201901镇海中学高一上期末考数学试题(解析版)
浙江省高一上册期末数学试卷
基础课程教学资料高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.85．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）= 7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y （x，y∈R），则2x+y=；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E 的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等九所重点学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}，所以∁R B={x|x≤2}，又集合A={x|1＜x＜3}，则A∩（∁R B）={x|1＜x≤2}，故选A．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且x＞0时，y=2x+1递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；故选：B．3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确．（2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即，则||=||；正确．（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确．（4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确．故选：D．4．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．5．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），第三象限，∴＜，由﹣=====．故选C．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除．函数图象在第三象限，x＜0，∴D排除．根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对．故选A．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．故f（x）=sin（2x﹣）．当x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；故x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，但关于直线x=对称，故选：C．8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0，∴﹣﹣•+≤0，∴（+）≥1，∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2，∴|+﹣2|的最大值故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=2．【解答】解：设扇形的弧长为l，∵l+2R=30，∴S=lR=（30﹣2R）R=﹣R2+15R=﹣（R﹣）2+，∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30﹣2R=15，α=2，故答案为，2．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=﹣；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣．【解答】解：∵∥，∴15cosα+16tanα=0，15（1﹣sin2α）+16sinα=0，即15sin2α﹣16sinα﹣15=0，sinα∈[﹣1，1]，解得sinα=﹣．∵⊥，∴•=12﹣20sinα=0，解得sinα=．则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα=﹣，故答案为：﹣，﹣．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为R；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为[，] ．【解答】解：若a=，当x＜1时，函数f（x）=x2﹣3x=﹣∈[﹣2，+∞）；当x≥1时，f（x）=≤0，故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）∪（﹣∞，0]=R．若函数f（x）=在R上单调递减，则，求得≤a≤，故答案为：R；[，]．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y （x，y∈R），则2x+y=2；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=4．【解答】解：如图所示，①=+=+，与=x+y（x，y∈R）比较可得：x=，y=1．则2x+y=2．②由②可得：=+，同理可得：=+，∴=λ+μ=λ（+）+μ（+）=+，又=，∴=1，=1．则3λ+3μ=4．故答案为：2，4．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=+1．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴4﹣x2=b2﹣x2，即b2=4，解得b=±2，当b=﹣2时，函数f（x）=log a=f（x）=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=2时，函数f（x）=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣2，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣2，2a）上单调递增，∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（2a）=1，即f（2a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，∴a+b=﹣1+2=+1，故答案为：+1．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为8．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：x∈[﹣3，5]，g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣4，4]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为②③．【解答】解：对于①，b=0时，f（x）==，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；对于②，f（x）=是奇函数h（x）=左右平移得到，故正确；对于③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）也存在最大、最小值，故正确；对于④，关于x的方程g（x）=0的解⇔f（x）=±的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}，故错；故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由题意可得：A=2，由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2），可得：=（x0+）﹣x0=，可得：T=π，∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=，∵|φ|＜，可得：φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）…4分由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…8分（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当﹣2＜m≤0时，两根和为；当1≤m＜2时，两根和为…15分18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E 的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴=，∴2（t﹣2）x=0，∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2；（2）由（1）得，f（x）=，∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0，}，而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0，∴λ∈E；（3）∵f（x）=1﹣，∴f（x）在[a，b]递增，∵函数f（x）的值域是[2﹣，2﹣]，∴，∵b＞a＞0，解得：a=1，b=4．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．【解答】解：（1）依题意，tanα═﹣2，∴==﹣；（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又=+，|=|||，∴四边形OAQP为菱形，∴S=2S=sinθ，△OAP∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），∴=（1+cosθ，sinθ），∴•=1+cosθ，∴f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2∵﹣≤cosθ≤，∴当cosθ=，即θ=时，f（θ）max=2；当cosθ=﹣，即θ=时，f（θ）min=1．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|，当x≤﹣1时，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，此时函数为增函数；当x＞﹣1时，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，此时函数在（﹣1，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数；综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[，+∞）；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）=，①当﹣a≤﹣2，即a≥2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；②当﹣a≥2，即a≤﹣2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；④当﹣2＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；综上可得：g（a）=0。
浙江省2019年镇海中学高三最后一考数学试卷(PDF版)
绝密★启用前2019年镇海中学高三最后一考数学试卷姓名准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部3至6页。
满分150分，考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h=其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，表示h 锥体的高球的表面积公式2=4S R π球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合3Z 02x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭，{}N 1,B y y x x A =∈=-∈，则A B =A.{}1,0,1,2,3-B.{}1,0,1,2-C.{}0,1,2 D.{}12x x -≤≤2.“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若221m n >>，则永临中学A.11m n> B.1m n π-> C.ln()0m n -> D.1122log log n>4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则A.//αβ且//l αB.αβ⊥且l β⊥C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l5.已知底面是正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，则该四棱锥的三视图可能是下列各图中的6.已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数96z x y =+最大值的变化范围[]20,22，则t 的取值范围A.[]2,4 B.[]4,6 C.[]5,8 D.[]6,77.已知a ，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且1a = ，a b - 与b的夹角为150 ，则b的取值范围是A.(B.(]0,1C.(]0,2D.(8.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A.(,)-∞+∞B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(D.(1,0)(0,1)-9.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是定义在R 上的减函数，()()()g x f x f ax =-（1a >），则A.[]sgn ()sgn g x x = B.[]sgn ()sgn g x x =-C.[][]sgn ()sgn ()g x f x = D.[][]sgn ()sgn ()g x f x =-10.已知函数2()ln x f x x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程()f x a =存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是A.(0,1)(1,)e B.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()0,1非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
镇海中学2019学年第一学期期末考试高一年级数学试卷及答案_20191218162508
(Ⅱ )∵
∵ 分 由余弦定理理有
，且
，∴
，∴
.
，
.
……………………9 分
……………………11
，∴
.……………13 分
∴ ∴ 22. （1）设
，
. ……………15 分
，
。由
得
，即
所以
……………………7 分
（2）在
中，由⻆角平分线定理理得
在
中，由正弦定理理得
在
中，由正弦定理理得
两式相除得
。即
将
代入入
将
16. 在△ABC 中，∠BAC=120°，已知∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，且 AD=2，求 AB+AC 的最小值_______________
17.
在
Rt△ABC
中，AB=3，AC=4，BC=5，P
是△ABC
内部一点，且满足
SPA△∙PPABB=
PS△BP∙PBCC=
S△PCA，则 PC∙PA
A.
1 3
B.
1 2
C.
2 3
9. 已知平面向量 a，b 满足|a|，|b|，|a−b|∈[2，3]，则 a∙b 的取值范围是( )
D.
5 6
A. [− 12， 72]
B. [− 14，7]
C. [− 12，7]
D. [− 14， 72]
10.
在锐角三角形△ABC
中，内角
A，B，C
所对边的边长分别为
(2) 20. 解：（1）由正弦定 理理和
化简，得 即 故
所以
， .
.
