、由场强和电势梯度之间的关系来计算场强（适用于电势容易计算或电势分布已知的情形），掌握作业及课堂练习的类型即可。
（2）、电通量的计算a) 、均匀电场中S 与电场强度方向垂直b) 、均匀电场，S 法线方向与电场强度方向成θ角E =-gradU =-∇U∂U ∂U ∂U =-(i +j +k )∂x ∂y ∂zc) 、由高斯定理求某些电通量（3）、电势的计算a) 、场强积分法（定义法）——计算U P =⎰E ⋅d rb) 、电势叠加法——q i ⎰电势叠加原理计算⎰∑U i =∑4πεr⎰0iU =⎰dq ⎰dU =⎰⎰⎰4πε0r ⎰第二部分：静电场中的导体和电介质一、导体的静电平衡状态和条件导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
《中学物理》第3册 电磁学 第1章 静电场—知识重点
《中学物理》第3册电磁学第1章静电场知识重点在“第1章静电场”是电学的基础，也是学生学习《中学物理》的难点内容。
本章的基础知识多、而且概念抽象，如：电场强度、电势、点电荷电场、匀强电场、电荷守恒定律、库仑定律、电力线、等势面、静电感应、电容器等。
一、库仑定律库仑定律：①大小：在真空中，2点电荷之间的作用力（F），与它们所带的电量（Q1）和（Q2）乘积成正比，与它们之间的距离平方（r2）成反比。
②方向：作用力的方向，在2点电荷之间的连线上。
③性质：同种电荷相斥，异种电荷相吸。
④公式：其中：F：电场力（库仑力）。
单位：牛顿（N）。
k：静电常数。
k = 9.0×109。
单位：牛顿·米2/库仑2 （N·m2 / C2）。
静电常数：在真空中2个相距为1米（m）、电荷量都为1库仑（C）的点电荷（Q1Q2）之间的相互作用力（F）为9.0×109牛顿（N）。
Q1Q2：2点电荷分别所带的电量。
单位：库仑（C）。
r：2点电荷之间的距离。
单位：米（m）。
注意：①库仑定律公式适用的条件：一是在真空中，或空气中。
二是静止的点电荷。
是指２个距离（r）足够大的体电荷。
②不能认为当r无限小时，F就无限大。
因为当r无限小时，２电荷已经失去了作为点电荷的前提。
③不用把表示正、负电荷的“+、-”符号，代入公式中进行计算。
可以用绝对值来计算。
计算的结果：可以根据电荷的正、负，来确定作用力为“引力/斥力”？以及作用力的方向。
④库仑力遵守牛顿第三定律。
２电荷之间是：作用力和反作用力。
（不要错误地认为：电荷量大的，对电荷量小的，作用力就大。
）附录：电量的单位：库仑（C）。
库仑（C）：当流过某曲面的电流1安培时，每秒钟所通过的电量定义为1 库仑。
即：1 库仑（C）= 1 安培·秒（A·S）二、电场强度⒈电场强度①电场强度（Ｅ）为放入电场某一点的电荷，受到的电场的作用力（F），与它的电量（q）的比值。
静电场的唯一性定理及其应用(精)
3、作一高斯面
k E1t＝ 2 ＝E2 t R
D1n＝0＝D2 n
13
D dS＝ 1E1dS 2 E2dS＝q
s S1 S2
k k 2 1 2 2R 2 2 2R 2 q R R
k＝
2 1 2 2R 1 2 0 q R 2 2 1 2 R
4
2、导体表面为等位面，给定各导 体表面的电荷量，此时由边值问 题所解得的电位函数，仅相差一 无关紧要的常数，而电位的梯度 E是唯一的。
3、若给定某些导体表面的电 位值，及其它导体表面(导体 表面为等位面)的电荷量，此 时由边值问题所解得的电位函 数为唯一。
5
静电场的唯一性定理及其应用
由唯一性定理可获得的重要概念：
14
q
q
E
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
E
0 R 2 0 R1
0 R 2 0 R2
15
平行双电轴法
选取坐标轴的原点o为零电位点 ， 点P电位为
P
O P O
D/2 E dR
R1 R2
D dR1 ln ln R 1 2 0 R1 2 0 2 D dR2 ln ln R2 2 0 R2 2 0 2
P
P
D/2 E dR
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
- 1 -。
工程电磁场导论复习重点要点提纲
第一章1、电荷和电荷之间的作用力是通过电场传递的。
2、电场强度定义：①没有电场中某P点，置一带正点的实验电荷q0,电场对他的作用力为F，则电场强度（简称场强）E=lim q0→0F/q0②电场密度③电位：在静电场中，沿密闭合路径移动的电荷，电场力所作的功恒为零。
3、均匀球面电荷在球内建立的电场恒为零（判断）4、功只和两端点有关。
电场力所作用的功也是和路径无关的。
5、静电场，电场强度的环路积分恒等于零（判断）（非保守场不等于0，保守场（静电场）恒为零，静电场是保守场）6、等位面和E线是到处正交的。
