高考中的函数对称性问题(w)
重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。
三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。
在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。
本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。
一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。
关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。
关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。
2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。
函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。
二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。
2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。
三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。
函数对称性：高考数学一轮复习基础必刷题
函数对称性：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．函数91()3x x f x +=的图像（）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称2．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（）A ．7B ．2C ．2-D ．12-3．设函数()1=+xf x x ，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++4．函数f (x )的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y =ex 关于x 轴对称，则f (x )=（）A ．-ex -1B ．-ex +1C ．-e -x -1D ．-e -x +15．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-6．我们知道，函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.据此，我们可以得到函数()323f x x x =+图象的对称中心为（）A ．()1,2-B ．()1,2--C ．()1,4D ．()1,4-7．已知函数2()e e x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 关于直线1x =-对称B ．()f x 关于点(1,0)对称C ．()f x 关于点(1,0)-对称D ．()f x 关于直线1x =对称8．函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知偶函数()f x 在R 上有四个零点，则这四个零点之和为___________.10．已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又()11f -=，()02f =-，则()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅+=______．三、解答题12．已知指数函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()1g x f x =，证明：函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．已知函数()2()22f x x a x a =+--，a R ∈.(1)若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；(2)求使()0f x >的自变量x 的取值范围.14．已知函数2()log (2)f x x =+，函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称.（1）求()g x 的解析式；（2）解关于x 的不等式2()(23)f x g x x >-.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性.【详解】解：因为()()231911333333x xx x x x xxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+=易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称.故选：B.2．C 【解析】【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【详解】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.3．A 【解析】【分析】求出函数()f x 图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为()1111111x x f x x x x +-===-+++，所以，()()112112121f x f x x x +--=-+-=+--+，所以，函数()f x 图象的对称中心为()1,1-，将函数()f x 的图象向右平移1个单位，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数()11f x --为奇函数.故选：A.4．A 【解析】【分析】先求出与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式，再右移一个单位即可得解.【详解】与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式为y =-ex ，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y =-ex -1，而按上述变换所得图象对应的函数是f (x )，所以f (x )=-ex -1.故选：A 5．A 【解析】【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A6．A 【解析】【分析】依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，则()()y g x f x a b ==+-为奇函数，再根据奇函数的性质得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，由此可得()()()()()()3232232333363y g x f x a b x a x a b x a x a a x a a b ==+-=+++-=++++++-为奇函数，由奇函数的性质可得3233030a a a b +=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，则函数()323f x x x =+图象的对称中心为()1,2-；故选：A 7．B 【解析】【分析】由题可得2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，然后逐项分析即得.【详解】∵2()e e x x f x -=-，∴2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，∴242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+-=≠--=--，故A 错误；()22(2)e e e e ()x x x x f x f x --=-=---=-，故B 正确；()242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+---=-=--≠-，故C 错误；22(2)e e ()e e x x x x f x f x ---=-=-≠，故D 错误.故选：B.8．C 【解析】【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A ，B ；再由4x >时的函数值符号即可判断作答.【详解】函数()()3ln 33x f x x -=-定义域为(,3)(3,)-∞⋃+∞，其图象可由函数3ln ||()(0)x g x x x =≠的图象右移3个单位而得，而3ln ||()()()x g x g x x --==--，即函数3ln ||()x g x x=是奇函数，其图象关于原点对称，因此，函数()f x 图象关于点(3,0)对称，选项A ，B 不满足；又当4x >时，ln |3|0x ->，3(3)0x ->，即有()0f x >，则当4x >时，()f x 图象在x 轴上方，D 不满足，所以函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为C.故选：C 9．0【解析】【分析】根据给定条件利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质计算作答.【详解】因函数()f x 是R 上的偶函数，则函数()f x 的图象关于y 对称，而x 轴垂直于y 轴，即x 轴也关于y 轴对称，又函数()f x 在R 上有四个零点，即函数()f x 的图象与x 轴有4个交点，从左到右依次设为：1234(,0),(,0),(,0),(,0)A x B x C x D x ，于是得点A 与D 关于y 轴对称，点B 与C 关于y 轴对称，即14230,0x x x x +=+=，则12340x x x x +++=，所以四个零点之和为0.故答案为：010．15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.11．2【解析】【分析】利用()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得函数周期3T =，再结合函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，即()32f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，分析可得()()211f f ==，()32f =-，即()()()1230f f f ++=，结合函数周期性，即得解【详解】()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()()3f x f x ∴=+，周期3T =，又()11f -=，()02f =-，()()121f f ∴-==，()()032f f ==-， 函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()32f x f x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，又()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()113111222f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()1231120f f f ∴++=+-=，202136732=⨯+ ，()()()()()()1232021122f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+=．故答案为：2．12．(1)()3xf x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，由函数图象过点()2,9P 即可求解；（2）任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，证明()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上即可.(1)解：由题意，设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，因为函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，所以29a =，解得3a =，所以函数()3xf x =；(2)证明：由（1）知()()1133x x y g x f x -====，任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，则003xy =，因为()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-，且()00033x x y --==，所以()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上，所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．(1)4(2)答案见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到212a x -==，解出即可；（2）分三种情况当2a =-时，当2a >-时，当2a <-时来解不等式.(1)解法一：因为()2()22f x x a x a =+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=.由212a -=，得4a =.解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有()()02f f =成立，所以284a a -=-，得4a =.(2)不等式()0f x >，即为()2220x a x a +-->，()()20x x a +->，当2a =-时，不等式的解集为{}2,x x x R ≠-∈，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x x a <-<或，当2a <-时，不等式的解集为{}2x x x a >-<或.14．(1)2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)1{|02x x -<<或12}x <<.【解析】【分析】(1)在函数()y g x =图象上任取点，该点关于y 轴对称点必在()y f x =的图像，代入即可得解；(2)由(1)及所给条件，列出对数不等式，由对数函数单调性等价转化成不等式组并求解即得.【详解】(1)设(,)P x y 为函数()y g x =的图像上任意一点，点P 关于y 轴的对称点为1(,)P x y -，则点1P 必在函数()y f x =的图像上，则2log (2)y x =-+，即2()log (2)g x x =-+，所以()g x 的解析式为2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)由2()(23)f x g x x >-及(1)可得222log (2)log (223)x x x +>-+，因为2log y x =是增函数，于是有222022302223x x x x x x +>⎧⎪-+>⎨⎪+>-+⎩，即22202320220x x x x x +>⎧⎪--<⎨⎪->⎩，解得102x -<<或12x <<，所以不等式2()(23)f x g x x >-的解集为1{|02x x -<<或12}x <<.。
高中文科数学与函数有关的对称问题
高中文科数学与函数有关的对称问题函数是高中数学较为核心的知识点之一,而对称为几何概念,函数与对称结合,可以很好地考查学生的函数方程思想与数形结合思想.近几年的文科数学全国高考卷中,与函数对称相关的题目几乎年年都有小题,少则5分,多则15分.(当然不是说一个题目就考对称与函数,更多的情况是结合其他知识一起考查,一起组合成一个小题)先简单提一下本文的大致内容与思路：一：简单引入本节课的相关知识点（复杂拓展内容见后续）二：讲几个具有代表性的题型，总结一下解题方法关于函数与对称,部分老师和同学可能不太在意,事实上我们在必修一中学过的奇偶性就是此类题目中最为简单的对称问题.以下为一些知识点与引入:1.奇偶性的一般判定步骤: ①定义域关于原点对称; ②满足F(X)=-F(-X)或者F(X)=F(-X)(此外,由图像的对称性来判断奇偶性也可以,即奇函数关于原点对称,偶函数关于Y轴对称)2.奇偶性的相关运算①奇*奇=偶②奇＋奇=奇③偶*偶=偶④偶＋偶=偶⑤奇＋偶=非奇非偶举个例子:函数与y=x都是奇函数，这两个奇函数相乘得到偶函数y=x2（结合例子回忆即可，无需死背，一般取y=x ，y=x2 ，y=X3这几个就可以）3.常见的奇函数4.常见的偶函数5.其他部分结论①在x=0处有定义的奇函数满足f(0)=0②奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数③函数y=e x 与ln y x = 互为反函数（关于直线y=x 对称）④函数f(x+a)为偶函数，则f(x)关于直线x=-a 对称（其他结论将在接下来的几天练习中补充）以下为几个具有代表性的相关题型：题型一.图像＋奇偶性(函数图像题)图像题一般按照以下几个步骤就可以选出正确答案:①看奇偶性，即看对称(不一定是关于原点或Y 轴对称)②看趋势，即看最值与临界值,极限③看特殊值，即代入数字计算(一定要选择具有明显差别的数值)④看单调性与零点，比较麻烦，一般不用一般按照步骤①和③即可以选出答案，如果会步骤②（有可能会用到极限思想或者说洛必达法则）就可以更加快速得出答案和进行检验，④的话相对鸡肋（麻烦难算），但有些题目可以巧妙利用（比如x 2 - x 处在分子的位置上，那么X=0或者1为函数的零点，当然还要考虑定义域）或者死算。
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
考点09函数的对称性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版
考点09函数的对称性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．【知识点】1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于对称，偶函数关于对称．(2)若f (x －2)是偶函数，则函数f (x )图象的对称轴为 ；若f (x －2)是奇函数，则函数f (x )图象的对称中心为．2．若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，则f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a －x )＝－f (a ＋x )，则函数的图象关于点 对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )关于 对称；(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )关于 对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )关于对称．【核心题型】题型一 轴对称问题 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2成轴对称．【例题1】（2024·辽宁·一模）已知函数(2)f x +为偶函数，且当2x ³时，()()217log 47f x x x =-+，若()()f a f b >，则（ ）A ．(4)()0a b a b +--<B ．(4)()0a b a b +-->C ．(4)()0a b a b ++-<D ．(4)()0a b a b ++->【变式1】（2024·四川泸州·二模）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当[]2,2x Î-时，函数()24f x x =-，设函数()|2|()e 26x g x x --=-<<，则方程()()0f x g x -=的所有实数根之和为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()1f x x =-，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()10121013f a f a =，则2024S =（ ）A ．1012B ．2024C ．3036D ．4048【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()f x 及其导数()f x ¢的定义域为R ，记()()g x f x ¢=，且()(),1f x g x +都为奇函数．若()52f -=，则()2023f =（ ）A ．0B ．12-C ．2D ．2-题型二 中心对称问题函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔2b －f (x )＝f (2a －x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ＋b 2，c 2)成中心对称．【例题2】（2024·全国·模拟预测）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()21f x +为奇函数.若1111,3322f f æöæö==ç÷ç÷èøèø，则2023202332f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø（ ）A ．16B ．16-C ．56-D ．56【变式1】（2024·全国·模拟预测）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，则（ ）A ．()()2f x f x =+B ．()()2f x f x -=-C ．()()4f x f x =-D ．()2f x -是奇函数【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数()3=f x x，则函数()11y f x =-+的图象（ ）A ．关于点()1,1对称B ．关于点()1,1-对称C ．关于点()1,0-对称D ．关于点()1,0对称【变式3】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（ ）A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-题型三 两个函数图象的对称函数y ＝f (a ＋x )的图象与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a2对称．【例题3】（2024上·北京·高二统考学业考试）在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【变式1】（2024下·江苏扬州·高三统考开学考试）定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且函数(2)1y f x =-+是奇函数，则函数()y g x =图象的对称中心为（ ）A ．(2,1)B ．(2,1)--C ．(2,1)-D ．(2,1)-【变式2】（2020上·安徽·高一校联考期末）已知函数(1)=-y f x 是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y -=对称，那么()y g x =的对称中心为( )A ．(1,0)B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(0,1)-【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线（ ）A ．x ＝0对称B ．y ＝0对称C ．x ＝1对称D ．y ＝1对称【课后强化】基础保分练一、单选题1．