，得 ，
（2）因为 所以
， 所以 ，即
2019年高一上学期期末考试(数学理)(2021年整理)
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2019年高一上学期期末考试(数学理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．集合{10},{0,1},{1,2})A B C A B C ===－，，则(=(A ） (B ）｛1｝ （C ）{0，1,2} （D ）{—1，0，1，2}2．若，则点位于( ）A 。
第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中,在R 上单调递增的是（A) (B ） (C ） (D ）4．函数与的图像（A ）关于轴对称 （B ） 关于轴对称（C ） 关于原点对称 （D ） 关于直线对称5．函数f （x)=x 3 +2x 2 +x –4的单调递增区间为A ）(–1,–）B ） （–∞,–1)∪（–，+∞）C ）(–∞,–1）和(–，+∞）D ）（，1) 6．函数f （x )=x 2+ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f （x )≥0，则f (1)＝A ．6B ．5C ．4D ．37．已知,则在下列区间中，有实数解的是（A)（－3，－2） （B ）（－1，0） （C) （2，3） (D ） (4，5）8．已知函数为偶函数，当时,，则的解集是A ．B ．C ．D ．值为A．2 B．3 C．4 D．510．二次函数的图象开口向下,对称轴为,图象与轴的两个交点中，一个交点的横坐标，则有A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）11．函数的定义域为 .12．–300°化为弧度为。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试卷及解析
2018-2019学年宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试卷一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论.【详解】由题意，点在第二象限，则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.2.对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（）A. 若，则或B. 若，则或C. 若，则或D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由向量的垂直条件，数量积为0，可判定A；由向量的数乘的定义可判断B；由向量的平方即为向量的模的平方，可判断C；向量的数量积不是满足消去律，可判断D，即可得到答案.【详解】对于A中，若，则或或，所以不正确；对于B中，若，则或是正确的；对于C中，若，则，不能得到或，所以不正确；对于D中，若，则，不一定得到，可能是，所以不正确，综上可知，故选B.3.已知向量，，若，则实数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，整理得，又由，所以，解得，故选C.4.函数的图象关于直线对称，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，又由函数的图象关于对称，所以，即，解得，故选D.5.将的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案.【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移个单位，。
浙江省宁波市镇海区镇海中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)
镇海中学2018学年第一学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合}{1,2,3,4,5,6U =，}{1,4,5S =，}{2,3,4T =，则()U S C T ⋂的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先求出U C T ，再求()U S C T ⋂中元素的个数，进而求出子集的个数。
【详解】由题可得{}1,5,6U C T =，所以(){}1,5U S C T ⋂=，里面有2个元素，所以子集个数为224=个 故选D【点睛】本题考查集合的基本运算，子集的个数为2n 个，n 指元素个数2.已知α是锐角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第一象限角或第二象限角 C. 第二象限角 D. 小于180的正角【答案】D 【解析】 【分析】根据α是锐角求出2α的取值范围，进而得出答案。
【详解】因为α是锐角，所以02πα<< ，故02απ<<故选D.【点睛】本题考查象限角，属于简单题。
3.下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( )A. 12()(0)x x =-≥13(0)x x =≤C. 340)xx -=>D. 130)xx -=≠【答案】C 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的关系化简计算即可。
【详解】12(0)x x =-≥，故A 错13x =，故B 错130)xx -=≠，故D 错 所以选C【点睛】本题考查根式与分数指数幂的化简计算，属于基础题。
4.设0.3113211log 2,log ,()32a b c ===，则（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】D 【解析】试题分析：根据我们所学的指数函数和对数函数的性质可知，1133log 2log 10a =<=，112211log log 132b =>=，0.30110()()122c <=<=，因此可知a c b <<，故选B. 考点：对数函数性质点评：解决的关键是对于不同底数的对数和指数式比较大小，一般找中间量即可，1,0为常用的常数,属于基础题。
2019年高一上学期期末检测数学试题含答案
2019年高一上学期期末检测数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A． B． C． D．2.口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是（）A．0.43 B．0.27 C．0.3 D．0.73.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．4.某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03…50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（）(注：表为随机数表的第8行和第9行)A．02 B．13 C. 42 D．445.如图是一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的平均数、中位数分别为（）A．14，12 B．12，14 C. 14，10 D．10，126.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）A ．1B ．4 C. 1或4 D ．2或47.已知，且，则函数与的图象可能是（ ）8.，，则（ ） A ． B ． C. D ．9.已知实数满足，，则函数的零点个数是（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．310.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．11.已知⎩⎨⎧≥<--=1,log 1,)3()(x x x a x a x f a 是上的增函数，那么实数的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知函数是定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，都有，则（ ）A ．)2017()2014()2019(f f f <<B ．)2019()2014()2017(f f f <<C. )2019()2017()2014(f f f << D ．)2014()2017()2019(f f f <<二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5、8、11三数的标准差为 ．14.=++3log 554241log 10log 2 ．15.向面积为的三角形内任投一点，则的面积小于的概率为 ．16.已知函数定义域为，若存在常数，使对所有实数都成立，则称函数为“期望函数”，给出下列函数：①②③④其中函数为“期望函数”的是 ．(写出所有正确选项的序号)三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知.（1）求的值；（2）求的值.18.函数)0(1)2()(2>--++-=a a x a x x f 的定义域为集合，函数的值域为集合.（1）当时，求集合；（2）若集合满足，求实数的取值范围.19.某市电视台为了宣传，举办问答活动，随机对该市15至65岁的人群进行抽样，频率分布直方图及回答问题统计结果如表所示：（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取3人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第3组至少有1人获得幸运奖的概率.20. 已知实数满足，函数.（1）求实数的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.21.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，当价格元/时，日需求量的预测值为多少？参考公式：线性回归方程，其中xbyaxxyyxxxnxyxnyxbniiniiiniiniiiˆˆ,)())((1211221-=---=⋅-⋅⋅-=∑∑∑∑====22. 函数)1,0)(2(log)(≠>-=aaaxxfa.（1）当时，求函数的定义域；（2）若)2(log)()(axxfxga+-=，判断的奇偶性；（3）是否存在实数，使函数在递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:DCBCA 6-10:CBDBA 11、12：DA二、填空题13. 14. 15. 16.③④三、解答题17.解：（1）∵，∴33)6cos()]6(cos[)65cos(-=--=--=+απαππαπ. （2）∵，∴33)6cos()]6(2sin[)32sin(=-=-+=-απαππαπ. 18.解：（1）当时，由题意得，即，∴，∴，由函数在上单调递增，∴，∴.（2）∵，∴，由题意得得，即，当时，，∴，由，∴，∴，故.19.解：（1）第1组人数，所以，第2组人数，所以，第3组人数，所以，第4组人数，所以，第5组人数，所以，（2）第2，3，4组回答正确的人的比为，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为，则从6名学生中任取3名的所有可能的情况有20种，它们是：),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(32312132132223221231221231213211131121121321221121c b b c b b c b b b b b c b a c b a b b a c b a b b a b b a c b a c b a b b a c b a b b a b b a c a a b a a b a a b a a ，其中记“第3组至少有1人”为事件，则的对立事件是“第3组的没有选到”，其基本事件个数是1个，即，故所求概率为20192011)(1)(=-=-=A P A P . 20.解：（1）由得即，∴，.（2）因为)2)(log 1(log 2log 2log )(2222--=⋅=x x x x x f 41)23(log 2log 3)(log 22222--=+-=x x x ，∵，∴，当，即时，，当，即时，. 21.解：（1）由所给数据计算得20)3025201510(51=++++=x ，8)5681011(51=++++=y ， 2501050)5()10()(2222212=+++-+-=-∑=n i i x x， 80)3(10)2(5002)5(310))((1-=-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-=--∑=n i i i y y x x，32.025080)())((121-=-=---=∑∑==n i i n i i i x xy y x x b 4.142032.08ˆˆ=⨯+=-=x b y a.所求线性回归方程为. （2）由（1）知当时，6.14.144032.0=+⨯-=y ，故当价格元/时，日需求量的预测值为.22.解：（1）由题意：，∴，即，所以函数的定义域为.（2）易知)2(log )2(log )(ax ax x g a a +--=，∵且，∴关于原点对称，又∵ax ax ax ax x g aa a +-=+--=22log )2(log )2(log )(， ∴)(22log 22log )(x g axax ax ax x g a a -=+--=-+=-，∴为奇函数. （3）令，∵，，∴在上单调递减，又∵函数在递增，∴，又∵函数在的最大值为1，∴，即，∴，∵，∴符合题意.即存在实数，使函数在递增，并且最大值为1.30754 7822 砢29776 7450 瑐40577 9E81 麁+36112 8D10 贐20846 516E 兮=23525 5BE5 寥20569 5059 偙_22271 56FF 囿31478 7AF6 競*R。
浙江省宁波市2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试卷及答案
A.x −2 x 2
B.x −2 x 2
C.−2, ?1, 0,1, 2
D.−1, 0,1
2.下列函数在其定义域上具有奇偶性，且在 (0, +) 上单调递增的是（ ）
，则
f
(x)
的单调递增区间为________，
f
(
x)
的值域为________.