在场图中，相邻两等位面之间的电位差相等，这样才能表示出电场的强弱。
等位面越密，外场强越大。
7、静电平衡状态：第一，导体内的电场为零，E=0。
第二，静电场中导体必为一等位体，导体表面必为等位面。
————第三，导体表面上的E必定垂直于表面。
第四，导体如带电，则电荷只能分布于其表面（不是分布在内部）8、静电场中的电介质不是导体也不是完全绝缘介质。
9、电介质对电场的影响可归结为极化后极化电荷或电偶极子在真空中产生的作用。
10、任意闭合曲面S上，电场强度E的面积分等于曲面内的总电荷q=∫v pdv的1/e0(希腊字母)倍（v是s限定的体积）11、静电场积分方程：∮S D·ds=∫V pdv微分方程：▽﹒D=p∮l E·dv=0 ▽×E=0 12、D2n-D1n=0E1t=E2t称为静电场中分界上的衔接条件。
n垂直，t水平13、电位——的泊松方程：————在自由电荷密度——的区域内，——（电位——的拉普拉斯方程）（看空间中有无自由电荷）14、在场域的边界面S上给定边界条件的方式有以下类型：①已知场域辩解面S上各点的电位值，即给定————，称为第一类边界条件②已知场域边界面S上各点的电位法向导数值，即给定————，称为第二类边界条件。
③已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合的值，即给定————，称为第三类边界条件。
电磁学第一章静电场
contents
目录
• 静电场的定义与性质 • 电场与电场线 • 静电场的物理量 • 静电场的规律 • 静电场的实际应用
01
CATALOGUE
静电场的定义与性质
静电场的定义
01
静电场是由静止电荷产生的电场 ，其特点是电荷在电场中受到静 电力作用。
02
静电场是由电荷分布决定的，与 时间无关，是一种稳态的电场。
在电子设备中，静电屏蔽可以防止电磁干扰（EMI）对设备性能的影响，提高设备 的稳定性和可靠性。
在实验室和工业环境中，静电屏蔽可以保护精密仪器和设备免受外部电场的影响， 确保实验结果的准确性和可靠性。
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性。
静电感应的应用
静电感应是指当一个带电体接近导体 时，导体表面会出现电荷分布的现象 。静电感应在许多领域都有应用。
在印刷电路板制造中，静电感应焊接 技术被用于将电子元件焊接到电路板 上。
在电子显微镜中，利用静电感应原理 可以检测样品表面的电荷分布，从而 获得高分辨率的图像。
静电屏蔽的应用
静电屏蔽是指利用导电材料将电场隔离的措施，以保护电子设备和人员免受电场的 影响。
环路定理
总结词
环路定理描述了电场线沿闭合路径的线积分与该闭合路径所 围成的面积上的电荷量之间的关系。
详细描述
环路定理是静电学中的另一个基本定理，它表明电场强度沿 闭合路径的线积分等于该闭合路径所围成的面积上的电荷量 与真空中的介电常数之比。这个定理表明，电场线在无电荷 的地方不会中断，也不会形成闭合曲线。
衡。
05
CATALOGUE
静电场的实际应用
电容器
电容器是静电场中最重要的实际 应用之一。它由两个平行且相对 的导体（通常为金属箔或板）构
(整理)电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结第1章 场论初步一、矢量代数A •B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A •C ) – C •(A •B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元 x y z =++l e e e d x y z矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕsin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕρϕρρϕρ sin sin ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中 1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章 电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程：d ⋅=⎰SE S qεd 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε 0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0l⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lI