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）函数()y f x =满足对任意x ÎR 都有()()2f x f x +=-成立，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且()14f =，则()()()201820192020f f f ++=（ ）A ．-4B ．0C ．4D ．82．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数32()f x x ax x b =+++的图象关于点(1,1)对称，则b =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数()1122,1,22,1,x x x f x x --+ì+<-=í->-î则()f x 的图象关于（ ）A ．点()1,2-对称B ．点()1,2-对称C ．直线1x =对称D ．直线=1x -对称4．（2023·云南·模拟预测）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()112f x f x ++-=，()2g x +是偶函数，且()()24f x g x ++=，()22g =，则（ ）A ．()f x 关于直线1x =对称B ．()f x 关于点()1,0中心对称C ．()20231f =D ．151()15k f k ==å5．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -的图象关于点(1,0)对称，()30f =，且对任意的()12,,0x x Î-¥，12x x ¹，满足()()21210f x f x x x -<-，则不等式()()110x f x -+³的解集为（ ）A ．(][),12,-¥È+¥B ．[][]4,10,1--ÈC ．[][]4,11,2--ÈD ．[][)4,12,--È+¥二、多选题6．（2024·全国·二模）已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，()1f x -的图象关于直线1x =对称，且函数12y x =-的图象的对称中心也是()f x 图象的一个对称中心，则（ ）A ．点()2,0-是()f x 的图象的一个对称中心B ．()f x 为周期函数，且4是()f x 的一个周期C ．()4f x -为偶函数D ．()()31352f f +=7．（2024·江苏南通·二模）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()g x 为偶函数C ．(1)(1)--=--+g x g xD ．(1)(1)g x g x -=+三、填空题8．（2024·宁夏银川·一模）已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，()22f =，且对任意[]12,0,1x x Î，均有()()()1212f x x f x f x +=+成立，若()27777222n f f f f t æöæöæö++++<ç÷ç÷ç÷èøèøèøL 对任意*n ÎN 恒成立，则t 的最小值为.9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，且()41f x +的图象关于点()0,2中心对称，若()()2240f x f x x +--+=，则()1001i f i ==å.四、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）下列函数是否存在对称轴或对称中心？(1)f (x )＝21x x x ++；(2)f (x )＝(e x －e －x )2；(3)f (x )＝2x ＋42x.11．（2024·湖南·二模）已函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++ÎR ，其图象的对称中心为(1,2)-.(1)求a b c --的值；(2)判断函数()f x 的零点个数.12．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知函数()7x f x x a+=+关于点()11,-中心对称．(1)求函数()f x 的解析式；(2)讨论()()()2g x x f x =在区间()0,+¥上的单调性；(3)设()111,n n a a f a +==，证明：222ln ln 71n n a --<．综合提升练一、单选题1．（2024·云南昆明·一模）已知函数()2e e x xf x -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 为增函数B ．()f x 有两个零点C ．()f x 的最大值为2eD ．()y f x =的图象关于1x =对称2．（2024·河南新乡·二模）已知函数()f x 满足()()()1f x y f x f y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()1f x +是奇函数B ．()1f x -是奇函数C ．()1f x -是奇函数D ．()1f x +是奇函数3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()1x f x x =-，()11e e 1x x g x --+=-+，则()f x 与()g x 的图象交点的纵坐标之和为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =，且()()()226,36f x f x f ++-==，则下列结论错误的是（ ）A ．()()8f x f x +=B ．()f x 的图象关于直线4x =对称C ．()2013f =D ．()23y f x =+-是奇函数5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数()f x 定义域为R ，且()()224f x f x x +--=-，()13f x +关于()0,2对称，则()2025f =（ ）A ．4046-B ．4046C ．1D ．06．（2024·陕西西安·模拟预测）已知()f x 的定义域为R ，函数()f x 满足()()()12202346,48x f x f x g x x ++-==-，()(),f x g x 图象的交点分别是()()()()11223344,,,,,,,,x y x y x y x y LL ，(),n n x y ，则12n y y y +++LL 可能值为（ ）A ．2B ．14C ．18D ．257．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数()f x 的定义域为R ，12x f æö-ç÷èø为奇函数，设()g x 是()f x 的导函数，若()21g x +为奇函数，且()102g =，则()1012k kg k ==å（ ）A ．132B ．132-C ．112D ．112-8．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =å=（ ）A ．4036B ．4040C ．4044D ．4048二、多选题9．（2023·山东·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()21f x +为奇函数，()()4f x f x -=，()02f =，且()f x 在[]0,2上单调递减，则（ ）A ．()10f =B ．()82f =C ．()f x 在[]6,8上单调递减D ．()f x 在[]0,100上有50个零点10．（2024·全国·模拟预测）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()21f x +为奇函数．若1111,3322f f æöæö==ç÷ç÷èøèø，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 的周期是2C ．()f x 的图象关于直线2x =对称D ．202320231326f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø11．（2024·湖北·二模）我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数4()22x f x =+，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的值域为(0,2]B ．函数()f x 的图象关于点(1,1)成中心对称图形C ．函数()f x 的导函数()f x ¢的图象关于直线1x =对称D ．若函数()g x 满足(1)1y g x =+-为奇函数，且其图象与函数()f x 的图象有2024个交点，记为(,(1,2,,))2024i i i A x y i =L ，则20241(8)404i i i x y =+=å三、填空题12．（2024高三·全国·专题练习）若函数y ＝g （x ）的图象与y ＝ln x 的图象关于直线x ＝2对称，则g （x ）＝．13．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x Î时，()2f x x =.函数()()1e13x g x x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为 .14．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R 上的函数()113e e (1)x xf x x x --=-+-+，满足不等式()()24232f x f x -+-³，则x 的取值范围是 ．四、解答题15．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数()2x f x =，函数()h x 与()f x 关于点23log 3,2a æöç÷èø中心对称．(1)求()h x 的解析式；(2)若方程()()f x h x =有两个不等的实根1x ，2x ，且122x x -=，求a 的值．16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()393x f x =+．(1)求证：函数()f x 的图象关于点11,22æöç÷èø对称；(2)求()()()()()20222021020222023S f f f f f =-+-+++++L L 的值．17．（23-24高三上·上海·期中）已知函数()(),41x nf x m m n =-Î+R .(1)当3m =时，确定是否存在n ，使得()f x 的图象关于原点中心对称；(2)对于任意给定的非零常数m ，()y f x =的图象与x 轴负半轴总有公共点，求n 的取值范围；(3)当1n =时，函数()g x 的图象与()y f x =图象关于点()1,0对称，若对任意：()1,2x Î，()0g x <恒成立，求m 的取值范围.18．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数()()220f x x x m m =+->的图象关于直线1x =对称．(1)求m 的值，及()f x 的最小值；(2)设a ，b 均为正数，且a b m +=，求14a b+的最小值.19．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数()()ln 1f x x =+．(1)讨论函数()()()F x ax f x a =-ÎR 的单调性；(2)设函数()()1111g x x f f x x æöæö=+-+ç÷ç÷èøèø．（ⅰ）求()()12g g --的值；（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．拓展冲刺练一、单选题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数()331xf x =+，则()f x 的图象（ ）A ．关于点3,02æöç÷èø对称B ．关于直线32x =对称C ．关于点30,2æöç÷èø对称D ．关于直线12x =对称2．（2024·山西吕梁·一模）已知函数()f x 满足()()()()()23132f x y f x y f x f y f ++-==，，则下列结论不正确的是（ ）A ．()03f =B ．函数()21f x -关于直线12x =对称C ．()()00f x f +³D ．()f x 的周期为33．（2023·四川乐山·一模）已知函数()f x 定义域为R ，且满足()00f =，()()f x f x -=，()()1140f t f t t --++=，给出以下四个命题：①()()13f f -=； ②()()2f x f x +=；③()464f =；④函数()2y f x x =-的图象关于直线1x =对称.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知函数()12e 1x f x ax =++，则下列关于()f x 的结论中正确的是（ ）A ．()f x 在[)1,+¥上有最小值B ．若14a =，则()f x 有最大值C ．()()e e 1f f -+=D ．()f x 关于点()0,1中心对称5．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=¹，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==å二、多选题6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知函数()cos 2f x x =，()πsin 23g x x æö=+ç÷èø，则（ ）A ．将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到函数()y g x =的图象B ．将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到函数()y g x =的图象C ．函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线π24x =对称D ．函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024æöç÷èø对称7．（2024·吉林白山·二模）已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于()1,2中心对称，若()()424f x f x x --=-，则（ ）A ．()()2334f x f x -+=B ．()()4f x f x =-C ．()20254046f =-D ．201()340i f i ==-å三、填空题8．（2023·四川泸州·一模）函数()1xf x x =-的对称中心为 ．9．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()32121,2,33f x x x x f m f n =-++==，则m n += ．四、解答题10．（2023高三·全国·专题练习）已知函数1()122f x a x æö=--ç÷èø，R a Î且0a >(1)证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称；(2)若0x 满足00(())f f x x =， 但00()f x x ¹，则0x 称为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定实数a 的取值范围．11．（2023·上海嘉定·二模）已知()2sin f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记()1nn i i T f a ==å．(1)求证：函数()y f x =的图像关于点(),p p 中心对称；(2)若1a 、2a 、3a 是某三角形的三个内角，求3T 的取值范围；(3)若100100S p =，求证：100100T p =．反之是否成立？并请说明理由．。
函数图象的对称性在高考中的应用
函数图象的对称性在高考中的应用众所周知,函数历来是高考的重点内容之一,高考对函数的考查离不开函数性质的研究应用,特别是函数的单调性与奇偶性更是高考命题的热点,理应成为高三复习的重点.函数图像的对称性作为奇偶性拓展与延伸,在各类高考试题和模拟题中更是屡见不鲜,同时也是出错率非常高的题目.如果从图象的角度审视函数,有两类比较特殊的函数,一类是它们图象成中心对称,一类是它们图象成轴对称,那么这样的函数具有什么性质呢？不难发现,这两类函数图象总可以通过适当的平移,转化为具有奇偶性的函数,下面就对有关函数对称性和奇偶性的性质做一总结.有关函数对称性与奇偶性的一些重要性质:自对称与互对称问题(1)若函数()f x 为奇函数,则()()()()0f x f x f x f x -=-+-=；;()f x 的图象关于原点对称,反之亦成立.(2)若函数()f x 为偶函数,则()()()()2()f x f x f x f x f x -=+-=；;()()f x f x =;()f x 的图象关于y 轴对称,反之亦成立.推论:函数()-f x a 的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f x a f a x -=-,则()f x 的图象关于直线0x =对称,反之亦成立.(4)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f a x -=+,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立.(5)若函数()f x 对任意自变量x 都有()+()=2f a x f a x b -+,则()f x 的图象关于点(,)a b 对称,反之亦成立.(6)若函数()f x 对任意自变量x 都有(2)()f a x f x -=,则()f x 的图象关于直线x a =对称,反之亦成立.(7)若函数()f x 对任意自变量x 都有()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称,反之亦成立.(8)函数()f x 与函数()f x -的图象关于y 轴对称,反之亦成立.(9)函数()f x 与函数()f x -的图象关于x 轴对称,反之亦成立.(10)函数()f x 与函数()f x --的图象关于x 轴对称,反之亦成立.(11)函数(1)f x -与函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称,反之亦成立.(12)函数()f a x +与函数()f b x -的图象关于直线2b a x -=对称,反之亦成立. (13)在()f x ,g()x 的公共定义域上有如下结论:以上结论中,前7条是一个函数自身的对称性问题,后6条是两个函数之间的对称性问题.下面主要来研究函数的对称性在各类题型中的应用.命题方向一:基于函数,考查运算能力这类题目一般都会给出函数的解析式,目标是求函数值或由函数值求相应的自变量的值,,着重考查考生的运算能力和逻辑思维能力.这类题目不是简单的求值或解方程,而是要考查考生如何如何合理的选择运算路径,即从函数解析式出发,结合函数的奇偶性、单调性、周期性进行运算,达成目标.【例1】.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g g =+-==则【解析】解法一:由题意得(2)(2)9=3(2)=6g f f -=-+--，,因为()f x 为奇函数,所以(2)=6,(2)(2)915f g f =+=.解法二:因为()f x 为奇函数,所以()f x 图象关于(0,0)点成中心对称;将()f x 沿着y 轴向上平移9个单位长得到()g x 的图象,所以()g x 图象关于(0,9)点成中心对称,由第五条结论可知:()+()=18g x g x -,所以(2)+(2)=18,(2)=15g g g -【例2】已知函数32()=sin 4(,),(lg(log 10))5f x ax b x a b R f ++∈=,则(lg(lg 2))=f【解析】因为函数3()=sin g x ax b x +为奇函数,图象关于原点对称,所以()f x 图象关于点(0,4)对称,即有()()8f x f x +-=.而21lg(log 10)lg lg(lg(2))lg 2⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以2(lg(log 10))(lg(lg 2))8f f +=,又2(lg(log 10))5f =,所以(lg(lg 2))3f =,选C.【评注】这两道题都是考查函数奇偶性的常规问题.由函数解析求定量的函数值,代入计算是最直接的想法,但有时是行不通的.要解决这两个类似的问题,首先考生要熟练掌握函数的奇偶性的性质,函数图象平移的基本法则,其次是对数的化简;进而联想到互为相反数的函数值与函数奇偶性之间的关系;其次是分析函数()f x 的特征,建立与函数奇偶性的联系,这是这两道题的能力要求之所在.【例3】设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M m += 【解析】因为222(1)sin 2sin ()111x x x x f x x x +++==+++,又22sin ()1x x g x x +=+为R 上的奇函数,所以()f x 的图象关于(0,1)点成中心对称,从而()f x 的图象上的最大值点与最小值点也关于(0,1)对称,因此2M m +=【评注】本题貌似一道最值问题,实则为一道函数奇偶性的应用问题,与前两题比较,对奇偶性的应用隐藏的更深,要求考生要有敏锐的观察能力.命题者对函数解析式结构进行适当的“伪装”,只有适当变形,揭露其本质,才是解题的关键点.【例4】已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++ ,则55((22f f -++-= 【解析】11112525()441234(1)(4)(2)(3)x x f x x x x x x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+++=-- ⎪⎢⎥++++++++⎝⎭⎣⎦22114(25)5456x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪++++⎝⎭. 因为22115456y x x x x =-++++的图象关于直线52x =-成轴对称,直线25y x =+关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称,所以函数()f x 的图象关于点5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称.因此55()()822f x f x -++--=,即55((822f f -++--=. 【评注】相比例2,例3,本题的难度自然要大得多,同样是用函数图象的对称性解题,但是“伪装”的更加深而已,因此对考生的观察能力和知识点的综合应用能力提出了更高的要求.当然,如果直接代入计算,也是可行的,只是过程显得有点“恐怖”.而思维灵活的同学,如果考虑()(5)f x f x +--,则过程更显简洁.()(5)f x f x +--=1235432812344321x x x x x x x x x x x x x x x x +++--------⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪++++--------⎝⎭⎝⎭【例5】设函数32()3614f x x x x =+++,且()1,()19f a f b ==,则a b +=【解析】由323()3614(1)3(1)10f x x x x x x =+++=++++,设31,()x t f t t t +==+为奇函数,可知()f x 的图象关于点()1,10-成中心对称,即有(1)(1)20f x f x -++--=,从而有()()11920f a f b +=+=,又'()0f x >恒成立,()f x 为单调函数,所以a b +=-2.【评注】本题可视为例4的逆向问题,依然考查函数的中心对称问题,其核心是探求三次多项式函数的对称性.解题过程中,要求有较强的代数式变形能力,这是对考生创新意识的考查.