二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文

题目：二次型化为标准型方法

所在学院：数学科学学院

专业班级：数学与应用数学11-2班

****：***

指导教师：艾合买提

答辩日期：2015年5月5日

目录

1 引言.............................................. 错误!未定义书签。

2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。

3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。

正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。

. 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。

. 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。

. 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。

. 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。

4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。

二次型化为标准形的几种方法

摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。

关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法

Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard

Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.

Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method

1引言

二次型是代数学中的一个重要问题，它在数学中占有重要地位，在实际生活中也

有着广泛的应用。其中二次型的一个很重要的问题就是将二次型化为标准型问题。针对这一问题，本文将逐一列举五种化二次型为标准型的方法，分别是：正交变换法、配方法、初等变换法、雅克比方法、偏导数法。并且将具体给出每种方法的特点及适用范围，并给出例题。

2关于二次型定义

定义2.1.1 设V 是数域K 上的向量空间，如果V 中任意一对有序向量),(βα都按

照某一法则f 对应于K 内唯一确定的一个数，记作),(βαf ，且

(i)对任意1k ，2k ∈K ，1α，2α，β∈V ，有

f ),(2211βααk k +=1k ),(1βαf +2k ),(2βαf ；

(ii)对任意1l ，2l ∈K ，α，1β，2β∈V ，有

f ),(2211ββαl l +=1l f ),(1βα+2l f ),(2βα；

则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.

定义 2.1.2 设V 是数域K 上的向量空间，),(βαf 是V 上的一个双线性函数.如

果V 中任意一对有序向量),(βα有),(βαf =),(αβf ，则称),(βαf 是V 上的一个对称双线性函数.

定义2.1.3 设V 是数域K 上的线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数，当αβ=时，

V 上函数),()(αααf Q f =称为),(βαf 对应的二次型函数.

给定V 上一组基{}12,,...,n ξξξ，设),(βαf 的度量矩阵为n n ij a A ⨯=)(，对V 中任一

向量1n i i i x αε==∑有j i n j ij n i x x a f ∑∑

===11),(αα. (1)

这式中i j x x 的系数ij ji αα+.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为

n n ij a A ⨯=)(，及n n ij a B ⨯=)(,只有ij ji ij ji b b αα+=+，(),1,2...i j n =.

所以其所对的二次齐次函数是相同的，得到很多双线性函数可以对应于相同二次

齐次函数，现要求A 为对称矩阵，就相当于使双线性函数对称，则一个对称双线性函数只与一个二次齐次函数对应.从(1)我们可以得到：一个二次齐次函数的坐标表达式其实和二次型等价，又因为它与对称矩阵相对应，所以这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.