15.在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于直线 y = x 对称.若
的终边经过点 P (1, 2) ，则 sin + sin = ________.
16.已知
12.已知函数 f ( x) = 2sin (x + ) （其中 0 ， ）的部分图象如图所示，则 = ________， =
________.
2
13.若
log2
a
=
log3
b
=
1 2
,则
ab
=
________，
log6
ab
=
________.
14.设函数
f
(x)
=
log2 ( x +1), x 3 ( x −1)2 − 2,x 3
为第四象限角，化简，
1+ 1+
sin sin
( (
− +
) )
+
1− sin (2 + ) 1− sin (− ) = ________.
( ) 17.非零平面向量 a ， b ，满足 b = 2 ，且 b b − a = b − a ，则 a 的最小值________.
2019-2020学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U Z =,{}2,2A x Z x x =∈≤-≥或,则U A =ð( ) A ．{}22x x -≤≤ B ．{}22x x -<<C ．{}2,?1,0,1,2-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】根据补集的概念和运算，求得U A ð. 【详解】根据补集的概念和运算可知U A =ð{}{}|221,0,1x Z x ∈-<<=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B ，属于基础题. 2．下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在()0,∞+上单调递增的是( ) A ．ln y x = B ．3y x =C ．1y x=D ．1y x x=+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项. 【详解】对于A 选项，ln y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，3y x =为奇函数，且在()0,∞+上递增，符合题意.对于C 选项，1y x=是奇函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意. 对于D 选项，1y x x=+是奇函数，且在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．在ABC V 中,点M 、N 分别在边BC 、CA 上,若2BC BM =u u u r u u u u r ,3CA CN =u u u r u u u r,则MN =u u u u r( )A ．1126AB AC -+u u u r u u u r B ．1126AB AC -u u ur u u u rC ．1162AB AC -u u ur u u u rD ．1162AB AC +u u ur u u u r【解析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得MN u u u u r的表达式. 【详解】依题意()2132MN AN AM AC AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 1126AB AC =-+u u ur u u u r . 故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题. 4．函数()()2 2.178283x f x e e x =+-≈的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】利用零点存在性定理，判断出函数()f x 零点所在区间. 【详解】依题意()()()201,130,2220f f e f e ==->=+-<，当2x >时，()0f x <，根据零点存在性定理可知，()f x 零点所在区间是()1,2. 故选：B 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5．如图,在圆C 中弦AB 的长度为6,则AC AB ⋅=u u u r u u u r( )A ．6B ．12C ．18D ．无法确定【解析】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得AC AB ⋅u u u r u u u r【详解】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.所以1cos 2AC A AD AB ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r，所以21cos 182AC AB AC A AB AB ⋅=⋅⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题. 6．不等式tan 30x ≥的解集为( ) A ．,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭,k Z ∈B ．,2232k k ππππ++⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈C ．,3k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ D ．23,k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ 【答案】A【解析】解正切型三角不等式求得不等式的解集. 【详解】 依题意tan 3x ≥ππππ32k x k +≤<+，故原不等式的解集为,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.k Z ∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7．函数()2222x x f x x x --=++-大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项. 【详解】依题意函数()f x 的定义域为R ，且()()2222x xf x x x f x --=-++-=-，所以函数为R上的奇函数，由此排除A,B,C 三个选项. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题. 8．已知角A 是ABC V 的内角,若sin 2cos 1A A -=-,则下列式子正确的是( ) A ．2sin cos 2A A -= B ．2sin cos 2A A +=- C ．3tan 4A = D ．12sin cos 25A A =-【答案】C【解析】结合sin 2cos 1A A -=-与22sin cos 1A A +=，求得sin ,cos A A ，由此判断出正确选项. 【详解】由于sin 2cos 1A A -=-，则sin 2cos 10,cos 0A A A =->>，所以A 为锐角，由22sin 2cos 1sin cos 1A A A A -=-⎧⎨+=⎩，即22sin 2cos 1sin cos 1A A A A =-⎧⎨+=⎩，解得34sin ,cos 55A A ==.所以22sin cos 5A A -=，2sin cos 2A A +=，sin 3tan cos 4A A A ==，12sin cos 25A A =.C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9．设函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∈,则下列结论错误的是( )A ．设1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >B ．对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=C ．对任意x ∈R ,都有()03f x f x π⎛⎫⎪⎭+ -⎝-=D ．对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】A 选项利用函数的单调性进行判断.B 选项利用函数的周期性进行判断.CD 选项通过计算证明等式是否正确. 【详解】 A ，由π02π3x ≤+≤解得ππ63x -≤≤，所以()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >，故A 选项正确.B ，函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫⎪⎝⎭=+∈的最小正周期为2ππ2=，所以对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=，故B 选项正确. C ，当0x =时，()()ππππ0cos cos 2cos 1033333f x f x f f π⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-+==≠ ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误. D ，πcos 2cos 2366x f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--， 6f x π⎛--⎫ ⎪⎝⎭()ππcos 2cos 2cos 263x x x ⎡⎤⎛⎫=--+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10．已知a R ∈,函数()2f x ax x =-,若存在[]0,1t ∈,使得()()22f t f t +-≤成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．(],1-∞C ．0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】化简不等式()()22f t f t +-≤，分离常数a ，根据t 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】()()()()()22222442f t f t a t t at t at a ⎡⎤+-=+-+--=+-⎣⎦Q∴原命题等价于存在[]0,1t ∈,使得4422at a +-≤成立,即存在[]0,1t ∈,使得11a t ≤+成立，即max11a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭,因此1a ≤. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.二、填空题11．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________. 【答案】2 1【解析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积. 【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得221121122S r α=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0>ω,ϕπ<）的部分图象如图所示,则ω=________,ϕ=________.【答案】2312π【解析】首先根据图像求得函数()f x 的周期，进而求得ω的值，再由点5π,28⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ的值.【详解】根据图像可知，11π5π3π4884T =-=，所以3πT =，即()2π3π0ωω=>，解得23ω=.所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则5π25π5π2sin 2sin 283812f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πsin 112ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于ϕπ<，所以5πππ,12212ϕϕ+==.故答案为：(1). 23(2). 12π【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题. 13．若231log log 2a b ==,则ab =________,6log ab =________. 612【解析】将对数式化为指数式，求得,a b 的值，进而求得ab 的值以及6log ab 的值. 【详解】由231log log 2a b ==得11222,3a b ==，所以()11112222232366ab =⨯=⨯==12661log log 62ab ==. 故答案为：(1). 6 (2).12【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14．