也就是,要仿照二次函数通过“配平方”求对称轴的方法,对本题三次函数通过“配立方”的方法,寻找函数的对称中心.这里要提醒大家注意的是:若函数()f x 对任意自变量x 都有()+()=2f a x f a x b -+⇔则()f x 的图象关于点(,)a b 对称;但是若函数()f x 图象关于点(,)a b 对称,且()+()=2f m f n b ,则不一定有+=2m n a .【结论1】如果一个单调函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称,且()+()=2f m f n b ,那么必有+=2m n a .同类题目练习:1.函数1111() (1232015)f x x x x x =++++++++图象的对称中心的坐标为 . (答案:(-1007,0))2.已知函数 )()ln 22f x x =+,则1(ln 2)+(ln )=2f f . (答案:4) 3.已知函数21()ln(1)32x f x x e x =+-+的最大值为M ,最小值为m ,则M m += . (答案:6) 4.已知函数32115()33212f x x x x =-+-,则1232013...2014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (答案:2014) 5.函数()3112x y x x +=≥-的值域为 . (答案:()(),13,-∞-+∞U ,提示:317322x y x x +==+--的图象关于点()2,3成中心对称，结合自变量的取值范围与函数图象即可快速得出答案)命题方向二:立足方程,考查数形结合能力鉴于函数与方程的特殊关系,方程的根就是函数的零点,就是函数图象与x 轴交点的横坐标.若一个函数的图象具有某种对称性,那么它所对应的方程的根也就有相似的对称性.因此,考查方程根的分布问题的考题往往会涉及到函数图象的对称性.这类考题需要考生挖掘题目所给方程所对应的函数的特殊性质,侧重考查考生数形结合能力.【例6】方程(1)sin 1x x π-=在区间(-1,3)上有四个不同的实数根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=【解析】因为1y x =-与sin y x π=交于()1,0点,且1y x =-与sin y x π=的图像都是关于()1,0点成中心对称,所以函数()()1sin 1f x x x π=--的图像关于直线1x =对称.因此函数()()1sin 1f x x x π=--与x 轴的交点关于点()1,0中心对称,即方程(1)sin 1x x π-=的根“成对”出现,且每对根的和都是2.由于区间()1,3-关于()1,0点中心对称,所以四个不同的实数根1234,,,x x x x 分成两对,有12344x x x x +++=【评注】本题中的方程的根显然是无法求得的只能探求根之间的特殊关系,而根的特殊性是由方程的特殊性决定的,自然引导我们考察函数()()1sin f x x x π=-的特殊性质.类比函数()sin g x x x =的性质:y x =与sin y x =都是奇函数,图像都是关于原点对称,而奇函数与奇函数的积是偶函数,因此()sin g x x x =为偶函数；由此我们可以得到()()1sin f x x x π=-向左平移1个单位长度后也是偶函数,所以()()1sin f x x x π=-的图像关于直线1x =对称.【结论2】如果一个函数存在零点且该函数的图像关于直线x a =或点(),0a 对称,那么该函数的图像与x 轴的交点也关于点(),0a 对称.即该函数的零点会“成对”出现,且每对零点之和为2a .【例7】已知定义在R 上的函数()f x 满足222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩,且25(2)(),()2x f x f x g x x ++==+,则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上所有实根之和为 . 【解析】当(1,1)x ∈-时,()f x 的图像关于点()0,2对称,又(2)()f x f x +=,所以()f x 的图像(除去21,x k k Z =+∈的点)关于点()2,2k 中心对称.而251()222x g x x x +==+++的图像关于点()2,2-中心对称,故函数()f x (除去21,x k k Z =+∈的点)与()g x 的图像都关于点()2,2-中心对称.又(3)(3)1,(1)(1)f g f g -=-=-≠-,所以[)3,1x =--时,()f x 与()g x 有且只有一个交点,即方程()()f x g x =在[)3,1x =--上有且只有一个实根.所以方程()()f x g x =在区间[]5,1-上有3个实数根,其中一根为3-,另外两根关于关于点()2,2-中心对称,故所有实根之和为7-.【评注】考查函数零点或方程根的问题,一般不在于解方程,而更多的是倾向于考查函数的性质.借助函数的奇偶性,图像的对称性,易发现两函数图像都是关于点()2,2-中心对称,其中一根为3-,点()3,1-是两个函数的交点,而()3,1-关于点()2,2-的对称点点()1,3-不是两个函数的交点,这正是本题“陷阱”所在.同类题目练习:5.方程()()2sin 1x x x ππ-+-=的所有解之和为 .(答案: 2π) 6.函数442x x y =+的图像与函数()11cos 3422y x x π=+-≤≤的所有交点的横坐标之和为 . (答案: 3.5)7.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤≤时,3()f x x x =-,则函数()f x 的图像在区间[]0,6上与x 轴的交点个数为 . (答案: 6)8.已知()f x 是R 上以3为周期的奇函数,当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 的图像在区间[]0,6上零点个数为 . (答案: 7)命题方向三:着眼综合,考查转化化归能力【例8】设函数2()(3)1f x x x =-+-,数列{}n a 为公差不为0的等差数列,且127()()...()14f a f a f a +++=,则127...a a a +++= .【解析】因为2()(3)(3)2f x x x =-+-+,所以函数()f x 的图像关于点()3,2成中心对称,进一步有(3)(3)4f x f x -++=.127()()...()1427,(3)2f a f a f a f +++==⨯=,()f x 为单调函数,数列{}n a 为公差不为0的等差数列,所以1726354==+=223a a a a a a a ++=⨯,因此127...21a a a +++=.【例9】已知函数()sin tan f x x x =+,项数为27的等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且公差0d ≠.若1227()()...()0f a f a f a +++=,则当k = 时,()0k f a =.【解析】()sin tan f x x x =+为奇函数且单调递增,其函数图象关于原点对称,(0)0f =.因为1227()()...()0f a f a f a +++=,等差数列{}n a 满足,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且公差0d ≠,所以必有12722614()()()()...()0f a f a f a f a f a +=+===,故当k = 14 时,()0k f a =.【评注】这类问题的典型特征是数列与函数的结合,综合考察函数的奇偶性,对考生的数学能力提出了更高的要求.【结论3】如果一个单调函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称, {}n a 为等差数列且12()+()...+()=n f a f a f a nb +,那么必有12+...=n a a a na ++.【例10】设直线l 与曲线31y x x =++交与3个不同的点,,A B C ,且AB BC ==则直线l 的方程为 . 【解析】因为AB BC =,所以B 为线段AB 的中点,而曲线31y x x =++关于点()0,1成中心对称,所以点B 的坐标为()0,1.可以设直线l 的方程为1y kx =+,代入曲线31y x x =++,解得1)x k =>, 因为AB BC ===解得2k =,故所求直线方程为21y x =+.【评注】本题看似一道解析几何问题,如果按照解析几何求曲线与直线相交的弦长问题解决,那么解题将趋于繁琐,甚至步入困境.仔细观察题目,AB BC =与31y x x =++的特殊性,问题中隐含了点B 是AC 中点的重要信息,抓住这一关键点,问题迎刃而解!【例11】已知函数321()3f x x x ax b =-++的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为32y x =-. (Ⅰ)求实数a ,b 的值.(Ⅱ)设()()1m g x f x x =+-是[)2,+∞上的增函数. (1)求实数m 的最大值;(2)当m 取得最大值时,是否存在点Q ,使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(Ⅰ)过程略3a =,2b =-(Ⅱ) (1)321()()32131m m g x f x x x x x x =+=-+-+--,22'()23(1)m g x x x x =-+-- 因为()g x 是[)2,+∞上的增函数,所以'()0g x ≥在[)2,+∞上恒成立,设[)2(1),1,t x t =-∈+∞,则22m t t ≤+在[)1,t ∈+∞上恒成立,所以2min (2)3m t t ≤+=,故m 的最大值为3(2)由(1)得3231131()32(1)2(1)31313m g x x x x x x x x =-+-+=-+-++--,其图像关于点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,即2(1)(1)3f x f x -++=,也就是说存在点Q 11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,使得过点Q 的直线与曲线()y g x =围成两个封闭图形面积总相等.【评注】看似很复杂的问题,在经过适当的变形后,根据题意,从“使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等”概括提炼出图像的对称性问题,解体就一帆风顺!同类题目练习:9.设函数()2cos ,()2sin f x x x g x x x =-=+,数列{}n a 是公差为8π的等差数列,若71()7i i f a π==∑,则71()2i i g a π=-=∑ ()247i f a a a ⎡⎤⎣⎦=⋅ .(答案: 0,647) 10.已知函数323y x x x =++的图像C 上存在一点P 满足:若过点P 的直线l 与曲线C 相交于异于点P 的两点()()1122,,,M x y N x y ,就恒有12y y +为定值0y ,则0y = . (答案: 2)通过以上问题不难发现，函数对称性在高考试题当中千变万化，花样层出不群，但是无论题目如何变化，函数的性质始终保持不变，以“不变应万变”，只要大家扎实掌握了函数的性质，那么解决函数问题自然就不成问题了。
2025新高考函数压轴小题专题突破——专题3 函数的周期性、对称性(解析版)
专题3函数的周期性、对称性1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（）A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，2．设函数y=f (x)是定义域为R 的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x ∈R 恒成立，当-1≤x≤1时，f (x)=x 3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数．②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3．③f(x)在33(,(22f 处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是()A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④3．设函数为定义域为R 的奇函数，且=2−，当∈0,1时，=sin ，则函数g =cos B −在区间−52）A ．6B ．7C ．13D ．144．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为（)A ．15B ．16C ．17D ．185．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[]0,3x ∈时，()2xf x xe-=，若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数2025新高考函数压轴小题专题突破——专题3 函数的周期性、对称性（解析版）()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（）A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或17．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12xf x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（）A ．最小值为34-B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为788．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x =论错误的是（）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[22,22-]C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=09．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1C D ．210．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（）A ．30B ．14C ．12D ．611．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-.()f x 满足：①R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-；②当[1,1]x ∈-时，3()33f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](3g f x g a a ≤-+对48[,33x ∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．RB ．[1,)+∞C ．[0,1]D ．(,0][1,)-∞+∞ 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________①对任何m ∈Z ，都有(3)0m f =；②函数()f x 的值域是[0,)+∞；③存在n ∈Z ，使得(31)17n f +=；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：____.①对m Z ∀∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③存在n Z ∈，使得()219nf +=；15．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,2x ∈时，()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是__________．16．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．17．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.18．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=；②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________.19．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.20．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称；③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.专题3函数的周期性、对称性1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（）A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-，(2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-，即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=，()f x ∴的周期为4.[]01x ∈，时，()12f x x ==，[]12,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-，()f x ∴=(1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=-- ，()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+，当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+=，当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+=，做出函数()f x 图像，如下图所示：令()()0g x f x x b =--=，当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，x b --=22(21)0x b x b +++=，221(21)4410,4b b b b ∆=+-=+==-，此时直线与()f x 在[1,0]x ∈-函数图像相切，与函数有两个交点，同理154b =-，直线与()f x 在[4,5]x ∈函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数()f x 在[1,4]内与直线y x b =+只有一个交点，则b 满足15144b -<<-，()f x 周期为4，b 范围也表示为11544b <<，所以所有b 的取值范围是1154444k b k k Z +<<+∈.故选:D.2．设函数y=f (x)是定义域为R 的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x ∈R 恒成立，当-1≤x≤1时，f (x)=x 3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数．②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3．③f(x)在33(,(22f 处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是()A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④【解析】()(2)(4)4f x f x f x T =--=-∴=当13x ≤≤时,33()(2)[(2)](2)f x f x x x =--=--=-当13x ≤≤时,23331()3(2)()()2428f x x k f f =--∴=-'='=,所以切线方程为133()3450842y x x y -=--∴+-=()(2)(2),(2)()()f x f x f x f x f x f x =--=--=-=-∴ f(x)的图象关于x=±1对称,因此选D.3．设函数为定义域为R 的奇函数，且=2−，当∈0,1时，=sin ，则函数g =cos B −在区间−52）A ．6B ．7C ．13D ．14【解析】由题意，函数o −p =−op ，op =o2−p ，则−o −p =o2−p ，可得o +4)=op ，即函数的周期为4，且=op 的图象关于直线=1对称．op =|cos(πp|−op 在区间[−52，92]上的零点，即方程|cos(πp|=op 的零点，分别画=|cos(πp|与=op 的函数图象，∵两个函数的图象都关于直线=1对称，∴方程|cos(πp|=op 的零点关于直线=1对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A ．4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为（)A ．15B ．16C ．17D ．18【解析】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，得2222f x f x f x f x ++=--=-=-（）（）（）（），即4 f x f x +=-（）（），则44[]f x f x f x f x f x +=-+=--=∴（）（）（）（）．（）的周期为8．函数f x （）的图形如下：比如，当不同整数i x 分别为-1，1，2，5，7…时，b a -取最小值，141420f f f -=-== （），（），（），，至少需要二又四分一个周期，则b-a 的最小值为18，故选D5．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[]0,3x ∈时，()2xf x xe -=，若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫⎪⎝⎭D ．112,2e e --⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，所以()()()6f x f x f x -==-，即()()6+f x f x =，所以函数()f x 是以6为周期的周期函数，当[]0,3x ∈时，()2x f x xe -=，所以()22xx f x e -'=（1-，当02x ≤<时，()0f x '>，函数()f x 递增；当23x <≤时，()0f x '<，函数()f x 递减；当当2x =时，函数()f x 取得极大值()2f x e=，作出函数()f x 在(3,3]-上的图象，如图所示：因为不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，所以不等式()()20fx tf x ->在(3,3]-上有且只有3个整数解，当()0f x =时，不符合题意，故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数解，因为()()1322133,f e f e --==，所以()()3311f f e=>，即()()13f f <，故不等式()f x t >在(3,3]-上的3个整数解分别为-2，2，3，所以，()()13f f t <<，即32123t ee --<<，故选：B6．已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（）A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【解析】解：已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xex x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称，则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称，由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12.