北京市101中学2020学年高二数学上学期期中试题理

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2021-2022学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2021-2022学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2021-2022学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷一、选择题(共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.已知直线l 过点A (0,3),且与直线x +y +1=0平行,则l 的方程是( ) A .x +y ﹣2=0 B .x ﹣y +2=0 C .x +y ﹣3=0 D .x ﹣y +3=02.设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ∥α,m ∥β,则α∥β C .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α D .若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β3.已知点A (1,﹣1),B (﹣1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A .x 2+y 2=2 B .x 2+y 2=√2C .x 2+y 2=1D .x 2+y 2=44.设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB →⋅BC →=0,AD →⋅AC →=0,AB →•AD →=0,M 为BC 中点,则△AMD 是( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形 C .直角三角形 D .不确定5.已知直线l :x +ay ﹣1=0(a ∈R )是圆C :x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1=0的对称轴,过点A (﹣4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |=( ) A .2 B .4√2 C .2√10 D .66.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,有OP →=xOA →+yOB →+zOC →(x ,y ,z ∈R ),则“x =2,y =﹣2,z =1”是“P ,A ,B ,C 四点共面”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .即不充分也不必要条件7.如图,在平面四边形ABCD 中,设AB =AD =CD =1,BD =√2,BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD .使A ′BD ⊥平面BCD ,则下列结论正确的是( ) A .A ′C ⊥BDB .∠BA ′C =90°C .CA ′与平面A ′BD 所成的角为60° D .四面体A ′﹣BCD 的体积为138.在直角坐标系中,A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以线段AB 为直径的圆C 与直线x +y ﹣4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A .4π B .2π C .π D .12π9.如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,AB =AC =PB =PC =5,P A =4,BC =6,点M 在平面PBC 内,且AM =√15,设异面直线AM 与BC 所成的角为α,则cos α的最大值为( )A .√25B .√35C .25D .√5510.在平面斜坐标系xoy 中∠xoy =45°,点P 的斜坐标定义为:“若OP →=x 0e 1→+y 0e 2→(其中e 1→,e 2→分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为(x 0,y 0)”.若F 1(﹣1,0),F 2(1,0),且动点M (x ,y )满足|MF →1|=|MF →2|,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( ) A .x −√2y =0 B .x +√2y =0 C .√2x −y =0 D .√2x +y =0二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.过点P (2,1)且倾斜角比直线y =x ﹣101的倾斜角小π4的直线的方程是 .12.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB →=(2,﹣1,﹣4),AD →=(4,2,0),AP →=(﹣1,2,﹣1).对于结论:①AP ⊥AB ;②AP ⊥AD ;③AP →是平面ABCD 的法向量;④AP →∥BD →.其中正确的是 .13.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (﹣3,3),B (9,﹣4),现沿x 轴将坐标平面折成90°的二面角,则折叠后A ,B 两点间的距离为 .14.如图,在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC ,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC =2,BB 1=3,D 是A 1C 1的中点,点F 在线段AA 1上,当AF = 时,CF ⊥平面B 1DF .15.已知点P 为圆O :x 2+y 2=4上任意一点,过点P 作两直线分别交圆OA ,B 两点, 且∠APB =60°,则|P A |2+|PB |2的取值范围是 .三、解答题(本大题共4小题,共45分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2023-2024学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.在等差数列{a n}中,a2=1,a4=5,则a8=()A.9B.11C.13D.152.若直线2x+y﹣1=0与直线x﹣my=0垂直,则m=()A.﹣2B.−12C.2D.123.已知{a n}为等比数列,公比q>0,a2+a3=12,a1•a5=81,则a5=()A.81B.27C.32D.164.已知圆C的圆心在抛物线y2=4x上,且此圆C过定点(1,0),则圆C与直线x+1=0的位置关系为()A.相切B.相交C.相离D.不能确定5.平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是()A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支6.在各项均不为零的等差数列{a n}中,若a n+1−a n2+a n﹣1=0(n≥2),则S2n﹣1﹣4n=()A.﹣2B.0C.1D.27.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线右支上一点,连接AF1交y轴于点B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线C的离心率为()A.2√3B.32C.√3D.3√328.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,则“a1>0”是“S2024>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.如图,动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()A .B .C .D .10.已知F 1,F 2同时为椭圆C 1:x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)的左、右焦点,设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ,椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1,e 2,O 为坐标原点,给出下列四个结论:①a 12−b 12=a 22+b 22;②若∠F 1MF 2=π3,则b 12=3b 22;③|F 1F 2|=2|MO |的充要条件是1e 12+1e 22=2;④若|F 1F 2|=3|MF 2|,则e 1e 2的取值范围是(35,3).其中正确结论的个数是( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