μ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰S E l B S ld dt ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l S t ∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l S l SSV Sl t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J B E D B t t ρ ()() ()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面 和 理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程： 220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ 连续分布： 12=⎰e VW dV φρ 电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε 12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J SE SSSU R G Id d σ （L R =σS ）4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章 静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
唯一性定理与静电屏蔽
当且仅当导体空腔既不接地又不与外界绝缘（例如，有绝缘包皮的导线穿过空腔 与外界相连），且导体空腔内的电荷总电量变化，此时外表面的感应电荷总电量 会作相同的改变，腔外区域的第二类边界条件改变，腔外电场也改变四、结 语 对于导体空腔来说，当且仅当导体空腔不接地、腔内与外界不绝缘并引起导体空 腔内的电荷总电量变化时，腔外电场会受到腔内电场变化的影响，其它情况下导 体空腔对腔内腔外静电场是互相屏蔽的。 唯一性定理在电动力学和电磁场理论课程中是个重点，也是难点。用唯一性定理 分析导体的静电屏蔽，可以作为了解性内容在大学物理电磁学的教学中介绍，有 助于学生较全面的理解静电屏蔽，并且为电动力学或者电磁场理论课程的学习做 准）［M］. 北京：高等教育出版社，1997：59～61 2 贾起民、郑永令、陈暨耀. 电磁学（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社， 2001：78～79
大学物理中处理的是均匀无限远边界或面对称、球对称、轴对称的理想情况，而实际的电 磁场要复杂得多，处理的多是有限区域、边界形状也不规则的边值问题。处理这类问题时， 利用唯一性定理有时是非常方便的。在大学物理的电磁学部分利用唯一性定理可以较全面 的分析静电屏蔽，对理解唯一性定理和后续的电动力学或者电磁场理论课程的学习也是很 有意义的。 一、唯一性定理 设区域V的边界S为导体，V内电荷分布 及介质分布确定，V的边界S满足下列条件之一时， 则V内电场唯一确定：第一类边界条件是导体的电势 已知；第二类是各导体表面上的电量 Q已知。［1］ 二、导体空腔内的电场 由于静电感应，静电平衡时导体空腔内表面上的电量由腔内电荷决定，总代数和为零。当 腔内电荷分布 给定时，腔内表面电量Q确定，腔内区域的边界条件由腔内电荷总量确定的 第二类边界条件，与腔外电场无关。由唯一性定理，腔内电场由腔内电荷分布唯一确定， 与腔外电场无关，与导体是否接地无关，导体空腔对腔外的电场是完全屏蔽的。［2］ 三、导体空腔外的电场 若导体空腔接地，空腔的电势始终为零，腔内、腔外区域均属于第一类边界条件。由唯一 性定理，腔外电场由腔外电荷及介质分布决定，不受腔内影响。［2］ 当导体空腔与外界绝缘时，腔内电荷电量守恒，总量不变。腔内电荷如果只是空间分布改 变，导体空腔内的电场改变，对外表面总电量无影响，腔外区域属于不变的第二类边界条 件。由唯一性定理，此时腔外电场不受腔内电场变化的影响，所以绝缘导体空腔对腔内腔 外的电场也是相互屏蔽的（见图1）。
补充一高斯定理的微分形式
V
设：A U * U *
A U * U *
U * U * U *2U *
U * 2
零
即得：
U *
2
dV
U*
U *
ds
V
2、再证明U* U U 常数 16
nˆ V
nˆ 导体Ⅰ SⅠ
导体Ⅱ
SⅡ
S
导体Ⅰ界面
V nˆ
导体Ⅱ界面
(divE )i
lim Vi 0
E dS
Si
Vi
lim
Vi 0
i
(divE)i Vi
lim
Vi 0
i
E dS
Si
V
(divE)dV
S
E dS
1
0
(S)
qi
3
(div E )dV
V
1
0
(S)
qi
qi dV