故选：A.7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12xf x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（）A ．最小值为34-B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为78【解析】函数()f x 的图像关于点()3,0对称，()()6f x f x ∴+=--.又函数()f x 为奇函数，()()6f x f x ∴+=，∴函数()f x 是6T =的周期函数，201933763=⨯-Q ，202433762=⨯+，由周期性可知，函数()f x 在区间[2019,2024]上的图像与在区间[]3,2-上的图像一样，又当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，由指数函数性质知()f x 在区间(0,3)上单调递减，又函数()f x 为R 上的奇函数，故当(3,0)x ∈-时，()12x f x =-，故()f x 在()3,0-上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间()3,3-上单调递减，即()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-.故函数()f x 在区间[2019,2024]上的最小值为34-故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：（1）若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ；（3）若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；（4）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a -；（5）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -；（6）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x =论错误的是（）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[,22-]C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=0【解析】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+，则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2，所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ；再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--，所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x 时，()[0f x =，2，又函数是奇函数，102x - 时，2()[2f x =-，0]，即1122x - 时22()[]22f x ∈-，又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时22()[]22f x ∈-，所以1322x - 时22()[]22f x ∈-又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为22[,22-，B 正确，排除B ；故选：A ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2x f x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1C D ．2【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±.∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示：结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1.故选：B.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（）A ．30B ．14C ．12D ．6【解析】由()()2f x f x -=知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∵()()2f x f x -=，()f x 是R 上的奇函数，∴()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()4f x f x +=，∴()f x 的周期为4，考虑()f x 的一个周期，例如[]1,3-，由()f x 在[)0,1上是减函数知()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在(]1,0-上是减函数，()f x 在[)2,3上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f =，()()()22200f f f =-==，故当()0,1x ∈时，()()00f x f <=，当()1,2x ∈时，()()20f x f <=，当()1,0x ∈-时，()()00f x f >=，当()2,3x ∈时，()()20f x f >=，方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1上是单调函数，则由于()()2f x f x -=，故方程()1f x =-在()1,2上有唯一实数，在()1,0-和()2,3上()0f x >，则方程()1f x =-在()1,0-和()2,3上没有实数根，从而方程()1f x =-在一个周期内有且仅有两个实数根，当[]13,x ∈-，方程()1f x =-的两实数根之和为22x x +-=，当[]1,11x ∈-，方程()1f x =-的所有6个实数根之和为244282828282830x x x x x x +-++++-+++-+=+++++=.故选：A .11．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-.()f x 满足：①R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-；②当[1,1]x ∈-时，3()33f x x x =-.若关于x 的不等式223[()](3g f x g a a ≤-+对48[,33x ∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．RB ．[1,)+∞C ．[0,1]D ．(,0][1,)-∞+∞ 【解析】因为R x ∀∈都有()()g x g x =-，所以()g x 是偶函数，又当0x >时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在()0,+¥上单调递增，所以223[()]()3g f x g a a ≤-+等价于223|()|3f x a a ≤-+，只需2max 23|()|3f x a a ≤-+，48[,]33x ∈.因为R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-，即()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期函数，周期为2，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，所以()()()3()23232f x f x x x =-=---，故48[,]33x ∈时，()()3()3232f x x x =---，求导得，()2()923f x x '=--，令()0f x '=，解得13482[,333x =-∈，238233x =+>，当43,233x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当38233x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以48[,]33x ∈时，3max ()3232333222333f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎝⎭⎭233=，所以2232333a a ≤-+，又因为223123103234a a a ⎛⎫-+=-+-> ⎪⎝⎭，所以2223333a a a a -+=-+，则2232333a a ≤-+，解得1a ≥或0a ≤.所以实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞.故选：D.二、多选题12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【解析】解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得，(4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f = ，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________①对任何m ∈Z ，都有(3)0m f =；②函数()f x 的值域是[0,)+∞；③存在n ∈Z ，使得(31)17n f +=；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；【解析】对于①，对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，所以()()()111333333(3)0m m m m f f f f ---=⋅==⋯==，①正确；对于②，取(m m 1x 3,3,(1,3]3m x +⎤∈∈⎦13,333333m m m m m x x x x f f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而函数()f x 的值域为[0，+∞），②正确；对于③，(1,3]x ∈时，()3f x x =-，对任意(0,)x ∈+∞，恒有(3)3()f x f x =成立，n Z ∈，所以()11131313313217333n n n n n n n f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解得2n =，∴③正确；对于④，充分性：令133k k a b +≤<≤则1333k ka b ≤<≤所以()()3333k k k k ab f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333k k k a b f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33333k k k a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦333k k k b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b a =->必要性：令0a b <<，()()3333k k k k a b f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333k k k a b f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减，所以033k k ab f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即33k k ab f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，且()3f x x =-为减函数，所以存在k ∈Z ，使得1333k k a b <<<，则133k k a b +<<<，所以(,)a b ⊆1(3,3)k k +∴函数()f x 在区间(,)a b ⊆1(3,3)k k +上单调递减，④正确；综上所述，正确结论的序号是①②③④．故答案为①②③④．14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：____.①对m Z ∀∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③存在n Z ∈，使得()219n f +=；【解析】因为()()()11222220m m m f f f --==⋯==,所以①对;因为当(]1,2x ∈时，()[)20,1f x x =-∈，当1,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()()11220,22f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当111,22k k x -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()11220,22k k k f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当(12,2k k x -⎤∈⎦时，())1111220,22k k k f x x ---⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，因此当k →+∞时，112,02k k -→+∞→，从而函数()f x 的值域为[)0,+∞；所以②对;因为349(2,2)∈，所以由上可得()112121 229,142n n k k f k --⎛⎫++=-=-≥ ⎪⎝⎭,即2210k n -=，111122521,26k n n k -----=∴==无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②15．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,2x ∈时，()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是__________．【解析】因为函数定义域为R ，周期为3，所以39(0)(()022f f f ===如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在[]0,6上的零点为390,1,,2,3,4,,5,622所以共有9个零点16．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【解析】试题分析：由于定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，()()()()()()()()()4484f x f x f x f x f x f x f x f x f x ∴-=-+=-∴+=-∴+=-+=，，，，∴函数()f x 为周期函数，且周期为8，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点的个数，即为函数()y f x =与y a =的交点的个数，作出函数()[],4,8y f x x =∈-上的函数的图象，显然，当0a =时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为()420246814-+-+++++=.17．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.【解析】已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x ''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13-作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解.故答案为：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭18．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=；②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________.【解析】由题意，函数()f x 对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，可得()()2[(1)1][(1)1]f x f f x f x f x +=++=+-=，所以①正确；由[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递增函数，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可得[]1,0x ∈-时，函数()f x 为单调递减函数，又由函数的周期为2，可得函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增，所以②正确；由②可得，当2x =时，函数取得最小值，最小值为()()1202f f ==；当3x =时，函数取得最大值，最大值为()()311f f ==，根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为12，所以③不正确；当()3,4x ∈时，则4(0,1)x -∈，可得()()1(4)3114(2)()()()22x x f x f x f x f x ----=-=-===，所以④正确.故答案为：①②④.19．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.【解析】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=所以()()()2f x f x f x -=+=-，()()()42f x f x f x +=-+=所以()f x 的最小正周期为4又因为数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+①；当2n ≥时，11312n n S a n --=+-②；①减②得133122n n n a a a -=-+，所以132n n a a -=-，()1311n n a a -=--所以{}1n a -以3-为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=-，即13nn a =-所以2021202113a =-又()()2021202120211202020213414141C =-=++⋅-⋅- 所以20213被4除余3所以()()()()()202120212021()133111200f a f f f f f =-=--=---===故答案为：020．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称；③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.【解析】因为{}x M =，函数(){}f x x x =-，所以()f x x M=-当0M =时，()11,22f x x x =-<≤，当1M =时，()111,1122f x x x =--<≤+，当2M =时，()112,2222f x x x =--<≤+，当3M =时，()113,3322f x x x =--<≤+，函数图象如图所示：由图象可知：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故正确；②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称，故正确；③函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误；④其函数关于y 轴对称，所以()y f x =是偶函数，故正确.故答案为：①②④1．设函数32()2f x x ex mx lnx =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，21]e e+B ．(0，21]e e+C ．21(e e+，]+∞D ．21(e e --，21]e e+2．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,]e e-B ．21(0,]e e +C ．21[,)e e -+∞D ．21(,]e e-∞+3．已知函数2()2lnxf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(,e e -∞+B ．21(,]e e -∞+C ．21[,)e e -+∞D ．21(,)e e-+∞4．若函数322()x ex mx lnxf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为()A ．(-∞，21]e e+B ．21[e e +，)+∞C ．(-∞，1}e e+D ．1[e e+，)+∞5．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是．1．设函数32()2f x x ex mx lnx =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，21]e e+B ．(0，21]e e+C ．21(e e+，]+∞D ．21(e e --，21]e e+【解析】解：32()2f x x ex mx lnx =-+- 的定义域为(0,)+∞，又()()f x g x x=，∴函数()g x 至少存在一个零点可化为函数32()2f x x ex mx lnx =-+-至少有一个零点；即方程3220x ex mx lnx -+-=有解，则32222x ex lnx lnxm x ex x x-++==-++，2211222()lnx lnxm x e x e x x --'=-++=--+；故当(0,)x e ∈时，0m '>，当(,)x e ∈+∞时，0m '<；则22lnxm x ex x=-++在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，故22112m e e e e e e-++=+ ；又 当0x +→时，22lnxm x ex x=-++→-∞，故21m e e+ ；故选：A ．2．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,]e e-B ．21(0,]e e+C ．21[,)e e-+∞D ．21(,e e-∞+【解析】解：令2()20lnxf x x ex a x=--+=，则22(0)lnxa x ex x x =-++>，设2()2lnxh x x ex x=-++，令21()2h x x ex =-+，2()lnxh x x=，221()lnxh x x -∴'=，发现函数1()h x ，2()h x 在(0,)e 上都是单调递增，在[e ，)+∞上都是单调递减，∴函数2()2lnxh x x ex x=-++在(0,)e 上单调递增，在[e ，)+∞上单调递减，故当x e =时，得21()max h x e e=+，∴函数()f x 至少存在一个零点需满足()max a h x ，即21a e e+ ．故选：D ．3．已知函数2()2lnxf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(,)e e-∞+B ．21(,]e e-∞+C ．21[,)e e-+∞D ．21(,)e e-+∞【解析】解：令2()20lnx f x x ex a x =-+-=，即22lnxx ex ax=-+，令2(),()2lnx g x h x x ex a x ==-+，则函数()lnxg x x=与函数2()2h x x ex a =-+至少有一个交点，易知，函数2()2h x x ex a =-+表示开口向上，对称轴为x e =的二次函数，函数()g x 的导函数2211()x lnxlnx x g x x x ⨯--'==，令()0g x '>，解得0x e <<，令()0g x '<，解得x e >，∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，1()()max g x g e e==，作出函数()g x 与函数()h x 的草图如下，由图可知，要使函数()g x 与()h x 至少一个交点，只需()()min max h x g x ，即2212e e a e -+ ，解得21a e e+ ．故选：B ．4．若函数322()x ex mx lnxf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为()A ．(-∞，21]e e+B ．21[e e +，)+∞C ．(-∞，1}e e+D ．1[e e+，)+∞【解析】解： 函数()f x 至少存在一个零点，∴3220x ex mx lnx x -+-=有解，即22lnxm x ex x=-++有解，221()222()lnx lnx lne m x e x e x x ---'=-++=--+，∴当(0,)x e ∈时，0m '>，m 为关于x 的增函数；当(,)x e ∈+∞时，0m '<，m 为关于x 的减函数．因此，画出函数22lnxy x ex x=-++的图象如右图所示，则若函数()f x 至少存在一个零点，则m 小于函数22lnxy x ex x=-++的最大值即可，函数22lnx y x ex x =-++的最大值为21e e+即21m e e+ ．故选：A ．5．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是(-∞，21e e+．【解析】解：21()22lnxf x x e x-'=--，令()0f x '=得x e =，当0x e <<时，()0f x '<，当x e >时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，∴当x e =时，()f x 起点最小值f （e ）21e a e =--+，()f x 至少有1个零点，210e a e ∴--+ ，即21a e e + ．故答案为：(-∞，21]e e+．。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解7 函数的对称性