2022-2023北京101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023北京101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.设集合A ={1,3,5,7},B ={x |(x ﹣2)(x ﹣5)≤0},则A ∩B =( ) A .{1,3}B .{3,5}C .{5,7}D .{1,7}2.若实数a 、b 满足a >b >0,下列不等式中恒成立的是( ) A .a +b >2√abB .a +b <2√abC .a2+2b >2√abD .a2+2b <2√ab3.已知关于x 的方程x 2﹣6x +k =0的两根分别是x 1,x 2,且满足1x 1+1x 2=3,则k 的值是( )A .1B .2C .3D .44.函数f (x )=x +2x ,x ∈[1,3]的值域为( ) A .[2√2,3]B .[3,113] C .[2√2,113] D .[3,+∞)5.已知f (x )=|x |,g (x )=x 2,设h (x )={f(x),f(x)>g(x)g(x),f(x)≤g(x),函数h (x )的图象大致是( )A .B .C .D .6.已知p :x ≥k ,q :2−x x+1<0,如果p 是q 的充分不必要条件,则k 的取值范围是( )A .[2,∞)B .(2,+∞)C .[1,+∞)D .(﹣∞,﹣1]7.已知奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,且f (1)=0,则不等式f(x)−f(−x)x<0的解集为( )A .(﹣1,0)∪(0,1)B .(﹣1,0)∪(1,+∞)C .(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D .(﹣∞,﹣1)∪(0,1)8.已知函数f (x )=mx 2﹣mx ﹣1,对一切实数x ,f (x )<0恒成立,则m 的范围为( ) A .(﹣4,0)B .(﹣4,0]C .(﹣∞,﹣4)∪(0,+∞)D .(﹣∞,﹣4)∪[0,+∞)9.已知函数f(x)={−x 2−ax −7,x ≤1a x,x >1在R 上单调递增,则实数a 的取值范围( )A .[﹣4,0)B .(﹣∞,﹣2]C .[﹣4,﹣2]D .(﹣∞,0)10.设f (x )是定义在R 上的函数,若存在两个不等实数x 1,x 2∈R ,使得f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2,则称函数f (x )在R 上具有性质P ,那么,下列函数:①f (x )=2x ;②f (x )={1x,x ≠00,x =0;③f (x )=x 2;④f (x )=|x 2﹣1|.具有性质P 的函数的个数为( ) A .0B .1C .2D .3二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

北京市第三中学2024-2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷

北京市第三中学2024-2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷
故选:C. 5.A 【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可. 【详解】因为在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中,
( ) ( ) uuuur
BM
=
1 2
uuur
=
1 2
uuur
-
uuur BA=
12DAuAu1uDur1
-
uuuur DA1BB1

( ) 所以
uuuur B1M
=
uuur B1B
试卷第21 页,共33 页
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题
11.空间向量
ar
=
(1,
-2,
-1),
r b
=
(
x,
y,
-2)
,且
ar
/
r /b
,则
x
=
,y=

12.试给出一组使两条直线 l1 : 2x - y = 0 与 l2 : ax + by - 3 = 0 互相垂直的实数 a,b 的值,它
C2 (3, 4) ,则 C1C2 = 32 + 42 = 5 ,
又 r1 = 1, r2 = 25 - m ,且两圆外切,则 r1 + r2 = C1C2 ,得到1+ 25 - m = 5 ,解得 m = 9 . 故选:C. 9.A 【分析】求出圆心 C 的轨迹方程后,根据圆心 M 到原点 O 的距离减去半径 1 可得答案.
r b

uuur A1 A
=
cr
,则下列向量中与
uuuur B1M
相等的向量是(
).
试卷第11 页,共33 页
A.

