电磁学_静电场_16静电场的唯一性定理

电偶极层
设想一厚度均匀的曲 面薄壳，两面带有符
号相反的面电荷 e
——电偶极层，如图， 求P点的电势和场强
r' r l cos , : (r, n)夹角
U ( p)

1
4
0
edS'
S' r'

1
4
0
S'
( e )dS
r

1
4 0
S

e

证明（反证）
若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
任取 P点，利用叠加 原理求出像电荷位置
R2 b2 2Rb cos Q
Q Q' 0 r' Q' r'Q rQ'
r r'
rQ
有 b R2 Q' bQ R Q
三角形 a
a
a
相似
R2 a2 2Ra cos Q'
对所有都成立，
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布
基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷
解： 任一P点的电势
静电场边值问题的 唯一性定理
静电场小结
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体
的形状、相对位置（统称边界条件），求空间
泛
电场分布，即在一定边界条件下求解
定 方
2U 泊 松 方 程 ,
静电场
程
0
＋边界条件 的边值
or 2U＝0 拉 普 拉 斯 方 程
的关系
设对
应同 一组
Qk

Sk
edS
0
Sk
EndS
0
Sk
U dS n
边值
有两
与电势参
种恒
考点有关，
定电
不影响电
势分
势梯度
布
0
Sk
U dS n
0 U UI UII 常量 EI
说明场分布是唯一的

EII
解释静电屏蔽
唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。
问题
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要
理论证明在电动力学中给出，p59 给出普物 方式的论证
论证分三步：引理——叠加原理——证明
1 r'

1 dS r
1 r'

r

1
l cos

r (1
1
l cos
)

1 1 r
l cos
r

r

1 r

l cos
r2

1 r'

1 r


l
cos
r2
代入U ( p)
面元dS在垂直
U ( p)


1
4 0
S
el cosdS
r2
于矢径r方向
的投影
cosdS
r2

d
定义电偶极层强度：——单位面积上的
导体上电荷的面密度 e n D n 0U
l
e


0

U z
z0
q
2
(x2

a y2 a2)32
2

真空中有一半径为R的接地导体球，距球心 为a(a>R)处有一点电荷Q,求空间各点电势
寻找像电荷
对称性分析，确定像 电荷位置
使球面上电势＝0
U (x, y, z) 1 ( q q') z 0
4 0 r r'
其中r' x2 y2 (z a)2；
r x2 y2 (z a)2
U (x, y, z)
1

1

1

4 0 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
取－？ 即要求与无关，要求
cos的系数 bQ2 aQ'2
求p点电势
UP

1
4
0
Q r

Q' r'

百度文库
1
4
0
Q r

RQ ar'
其中r' R2 b2 2Rbcos；r R2 a2 2Racos
讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－Q’，Q’=球 面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从接地处 传至导体球上，|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于 导体球，剩下的伸展至无穷
极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则
ΦE S E dS 0, 但面内无电荷，矛盾
U指 向P点 ,E U背 离P点
若有极小，同样证明
引理二：若所有导体的电势 即意味着空间
为0，则导体以外空间的电
电势有极大值， 违背引理一
1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量