设函数()()()22log 1,312,3x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩,则()f x 的单调递增区间为________,()f x 的值域为________.【答案】[)1,+∞ [)2,-+∞.【解析】画出()f x 的图像，根据图像求得()f x 的单调递增区间和值域. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，()f x 的值域为[)2,-+∞.故答案为：(1). [)1,+∞ (2). [)2,-+∞【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以x 轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线y x =对称.若α的终边经过点()1,2P ,则sin sin αβ+=________.【答案】5【解析】由α终边上一点的坐标，求得sin α，根据对称性求得β终边上一点的坐标，由此求得sin β，进而求得sin sin αβ+. 【详解】由于α的终边经过点()1,2P ，所以sin 5α==.点P 关于直线y x =对称点为()2,1，所以sin 5β==，所以sin sin 5αβ+=.【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于y x =对称点的坐标的特点，属于基础题. 16．已知α为第四象限角,化简=________.【答案】2cos α【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式. 【详解】依题意α为第四象限角，所以=+=+1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==.故答案为：2cos α【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．非零平面向量a r ,b r,满足2b =r ,且()b b a b a ⋅-=-r r rr r ,则a r 的最小值________.【答案】3【解析】首先求得b r与()b a -r r 的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得a r 的最小值.【详解】2b =r Q ,()b b a b a ⋅-=-r r r r r ,设b r 与()b a -r r 的夹角为θ,因此()1cos 2b b a b a b θ⋅-==-⋅r r r r r r即b r 与()b a -r r 的夹角为3π（如图）,ar 的终点在射线BA 上,因此a r 的最小值为3sin 23b θ⋅=⨯=r . 故答案为：3【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题18．已知集合{}51A x m x m =-<<-,函数()()2lg 6f x x x =-++,记()f x 的定义域为B .(Ⅰ)当2m =时,求A B U ,A B I ; (Ⅱ)若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {}33A B x x ⋃=-<<,{}21A B x x ⋂=-<<; (Ⅱ) 18m -<< 【解析】（I ）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合B ，由此求得A B U ,A B I .（II ）根据A B ⋂≠∅列不等式组，解不等式组求得实数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当2m =时,得{}31A x x =-<<,由260x x -++>,得{}23B x x =-<<, 于是{}33A B x x ⋃=-<<, {}21A B x x ⋂=-<<;（Ⅱ）若A B ⋂≠∅,则1253m m ->-⎧⎨-<⎩, 得18m -<<.【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19．已知a r ,b r ,c r 是同一平面内的三个向量,且()1,2a =-r .(Ⅰ)若5c =r ,且//c a r r ,求c r 的坐标;(Ⅱ)若3b =r ,且3a b +r r 与3a b -r r 垂直,求向量a r 与b r 夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ) c =-r ,或(c =r ; (Ⅱ) 【解析】（I ）利用c a λ=r r 设出c r 的坐标，根据5c =r 列方程，由此求得c r 的坐标.（II ）根据3a b +r r 与3a b -r r 垂直，则()()330a b a b +⋅-=r r r r ，化简后求得32a b ⋅=r r ，利用向量夹角公式，计算出向量a r 与b r 夹角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）设()2,a c λλλ==-r r5c =r Q,5=,即λ=故c =-r ,或(c =r ; （Ⅱ）()()33a b a b +⊥-r r r r Q ,()()330a b a b ∴+⋅-=r r r r 即223830a a b b +⋅-=r r r r ,代入整理得32a b ⋅=r rcos 10a b a bθ⋅==⋅r r r r , ∴向量a r 与b r【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20．已知函数()()sin 033x f x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=-<<,满足06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 62k ω=+,k Z ∈.单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ (Ⅱ) ()1,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）利用06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合03ω<<，求得ω的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调递增区间.（II ）根据图象变换的知识求得()g x 的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因为()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以63k ωπππ-=,k Z ∈ 因此62k ω=+,k Z ∈又03ω<<,2ω=,因为()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈即51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ 因此函数()f x 的单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因此()ππsin sin 4312y g x x x π⎛⎫==+-=⎛⎫ ⎪⎝-⎪⎝⎭⎭ ， 又344,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,,21233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以()31,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,90DAB ∠=︒,2AB =,1CD =,P 是线段AD 上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当3AD =时,(i )求AC AB ⋅u u u r u u u r 的值;(ⅱ)若54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,求AP u u u r 的值; (Ⅱ)求2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【答案】(Ⅰ) （i ）2 （ⅱ）3AP =u u u r (Ⅱ) 最小值为5 【解析】建立平面直角坐标系.（I ）当3AD =时，（i ）利用向量数量积的坐标运算，求得AC AB ⋅u u u r u u u r. （ii ）设AP t =u u u r 得出P 点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合54PB PC ⋅=u u u r u u u r ，求得t ，也即求得AP u u u r的值.（II ）设()1,C c 、()0,P t ，而()2,0B ，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得2PB PC +u u u r u u u r 的表达式，由此求得2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【详解】 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当3AD =时,（i ）2AB =Q ,()2,0AB ∴=u u u r ,(3AC =u u u r 因此21032AC AB ⋅=⋅+=u u u r u u u r ; （ⅱ）设AP t =u u u r ,即点P 坐标为()0,t ,则()2,PB t =-u u u r ,()3PC t =u u u r , ())2235213324PB PC t t t t t ⎛⋅=⋅+-⋅=+=+ ⎝⎭u u u r u u u r 当32t =时,54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,即3AP =u u u r （Ⅱ）设()1,C c 、()0,P t ,又()2,0B则()()()222,15,,3PB PC t c t c t +=-+-=-u u u r u u u r ,()222535PB PC c t ∴+=+-≥u u u r u u u r ,当3t c =时取到等号, 因此2PB PC +u u u r u u u r 的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22．设函数()()2a x f ax x =-+,其中a R ∈.(Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的零点;(Ⅱ)若对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）当1a =时，将()f x 表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得()f x 的零点.（II ）方法一：当0a ≥时，求得()f x 表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及()1f x ≥-列不等式，解不等式求得a 的值.当0a <时，分成105a -<<和15a ≤-两种情况进行分类讨论，结合函数()f x 的单调区间和最值列不等式（组），由此求得a 的取值范围.方法二：利用()f x 在区间[],1a a +端点的函数值不小于1-列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的a 的取值范围，恒有()1f x ≥-.【详解】（Ⅰ）当1a =时,()2231,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨--->⎩,（i ）当0x ≤时,令()0f x =,即2310x x ---=,解得32x -±=; （ⅱ）当0x >时,令()0f x =,即210x x ---=,此方程∆<0,无实数解.由（i ）（ⅱ）,得()f x 的零点为32--,32-+ （Ⅱ）方法1.（i ）当0a ≥时, 对于[],1x a a ∈+,得()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝, 显然函数()f x 在[],1a a +上递减,要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 11f x f a =+≥-,即23311a a --≥--,得10a -≤≤,又0a ≥,所以0a =符合题意.（ⅱ）当0a <时,()2222,03,0x ax a x f x x ax a x ⎧---≤=⎨--->⎩ 22223,02435,024a a x x a a x x ⎧⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++> ⎪⎪⎝⎭⎩ 由3022a a ->->,知函数()f x 在32,a ⎛-∞-⎤ ⎥⎝⎦上递增,在,32a -+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减.