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学(答案在最后)2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效.一、选择题:本大题共10道小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置..................1.已知(1,3),(3,5)A B --,则直线AB 的斜率为()A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式,可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --,可得35213AB k --==--.故选:A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为().A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程,从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=,得22(1)(2)2x y -++=,所以圆心为(1,2)-,故选:A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -,()23,0F ,椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8,则该椭圆的标准方程为()A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8,故28,4a a ==,且()13,0F -,故2223,7c b a c ==-=,所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选:B4.任意的k ∈R ,直线13kx y k -+=恒过定点()A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式,即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=,即()31y k x =-+,所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选:C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=,则圆1C 与圆2C 的位置关系是()A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径,得到12124C C r r ==+,得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ,半径为11r =,圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=,故圆心()24,0C ,半径为23r =,则12124C C r r ==+,所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选:D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点,则直线l 的倾斜角取值范围是()A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12,圆心为原点,当倾斜角为π2时,即直线l 方程为12x =-,此时直线l 与圆相切满足题意;当斜率存在时,不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则圆心到其距离为12d =≤,解不等式得33k ≤-,所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选:A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值,再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时,()34a a -=,即2340a a --=,解得1a =-或4.当1a =-时,直线1l 的方程为430x y -+=,直线2l 的方程为420x y -+=,此时12l l //;当4a =时,直线1l 的方程为304x y +-=,直线2l 的方程为20x y ++=,此时12l l //.因为{}1-{}1,4-,因此,“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选:A.8.如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,12AA AD AB ===,2BAD π∠=,113BAA A AD π∠=∠=,则11AB AD ⋅=()A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质,结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选:B9.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC 的顶点()2,0A ,()1,2B ,且AC BC =,则△ABC 的欧拉线的方程为()A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程,且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上,结合欧拉线的定义,即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设,可得20212AB k -==--,且AB 中点为3(,1)2,∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=,故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+,∵AC BC =,则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上,∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选:D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横、纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入,化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论,得出221x y +≥,由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③,首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0,然后证得其它点不是整点,由此判断出③正确.【详解】①,将(),x y --代入曲线33:1C x y +=,得331x y +=-,与原方程不相等,所以曲线C 不关于原点对称,故①错误.②,对于曲线33:1C x y +=,由于331y x =-,所以y =,所以对于任意一个x ,只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时,有唯一确定的1y =;当1x =时,有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0,这两点都在单位圆上,到原点的距离等于1.当0x <时,1y >,所以221x y +>>.当1x >时,0y <,所以221x y +>>.当01x <<时,01y <<,且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<,所以221x y +>>.综上所述,曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1,所以②正确.③,由②的分析可知,曲线C 过点()()0,1,1,0,这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-,当0x ≠且1x ≠时,若x 为整数,31x -必定不是某个整数的三次方根,所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述,正确的为②③.故选:C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质,属于中档题.二、填空题:本大题共5小题,共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上................11.已知空间()2,3,1a = ,()4,2,b x =- ,a b ⊥ ,则b =_____.【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直,根据数量积的坐标表示,建立方程,结合模长公式,可得答案.【详解】由a b ⊥ ,且()2,3,1a = ,()4,2,b x =- ,则860a b x ⋅=-++=r r ,解得2x =,故b =r.故答案为:12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6),点(,)A a b 在直线l 上,则满足条件的一组,a b 的值依次为__________.