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第7讲函数的对称性对称轴 : 0x =对称轴 : x a =对称轴 :每个点关于对称轴对称之后还在图像上. 偶函数中两自变量的中点是中间的 0 ,两函数值相等,有()()f x f x =-. 因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上,所以若()()22,x f x 和()()11,x f x 两点关于x a =轴对称, ()()12f a x f a x +=-, 则两自变量满足122(x xa +=因为中点在对称轴上).通关二、中心对称对称中心:每个点绕着对称中心旋转180︒后还在图像上. 奇函数中两自变量的中点是中间的0, 两函数值中点是0 ,有()()0f x f x +-=. 若将对称中心移到点(,)a b , 可同理,从a 出发,向左向右距离相等,使其自变对称,则它们对应的函数值的中点应为b , 所以()()2f a x f a x b ++-=.当自变量关于a 对称时, 函数值关于b 对称.通关三、常见对称性结论结论一、()()f a x f a x +=-型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线x a =对称. 【例1】如果函数2()f x x bx c =++对任意的实数x ,都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（）A ．(0)(2)(2)f f f <<-B ．(0)(2)(2)f f f <-<C ．(2)(0)(2)f f f <<-D ．(2)(0)(2)f f f -<<【答案】A【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知函数()f x 图像的对称轴为12x =,且抛物线的开口向上,则1113150,2,2222222-=-=--=,根据到对称轴的距离远的函数值较大得(2)(2)(0)f f f ->>,故选A .【变式】若函数||()2()x a f x x -=∈R 满足(2)(2)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞上单调递增,则实数m 的最小值等于_______. 【答案】2【解析】由(2)(2)f x f x +=-得函数()f x 关于2x =对称,故2a =,则|2|()2x f x -=,由复合函数单调性得()f x 在[2,)+∞上递增,故2m …,所以实数m 的最小值等于2. 结论二、()()f a x f b x +=-型对函数(),()()y f x f a x f b x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线2a bx +=对称. 【例2】对于函数()f x ,若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（）A ．()f x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+【答案】D【解析】由题意可得准偶函数的图像关于直线(0)x a a =≠对称,即准偶函数的图像存在不是y 轴的对称轴.选项,A C 中函数的图像不存在对称轴,选项B 中函数的图像的对称轴为y 轴,只有选项D 中的函数满足题意.故选D .【变式】若函数2()f x x bx c =++对任意x ∈R 都有(1)(3)f x f x -=-,则以下结论中正确的是（）A ．(0)(2)(5)f f f <-<B ．(2)(5)(0)f f f -<<C ．(2)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(5)(2)f f f <<-【答案】A【解析】若函数2()f x x bx c =++对任意x ∈R 都有(1)(3)f x f x -=-,则2()f x x =+bx c +的对称轴为1x =且函数的开口方向向上,则函数在(1,)+∞上为增函数.又(0)f (2),(2)(4)f f f =-=,所以(2)(4)(5)f f f <<,即(0)(2)(5)f f f <-<.故选A . 结论三、()y f x a =+为偶函数型()y f x a =+为偶函数()y f x ⇔=的图像关于x a =对称.【例3】函数()y f x =在[0,2]上单调递增,且函数(2)f x +是偶函数,则下列结论成立的是（）A ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】函数(2)f x +是偶函数,则其图像关于y 轴对称,所以函数()y f x =的图像关于2x =对称,则5371,2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又因为函数()y f x =在[0,2]上单调递增,则有13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C .【变式】已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数,且函数(8)y f x =+为偶函数,则（）A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】因为(8)y f x =+是偶函数,所以(8)(8)f x f x +=-+,即()y f x =关于直线8x =对称,所以(6)(10),(7)(9)f f f f ==.又因为()f x 在(8,)+∞为减函数,所以()f x 在(,8)-∞上为增函数,所以(6)(7)f f <,即(10)(7)f f <.故选D . 结论四、()()f a x f a x +=--型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称. 【例4】若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=,则()f x 的图像的对称中心为_______. 【答案】(1,0) 【解析】因为1112x x++-=,所以()f x 的对称中心为(1,0). 【变式已知函数()f x 当4x >时,()2013f x x =-,且(4)(4)0f x f x -++=恒成立,则当4x <时,()f x =____.【答案】2005x + 【解析】因为4442x x-++=,所以()f x 的对称中心为(4,0),所以(8)()0f x f x -+=,()(8)f x f x =--,当4x <时,则84x ->,所以(8)820132005f x x x -=--=--,所以()2005f x x =+.结论五、()()f a x f b x +=--型对函数(),()()y f x f a x f b x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例5】定义域在(,)-∞+∞上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=--,函数()f x 关于________对称. 【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为(1)()f x f x +=--,则由函数()y f x =的对称性结论得()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称.【变式】已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+,且函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增.如果122x x <<,且124x x +<,则()()12f x f x +的值（）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0【答案】D【解析】由()(4)f x f x -=-+可得()f x 关于(2,0)中心对称,所以有(4)()f x f x -=-.代入1x 可得()()114f x f x -=-,从而()()()()21120f x f x f x f x <-⇒+<.故选D .结论六、()()f a x f b x c ++-=型对函数(),()()y f x f a x f b x c =++-=成立()y f x ⇔=的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例6】已知()y f x =满足(1)(1)2f x f x ++-+=,则以下四个选项一定正确的是（）A ．(1)1f x -+是偶函数B ．(1)1f x -+-是奇函数C ．(1)1f x ++是偶函数D ．(1)1f x +-是奇函数【答案】D【解析】根据(1)(1)2f x f x ++-+=可得()y f x =的对称中心为(1,1),把()y f x =的图像向左并且向下平移1个单位之后即得奇函数(1)1f x +-的图像,所以(1)1f x +-是奇函数.故选D . 【变式】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ,则()m iiix y +=∑（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】由()2()f x f x -=-,得()f x 关于(0,1)对称,而111x y x x+==+也关于(0,1)对称,所以对于每一组对称点0,2i i i i x x y y +'=+'=,所以()11mmmi i i ii i mi x y x y ===+=+∑∑∑022mm =+⋅=.故选B .结论七、()y f x a =+为奇函数型()y f x a =+为奇函数()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称.【例7】若函数(1)y f x =-是奇函数,那么函数()y f x =的图像关于________对称. 【答案】(1,0)-【解析】因为(1)y f x =-是奇函数,所以(1)y f x =-关于(0,0)对称,(1)y f x =-的图像向左平移1个单位即得()y f x =的图像,所以()y f x =的图像关于(1,0)-对称.【变式】已知函数(1)y f x =+是奇函数,当1x >时,2()41f x x x =-+,则当1x <时,()f x =________. 【答案】23x -+【解析】因为(1)y f x =+为奇函数,所以()y f x =关于(1,0)对称,即()(2)0f x f x +-=,所以()(2)f x f x =--.当1x <时,则21x ->,所以2(2)(2)4(2)1f x x x-=---+23x =-,所以2()3f x x =-+. 结论八、()ax bf x cx d+=+型 简单分式函数()(0,0)ax b f x c ax b cx d +=≠+≠+,由变量分离法得对称中心,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【例8】函数21()1x f x x -=+的对称中心是（） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-【答案】D 【解析】因为213()211x f x x x -==-++,所以函数21()1x f x x -=+的图像的对称中心的坐标为(1,2)-.故选D .【变式】函数()1x af x x a -=--的图像的对称中心是(4,1),则a =____.【答案】3【解析】因为111()1111x a x a f x x a x a x a ---+===+------,所以函数()f x 的图像的对称中心是(1,1)a +,由已知得14a +=,故3a =.结论九、含绝对值的函数对称性1.()||f x x a =-的图像关于直线x a =对称，且函数的最小值为0;2.()||||f x x a x b =-+-的图像关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为||b a -; 3.()||||f x x a x b =---的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，且函数的值域为[||,||]a b a b ---,【例9】设函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称,则a 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．1-【答案】A【解析】由题知()|1|||f x x x a =++-的对称轴为12a x -=,即112a -=,解得3a =.故选A . 【变式】设函数()||||f x x a xb =---的图像关于点(1,0)对称,且函数的最大值为2,则a =______. 【答案】12或0【解析】因为()||||f x x a x b =---的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以12a b +=.当a b >时,2a b -=,解得2a =;当a b <时,2b a -=,解得0a =.所以2a =或0a =.结论十、两个函数的对称性若函数()y f x =定义域为R ,则函数()y f a x =+与()y f b x =-两函数的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-可得).【例10】对任意的函数()y f x =在同一直角坐标系中,函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =--的图像恒（） A ．关于x 轴对称 B ．关于直线1x =对称C ．关于直线1x =-对称D ．关于y 轴对称【答案】C【解析】函数()y f x =与()y f x =-的图像关于y 轴即0x =对称,因为(1)y f x =+的图像是由函数()y f x =的图像向左平移一个单位得到的;函数(1)[(1)]y f x f x =--=-+是由函数()y f x =-的图像向左平移一个单位得到的,所以两个函数的对称轴也向左平移了一个单位,故所求的对称轴是1x =-.故选C .【变式】函数(2)y f x =+的图像与函数(4)y f x =-的图像的关系为( )A ．关于1x =对称B ．关于3x =对称C ．关于(1,0)对称D ．关于(3,0)对称【答案】A【解析】由题意可判断两个函数的图像关于直线对称,可设函数(2)y f x =+图像上的任意点(,)A x y ,该点关于直线x a =的对称点为(2,A a x y '-在(4)y f x =-的图像上,故(4(2))(42)y f a x f x a =--=+-,而(2)y f x =+,所以(42)(2)f x a f x +-=+对任意x ∈R 恒成立,所以422a -=,即1a =.故选A .结论十一、对称轴斜率为1或－11.(,)a b 关于y x =对称的点的坐标为(,)b a .2.(,)a b 关于y x =-对称的点的坐标为(,)b a --.【例11】已知函数2()()g x f x x =+是奇函数,当0x >时,函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y x =对称,则(1)(2)g g -+-=（）A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-【答案】C【解析】因为0x >时,()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y x =对称;所以0x >时()2x f x =;所以x >时,2()2x g x x =+.又()g x 是奇函数,所以(1)(g g -+-[(1)(2)](2g g =-+=-+++=-.故选C . 【变式】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-=,则a =（）A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点,它关于直线y x =-对称的点的坐标为(,)y x --,由题意知(,)y x --在函数42x y +=的图像上,所以2y a x -+-=,解得2l o g ()y x a =--+,即2()log ()f x x a =--+,所以2(2)(4)log 2f f a -+-=-+-2log 41a +=,解得2a =.故选C .结论十二、对称性与单调性结论1.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值小,即若1020x x x x -<-,则()()12f x f x <;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x -<-;2.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值大,即若1020x x x x -<-,则()1f x ()2f x >;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x ->-.【例12】已知函数()f x 的定义域为R ,且满足下列两个条件:①对任意的12,[4,8]x x ∈,当12x x <时,都有()()12120f x f x x x ->-;②(4)y f x =+是偶函数.若(6),a f =-(11),()b f c f π==,则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】由条件①可以判断出()f x 在[4,8]上是增函数,由条件②可以判断出函数()f x 关于4x =对称,所以自变量距离对称轴越近,所对应的函数值越小.所以|64||114||4|,a b c π-->->->>.故选D . 【变式】已知定义在R 上的函数()f x 满足(32)(21)f x f x -=-,且()f x 在[1,)+∞上单调递增,则（）A ．()()()0.3 1.130.2log 0.54f f f << B ．()()()0.3 1.130.24log 0.5f f f << C ．()()()1.10.3340.2log 0.5f f f << D ．()()()0.3 1.13log 0.50.24f f f <<【答案】A【解析】根据题意可得,()f x 的图像关于直线1x =对称.所以()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以自变量距离对称轴越近,所对应的函数值越小.因为0.300.21,<<133 1.111log log 0.50,4443-=<<>=,所以0.31.131log 0.512,00.211,413<-<<-<->,所以1.10.3341l o g 0.510.21->->-.由题意可得()()0.330.2log 0.5f f <<()1.14f .故选A .。
高三函数对称性知识点归纳
高三函数对称性知识点归纳函数对称性是数学中一个重要的概念，通过对函数的变换和图像的观察，可以揭示函数的性质和规律。
在高三数学学习中，函数对称性是一个基础而又重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、函数关于y轴对称当函数图像在y轴上下对称时，称该函数关于y轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)关于y轴对称。
例如，函数f(x) = x^2就是关于y轴对称的函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
函数图像关于y轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是偶函数时，即f(x) = f(-x)。
2. 函数的表达式只含有偶次幂的项且系数都是实数。
二、函数关于x轴对称当函数图像在x轴左右对称时，称该函数关于x轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)关于x轴对称。
例如，函数f(x) = sin(x)是关于x轴对称的函数，因为 sin(-x) = -sin(x) = f(x)。
函数图像关于x轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是奇函数时，即f(x) = -f(-x)。
2. 函数的表达式只含有奇次幂的项且系数都是实数。
三、函数关于原点对称当函数图像在原点对称时，称该函数关于原点对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相反。
在代数表示中，如果函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)关于原点对称。
例如，函数f(x) = sin(2x)是关于原点对称的函数，因为 sin(2(-x)) = -sin(2x) = -f(x)。
函数图像关于原点对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数的表达式中含有奇数个奇次幂的项，且系数不都为0。
高考数学专题《与函数的对称性相关的零点问题》填选压轴题及答案
【答案与提示】
1.【答案】（0，e）
【提示】分离函数，问题即为x>0时，h(x)=lnx与g(x)=ax的图象恰有2个交点，利用导数求出当a=e时，相切为临界值.