以下对a 再进行分类1︒当312a a -<+,即105a -<<时, 函数()f x 在2,3a a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上递增,在31,2a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上递减. 此时()()(){}min min ,1f x f a f a =+, 只需()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥⎪⎩解得330a a ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,即03a -≤≤ 又105a -<<,所以105a -<<符合题意. 2︒当312a a -≥+,即15a ≤-时, 函数()f x 在[],1a a +上递增.要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 1f x f a =≥-,即2231a a ≥--,得33a -≤≤, 又15a ≤-所以135a -≤≤-符合题意.由（i ）（ⅱ）,得实数a的取值范围是0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方法2.因为对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,所以()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩,解得0a ≤≤. 下面证明,当0,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-, （i ）当0a x ≤≤时,()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝递增, 故()()231f x f a a ≥=--≥成立; （ⅱ）当01x a ≤≤+时,()223f x a x ax =---, ()221115515124f a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=---=-++≥-,()21013f a =-≥->-, 故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立.由此,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论.【详解】由题意，点在第二象限，则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（）A. 若，则或B. 若，则或C. 若，则或D. 若，则【答案】B【分析】由向量的垂直条件，数量积为0，可判定A；由向量的数乘的定义可判断B；由向量的平方即为向量的模的平方，可判断C；向量的数量积不是满足消去律，可判断D，即可得到答案. 【详解】对于A中，若，则或或，所以不正确；对于B中，若，则或是正确的；对于C中，若，则，不能得到或，所以不正确；对于D中，若，则，不一定得到，可能是，所以不正确，综上可知，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答本题的关键，着重考查了判断能力和推理能力，属于基础题.3.已知向量，，若，则实数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，整理得，又由，所以，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数的图象关于直线对称，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，又由函数的图象关于对称，所以，即，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.将的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案.【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移个单位，得到的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.已知函数，，则是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数为，由此可得处函数的奇偶性和最小正周期，得到答案.【详解】由函数，所以函数为偶函数，且最小正周期为，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若向量，，且，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，，求得，在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的基本关系式，化简为齐次式，即可求解.【详解】由题意，，所以，解得，又由向量，，则，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的基本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.8.已知，是方程的两个实数根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒等变换，即可求出结果.【详解】由题意，，是方程的两个实数根，即，是方程的两个实数根，所以，则，故选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知单位向量的夹角为，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设，由，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，结合图形可知，即可求解的最大值.【详解】由题意，设单位向量，且，则，由，所以，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，如图所示，由图形可知，的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的坐标公式，得出向量表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10.有下列叙述，①函数的对称中心是；②若函数（，）对于任意都有成立，则；③函数在上有且只有一个零点；④已知定义在上的函数，当且仅当（）时，成立.则其中正确的叙述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】由正切函数的对称性可判断①；由正弦函数的对称性可判断②；由的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断③；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断④，即可得到答案. 【详解】由题意，①中，函数的对称中心是，所以不正确；②中，若函数对于任意都有成立，可得函数关于对称，则，所以不正确；③中，函数的导数为，可得函数在上为单调递增函数，又由，即在有且只有一个零点，所以是正确的；④中，已知定义在上的函数，当时，即时，；当时，即时，；当和，时，成立，即当时，成立，所以是正确的，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题。
浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（）A. 若，则或B. 若，则或C. 若，则或D. 若，则3.已知向量，，若，则实数为（）A. B. C. D.4.函数的图象关于直线对称，则实数的值是（）A. B. C. D.5.将的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，则（）A. B. C. D.6.已知函数，，则是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数7.若向量，，且，则的值是（）A. B. C. D.8.已知，是方程的两个实数根，则（）A. B. C. D.9.已知单位向量的夹角为，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.10.有下列叙述，①函数的对称中心是；②若函数（，）对于任意都有成立，则；③函数在上有且只有一个零点；④已知定义在上的函数，当且仅当（）时，成立.则其中正确的叙述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题。
11.的值为_____；的值为_____.12.已知扇形的周长为，当它的半径为____时，扇形面积最大，这个最大值为____.13.已知，，若，则实数的值是_____；若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_______.14.设，是单位向量，且，的夹角为，若，，则____；在方向上的投影为____.15.已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.16.若函数在内有两个不同的零点，则实数的取值范围是____.17.已知为的外心，，若（），则的取值范围是___.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知，，.（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）当为何值时，与垂直？19.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在的单调递增区间.20.设，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.21.已知和的夹角为，且满足，.（Ⅰ）求所有满足条件的所组成的集合；（Ⅱ）设函数，，对于集合中的任意一个，在集合中总存在着一个，使得成立，求实数的取值范围22.已知实数，，，若向量满足，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若在上为增函数.（1）求实数的取值范围；（2）若对满足题意的恒成立，求的取值范围.浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题参考答案一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论.【详解】由题意，点在第二象限，则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（）A. 若，则或B. 若，则或C. 若，则或D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由向量的垂直条件，数量积为0，可判定A；由向量的数乘的定义可判断B；由向量的平方即为向量的模的平方，可判断C；向量的数量积不是满足消去律，可判断D，即可得到答案.【详解】对于A中，若，则或或，所以不正确；对于B中，若，则或是正确的；对于C中，若，则，不能得到或，所以不正确；对于D中，若，则，不一定得到，可能是，所以不正确，综上可知，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答本题的关键，着重考查了判断能力和推理能力，属于基础题.3.已知向量，，若，则实数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，整理得，又由，所以，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数的图象关于直线对称，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，又由函数的图象关于对称，所以，即，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.将的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案. 【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移个单位，得到的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.已知函数，，则是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数为，由此可得处函数的奇偶性和最小正周期，得到答案. 【详解】由函数，所以函数为偶函数，且最小正周期为，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若向量，，且，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，，求得，在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的基本关系式，化简为齐次式，即可求解.【详解】由题意，，所以，解得，又由向量，，则，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的基本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.8.