【答案】1;8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程,再由点(0,2)求出其方程,从而得出62b a =+,即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6),可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上,所以2C =,即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=,即62b a =+可取1a =,则8b =故答案为:1;813.在正方体ABCD A B C D -''''中,E 是C D ''的中点,则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线,利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示,取A B ''的中点F ,易得//AF DE ,则FAC ∠或其补角为所求角,不妨设正方体棱长为2,则,3,AF FC FC AC '====,由余弦定理知:222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅,则FAC ∠为锐角,即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为:1010.14.将一张坐标纸对折,如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合,则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程,再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -,可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,且212AB mk m -==--,则线段AB 的中垂线的斜率1k =,则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即20x y -+=,设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ,则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩,解得12a b =-⎧⎨=-⎩,所以所求点为()1,2--.故答案为:()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b,定义叉乘运算:a b ⨯ .规定:(i )a b ⨯ 为同时与a,b垂直的向量;(ii )a,b ,a b ⨯三个向量构成右手系(如图1);(iii )sin ,a b a b a b ⨯=.如图2,在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB AD ==,14AA =.给出下列四个结论:①1AB AD AA ⨯= ;②AB AD AD AB ⨯=⨯;③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ;④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中,正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案.【详解】解: ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=,且1AA 分别与,AB AD 垂直,∴1AB AD AA ⨯= ,故①正确;由题意,1AB AD AA ⨯= ,1AD AB A A ⨯=,故②错误;AB AD AC +=,∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向, 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ,1AB AA ⨯ 与DA 共线同向,1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ,1AD AA ⨯ 与DB共线同向,11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向,故③正确;11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=,故④成立.故答案为:①③④.三、解答题:本大题共6题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程,并把答案...写在答题纸中相应位置上............16.在平面直角坐标系中,已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -,线段AC 的中点M ;(1)求过M 点和直线BC 平行的直线方程;(2)求BC 边的高线所在直线方程.【答案】(1)3170x y -+=(2)30x y +=【解析】【分析】(1)根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -,求得点M 的坐标,和直线直线BC 的斜率,写出直线方程;(2)根据13BC k =,得到BC 边的高线的斜率,写出直线方程;【小问1详解】解:因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -,所以()1,6M ,13BC k =,所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-,即3170x y -+=;【小问2详解】因为13BC k =,所以BC 边的高线的斜率为-3,所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+,即30x y +=17.如图,在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为线段1BB 的中点.(1)求证:1//BC 平面1AED ;(2)求点1A 到平面1AED 的距离;(3)直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)43(3)23【解析】【分析】(1)证明出四边形11ABC D 为平行四边形,可得出11//BC AD ,利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)以点A 为坐标原点,AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离;(3)利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明:在正方体1111ABCD A B C D -中,11//AB C D 且11AB C D =,故四边形11ABC D 为平行四边形,则11//BC AD ,因为1BC ⊄平面1AED ,1AD ⊂平面1AED ,因此,1//BC 平面1AED .【小问2详解】解:以点A 为坐标原点,AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ,所以,()10,0,2AA = ,()12,0,2AD = ,()0,2,1AE = ,设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ,则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,取2z =-,可得()2,1,2n =- ,所以,点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解:因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ,因此,直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上,且与x 轴相切于点()1,0.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ,B 两点,____,求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答:条件①:圆C 被直线l 分成两段圆弧,其弧长比为2:1;条件②:2AB =;条件③:90ACB ∠=︒.【答案】(1)()()22124x y -+-=(2)答案见解析【解析】【分析】(1)利用几何关系求出圆心的坐标即可;(2)任选一个条件,利用选择的条件,求出圆心到直线的距离,然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ,半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上,知:2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0,1a ∴=,2b =,则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2,则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①:120ACB ∠=°,而2CA CB ==,∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ,则1d ==,解得1m +或1+.如果选择条件②和③:AB =,而2CA CB ==,∴圆心C 到直线l 的距离d =,则d ==,解得1m =-或3.如果选择条件③:90ACB ∠=︒,而2CA CB ==,∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ,则d ==,解得1m =-或3.19.如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ,E 是PB 的中点.