2.【答案】
【提示】同例4，利用f(x)=0，求得 ，而当 时，不满足题意，应舍去.
3.【答案】m=2
【提示】发现f(x)是偶函数，故得到f(0)=0，立得m=2或m=－4，难点在于对m=－4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x＞0时，函数恒增或恒减即可.
将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．
当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即x2＋6＝6log2(x2＋2)．通过研究函数y＝4＋t和y＝6log2t可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．
4.【答案】{0,1,2,4}
【提示】见例3.
5.【答案】B
【提示】根据对称性易得答案.
6.【答案】B
【分析】该题设计抽象函数 关于点 成中心对称，函数 由奇函数 向上平移一个单位得到，也关于点 成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点 成中心对称， ，考虑倒序相加法，可得 ， ，故 .
7.【答案】2020
又 是最小正周期为2，最大值为 的正弦函数，
可得函数 与函数 的大致图象如下图：
要使函数 与函数 只有唯一一个交点，则 （1） （1），
高中高考数学 关于函数的对称性和周期性
，且存在一个定值 使得 f (x1) f (x2 ) +1
f (x2 ) − f (x1 )
a
f
(a)
= 1 ，则
f
(x) 的周期T
=
4|a
|
（6）若 f (x) 的图象关于 x = a, 且同时关于 x = b(a ≠ b) 对称，则T = 2 | a − b | .
证明： ，得证 f (x) = f (2a − x) = f (2b − (2a − x)) = f (x + 2b − 2a)
答： f (a + x) = f (b − x) 表示 f (x) 的对称轴为 x = a + b ； 2
而 表示 的周期为 f (a + x) = f (b + x) f (x)
T =| a − b | .
二．常见结论（注：此处T 专指最小正周期，且默认a ≠ 0） （1）若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = − f (x) ，则T = 2 | a | .
推广：若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = m − f (x) ，则T = 2 | a | .
证明：用 x + a 代替 f (x + a) = m − f (x) 中的 x ，得到 f (x + 2a) = m − f (x + a) ；
于是 ，得证 f (x + 2a) = m − f (x + a) = m − [m − f (x)] = f (x)
.
反函数结论（略）.
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关于函数的周期性
一．周期函数的定义：函数 f (x) 在其定义域内，对任意的 x 都存在一个常数T ， (T ≠ 0) 使得 f (x + T) = f (x) 成立，则称函数 f (x) 是周期函数， T 叫做函数 f (x) 的一个周期.（注：以后T 专指最小正周期） 设T 是函数 f (x) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z,k ≠ 0) 也是函数 f (x) 的周期.
高考数学 函数图像的对称问题专题总结
函数图像的对称专题一、图像的对称变换（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像____ 去下翻上_____得到；“去下翻上”详解：x 轴及其上方的图像不动，x 轴下方的图像（如果有的话）沿x 轴对称翻折到x 轴上方. （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像______去左翻右____得到。
“去左翻右”详解：y 轴及其右边的图像不动，y 轴左边的图像（如果有的话）去掉 ，并将y 轴右边的图像沿y 轴对称翻折到y 轴左边.（3）关于,(,)x a y b y x a b ===，， 的对称翻折见二（二） 【例1】(1)2()2||3f x x x 的增区间是_________________.(1,0),(1,)(2)2()|2||3|f x x x k 的增区间是________________;(3,1),(0,1),(3,)(3)若2()|2||3|f x x x k 有6个零点，则k 的取值范围是________.(3,4)二、 图像的对称（一）自对称图一图二 图三1.基本结论：（1）若()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=成轴对称（图一）． 特殊化： ()()f a x f a x -=+⇔()y f x =的图象关于直线x a =对称； 再特殊化： ()()f x f x -=⇔()y f x =的图象关于直线0x =对称；（2）若()y f x =满足()()f a x f b x +=--，则()y f x =的图象关于点(,0)2a b+成中心对称（图二）． 特殊化： ()()f a x f a x -=-+⇔()y f x =的图象关于点(,0)a 对称； 再特殊化： ()()f x f x -=-⇔()y f x =的图象关于点(0,0)对称.一般化：()()2()2()f a x f a x b f a x b f a x -++=⇔-=-+()2(2)f x b f a x ⇔=--()y f x ⇔=的图象关于点(,)a b 对称（图三）．2.核心原理：中点坐标公式.从而易得()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+3.梳理成表格：一般情况关于直线___对称)()(x b f x a f -=+差个 负号 ↔ )()(x b f x a f --=+关于点___对称 特殊化：上式b a =时 关于直线___对称 )()(x a f x a f -=+ 差个 负号 ↔ )()(x a f x a f --=+关于点___对称 更特殊：上式0=a 时关于 ___对称 )()(x f x f -=差个 负号 ↔)()(x f x f --=关于 ___对称3.核心原理：中点坐标公式【例2】（1）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；1x = （2）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；2x =-（3）若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________．2x = （4）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________；(10)， （5）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=--，则()f x 的图象的对称中心为________；(20)-， （6）若函数()f x 满足：(2)(2)2f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________．(21)， （7）已知函数1(bx f x x a-=-满足6)2()(=-+x f x f ，则=a ________;=b _________.1,3 （8）已知函数1312()(1)12x x f x x ---=+-++,则(2)()f x f x -+=______________.2 (9)已知函数()y f x =的图象关于1(,)2对称，则1()()...20222022f +2020...()2022f +2021()2022f +=_________.20212. （二）两个函数图像的对称初步（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于________对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于______对称； （4）函数)2(x a f y -=的图像与函数()y f x =的图像关于______对称（图四）； （5）函数2()y b f x 的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称（图四）；图四（6）函数2(2)ybf a x 的图像与函数()y f x =的图像关于_________对称（图四）；（7）函数)(y f x =的图像与函数()y f x =的图像关于直线_________对称. 核心原理仍然是_____中点坐标公式______（图四）.【例3】(1) 函数1lg600100y x=-与 x y lg =的图像关于______对称.(3,1)-（2）已知x x g lg )(=， )(x f 的图像与)(x g 的图像关于)1,2(对称，则)(x f 的解析式是________. (3)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析:C 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．三、图像的应用（综合练习与巩固）【1】将函数()f x 的图象关于y x =对称，然后向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（）BA ．()ln 1f x x =-B ．()ln 1f x x =--C ．()1ln f x x =-D ．()1e xf x --=【2】若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2解析：A 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.【3】对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确是_______________. 解析: ①②.作出f (x )的图象，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．【4】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为__________.0A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算解析:由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+，∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4，∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．【5】若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-+，且与直线2y kx k =-交于四个点，则这四个点的横坐标之和x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =__________.8.【6】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程()12xf x -=的解的个数为______. 3 【变式一】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x =的解的个数为______. 5 【变式二】 已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x ≤的解集为__________. (,6][2,0][22,4]-∞--+【7】已知函数2()2||1f x x x =+-,则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析:D.函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.思考： 若上题的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，呢？【8】已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][23,+)∞B ．(0,1][3,)+∞C ．(0,2][23,+)∞D ．(0,2][3,+)∞解析:B.在同一直角坐标系中，分别作出函数221()(1)f x mx m x m ⎛=-=-⎝与()g x x m =+的大致图象．分两种情形： （1）当01m <≤时，11m≥，如图①，当[]0,1x ∈时，()f x 与()g x 的图象有一个交点，符合题意． （2）当1m >时，10m<<，如图②，要使()f x 与()g x 的图象在[]0,1上只有一个交点，只需()()11g f ≤，即211()m m +≤-，解得3m ≥或0m ≤（舍去）．综上所述，(][0,13),m ∈+∞．故选B ．【9】函数0.5()|log |2x f x x -=的零点个数为________．解析:2.由()0f x =，得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数105log ||y x =．和212xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的图象， 由上图知两函数图象有2个交点，故函数()f x 有2个零点．【变式一】函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________． 解析：2.由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.【变式二】0.5()|log |(0)f x x k k =->的零点是1,x x ，则（ ）A A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【变式三】0.5()|log |2xf x x -=的零点是1,x x ，则（ ）B A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【10】（波浪锯齿形）若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x -=，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有_______个.解析: 4.因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.【11】（波浪锯齿形）定义在R 上的奇函数f （x ），满足(2)()f x f x -=，且f （x ）在区间[0，1]上 是减函数，则（ ）C ．A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．f （x ）的图象关于直线(3,0)-对称C ．(3)(2018)(2019)f f f -<<D ．[11，12] 是f （x ）的一个单调增区间 【12】已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0 在 R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令 F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出 F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解； 当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．四、真题赏析（全国卷中的对称）全国卷是“对称热爱狂”.新课标高考十六年以来（2007-2022）的和新高考三年以来（2020-2022），全国卷函数小题大约有共120道左右的，和对称有关的真题超过40道，占三分之一，是函数板块第一高频考点.现积累如下. 1.基础的对称【1】（2007全国一，文9，理9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【2】（2014全国一，文5，理3）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ） A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数【3】（2014全国二，文15）偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.3【4】（2008全国一，理9）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ D ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x xx-<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.【5】（2014全国二，理15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.（1,3-）【6】（2020新高考全国一卷8）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【7】（2004全国一，理2，文,2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x xx f 则若（ ） A ．b B ．－b C ．b 1D ．－b1【8】（2009全国二，文3）函数22log 2xy x-=+的图像（A ）（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称【9】（2017全国一，文9）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则( C ) A ．()f x 在（0,2）单调递增 B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称【10】（2018全国三，文7）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称 的是（B ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【11】（2021全国乙，文理4）设函数1(1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得1()11xf x x-==-++，对于A ，()2112fx --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()212f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【12】（2015全国一，理13）若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a =.【13】（2021新高考全国一，13）已知函数()()32xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】因为()()32xx a f x -=⋅-，故()()32xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()32222xx x x xa x a -⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：1【14】（2007全国一，文、理14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =__________．【15】（2008全国一，文8、理6）若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ）A ．21x e -B ．2xe C ．21x e +D ．22x e +【16】（2008全国二，文4、理3）函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【17】（2012全国新课标，理12）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ A ）()A 1ln 2- ()B2(1ln 2)-()C 1ln 2+ ()D 2(1ln 2)+解析:函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为122x e d -=,设函数min min 111ln 2()()1()1ln 222x g x e x g x e g x d -'=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为min 22(1ln 2)d =-【18】（2015全国一，文12）设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（C ）（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4此题的出现，提醒我们，理解到本质最重要.否则纲貌似超了，说不超说超纲也不超.【19】（2013全国一，理16）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.16【20】（2018全国二，文12，理11）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（C ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【21】（2021全国甲，理12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 94-B. 32-C.74D.52【答案】D 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．955122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，133512222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以935222f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．2.和零点有关的对称问题（或利用对称性求值）见下：1.具体函数对称性【22】（2010全国一理10）已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是（ A ）(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞【23】（2010全国一文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（C ）(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【24】（2011全国新课标文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =， 那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（A ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【25】（2010全国一理15）直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是. (1,5)4解析:在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,414a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<. 