(S)
(div E)dV
V
V
1
0
V
dV
因V任意，则得高斯定理的微分形式
QⅡ
13
设存在两个解：U 和 U ，令 U * U U
2U 0
UIUI
,
0
SⅡ
UⅡ n
dsQⅡ,
US
US
或 US n
US n
2U 0
UIUI
,
0
SⅡ
UⅡds n
QⅡ,
USUS
或 US n
US n
2U * 0
UⅠ* 0,
SⅡ
UⅡ* n
ds0
,
U
* S
0
或
U
* S
n
0
电磁学-电磁学知识重点及学习指导1-7
第一章 静电场一、基本内容与讨论1.电荷（1）两种电荷电荷是物质的一种属性.不带电的物体经过摩擦、感应、加热、照射、……等方法处理后便产生出电荷来.自然界只有两种电荷，一种称为正电荷，一种称为负电荷，最小电荷是电子的电荷，称它为基本电荷.同类电荷相互排斥，异类电荷相互吸引.（2）电荷守恒性在一个孤立系统中，无论发生了怎样的物理过程，电荷都不会创生，也不会消失，只能从一个物体转移到另一个物体上，或从物体的一部分移到另一部分，即在任何过程中，电荷的代数和是守恒的.这就是电荷守恒定律.也可以用另一种方式表述，单位时间内流入流出系统边界的净电荷量等于系统内电荷的变化率.（3）电荷的量子性实验表明，任何带电体的电荷只能是电子电荷的整数倍，即)21(⋅⋅⋅==，，n ne q ，物体所带电荷量的这种不连续性称为电荷的量子性.粒子物理研究表明，电子、质子和中子等许多粒子可能是由电量为-3e 和32e 的称为夸克粒子组成的.但电荷仍然是量子性的，只不过电荷的最小单位比e 小而已.（4）电荷不变性大量事实证明，电荷的电量是与其运动状态无关的.所以，在不同的参考系观察，同一带电粒子的电量不变.电荷的这一性质称为电荷的相对论不变性.2. 库仑定律库仑定律是关于两个静止点电荷相互作用力的规律.它指出，真空中两个静止点电荷之间的相互作用力的大小与这两个点电荷所带的电量1q 和2q 的乘积成正比，与它们之间的距离 的平方成反比，作用力的方向沿两个点电荷的连线，同种电荷相斥，异种电荷相吸，即12r 2014q q r πε=F e 式中r e 表示一单位矢量，由施力者指向受力者方向.应用库仑定律时应注意以下几点：（1）点电荷不是一个限制条件，而是为使定律具有基本性和普遍性而引入的.考虑叠加原理即可把库仑定律推广用于点电荷组或连续带电体.（2）真空的条件是除两个点电荷外无其他电荷存在.但真空条件并非必要，是可以除去的，这是因为根据力的独立作用原理，两个点电荷之间的作用力，并不因为其他电荷的存在而有所影响.如果真空条件被破坏，即除了两个点电荷外，附近还有因感应或极化产生的电荷以及其他电荷，那么这些电荷当然对两个点电荷也都有作用，于是两个点电荷所受的总作用力将比较复杂.但这时两个点电荷之间的作用力仍遵循库仑定律.因此库仑定律适用于真空、导体和介质.如果要用实验来确定两个点电荷之间的相互作用力，则应在真空中进行，以便排除其他电荷的影响，提高测量的精确性.（3）静止条件是指两个点电荷相对观察者都处于静止状态.静止条件可以放宽，即可以推广到静止源电荷对运动电荷的作用，但不能推广到运动电荷对静止或运动电荷的作用，因为有推迟效应. 设点电荷1q 以匀速υ运动，点电荷2q 静止不动，则静止的2q 对运动的1q 的作用力为 212121202114r q q r πε=F e 根据电动力学，运动的1q 对静止的2q 的作用力为1222121232202122122121141r c q q r c cr υπευ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦F e r υ由上两式可知，仅当0υ=时，才有1221=-F F .这表明，两静止点电荷之间的相互作用力遵循牛顿第三定律，而两运动点电荷之间的相互作用力则违背牛顿第三定律.（4）库仑力属于是长程力. 近代物理与地球物理的实验表明，距离在1710m -到710m 的尺度范围内，电力平方比率是可靠的.3. 电场带电体周围空间存在的一种特殊物质称为电场.场和实物（如分子，原子组成的物质等）是物质的两种形态，电场也同样具有物质的一些属性，如能量、动量、质量等.实验证明，在电场内进行的一切过程也和实物内进行的过程一样，遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本定律.但电场却具有特殊性，特殊性在于：其一，电场没有静止质量，而一般的实物具有静止质量；其二，实物的原子、分子所占有的空间，不能同时为另一原子或分子所占据，即是说实物具有不可入性.但是，若干个电场却可以同时占据同一空间，即是说电场具有叠加性.电荷激发电场，电荷是电场的源，电荷与电荷之间的相互作用是借助于电场来传递的.电场的一个基本特性是对置于电场中的其他任何电荷都有力的作用.