(1)证明:AE ⊥平面PBC ;(2)若二面角C AE D --的余弦值是33,求m 的值;(3)若2m =,在线段A 上是否存在一点F ,使得PF CE ⊥.若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)1(3)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)推导出⊥BC 平面PAB .,AE BC AE PB ⊥⊥.由此能证明AE ⊥平面PBC ;(2)建立空间直角坐标系A xyz -,利用向量法能求出m 的值;(3)设()()0,0,03F t t ≤≤,当2m =,()0,0,2C ,()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ,由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-,这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥.【小问1详解】证明:因为AD ⊥平面PAB ,BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ,所以AE BC ⊥.在PAB 中,PA AB =,E 是PB 的中点,所以AE PB ⊥.又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC .【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ,,AB PA ⊂平面PAB ,所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -.则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ,()1,1,0AE = ,设平面AEC 的法向量为 =s s .则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩,令1x =,则1y =-,2z m =,故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为AD ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED .又因为()2,2,0PB =- ,所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ,3=,解得21m =.又因为0m >,所以1m =;【小问3详解】结论:不存在.理由如下:证明:设()()0,0,03F t t ≤≤.当2m =时,()0,0,2C ,()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ,由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-,这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥.20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点,点P 为线段MN 的中点,O 为坐标原点,直线OP 的斜率为13-.(1)求a 的值及MON △的面积;(2)若圆C 与x 轴交于,A B 两点,点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点,直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时,以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点,若过定点,请求出定点;若不过定点,请说明理由.【答案】(1)12,2MON a S =-=(2)()4-【解析】【分析】(1)先确定直线OP 的方程,联立直线方程求得P 点坐标,利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ,再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可;(2)设QA 方程,含参表示QB 方程,求出,R S 坐标,从而求出以RS 为直径的圆的方程,利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知:直线OP 方程为13y x =-,则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩,得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 点P 为线段MN 的中点,MN PC ∴⊥,即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+,2a ∴=-,即圆心−2,0;C ∴到直线=1y x --距离为2d ==,MN ∴==,又O 到直线=1y x --的距离为22,MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+,其中0k ≠,在直线QA 的方程中,令4x =-,可得()4,R k --,因为QA QB ⊥,则直线QB 的方程为()11y x k =-+,在直线QB 的方程中,令4x =-,可得3y k =,即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以,以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()2223430k x y y k -++--=,由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩,解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩,因此,当点Q 变化时,以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ,A S ⊆,{}12,T t t S =⊆,记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=,用X 表示有限集合X 的元素个数.(1)若4n =,12A A =∅ ,分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时,集合T 的情况(直接写出结论);(2)若6n =,12A A =∅ ,求12A A ⋃的最大值;(3)若7n =,4A =,则对于任意的A ,是否都存在T ,使得12A A =∅ 说明理由.【答案】(1){}1,4(2)10(3)不一定存在,理由见解析【解析】【分析】(1)由已知得12t t a b -≠-,其中,a b A ∈,当{}1,2,3A =时,12t t ,相差3;由此可求得T ,当{}1,2,4A =时,同理可得;(2)若6n =,12A A =∅ ,{}123456S =,,,,,,当{}2,3,4,5,6A =时,则12t t ,相差5,所以{}1,6T =,A 中至多有5个元素,所以12,A A 也至多有5个元素,求出12,A A 得出结果;(3)举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==,根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ,则12t t a b -≠-,其中,a b A ∈,否则12t a t b +=+,12A A ⋂≠∅,若4n =,当{}1,2,3A =时,211-=,312-=,所以121,2t t -≠,则1t ,2t 相差3,因为1,2,3,4S =,{}12,T t t S =⊆,所以{}1,4T =;当{}1,2,4A =时,211-=,422-=,413-=,所以121,2,3t t -≠,因为1,2,3,4S =,{}12,T t t S =⊆,所以T 不存在;【小问2详解】若6n =,12A A =∅ ,{}123456S =,,,,,,当A S =时,211-=,514-=,523-=,716-=,72=5-,752-=,所以A S ≠,121,2,3,4,5t t -≠,所以T 不存在;所以A 中至多有5个元素;当{}2,3,4,5,6A =时,321-=,422-=,523-=,624-=,所以121,2,3,4t t -≠,则1t ,2t 相差5,所以{}1,6T =;{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=,所以{}1345,6,7A =,,,{}28910,11,12A =,,,{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素,所以1A ,2A 也至多有5个元素,所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在,理由如下:例如{}1,2,5,7A =,则211-=514-=,523-=,716-=,72=5-,752-=,则1t ,2t 相差不可能1,2,3,4,5,6,这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾,故不都存在T ;例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==,不妨令121,6t t ==,则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==,满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛:对于新定义问题,要充分理解定义,并把定义进行转化为已知的知识点或结论,方便解题.。