【26】（2015全国二文12）设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131--【27】（2016全国二文12）已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑ (B)(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m【28】（2020全国二理9）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在1(,)2-单调递减 C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x⎫≠±⎨⎩，关于坐标原点对称， 又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1,2x ⎛∈-⎪⎝时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，()ln 12y x =-在1,2⎛-⎪⎝上单调递减，()f x ∴在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛∈-∞-⎪⎝时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x +⎛=----==+⎪-⎝，2121x μ=+-在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，D 正确. 故选：D.【29】（2020全国三理16）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，12622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，12622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎭，则6f π⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛-=-+=--=-+=- -⎝，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝，则2f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③. 【30】（2022全国甲文理5）函数()33cos x x x -=-在区间ππ,2⎡-⎥⎣的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】令()()33cos ,,2xxf x x x ππ-⎤=-∈-⎥⎦， 则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈⎪⎝时，330,cos 0xx -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【31】（2022全国新高考全国一卷9）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛=++> ⎝的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎝中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 1 B.32C.52D. 3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得23πππω<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎝对称，所以3,2k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以2,6k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 22f x x π⎛=++ ⎝， 所以5sin 21244f ππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【32】（2022全国新高考全国二卷9）函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象以2π,03⎛ ⎝中心对称，则（ ）A. y =()f x 在5π0,12⎛ ⎝单调递减B. y =()f x 在π11π,1212⎛-⎪⎝有2个极值点C. 直线7π6x =是一条对称轴 D. 直线2y =是一条切线【答案】AD【解析】由题意得：2π4πsin 03f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛= ⎝．对A ，当5π0,12x ⎛∈⎪⎝时，2π2π3π2332x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛ ⎝上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛∈-⎪⎝时，2ππ5π2322x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π23x +，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π2π3x +，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y ⎛'=+=- ⎝得：2π1cos 23x ⎛+=- ⎝， 解得2π2π2π3x +=+或2π4π2π,3x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点0,2⎛ ⎝处的切线斜率为02π2cos13x k y =='==-，切线方程为：(0)2y -=--即2y =．故选：AD ．【33】（2022全国新高考全国一卷10）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC【解析】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得3x -<<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(103f -=+>，103f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝上有一个零点，当x ≥()03f x f ⎛≥ ⎝，即函数()f x 在3⎛∞ ⎝上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确； 令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+， 故D 错误.故选：AC2.抽象函数对称性（或虽为具体函数但是具体函数虚晃一枪的对称）【34】（2009全国一，理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ D ） (A) ()f x 是偶函数(B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数【35】（2021新高考全国二8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A. 102f ⎫-= ⎪⎭B. ()10f -=C. ()20f =D. ()40f =【答案】B【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.【36】（2011全国新课标理12）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于(D) （A ）2 (B) 4 (C) 6(D)8总结：换元后提取对称性【37】（2012全国新课标文16）设函数()f x =(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____解析()f x =22sin 11x x +++，设()g x =()1f x -=22sin 1xx ++，则()g x 是奇函数， ∵()f x 最大值为M ，最小值为m ，∴()g x 的最大值为M-1，最小值为m －1， ∴110M m -+-=，M m +=2. 总结：拆分后提取对称性【38】（2016全国二，理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m x y x y x y ⋅⋅⋅则1)mi i xy ==∑ （B ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m总结：换元后提取对称性【39】（2017全国三，理11,文12）已知函数211()2()x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（C ）A ．12-B ．13C ．12D ．1总结：换元后提取对称性，背景在课本《必修一》P83,B 组4.【40】（2018全国三文16）已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()f a -= ______．2-【41】（2022全国乙卷理12）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221(k f k==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024.(k f f f f f f f f f k=+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑【42】（2022全国新高考全国一卷12）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f ⎛- ⎪⎝，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛-= ⎪⎝ C. (1)(4)f f -= D. (1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】因为322f ⎛-⎪⎝，(2)g x +均为偶函数， 所以322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即32f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,2x =对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以102g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【43】（2022全国新高考全国二卷8）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221(k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．。
高中数学函数的对称性专题含答案
高中数学函数的对称性专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知函数f(x)=x2−2x+m，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x22)=()A.1B.2C.m−1D.m2. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=lg(x+1)的图象与函数g(x)=lg(−x+1)的图象关于( )A.原点对称B.x轴对称C.直线y=x对称D.y轴对称3. 下列给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(f(8))等于()A.πB.4C.8D.04. 已知幂函数y=f(x)，f(8)=2，则y=f(x)一定经过的点是( )A.(2, 1)B.(2, 4)C.(4, 2)D.(0, 1)5. 已知函数f(x+1)＝3x+2，则f(x)的解析式是( )A.3x+2B.3x+1C.3x−1D.3x+46. 若函数f(x)＝x2+e x−12(x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.(−∞,√e)B.√e ) C.√e√e) D.(−√e,√e)7. 定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，，则( )A. B. C. D.8. 已知函数f (x )=ln (x −2)+ln (4−x )，则( ) A.f (x )的图象关于直线x =3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减9. 函数f (x )=x 3−2021x +1图象的对称中心为（ ） A.(0,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,1)10. 已知函数f (x )=11+ex ，若正实数m ，n 满足f (m −1)=1−f (n )，则1m+4n的最小值为( ) A.7 B.9 C.3+2√2D.8911. 函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，x ∈R ，且当x ≥1时，f (x )=lg x ，则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12)B.f (12)<f (2)<f (13)C.f (12)<f (13)<f (2) D.f (2)<f (12)<f (13)12. 已知函数f (x )={log a x,x >0，|x +3|,−4≤x <0，（a >0且a ≠1）．若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A.(0,14) B.(0,14)∪(1,+∞) C.(14,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,4)13. 设函数f(x)=(x −3)3+x −1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a 7)=14，则a 1+a 2+⋯+a 7=（ ） A.0 B.7 C.14 D.2114. 已知定义域为R 的函数f (x )在[2,+∞)单调递减，且f (4−x )+f (x )=0，则使得不等式f (x 2+x )+f (x +1)<0成立的实数x 的取值范围是( )A.(−3,1)B.(−∞,−1)∪(3,+∞)C.(−∞,−3)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(−1,+∞)15. 已知函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A.(−∞,1]B.(−∞,√e)C.(−∞,1)D.(1,√e)16. 函数f(x)=x+1x图象的对称中心为________．17. 若偶函数y=f(x)(满足f(1+x)=f(1−x)，且当时，，则函数g(x)=f(x)−的零点个数为________个．18. 设y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且它的图象关于点(2, 0)对称，若当x∈(0, 2)时，f(x)＝x2，则f(19)＝________19. 已知函数对于都有，且周期为2，当时，，则________________.20. 已知函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，g(x)=1x+1，y=f(x)与y=g(x)交于点(x1,y1)，(x2,y2)，则y1+y2=________．21. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=−f(2−x)，当x≥1时，f(x)=log2x，则不等式f(x)≤2的解集为________.22. 若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f′(x)=________.23. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x≤2, 12f(x−2),x>2.有下列结论：①函数f(x)在(−6,−5)上单调递增；②函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数f(x)在[2k−1,2k](k∈N∗)上的最大值为a k，则数列{a n}的前7项和为12764.其中所有正确结论的编号是________.24. 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，求a的值.25. 已知幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数，求满足(a+1)−m<(3−2a)−m的实数a的取值范围．26. 已知函数f(x)=2x+2−x.(1)求方程f(x)=52的根；(2)求证：f(x)在[0,+∞）上是增函数；(3)若对于任意x∈[0,+∞)，不等式f(2x)≥f(x)−m恒成立，求实数m的最小值．27. 已知函数f(x)=x2−2ax+1满足f(x)=f(2−x)．(1)求a的值；(2)若不等式f(2x)4x≥m对任意的x∈[1, +∞)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数g(x)=f(|log2x|)−k(|log2x|−1)有4个零点，求实数k的取值范围．28. 已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)−g(x)=1e x.(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若f(2x)>ag(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围；(3)记H(x)=g(x+1)+1，若a，b∈R，且a+b=1，求H(−4+a)+H(b+1)的值．f(x+1)参考答案与试题解析高中数学函数的对称性专题含答案一、选择题（本题共计 15 小题，每题 3 分，共计45分）1.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】先求出二次函数的对称轴方程，由条件可得x1+x2=2×1=2，然后代入求值即可. 【解答】解：对于二次函数f(x)=x2−2x+m，其对称轴方程是x=1，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则x1+x2=2×1=2，故f(x1+x22)=f(22)=m−1.故选C.2.【答案】D【考点】函数的对称性函数的图象变换【解析】易知g(x)=f(−x)，由f(−x)与f(x)的图象间的关系可得g(x)与f(x)的图象关系．【解答】解：f(−x)=lg(−x+1)=g(x)，因为f(−x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．故选D．3.【答案】A【考点】函数的求值函数的对称性函数的概念及其构成要素【解析】先求出f(8)=，从而f(8]=t(1)，由此能求出结果．【解答】f(θ)=1,f(1)=π,∴ Mf(8)=f(1)=π故选：A．4.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域抽象函数及其应用函数的对称性【解析】试题分析：由已知得8a=2√2，解得a的值，由此求出f(x)的表达式，得到结论．解：幂函数y=f(x)=x8的图象经过点(8,2√2)∵8a=2√2，解得a=12∴(x)=√x将(4,2)代入f(x)，满足方程，故选：c．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性函数解析式的求解及常用方法函数的对称性【解析】试题分析：设t=x+1x=t−1f(t)=3(t−1)+2=3t−1【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题函数的对称性【解析】由题意可得e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈(−∞, 0)，满足x02+e x0−12=(−x0)2+ln(−x0+a)，即e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0−12−ln(−x0+a)也趋近于负无穷大，且函数ℎ(x)＝e x −12−ln (−x +a)为增函数，∴ ℎ(0)＝e 0−12−ln a >0， ∴ ln a <ln √e ， ∴ a <√e ，∴ a 的取值范围是(−∞, √e). 故选A . 7.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 函数的周期性 函数的对称性 【解析】由偶函数y =f (x )，其图像关于点(12,0)对称，可得f (12+x)+f (12−x)=0，进而可推出f (x )最小正周期为2，所以f (π)=f (π−4)=f (4−π)，代入题中所给解析式即可求出结果． 【解答】因为y =f (x )图像关于点(12,0)对称，所以f (12+x)+f (12−x)=0，所以f (1+x )+f (−x )=0，又y =f (x )为偶函数，所以f (−x )=−f (x )，所以f (x +2)=−f (1+x )=f (x )，所以函数f (x )最小正周期为2，所以f (π)=f (π−4)=f (4−π)=π−4+12=π−728. 【答案】 A【考点】复合函数的单调性 函数的对称性【解析】求出函数的定义域，利用对称性进行判断即可． 【解答】解：要使函数有意义，则{x −2>0,4−x >0,解得2<x <4，则函数的定义域为(2,4)，f (x +3)=ln (x +1)+ln (1−x )， f (3−x )=ln (1−x )+ln (1+x )， 则f (x +3)=f (3−x )，即函数关于x =3对称，故A 正确，B 错误，∵函数关于x=3对称，∴函数在定义域(2,4)上不具备单调性，故CD错误．故选A．9.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．【解答】解：设对称中心的坐标为(a,b)，则有2b=f(a+x)+f(a−x)对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=(a+x)3−2021(a+x)+1+(a−x)3−2021(a−x)+1对任意x均成立，解得a=0，b=1，即对称中为(0,1)．故选C．10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(x)=11+e x，所以f(−x)=11+e−x，所以f(x)+f(−x)=1．由于函数f(x)=11+e x在定义域上单调递减，正实数m，n满足f(m−1)+f(n)=1，故1−m=n，所以m+n=1，所以1m +4n=(m+n)(1m+4n)=5+nm +4mn≥5+2√4=9（当且仅当2m=n=23时，等号成立）．故选B．11.【答案】C【考点】对数函数的单调性与特殊点函数的对称性【解析】【解答】解：由f (x )=f (2−x )．得f (x )的图象关于直线x =1对称，又当x ≥1时，f (x )=lg x ． 故函数f (x )的大致图象如图所示．则有f (12)<f (13)<f (0)=f (2)．故选C ．12.【答案】 C【考点】分段函数的应用 函数的对称性【解析】由题意，a >1时，显然成立；0<a <1时，f (x )=log a x ,关于原点的对称函数为f (x )=−log a (−x )则log a 4<−1，即可得到结论． 【解答】解：由题意，a >1时，显然成立， 0<a <1时，f (x )=log a x 关于原点的对称函数为： f (x )=−log a (−x )，则log a 4<−1， 解得，14<a <1.综上所述，a 的取值范围是(14,1)∪(1,+∞) ． 故选C ． 13. 【答案】 D【考点】 函数的对称性 等差数列的性质 【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=(x−3)3+x−1，所以f(x)−2=(x−3)3+x−3，令g(x)=f(x)−2，所以g(x)关于(3,0)对称，因为f(a1)+f(a2)+⋯+f(a7)=14，所以f(a1)−2+f(a2)−2+⋯+f(a7)−2=0，所以g(a1)+g(a2)+⋯+g(a7)=0，所以g(4)为g(x)与x轴的交点，因为g(x)关于(3,0)对称，所以a4=3，所以a1+a2+⋯+a7=7a4=21．