为检验空间某点是否存在电场，只需将某一电荷放置在该点，如果它受到电场力的作用，则可断定该点本来就存在电场；如果没有受到电场力的作用，则可断定该点本来就不存在电场.同一电荷放在电场中的不同点，它所受到的电场力的大小和方向都可以不同，电场强度矢量E 就是描述电场这一性质的物理量.4.电场强度矢量电场中某点的电场强度矢量E ，其大小等于单位正电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致. 为了定量地描述电场对任何其它电荷都有作用力的性质，我们利用试探电荷来测量电场．试探电荷的电量必须足够小，以致它引入电场后，在实验的精度范围内不会对原有的电场发生任何显著的影响；它的几何线度也必须足够小，当它置于电场中某一点时，其位置才具有确定的意义．令试探电荷的电量为0q ，把它引入电场某一固定点，其所受的电场力为F ，则比值0q F 定义为该点的电场强度矢量，即0q FE正确理解电场强度矢量，应注意如下几点：（1）电场中某点的电场强度矢量，是场点客观施力本领强弱的量度，它表征了电场的力的特征.（2）电场强度矢量(,,)x y z E 是电场中空间点的坐标的矢量函数，是逐点变化的.如果知道了该矢量函数的形式，就知道了该静电场的力学性质.一旦电荷的分布确定之后，电场强度矢量点函数的形式也就确定了.对于给定的场点000(,,)P x y z ，电场强度矢量000(,,)x y z E 的数值和方向只取决于该点的客观施力本领的强弱.（3）电场强度矢量E 是由电场的性质决定的，而与试探电荷无关.可以从三方面来理解场强E 与试探电荷0q 无关的含义：① E 与0q 的是否引入无关.因为场强E 反映的是电场对引入场中的电荷有力的作用这一属性.引入0q ，这一属性表现出来了，便于测量；不引入0q ，这一属性仍然存在.② 电场中某点的E 与引入到该点的0q 的大小无关，0q 增大，它所受到的电场力F 也随之增大，但比值0q F 不变.这个比值反映了该点电场的客观性质.③ 电场中某点的场强E 与引入到该点的0q 的符号无关.如果0q 是负电荷，则0q =-F E ，负号表示E 的方向与负电荷0q 所受到的电场力的方向相反，所以0q 并没有改变E 的方向.5.叠加原理 叠加原理，也叫做独立作用原理.凡是符合独立作用者都可进行叠加.很多物理量都具有可加性，这是探索客观规律的一条很重要的指导思想.根据可加性将复杂的问题化成几种简单的特殊情况，并分别求出每种特殊情况的结果，然后进行叠加——标量的、矢量的，即可求出复杂问题的结果.如电磁学中静电力、电场强度、磁场强度等具有矢量叠加性，而电势具有标量叠加性.再如复杂直流电路中的叠加原理是说电流具有代数叠加性等.（1）静电力的叠加原理两个静止点电荷之间的相互作用遵循库仑定律。
静电场安培环路定理
静电场和安培环路定理是电磁学中的两个重要概念，它们描述了电场和电流之间的关系。
静电场（Electric Field）：
静电场是由电荷产生的场，它在空间中存在，对其他电荷施加力。
电场可用于描述电荷在空间中产生的电势差和电场强度分布。
安培环路定理（Ampere's Circuital Law）：
安培环路定理是电磁学中的一个基本定律，描述了电流和磁场之间的关系。
它是由法国物理学家安培（André-Marie Ampère）提出的。
根据安培环路定理，沿着一个闭合回路的线积分，等于该回路内通过的总电流。
数学表达式如下：
∮B·dl = μ₀I
其中，
∮B·dl 表示沿闭合回路的磁场矢量B的线积分；
μ₀表示真空中的磁导率（4π×10^(-7) N/A²）；
I 表示通过闭合回路的总电流。
安培环路定理说明了电流在形成磁场时所遵循的规律，以及通过闭合回路的磁场的总和。
培环路定理适用于静电场中的静止电流情况。
在存在变化的磁场和电场的情况下，需要结合法拉第电磁感应定律和麦克斯韦方程组等更复杂的电磁学理论来描述。
《大学物理》第三篇电磁学
找比较对象 类象
重要作用： (1) 是提出科学假说的重要途径； (2) 是科学阐述或理论证明的辅助手段； (3) 在解决问题的过程中起启发思路、触类旁通的作用。
注意：类比推理所得结论是或然的，需证实或证伪。
3-15-2
磁场
静电场 电
感生 场 电场
一般 电场
高斯定理
SB dS 0
S D0 dS
物质存在的两种基本形式：实物和场
共性：能量、动量、质量
•场能对其中的物体做功 ——表明场有能量
•引力红移与偏折、光压等实验 ——表明场有质量和动量
可相互转化（如正负电子对湮没、同步辐射）
1、电磁场的能量密度与能量
电场能量密度
1 we 2 E D
磁场能量密度
wm
1 2
BH
电磁场能量密度
w
we
S D0 dS
ρdV
V
L E0 dl 0
SB dS 0
D
LH dl S ( j t ) dS
SB dS 0
LH dl S j dS
静电场 基本方程
静电场 基本方程