2020-2021学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷一、选择题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.(5分)在复平面内,复数1+i的共轭复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)直线x﹣y+1=0的倾斜角为()A.30°B.150°C.60°D.120°3.(5分)点(0,1)到直线y=kx﹣1距离的最大值为()A.1B.C.D.24.(5分)直线l1:(a+2)x+(1﹣a)y﹣1=0与l2:(a﹣1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直()A.﹣1B.1C.﹣1或1D.以上都不对5.(5分)已知向量=(1,x,﹣2),=(0,1,2),=(1,0,0),若,,共面,则x等于()A.﹣1B.1C.1或﹣1D.1或06.(5分)如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成的角的余弦值是()A.B.C.D.7.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()A.3个B.4个C.5个D.6个8.(5分)设复数z满足,则|z|的最大值为()A.B.2C.D.49.(5分)通过求两个向量的夹角,可以求两条直线的夹角.已知l1:2x﹣3y﹣3=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2夹角的余弦值是()A.B.C.D.10.(5分)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的两点,点C(cosθ,sinθ),且=,=,则直线AB与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

11.(5分)复数z=,则|z|=.12.(5分)已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,﹣5,1),C(3,7,﹣5),则点D的坐标为.13.(5分)已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4与直线l:y=k(x+1),则圆心C的坐标为,若圆C关于直线l对称,则k=.14.(5分)直线l:y=kx+与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当△AOB的面积达到最大时.15.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P是侧面B1C1CB内(不包含边界)的一个动点,且AP⊥D1B,点H在棱D1D上运动,则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是.三、解答题共5小题,共45分。