故选D．14.【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合函数的对称性【解析】由题意，f(x)关于(2,0)对称，f(2)=0，当x>2时，函数f(x)单调递减，则函数f(x)<0，x<2时，函数f(x)单调递减，函数f(x)>0，由题意设x1<x2，则由题意，x1−2<0且x2−2>0,|x1−2|>|x2−2|则f(x1)>0f(x2)<0，且|f(x1)|>|f(x2)|，可将f(x1)+f(x2)小于0等价转化解之可得结果.【解答】解：定义在R上的函数f(x)，满足f(−x)=−f(x+4)，则f(x)关于(2,0)对称，令x=−2，则f(2)=−f(2)，所以f(2)=0，当x>2时，函数f(x)单调递减，所以x>2时，函数f(x)<0，当x<2时，函数f(x)单调递减，所以x<2时，函数f(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递减，根据f(x+1)=−f(3−x)，所以f(x2+x)<f(3−x)，所以x2+x>3−x，解得x>1或x<−3.故选C．15.【答案】C【考点】函数的图象变换函数的对称性【解析】函数g(x)关于y轴对称的函数为y=x2+ln(−x+a),因为函数f(x)=x2+e x−1,x<0与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,函数f(x)=x2+e x−1,x<0与y=x2+ln(−x+a)有交点,化为函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时图象有交点,数形结合法求解即可.【解答】解：设(x,y)是函数g(x)关于y轴对称的图象上的点，则(−x,y)在函数g(x)的图象上，将(−x,y)代入g(x)=x2+ln(x+a)，可得y=x2+ln(−x+a)，因为函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，所以函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与y=x2+ln(−x+a)有交点，即x2+e x−1=x2+ln(−x+a)，x<0有解，即e x−1=ln(−x+a)，x<0有解，作函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时的图象，临界值在x=0处取到（虚取），此时a=1，要使函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时有交点，则a<1.故选C.二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）16.【答案】(0, 1)【考点】函数的对称性【解析】利用方式函数的性质进行求解即可．【解答】解：f(x)=x+1x =1+1x，则函数f(x)的对称中心为(0, 1)，故答案为：(0, 1)17.【答案】10【考点】函数的周期性函数的对称性【解析】运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f(x)的周期，构造函数y=f(x),ℎ(x)= |lg x|，则函数lg(x)=f(x)−|lg x|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．偶函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1−x)即函数M(x)关于x=对称，即有f(x+2)=f(−x)=f(x)则函数y =f (x )的周期为2，构造函数y =f (x ),ℎ(x )=lg x则函数lg (x )=f (x )−lg x 的零点问题转化为图象的交点问题，画出函数图象，如图，由于f (x )的最大值1，所以x >10时，图象没有交点，在(0,1)上有一个交点，(1,3),(3,5),(5,7),(7,9)上各有两个交点，在(9,10)上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10．故答案为10．【解答】此题暂无解答18.【答案】∼1.【考点】函数的对称性复合函数的单调性【解析】根据题意，由函数的奇偶性与对称性分析可得f (x +8)=f (x )，即函数f (x )是周期为8的周期函数，据此可得f (19)=f (3+2×8)=f (3)=−f (−1)=−f (1)，再由函数的解析式计算即可．【解答】根据题意，y =f (x )是定义域为R 的偶函数，则f (−x )=f (x )又由y =f (x )得图象关于点(2,0)对称，则f (−x )+f (x +4)=0所以f (x +4)=−f (x )，即函数y =f (x )是周期为8的周期函数，所以f (19)=f (3+2×8)=f (3)=−f (−1)=−f (1)又当x ∈(0,2)时，f (x )=x 2，则f (1)=1所以f (19)=−f (1)=−1故答案为：—1．19.【答案】14【考点】函数的周期性函数的对称性【解析】利用f (4−x )=f (x )，且周期为2，可得f (−x )=f (x )，得f (52)=f (−52)【解答】f (4−x )=f (x )，且周期为2，f (−x )=f (x )，又当x ∈[−3,−2]时，f (x )=(x +2)2f (52)=f (−52)=(−52+2)2=14故答案为：1420.【答案】2【考点】函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(x)+f(−x)=2，所以y=f(x)关于点(0,1)对称，+1也关于点(0,1)对称，y=g(x)=1x则交点关于(0,1)对称，∴y1+y2=2．故答案为：2．21.【答案】(−∞，4]【考点】函数的对称性函数的图象【解析】利用函数的图象和函数的对称性解不等式即可. 【解答】解∵ f(x)=−f(2−x)，∴ f(x)+f(2−x)=0，∴ f(x+1)+f(1−x)=0，∴ f(x)关于点(1,0)对称，∵ x≥1时，y=logx，2由对称性作出f(x)在R上的图象，令f(x)=2，则log2x=2，解得x=4，故由图像可知f(x)≤2时，x≤4，故f(x)≤2解集为(−∞，4].故答案为：(−∞，4].22.【答案】−4x 3−24x 2−28x +8【考点】函数的对称性导数的运算【解析】【解答】解：∵ 函数f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =−2对称，∴ f (−1)=f (−3)=0，且f (1)=f (−5)=0，即[1−(−3)2][(−3)2+a ⋅(−3)+b ]=0，且[1−(−5)2][(−5)2+a ⋅(−5)+b ]=0，整理得{9−3a +b =0,25−5a +b =0,解得{a =8,b =15,因此，f (x )=(1−x 2)(x 2+8x +15)=−x 4−8x 3−14x 2+8x +15，求导得f ′(x )=−4x 3−24x 2−28x +8.故答案为：−4x 3−24x 2−28x +8.23.【答案】①④【考点】奇偶性与单调性的综合函数的对称性根的存在性及根的个数判断等比数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：①由题得，当x >0时，f(x)在(2k −1,2k](k ∈N ∗)上单调递增，又f(x)是定义在R 上的奇函数，当k =3时，f(x)在(5,6)上单调递增，所以f(x)在(−6,−5)上单调递增，故①正确；②作出函数f(x)的图象，如图，由图知f(x)的图象与y =x 有三个不同的交点，故②错误；③[f (x )]2−(a +1)f (x )+a =0(a ∈R )，整理得[f(x)−a][f(x)−1]=0，设方程的四个跟为x1，x2，x3，x4.当f(x)=1时，有唯一解x1=2，所以f(x)=a(a≠1)有三个不相等的实数根，由图象可知，当a=±12时，方程f(x)=a有三个不相等的实数根，当a=12时，x2+x3=2×1=2，x4=4，此时x1+x2+x3+x4=8当a=−12时，x2+x3=2×(−1)=−2，，x4=−4，此时x1+x2+x3+x4=−4，故③错误；④由函数的单调性可知，f(x)在[2k−1,2k](k∈N∗)上的最大值a k=f(2k)(k∈N∗)，所以数列{a n}的通项公式为a n=12n−1，则数列{a n}的前7项和为1−1 271−12=2−126=12764，故④正确.故答案为：①④.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）24.【答案】2【考点】函数的对称性【解析】设点(x,y)是y=f(x)的图像上任一点，则点(−y,−x)必在y=2x+1的图象上，根据对称性先求出f(x)的解析式，再代入解析式即可求出答案．【解答】解：设点(x,y)是y=f(x)的图像上任一点，则点(−y,−x)必在y=2x+1的图象上，−x=2−1++y=a−log2(−x)，即f(x)=a−log2(−x)f(−2)+f(−4)=(a−log22)+(a−log24)=a−1+a−2=2a−3=1a=225.【答案】解：∵幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)在(0, +∞)上是减函数，∴3m−9<0，解得m<3，∵m∈N∗，∴m=1或m=2，∵函数的图象关于y轴对称，∴3m−9是偶数，∴m=1，∵(a+1)−m<(3−2a)−m，∴(a+1)−1<(3−2a)−1，∴a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得23<a<32．∴实数a的取值范围是(23, 32 )．【考点】函数的对称性其他不等式的解法幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质【解析】由幂函数的单调性和奇偶性结合已知条件求出m=1，从而得到(a+1)−1<(3−2a)−1，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)在(0, +∞)上是减函数，∴3m−9<0，解得m<3，∵m∈N∗，∴m=1或m=2，∵函数的图象关于y轴对称，∴3m−9是偶数，∴m=1，∵(a+1)−m<(3−2a)−m，∴(a+1)−1<(3−2a)−1，∴a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得23<a<32．∴实数a的取值范围是(23, 32 )．26.【答案】解：(1)∵f(x)=2x+12x，∴当2x+12x =52时，解得x=1或x=−1，∴f(x)=52的根为x=1或x=−1.(2)证明：任取x1,x2∈[0,+∞），且x1>x2，则f(x1)−f(x2)=22x1+12x1−22x2+12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2.∵x1>x2>0，则2x1>2x2，则2x1+x2>1，∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴ 证得f(x)在[0,+∞)上是增函数.(3)由题意得f(2x)−f(x)=122x +22x−2x−12x，令2x+12x=t(t≥2)，则ℎ(t)=t2−2−t，∴对称轴为t=12，∴ℎ(t)min=ℎ(2)=0，则−m≤0，∴m≥0，综上所述，m的最小值为0. 【考点】函数的求值函数单调性的判断与证明函数恒成立问题函数的对称性【解析】直接求解方程即可.利用函数单调性的定义证明即可.通过构造二次函数，结合函数最值求解即可.【解答】解：(1)∵ f (x )=2x +12x ， ∴ 当 2x +12x =52 时，解得 x =1 或x =−1，∴ f (x )=52的根为 x =1 或x =−1. (2)证明：任取x 1,x 2∈[0,+∞） ，且 x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=22x 1+12x 1−22x 2+12x 2 =(2x 1−2x 2)(2x 1+x 2−1)2x 1+x 2.∵ x 1>x 2>0，则 2x 1>2x 2 ，则 2x 1+x 2>1，∴ f (x 1)−f (x 2)>0 ，即 f (x 1)>f (x 2)，∴ 证得 f (x ) 在[0,+∞)上是增函数.(3)由题意得 f (2x )−f (x )=122x +22x −2x −12x ，令 2x +12x =t (t ≥2)，则ℎ(t )=t 2−2−t ，∴ 对称轴为 t =12 ，∴ ℎ(t )min =ℎ(2)=0，则 −m ≤0 ，∴ m ≥0，综上所述 ，m 的最小值为0.27.【答案】解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，∴ f(x)的图象关于x =1对称，∴ a =1．(2)令2x =t ，则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，∴ m ≤(1−1t )min 2=14，∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1=(b −1)(b −k −1)，由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=k +1>0，∴ k >−1．【考点】函数的对称性函数恒成立问题函数的零点与方程根的关系【解析】(1)由题意可得对称轴为x ＝1，计算可得a 的值；(2)原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，由函数的性质可得最小值，即可得到所求范围；(3)令t ＝|log 2x|，则y ＝g(x)可化为y ＝t 2−(k +2)t +k +1＝(t −1)(t −k −1)，令y ＝0，解方程，再令其根大于0，可得所求范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，∴ f(x)的图象关于x =1对称，∴ a =1．(2)令2x =t ，则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，∴ m ≤(1−1t )min 2=14，∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1=(b −1)(b −k −1)，由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=k +1>0，∴ k >−1．28.【答案】解：(1)由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2．(2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a ⋅e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立.令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增，故t ∈(e −1e ,+∞)， 即t 2−at +2>0在(e −1e ,+∞)上恒成立．由at <t 2+2，即a <t +2t ，且y =t +2t 在[√2,+∞）上单调递增，e −1e >√2， 得y =t +2t 在(e −1e ,+∞)上的最小值为e 2−1e +2e e 2−1=e 4+1e (e 2−1)， 故a ≤e 4+1e (e 2−1)． (3)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)+1 =2e x+1e x+1+e −(x+1).令G (x )=2e x e x +e −x ，则G (−x )=2e −x e −x +e x ，故G (x )+G (−x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，又由G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H (−4+a )+H (b +1)=G (−3+a )+G (b +2)=G(−3+a)+G[(1−a)+2]=G (−3+a )+G (3−a )=2．【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值函数的求值函数的对称性【解析】由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2． (2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立，令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增；解关于t 的二次函数求出a 的范围．(３)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)=2e n+1e x+1+e −(x+1)，令G (x )=2e x e x +e −x ，又由G (−x )=2e −xe −x +e x ，且G (−x )+G (x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，故G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H (−4+a )+H (b +1)=G (−3+a )+G (b +2)=2．【解答】解：(1)由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①， 则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2．(2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a ⋅e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立.令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增，故t ∈(e −1e ,+∞)， 即t 2−at +2>0在(e −1e ,+∞)上恒成立． 由at <t 2+2，即a <t +2t ，且y =t +2t 在[√2,+∞）上单调递增，e −1e >√2， 得y =t +2t 在(e −1e ,+∞)上的最小值为e 2−1e +2e e 2−1=e 4+1e (e 2−1)， 故a ≤e 4+1e (e 2−1)． (3)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)+1=2e x+1e x+1+e −(x+1).令G (x )=2e x e x +e −x ，则G (−x )=2e −x e −x +e x ，故G (x )+G (−x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，又由G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H(−4+a)+H(b+1)=G(−3+a)+G(b+2) =G(−3+a)+G[(1−a)+2]=G(−3+a)+G(3−a)=2．。
高考数学热点问题专题练习——函数的对称性与周期性知识归纳及典型例题分析
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦ ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
高三第一轮复习函数的对称性.doc
函数的对称性一、有关对称性的常用结论（一）函数图象自身的对称关系1、轴对称(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+；（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称。
2、中心对称（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-⇔b x f x a f 2)()2(=+-（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(c b a + 对称。
（二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=对称。
推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。
推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(c a b -对称。
推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。
高考数学总复习第二章 §2.4 函数的对称性
|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 所有交点的横坐标之和为
A.0
B.m
√C.2m
D.4m
依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)， 即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称. 函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称， 所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xm，ym)， 则 x1＋x2＋…＋xm＝4×m2 ＝2m.
所以3c＝－1b，＝0， 解得 b＝3，c＝1， 所以b＋c＝4，D不正确.
(2)(2024·南京模拟)已知函数 y＝f(x)的图象既关于直线 x＝1 对称，又关于
点(2,0)对称，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝2 0x24，则 f(2 024)等于
3 A.2 024
1 B.2 024
1 C.1 012
思维升华 b－a
函数 y＝f(a＋x)的图象与函数 y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝ 2 对称.
跟踪训练3 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是
A.y＝ex－1
B.y＝e1－x
√C.y＝e2－x
D.y＝ln x
与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
√C.关于原点对称
D.关于直线y＝x轴对称
令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x， ∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， ∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称.
高考数学一轮总复习第二章函数专题突破3函数的对称性及其应用课件
对于D，由 + = − ，不能推出 + = − ，所以 的图象不
一定关于直线 = 对称，故D错误.故选AB.
120
（2）若函数 = 1 − 2 2 + + 满足 −2 + = −2 − ，则 =_____.
)
1
+3
√
D.
√
B. = e−3 + e3−
C. 解：若 的图象的对称轴方程为 = 3，则 6 − = .
1
≠
9−
e3− + e−3 =
对于A， 6 − = 6 − +
，A错误.
对于B， 6 − =
式 − 1 > 2 的解集为(
A.(−∞
5
，− )
3
∪ 6, +∞
5
C.(− ，1)
3
)
B. −∞, −1 ∪
5
( ，+∞)
3
5
D.(−1， )
3
√
解：因为函数 + 2 为偶函数，所以 − + 2 = + 2 .所以函数 的图象关
于直线 = 2对称.又因为函数 的定义域为，在区间(−∞, 2]上单调递减，所以函
A. − 1 − 1
B. − 1 + 1
C. + 1 − 1
D. + 1
√
+1
解：由题意，知 的图象关于点 1, −1 对称.将 的图象向左平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度得到函数 = + 1 + 1的图象. 图象的对称中心为