已知，是方程的两个实数根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒等变换，即可求出结果.【详解】由题意，，是方程的两个实数根，即，是方程的两个实数根，所以，则，故选C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知单位向量的夹角为，若向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设，由，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，结合图形可知，即可求解的最大值.【详解】由题意，设单位向量，且，则，由，所以，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，如图所示，由图形可知，的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的坐标公式，得出向量表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10.有下列叙述，①函数的对称中心是；②若函数（，）对于任意都有成立，则；③函数在上有且只有一个零点；④已知定义在上的函数，当且仅当（）时，成立.则其中正确的叙述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】由正切函数的对称性可判断①；由正弦函数的对称性可判断②；由的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断③；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断④，即可得到答案.【详解】由题意，①中，函数的对称中心是，所以不正确；②中，若函数对于任意都有成立，可得函数关于对称，则，所以不正确；③中，函数的导数为，可得函数在上为单调递增函数，又由，即在有且只有一个零点，所以是正确的；④中，已知定义在上的函数，当时，即时，；当时，即时，；当和，时，成立，即当时，成立，所以是正确的，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题。
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√322．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√53．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．26．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．1658．已知cos （140°﹣α）+sin （110°+α）＝sin （130°﹣α），求tan α＝（ ） A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√3二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x +π6)+1，则下列说法正确的是（ ）A ．相位为2x +π6B ．对称中心为(−π12+kπ，0)，k ∈Z C ．函数f （x ）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k ∈ZD ．将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ） A ．t ∈（0，2） B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 ． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ ． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= ．16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23．（1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值． 19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD 所示），其中O 为生活区入口．已知有三条路AB ，BC ，AD ，路AD 上有一个观赏塘T ，其中AT ＝300m ，路BC 上有一个风雨走廊的入口L ，其中BL ＝200m ．现要修建两条路OT ，OL ，修建OT ，OL 费用成本分别为2λ/m ，3λ/m ．设∠TOA ＝α．（1）当AO ＝600m ，BO ＝200m 时，求张角∠TOL 的正切值；（2）当OT ⊥OL 时，求当α取多少时，修建OT ，OL 的总费用最少，并求出此时总费用．20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)． （1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围．21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答） ①f(x +12)=f(−x +12)；②f(x −12)是奇函数；③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx+12)，不等式m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m对于∀x∈R恒成立，求m的取值范围．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√32解：cos2024π3=cos （675π−π3）＝﹣cos π3=−12． 故选：A ．2．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√5解：|AB →|=|OB →−OA →|=√OB →2+OA →2−2OB →⋅OA →=√2+1−2×√2×1×(−22)=√5．故选：D ．3．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解：为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象向右平移π15个单位长度得到．故选：A ．4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →解：|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos ＜a →，b →＞×b→|b →|=2√3×(−√32)b →=−3b →．故选：D ．5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．2解：由tan （α−π4）=tanα−11+tanα=12，解得tan α＝3，所以cos2α+sin2α+2＝2cos 2α+2sin αcos α+1 =3cos 2α+sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=3+tan 2α+2tanαtan 2α+1=3+9+2×39+1=95．故选：C ．6．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a解：b =cos 2π12−sin 2π12= c os π6=√32，c =2tan 3π81+tan 23π8=2sin 3π8cos 3π8sin 23π8+cos 23π8= s in （2×3π8）＝sin 3π4=√22， 所以a =(12)1.2＜12＜√22＜√32，即a ＜c ＜b ．故选：B ．7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．165解：因为B ，D ，P 三点共线，所以CP →=λCD →+(1−λ)CB →=λ2CA →+(1−λ)CB →，因为A ，P ，E 三点共线，所以CP →=μCA →+(1−μ)CE →=μCA →+34(1−μ)CB →，由平面向量基本定理可得：{λ2=μ1−λ=34(1−μ)，解得{λ=25μ=15， 所以AP →=15CA →+35CB →，因为CM →=mCA →，CN →=nCB →，且0＜m ＜1，0＜n ＜1，所以CA →=1m CM →，CB →=1nCN →，所以CP →=15m CM →+35nCN →， 因为M ，P ，N 三点共线，所以15m+35n=1，所以m+n=(m+n)(15m+35n)=n5m+3m5n+45≥2√n5m×3m5n+45=2√3+45，当且仅当n5m=3m5n，即m=1+√35，n=3+√35时等号成立，所以m+n的最小值为4+2√35．故选：B．8．已知cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），求tanα＝（）A．√33B．−√33C．√3D．−√3解：因为cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），所以﹣sin（50°﹣α）+cos（20°+α）＝sin（50°+α），即﹣sin50°cosα+cos50°sinα+cos（20°+α）＝sin50°cosα+cos50°sinα，所以cos20°cosα﹣sin20°sinα＝2sin50°cosα，即（cos20°﹣2sin50°）cosα＝sin20°sinα，所以tanα=cos20°−2sin50°sin20°=cos20°−2sin(30°+20°)sin20°=cos20°−2×12cos20°−2×√32sin20°sin20°=−√3．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+1，则下列说法正确的是（）A．相位为2x+π6B．对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC．函数f（x）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k∈ZD．将函数y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin(x+π6)+1的图象解：函数f(x)=2sin(2x+π)+1，对于A ：相位为2x +π6，故A 正确；对于B ：当x =−π12+kπ，k ∈Z 时，f （−π12+kπ）＝1，故对称中心为（−π12+kπ，1），k ∈Z ．故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+π2，（k ∈Z ），整理得：−π3+kπ≤x ≤kπ+π6，（k ∈Z ），故函数的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，（k ∈Z ），故C 错误；对于D ：将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象，故D 正确．故选：AD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形解：由题意，a →，b →为平面内两个不共线的向量， 设a →+b →=λ(−a →+3b →)=−λa →+3λb →，则有{−λ=13λ=1，λ不存在，所以a →+b →与−a →+3b →不共线，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底，故A 对；只有当b →≠0→时，若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →，故B 错； 因为a →，b →为非零向量，设a →与b →夹角为α， 由|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，平方得4a →2+12a →⋅b →+9b →2=4|a →|2−12|a →|⋅|b →|+9|b →|2， 整理得a →⋅b →=−|a →|⋅|b →|，所以cos α＝﹣1，又α∈[0，π]，所以α＝π，则a →与b →共线且反向，故C 对； 在△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，所以cosA =12，A ∈(0，π)，所以A =π3，由(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，得|AB →|2−|AC →|2=0， 即|AB →|=|AC →|，则△ABC 为等边三角形，故D 对． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞） 解：对于A ，∵f （x +π）＝cos2（x +π）+4cos(x+π)=cos2x −4cosx≠f （x ），故A 错误；对于B ，由cos x ≠0，得x ≠kπ+π2(k ∈Z)，∴f （x ）的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z }，且f(−x)=cos2(−x)+4cos(−x)=cos2x +4cosx−f(x)，∴f （x ）是偶函数，故B 正确； 对于C ，∵f （x ）+f （2π﹣x ）＝cos2x +4cosx +cos2（2π﹣x ）+4cos(2π−x)=2f （x ）不是定值，故C 错误；对于D ，f （x ）＝cos2x +4cosx =2cos 2x +4cosx−1， 令t ＝cos x ∈[﹣1，0）∪（0，1]，则g(t)=2t 2+4t −1，g ′(t)=4t −4t 2=4(t 3−1)t 2，当t ∈[﹣1，0）时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减； 当t ∈（0，1]时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增， 又g （﹣1）＝2﹣4﹣1＝﹣3，g （1）＝2+4﹣1＝5， 当x →0﹣时，g （t ）→﹣∞； 当x →0+时，g （t ）→+∞，∴g （t ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），即f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ）A ．t ∈（0，2）B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182解：将函数y ＝log 2x （0＜x ＜4）的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方， 即可得到y ＝log 2（﹣x ）（﹣4＜x ＜0）的图象；对于f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24），最小正周期为T =2ππ3=6，故[0，24）上有4个周期，令π3x +π6=k π+π2，k ∈Z ，则可得f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24）的对称轴为x ＝3k +1，k ＝0，1，2， (7)由此作出函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24的图象，如图：则g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）的零点问题即为f （x ）的图象与直线y ＝t 的交点问题， 由图象可知，当t ＞4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有1个交点，不合题意； 当t ＝4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有5个交点，不合题意； 当2≤t ＜4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有9个交点，不合题意；当0＜t ＜2，即t ∈（0，2）时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，符合题意，A 正确； 由题意可知﹣4＜x 1＜﹣1＜x 2＜0，满足|log 2（﹣x 1）|＝|log 2（﹣x 2）|，则log 2（﹣x 1）＝﹣log 2（﹣x 2），即log 2（﹣x 1）+log 2（﹣x 2）＝log 2[（﹣x 1）（﹣x 2）]＝0， 所以（﹣x 1）（﹣x 2）＝1， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）＝（﹣x 1）+1−x 1， 因为﹣4＜x 1＜﹣1，所以1＜﹣x 1＜4， 由对勾函数的性质可知（﹣x 1）+1−x 1∈（2，174）， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）∈（2，174），所以x 1+x 2∈（−174，﹣2），故B 不正确； 由函数图象可得x 3+x 4＝8，2＜x 3＜52， 故x 3x 4＝x 3（8﹣x 3）＝﹣（x 3﹣4）2+16∈（12，554），C 正确； 由图象可知f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，即n ＝5，且x 3，x 4关于直线x ＝4对称，故x 3+x 4＝8，同理得x 4+x 5＝14，x 5+x 6＝20，x 6+x 7＝26，x 7+x 8＝32，x 8+x 9＝38，x 9+x 10＝44，故x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 2n ﹣1）+x 2n＝x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 9）+x 10＝8+14+20+26+32+38+44＝182，D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 π2 ．解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，则扇形的面积为12αr 2＝π，弧长为αr ＝π，解得r ＝2，α=π2， 所以扇形的圆心角为π2． 故答案为：π2． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ −25 ． 解：e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，则e 1→⋅e 2→=1×1×cos 2π3=−12， 若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直， 则(e 1→+λe 2→)⋅(3e 1→+4e 2→)=3e 1→2+(4+3λ)e 1→⋅e 2→+4λe 2→2=3+（4+3λ）×(−12)+4λ=0，解得λ=−25． 故答案为：−25． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= 3+4√310． ． 解：因为x ∈（π，2π），所以x 2+5π24∈(π2+5π24，π+5π24)，则cos （x 2+5π24）＜0， 所以cos （x 2+5π24）=−√1−sin 2(x 2+5π24)=−2√55， 所以cos （x +5π12）＝2co s 2(x 2+5π24)−1=85−1=35，sin （x +5π12）＝2sin （x 2+5π24）cos （x 2+5π24）=−45， 所以cos （x +3π4）＝cos[（x +5π12）+π3 ]＝cos (x +5π12)cos π3−sin(x +5π12)sin π3=35×12−(−45)×√32=3+4√310． 故答案为：3+4√310． 16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 （0，112]∪[16，712] ． 解：f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝[sin （ωx +2φ）+φ]﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ+cos （ωx +2φ）sin φ﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ﹣cos （ωx +2φ）sin φ＝sin （ωx +φ），因为ω＞0，0＜φ＜π，所以T =2πω， f （T 4）＝f （π2ω）＝sin （π2+φ）＝cos φ=12， 所以φ=π3，f （x ）＝sin （ωx +π3）， 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递增， 则{2kπ−π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，即2k −56≤ω≤k +112，k ∈Z ， 需满足2k −56≤k +112，k ∈Z ，所以k ≤1112，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，0＜ω≤112； 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递减， 则{2kπ+π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，即2k +16≤ω≤k +712，k ∈Z ， 需满足2k +16≤k +712，k ∈Z ，所以k ≤512，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，16≤ω≤712； 故ω的取值范围为：（0，112]∪[16，712]．故答案为：（0，112]∪[16，712]． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23． （1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围．解：（1）因为|a →|=|b →|=1，(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23， 所以a →2+a →⋅b →−2b →2=−23，即1+a →⋅b →−2=−23， 则a →⋅b →=13， 则cos〈a →，b →〉=a →⋅b →|a →||b →|=13， 即a →与b →夹角的余弦值13； （2）因为ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，所以(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0且ka →+b →与a →+3b →不共线，当ka →+b →与a →+3b →共线时，有ka →+b →=λ(a →+3b →)，即ka →+b →=λa →+3λb →，由（1）知a →与b →不共线，所以{k =λ1=3λ，解得k =13， 所以当ka →+b →与a →+3b →不共线时，k ≠13， 由(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0，得ka →2+(3k +1)a →⋅b →+3b →2＞0，即k +(3k +1)×13+3＞0，解得k ＞−53， 所以k ＞−53且k ≠13， 即实数k 的取值范围为(−53，13)∪(13，+∞)． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值．解：（1）f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)=sinα(−sinα)cosα(−tanα)(−cosα)(−sinα)(−cosα)(−tanα)=tanα；（2）若α∈(−π2，0)，则tanα＜0，因为f(α)+1f(α)=−103=tanα+1tanα，所以tanα＝﹣3或tanα=−1 3，√2sin(α+π4)=cos2α−sin2αsinα+cosα=cosα﹣sinα，当tanα＝﹣3，α∈(−π2，0)，则{sinα=−3cosαsin2α+cos2α=1，解得sinα=−3√310，cosα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；当tanα=−13时，{cosα=−3sinαsin2α+cos2α=1，解得cosα=3√310，sinα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；故√2sin(α+π4)=2√105．19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD所示），其中O为生活区入口．已知有三条路AB，BC，AD，路AD上有一个观赏塘T，其中AT＝300m，路BC上有一个风雨走廊的入口L，其中BL＝200m．现要修建两条路OT，OL，修建OT，OL费用成本分别为2λ/m，3λ/m．设∠TOA＝α．（1）当AO＝600m，BO＝200m时，求张角∠TOL的正切值；（2）当OT⊥OL时，求当α取多少时，修建OT，OL的总费用最少，并求出此时总费用．解：（1）设∠LOB＝β，β为锐角，则tanβ=LBOB=1，设∠TOA＝α，则tanα=TAOA=12，故tan∠TOL＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）=−tanα+tanβ1−tanαtanβ=−12+11−12×1=−3；（2）当OT⊥OL时，∠LOB=π2−α，α∈(0，π2)，故OT=300sinα，OL=200sin(π2−α)=200cosα，设修建OT ，OL 的总费用为y ，则y =300sinα×2λ+200cosα×3λ=600λ⋅(1sinα+1cosα)=600λ⋅sinα+cosαsinαcosα， 设t ＝sin α+cos α，则t =√2sin(α+π4)∈(1，√2]， 则sinαcosα=t 2−12， 所以y =600λ⋅sinα+cosαsinαcosα=600λ⋅2t t 2−1=1200λ⋅1t−1t， 因为y =t −1t 在(1，√2]上单调递增，所以0＜t −1t ≤√22，t =√2时取得等号， 所以y =1200λ⋅1t−1t 的最小值为1200λ1√22=1200√2λ，此时t =√2，即α=π4， 故当α=π4时，修建OT ，OL 的总费用最少，最少为1200√2λ． 