实变函数论课后答案第四章

实变函数论课后答案第四章4第四章第四节习题

1．设于，于，证明：于

证明：，

（否则，若，而，

矛盾），则

（）

从而

2．设于，，且于，证明于

证明：由本节定理2（定理）从知的子列使

于

设，，于，从条件于，设

，,于上

令，则，且

故

，则

令，

故有，从而命题得证

3．举例说明时定理不成立

解：取，作函数列

显然于上，但当时

，不

故时定理不成立，即于不能推出于

周民强《实变函数》P108

若是非奇异线性变换，，则

（）

表示矩阵的行列式的绝对值.

证明：记

显然是个的平移集（）的并集，是个（）的并集，且有，

现在假定（）式对于成立（）

则

因为，所以得到

这说明（）式对于以及的平移集成立，从而可知（）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体，

）

对一般开集，，为二进方体，互补相交

则

1-1 ，连续，连续开，则开，从而可测

于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立

设为有界集，开，，则开，且不妨设有界，否则令有界，令即可. 连续，则开，开，可测（），，

故

（开）

若为无界集，令，则，为有界集

，线性，则若，则（后面证）

，则由注释书P69定理3，存在集，，若有界，

则，故（1-1）

则，故

若无界，则，

线性，若，则

证明：为的基，，

，,,令，则

则（即是连续的）

一边平行于坐标平面的开超矩体

于

，开，连续，则是中开集从而可测，从而是中可测集，由归纳法知是可测集

若（）式成立，则矩体，

，为正方体，则对开集也有，特别对开区间

这一开集有

则可知，若，则

事实上，，开区间，，

令知

若（）成立，则将可测集映为可测集，还要看（）证明过程是否用到将可测集映为可测集或推出这一性质！

下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积

（i）坐标之间的交换

（ii）

(iii)

在（i）的情形显然（）成立

在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到从而可知（）式成立

在（iii）的情形，此时（）

而且

（

则

反过来，，则

令则，

则，）记

，则

（，则，，则

，且，则

反过来，，则存在，，使

，，且

！

，存在，使，

，

，，

反过来，，

,则

则，又

则得证）

由此得到

故（）式成立

这里用到，可测，，可测，开，则可测，可测

故还是需要：若为非奇异线性变换，则集，是可测集，从而方块，可测，可测有了，这就有（），从（）知将零测集变为零测集，从而有将可测集变为可测集

可测为可测集（江则坚P109习题10）

现设连续，则开集，是开集，

记，可证是一个代数，且包含全部开集，从而包含全部集

证1）可测

2）若，则显然也可测，

3）若，则，可测，可测是代数

连续，则，包含全部开集，从而包含全部集

为非奇异线性，显然连续

方体半开半闭（显然为集），可测

为，

事实上，从（当）知

，使当时而当时，，故

（是的子列中的一个元，故，

则时

则）

收敛于，即在上收敛.

若条件改为：是一族一致有界的上的函数族，则结论成立

令则，

，

则是中的有界集，由聚点原理一列和，

同样令（为上述取定的一列）

故，由聚点原理，存在的子列和（）使

，由此用归纳法可作出，（为的子列）使

令，则且有故由定理即知

，

方法②建立十进位小数的展式中缺7的所有无尽十进位小数之集和上一切无尽九进位小数之集之间的一一对应.集中每个十进位小数对应中这样的小数，该小数是前一个小数中凡是数字9都有数字7代替后而得到的，这个对应是一一的（九进小数中不含9，而中不含7，将97，而其他不动）

显然

周民强书P35思考题：

6．设是定义在上的实值函数族，是可数集，则存在（）使得在上收敛.

我怀疑本题有错：若不假设是上一致有界的，会有反例：

令=，设这里，则显然任取无穷个于，故不会收敛！

时，

故还有：

鄂强91：介于0与1之间，而十进展开式中数字7的一切实数所成立之集具有什么势？

证明：①从江则坚CH1§题知，且从证明中知与之1-1对应的是，故中小数点全是0，1两位数字构成的数组成的集合，满足，而十进展开式中缺数字7的一切实数之集满足

附加题：徐森林书

设为定义在上的实函数列，适用点集

表示点集

证明：江则坚书第一章第一节习题8：若于，则有

即

另一方面，易知

故

思考:若不可测, 也不可测,且,则不可测?

(显然不对, 可测

至少当有一个有界时,结论是对的?

若存在开集使,,不妨设有界, ,则若可测,则 )