2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)

2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)

奇函数,
f (x) f (x) , g(x) f (x) x ,
g(x) f (x) x ,
g(x) f (x) x f (x) x g(x) , 对于任意的 x , y R ,有 | f (x) f ( y) || x y | ,
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A. ( ,1) (2 , ) C. ( , 1](2, )
B. (1, 2) D. (1, 2)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.已知 x1 , x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根,则 x12 2x1 x1x2 的值为
2.“ x 2 ”是“ x2 4 ”的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.下列函数中,在区间 (1, ) 上为增函数的是 ( )
A. y 3x 1
B. y 2 x
C. y x2 4x 5 D. y | x 1| 2
f (1) g (1)的值等于 .
13.若函数 f (x) x2 2x 1在区间 [a ,a 2] 上的最小值为 4,则实数 a 的取值集合为 .
14.已知函数
f
(x)

x | x x, x
| 2x, x a a
(1)若 a 0 ,则函数 f (x) 的零点有
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A. ( ,1) (2 , ) C. ( , 1](2, )
B. (1, 2) D. (1, 2)
【解答】解:由函数 f (x 1) 的对称中心是 (1, 0) ,可得 f (x) 的图象关于 (0,0) 对称即 f (x) 为

北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期数学期中考试复习试卷一(含答案)

北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期数学期中考试复习试卷一(含答案)

北理工附中2026届高二数学(上)期中复习一1的倾斜角为( )A .30°B .60°C .120°D .150°2.已知直线平分圆:的周长,则( )A .B .C .D .3.如图,在四面体中,,点在上,且,为的中点,则等于( )A .B .C .D .4.已知向量,,,当时,向量在向量上的投影向量为( )(用坐标表示)A .B .C .D .5.已知直线:和直线:,下列说法错误的是( )A .始终过定点B .若,则或-3C .若,则或2D .当时,始终不过第三象限6.空间内有三点,则点P 到直线EF 的距离为( )AB .CD .7.已知圆直线,点P 在直线l 上运动,直线PA ,PB 分别与圆M 相切于点A ,B .则下列说法正确的个数是( )(1)四边形PAMB(2)最短时,弦AB(3)最短时,弦AB 直线方程为 (4)直线AB 过定点8.在矩形中,,,将沿着翻折,使点在平面310y --=260x my -+=2C ()()22124x y -+-=m =2468OABC ,,OA a OB b OC c ===M OA 2OM MA =NBC MN121232a b c -+ 211322a b c -++ 111222a b c +- 221332a b c+- ()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥ bc ()1,2,1-()1,2,1()1,2,1--()1,2,1-1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=2l 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭12l l //1a =12l l ⊥0a =0a >1l ()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -22:(4)4M x y ++=:20+-=l x y ||PA ||PA 3380x y +-=10,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD AD a =AB b =b a >.ACD 三角形AC D上的投影恰好在直线AB 上,则此时二面角的余弦值为( )A.B .CD .9.在正三棱锥中,是的中心,,则 .10.已知直线:,:,若,则实数 .11.设,过定点A 的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值 .12.如图,平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为,点分别在棱上,且,则 ;直线与所成角的余弦值为 .13.已知的顶点,边上的中线所在直线的方程为,的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程;(2)若点满足,求动点的轨迹方程.14.已知四棱锥中,底面ABCD 是正方形,平面是PB 的中点.(1)求直线BD 与直线PC 所成角的大小;(2)求点B 到平面ADE 的距离.ABC E B AC D --22a ba b2a b b +P ABC -O ABC V 2PA AC ==PO PB ⋅=1l 310mx y +-=2l ()2110x m y +-+=12l l ∥m =m ∈R 10x my ++=B 230mx y m --+=(),P x y PA PB AB ++1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F 11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF =1AC EFABC V (1,2)A AB CM 210x y +-=ABC ∠BH y x =BC P PBC ABC S S =△△P P ABCD -PD ⊥,1,ABCD PD AB E ==15.已知圆过点三个点.(1)求圆的标准方程;(2)已知,直线与圆相交于A ,B两点,求的最小值.16.已知平面边形中,,,且.