20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)．（1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围． 解：（1）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），c →=（﹣1，0），∴b →+c →=（cos α﹣1，sin α），∴|b →+c →|=√cos 2α−2cosα+1+sin 2α=√2−2cosα，当cos α＝﹣1时，|b →+c →|最大，此时|b →+c →|=2，α＝π+2k π，k ∈Z ；（2）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），∴a →⋅b →=cos α+2sin α=√5sin(α+φ)，tanφ=12，φ∈(0，π2)， ∵α∈(0，π3)，∴α+φ∈(φ，π3+φ)， 设θ＝α+φ，易知θ是第一象限角，故原式转化为f(θ)=√5sinθ，结合正弦函数性质得f （θ）在(0，π2)上单调递增， 当θ＝φ时，tanθ=12，易知θ是第一象限角，故sinθ=√55，a →⋅b →=1， 当θ=φ+π3时，sinθ=2√15+√510，a →⋅b →=√5×2√15+√510=12+√3，故f(θ)∈(1，12+√3)，即a →⋅b →∈(1，12+√3)． 21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答）①f(x +12)=f(−x +12)； ②f(x −12)是奇函数； ③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx +12)，不等式m sin 2x ﹣g （x ）≤4﹣6m 对于∀x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．解：（1）∵△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，∴A ＝1，且T 2=2，∴T =2π|ω|=4，又ω＞0，∴ω=π2．则f(x)=sin(π2x +φ)． 选①由f(x +12)=f(−x +12)，得函数f （x ）的图像关于直线x =12对称， 则π2×12+φ=π2+kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选②∵f(x −12)=sin(π2x −π4+φ)是奇函数， ∴−π4+φ=kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选③则f(0)=sinφ=√22，结合图像和0＜φ＜π，可得φ=π4．故函数f（x）的解析式为f(x)=sin(π2x+π4)．（2）由（1），得g(x)=f(2πx+12)=sin(x+π2)=cosx，∴m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m⇔m sin2x﹣cos x﹣4+6m≤0，∴m cos2x+cos x﹣7m+4≥0对于∀x∈R恒成立．令t＝cos x∈[﹣1，1]，则mt2+t﹣7m+4≥0对∀t∈[﹣1，1]恒成立，∴m≤−t+4t2−7对∀t∈[﹣1，1]恒成立．∵t2−7t+4=(t+4)2−8(t+4)+9t+4=t+4+9t+4−8，令n＝t+4∈[3，5]，则y=n+9n−8在n∈[3，5]时单调递增，∴y∈[−2，−65]，∴t2−7t+4∈[−2，−65]，∴−t+4t2−7∈[12，56]，∴m≤12，故m的取值范围为(−∞，12 ]．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．解：（1）f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2=4sin x cos x+2|√2（sin x+cos x）﹣t|+t+2，设n=√2（sin x+cos x），则4sin x cos x＝n2﹣2，﹣2≤n≤2，则y（n）＝n2+2|n﹣t|+t，当t≤﹣1时，函数y（n）＝n2+2n﹣t在[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9，当﹣1＜t≤0时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2﹣2t+8；当0＜t≤1时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2+2t+8；当t＞1时，函数y（n）在[﹣2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9．综上：g（t）={9，t≤−1−t2−2t+8，−1＜t≤0−t2+2t+8，0＜t≤19，t＞1；（2）|f（x）+s|≤6恒成立可化为﹣s﹣6≤y（n）≤﹣s+6，﹣2≤n≤2恒成立．①当t＞1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，所以﹣s﹣6≤3t﹣1且8+3t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣2t﹣2＜﹣4；②当0＜t≤1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8+3t≤﹣s+6，解得：﹣7≤s+t＜﹣2；③当﹣1＜t≤0时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8﹣t≤﹣s+6，解得：﹣7＜s+t≤﹣2；④当t≤﹣1时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，故﹣s﹣6≤﹣t﹣1且8﹣t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣4，综上所述：s+t≤﹣2．所以s+t的取值范围为（﹣∞，﹣2]．。
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)
（1）求 的值；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】（1）因为 ，所以 且 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
.
20.已知定义在R上的奇函数 ．
（1）求b的值；（2）若 在 上的最大值为 ，求a的值．
18.已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 和 ；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ， ；（2） 或 .
【详解】解：（1）由题可知，当 时，则 ，
或 ，则 ，
所以 .
（2）由题可知， 是 的必要不充分条件，则 ，
当 时， ，解得： ；
当 时， 或 ，
解得： 或 ；综上所得： 或 .
则 在 上成立，所以 ；又 在 上成立，所以 在 上成立，所以 ，综上， 的取值范围为 .
8.已知函数 ，若方程 恰有 个实根，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】 ， ，设 .
当 时，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立.所以， .
【答案】D【详解】函数 的图像向左平移2个单位长度后可得，
，与函数 的图象重合，
由 ，所以 时，即 时图象重合，且 最小.
7.若函数 在区间 上单调递增，则a的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】令 ，则 ，因为函数 在 上单调递增，函数 在定义域上是减函数，所以函数 在 上单调递减，并且 在 上成立；当 在 上单调递减，
所以 ，解得
15.函数 的值域是____．
【答案】 【详解】设 ，则 ，
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1
镇海中学2018学年第一学期期末考试
高一年级数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点)cos ,(sin ααP 在第二象限，则角α的终边所在的象限为（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. 对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中正确的是（ ）
A.若0=⋅b a ，则0=a 或0=b
B.若0=a λ，则0=λ或0=a
C.若2
2
b a =，则b a =或b a -= D.若
c a b a ⋅=⋅，则c b =
3. 已知向量)2,1(+=λa ，)2,2(-=b ，若||||b a b a -=+，则实数λ为（ ） A.2- B.1- C.1 D.2
4. 函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6
π
=
x 对称，则实数a 的值是（ ）
A.
2
1
B.2
C.23
D.3
5. 将)(x f y =的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移
4π个单位，所得图象恰与)3
sin(π
+=x y 重合，则=)(x f （ ） A.)1272sin(π+
x B.)1272sin(π+x C.)122sin(π+x D.)12
2sin(π
+x
2
6. 已知函数x x x f 2
cos )2cos 1()(-=，R x ∈，则)(x f 是（ ）
A.最小正周期为
2π的奇函数 B.最小正周期为2
π
的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数
7. 若向量)1sin ,2(sin -=ααa ，)sin 1,1(α+=b ，且3)4
tan(-=+απ
，则b a ⋅的值是
（ ）
A.1
B.
53 C.3
5
D.1- 8. 已知αtan ，βtan 是方程0)23lg(2
=--x x 的两个实数根，则=+)tan(βα（ ）
A.2
B.
51 C.61 D.2
1
9. 已知单位向量b a ,的夹角为
60，若向量c 满足3|32|≤+-c b a ，则||c 的最大值为（ ）
A.3
31+
B.33
C.31+
D.3
10. 有下列叙述，
①函数x y tan =的对称中心是)0,(πk ；
②若函数)sin(2)(ϕω+=x x f （0>ω，πϕ<<0）对于任意R x ∈都有
)6()6(x f x f -=+ππ成立，则2)6
(=π
f ；
3
③函数x x x f sin )(-=在R 上有且只有一个零点；
④已知定义在R 上的函数2
cos sin |2cos sin |
)(x
x x x x f ++
-=，当且仅当 πππ
π+<<-
k x k 22
2（Z k ∈）时，0)(>x f 成立.
则其中正确的叙述有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 6
7sin
π的值为________；
20sin 10cos 70sin 10sin +的值为________. 12. 已知扇形的周长为2，当它的半径为_______时，扇形面积最大，这个最大值为________.
13. 已知)2,3(+=λa ，)1,(λ=b ，若b a ∥，则实数λ的值是________；若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____________.
14. 设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为
3
2π
，若21e e a +=，212e e b -=，则=⋅21e e ________；a 在b 方向上的投影为________.
15. 已知),3(a P -为角θ的终边上的一点，且2
1
sin =
θ，则实数a 的值为________.
4
16. 若函数12sin 42cos 3)(++--=a x x x f 在),0[π内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.
17. 已知O 为ABC ∆的外心，3
π
=∠C ，若OB OA OC μλ+=（R ∈μλ,），则μλ+的
取值范围是__________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 已知2||=a ，3||=b ，34)3()2(-=+⋅-b a b a .
（Ⅰ）求与的夹角θ；
（Ⅱ）当x 为何值时，b a x -与b a 3+垂直？
19. 已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=
.
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；
5
（Ⅱ）求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间.
20. 设),0(,πβα∈，且135)sin(=
+βα，3)4
2tan(=+π
α. （Ⅰ）求αcos 的值； （Ⅱ）求βcos 的值.。