卡氏第二定理

F3
F1
3 1
1 , 2 , , i ,
结构的变形能
11 1 V ε W 2 F 1 δ 1 2 F 2 δ 2 2 F 3 δ 3
只给 Fi 一个增量 Fi .
引起所有力的作用点沿力方向的位
移增量为 Δ1,δ Δ2,δ Δ3,δ
在作用Fi 的过程中, Fi 完成 F1
的功为
1 2
ΔFi
氏定理）（Castigliano’s Theorem）
说明 (Directions)：
（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies）
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力（generalized force） i为相应的位移
（displacement corresponding to force Fi )
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem ) （a） 轴向拉,压（Axial tension and compression）
δ i V F ε i F i F N 2 2 ( E x )x d A F E N (x )A F N F ( ix )d x
Δδi
原有的所有力完成的功为
2
F2
F3
3 1
F 1 Δ 1 F 2 δ Δ 2 δ F iΔ i δ
结构应变能的增量为
Δ ε 1 2 V Δ iΔ i F F δ 1 Δ 1 F δ 2 Δ 2 δ F iΔ i δ
略去高阶微量
1 2
ΔFi
Δδi
Δ ε F 1 Δ V 1 F 2 Δ δ 2 δ F i Δ i δ
F N ( x ) F N ( x ) d x T ( x ) T ( x ) d x M ( x ) M ( x ) d x E A F i G p F I i E I F i
例 2.6
• 已知 EI, 求 C 端挠 度及 A 截面的转角
解：பைடு நூலகம்
• 根据卡氏定理,有
AB段
BC段
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工 程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873年提出 的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移.
作用有外力:
F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
例2.7
• 图示刚架EI为常 量，B截面受m作 用。求C截面转
角qC及D点的水 平位移x。轴力
及剪力不计。
aa
2a
C
D
B
m
A
C点施以附加力 偶矩m2,支反力为
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
aa
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
ds
=
—PR—3p—
4EI
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
— M—=R(1- sinf) Pa
Af
B P Pa
[ ] x=
S
—M— —M EI Pa
ds
= —PR—3— Pa=0 2EI
例 求A点位移A和B点位移B
解
• 先求A点位移
由卡氏定理
因为 所以
求B点位移
（b） 扭转（Torsion）
δ i V F ε i F i T 2 2 (G x )px d I T G (x p )I T F (x i)d x
（c） 弯曲 （Bending）
δ i V F ε i F i M 2 2 ( E x )x d I M E (x ) I M F (ix )d x
（4） 平面桁架 (Plane truss)
δi V Fεi jn 1F E NjljAF FN ij
（5） 组合变形(Combined deformation)
δi
Vε Fi
[F N 2(x )x d T 2(x )x d M 2(x )x d ] F i l 2 EAl 2 G pI l 2 EI
求AB,BC,CD各段的弯 矩方程,并对m2求偏导, 最后由卡氏定理求得C 截面的转角qC。
qC=
2a —3E—I (m+m2)
x3
x2
x1
C
m2
B
m
D
RD
A
RAy
实际上并无m2 ，所以令m2 =0得
qC=
—2a—m 3EI
通常在积分前即令m2 =0，可使积分简单
为求D点水平位
移 x , 在D点加水平
如果把原来的力看作第一组力,而把 Fi 看作第二组力.
根椐互等定理
F 1 Δ 1 F 2 Δ δ 2 δ F i Δ i δ Δ i δ i F
ΔεV ΔiF δi 或者
ΔV ε ΔF i
δi
当 Fi 趋于零时,上式为
Vε Fi
δi
这就是卡氏第二定理（Castigliano’s Second Theorem )（卡
加入虚载荷P’ AB段
BC段
所以
事实上并无P’,因此令P’=0有 其实可在进行以下积分前令P’=0
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
力Pa ,求AB,BC,CD各 段的弯矩方程,并对
x2
x1
C
D Pa
B
RD
m
Pa求偏导,最后由卡 氏定理求得D点水平
位移x。
x3
RAx
A
RAy
x=
17ma2 —— 6EI
例2.8
EI=常量,求B点水平和 垂直位移
先求垂直位移y
B
M=PRcosf
P
—M—=Rcosf P
Af
y=
S
—MEI— —PM