麦克斯韦方程组是对电磁场宏观规律的 全面总结和概括！
是经典物理三大支柱之一。
再看积分形式的麦克斯韦方程组
jE
2 t
由矢量运算公式： a (b c ) (a b) c b (a c )
(H E) ( H ) E H ( E)
1
(D E
BH)
(H
E)
jE
2 t
(E H ) j E
dW 1
dt
2 V t (D E B H )dV
jD πr 2
2） r >R
电磁学8 静电场的唯一性定理
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
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U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则
ΦE S E dS 0, 但面内无电荷，矛盾
U指 向P点 ,E U背 离P点
若有极小，同样证明
引理二：若所有导体的电势 即意味着空间
为0，则导体以外空间的电
电势有极大值， 违背引理一
1 r'
1 dS r
1 r'
r
1
l cos
r (1
1
l cos
)
1 1 r
l cos
r
r
1 r
l cos
r2
1 r'
1 r
l
cos
r2
代入U ( p)
面元dS在垂直
U ( p)
1
4 0
S
el cosdS
r2
于矢径r方向
的投影
任取 P点，利用叠加 原理求出像电荷位置
R2 b2 2Rb cos Q
Q Q' 0 r' Q' r'Q rQ'
r r'
rQ
有 b R2 Q' bQ R Q
三角形 a
a
a
相似
R2 a2 2Ra cos Q'
对所有都成立，
cosdS
r2
d
定义电偶极层强度：——单位面积上的
导体上电荷的面密度 e n D n 0U
l
e
0
U z
z0
q
2
(x2
a y2 a2)32
2
真空中有一半径为R的接地导体球，距球心 为a(a>R)处有一点电荷Q,求空间各点电势
寻找像电荷
对称性分析，确定像 电荷位置
使球面上电势＝0
电偶极层
设想一厚度均匀的曲 面薄壳，两面带有符
号相反的面电荷 e
——电偶极层，如图， 求P点的电势和场强
r' r l cos , : (r, n)夹角
U ( p)
1
4
0
edS'
S' r'
1
4
0
S'
( e )dS
r
1
4 0
S
e
问题
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要
理论证明在电动力学中给出，p59 给出普物 方式的论证
论证分三步：引理——叠加原理——证明
静电场边值问题的 唯一性定理
静电场小结
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体
的形状、相对位置（统称边界条件），求空间
泛
电场分布，即在一定边界条件下求解
定 方
2U 泊 松 方 程 ,
静电场
程
0
＋边界条件 的边值
or 2U＝0 拉 普 拉 斯 方 程
U (x, y, z) 1 ( q q') z 0
4 0 r r'
其中r' x2 y2 (z a)2；
r x2 y2 (z a)2
U (x, y, z)
1
1
1
4 0 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
取－？ 即要求与无关，要求
cos的系数 bQ2 aQ'2
求p点电势
UP
1
4
0
Q r
Q' r'
1
4
0
Q r
RQ ar'
其中r' R2 b2 2Rbcos；r R2 a2 2Racos
讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－Q’，Q’=球 面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从接地处 传至导体球上，|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于 导体球，剩下的伸展至无穷
的关系
设对
应同 一组
Qk
Sk
edS
0
Sk
EndS
0
Sk
U dS n
边值
有两
与电势参
种恒
考点有关，
定电
不影响电
势分
势梯度
布
0
Sk
U dS n
0 U UI UII 常量 EI
说明场分布是唯一的
EII
解释静电屏蔽
唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布
基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷
解： 任一P点的电势
证明（反证）
若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：