以为腰作等腰直角三角形,且,将沿直线折起,使得平面平面.(1)证明:平面;(2)若是线段上一点,且平面,①求三棱锥的体积;②求平面与平面夹角的余弦值.M ()())1,0,2,1,2--M 2a c b +=0ax by c ++=M AB ABCD //AD BC BC CD ⊥2AD CD AB ===AD PAD PA AD =PAD △AD PAD ⊥ABCD AB ⊥PAC M PD //PB MAC M ABC -PBC ABM1的倾斜角为( )A .30°B .60°C .120°D .150°【答案】A2.已知直线平分圆:的周长,则( )A .B .C .D .【答案】B3.如图,在四面体中,,点在上,且,为的中点,则等于( )A .B .C .D .【答案】B4.已知向量,,,当时,向量在向量上的投影向量为( )(用坐标表示)A .B .C .D .【答案】A5.已知直线:和直线:,下列说法错误的是( )A .始终过定点B .若,则或-3C .若,则或2D .当时,始终不过第三象限【答案】B310y --=260x my -+=2C ()()22124x y -+-=m =2468OABC ,,OA a OB b OC c ===M OA 2OM MA =NBC MN121232a b c-+ 211322a b c-++111222a b c+- 221332a b c+- ()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥ bc ()1,2,1-()1,2,1()1,2,1--()1,2,1-1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=2l 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭12l l //1a =12l l ⊥0a =0a >1l6.空间内有三点,则点P 到直线EF 的距离为( )AB .CD .【答案】A7.已知圆直线,点P 在直线l 上运动,直线PA ,PB 分别与圆M 相切于点A ,B .则下列说法正确的个数是( )(1)四边形PAMB(2)最短时,弦AB(3)最短时,弦AB 直线方程为 (4)直线AB 过定点A .1B .2C .3D .4【答案】A8.在矩形中,,,将沿着翻折,使点在平面上的投影恰好在直线AB 上,则此时二面角的余弦值为( )A .B .CD .【答案】A9.在正三棱锥中,是的中心,,则 .10.已知直线:,:,若,则实数 .【答案】311.设,过定点A 的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值 .12.如图,平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为,点分别在棱上,且,则 ;直线与所成角的余弦值为 .()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -22:(4)4M x y ++=:20+-=l x y ||PA ||PA 3380x y +-=10,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD AD a =AB b =b a >.ACD 三角形AC D ABC E B AC D --22a ba b2a b b+P ABC -O ABC V 2PA AC ==PO PB ⋅=1l 310mx y +-=2l ()2110x m y +-+=12l l ∥m =m ∈R 10x my ++=B 230mx y m --+=(),P x y PA PB AB ++1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F 11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF =1AC EF13.已知的顶点,边上的中线所在直线的方程为,的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程;(2)若点满足,求动点的轨迹方程.由点在,设则的中点所以设点关于直线ABC V (1,2)A AB CM 210x y +-=ABC ∠BH y x =BC P PBC ABC S S =△△P B y x =(,B m m AB 12,22m m ++⎛ ⎝1221022m m +++⨯-=(1,2)A y x =00211y x -⎧=-⎪-⎪14.已知四棱锥中,底面ABCD 是正方形,平面是PB 的中点.(1)求直线BD 与直线PC 所成角的大小;(2)求点B 到平面ADE 的距离.由题意,A (1,0,0),设直线BD 与直线PC 所成的角为因为,P ABCD -PD ⊥,1,ABCD PD AB E ==()0,0,0D (1,1,0B (1,1,0)BD =-- (0,1,PC =15.已知圆过点三个点.(1)求圆的标准方程;(2)已知,直线与圆相交于A ,B 两点,求的最小值.M ()())1,0,2,1,2--M 2a c b +=0ax by c ++=M AB16.已知平面边形中,,,且.以为腰作等腰直角三角形,且,将沿直线折起,使得平面平面.(1)证明:平面;(2)若是线段上一点,且平面,①求三棱锥的体积;②求平面与平面夹角的余弦值.①如图,连接,设因平面,且则,故ABCD //AD BC BC CD ⊥2AD CD AB ===AD PAD PA AD =PAD △AD PAD ⊥ABCD AB ⊥PAC M PD //PB MAC M ABC -PBC ABM BD BD ⋂//PB MAC PB ⊂//OM PB DM DOMP BO=②如图,以点为坐标原点,分别以所以,,设平面的法向量为A (0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),A B C (22,22,0)BC =- (0,PC =PBC (,m x y =。

北京市101中学高二下学期期中数学(理)附有答案

北京市101中学高二下学期期中数学(理)附有答案

一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1. 若i R b a ,,∈是虚数单位,且i i b a +=-+1)2(,则b a -的值为( )A. -2B. -4C. 2D. 42. 在极坐标系中,圆2=ρ的圆心到直线2sin cos =θρ+θρ的距离为( ) A.22 B. 1 C. 2 D. 2 3. ⎰ππ-+22)cos 1(dx x 等于( )A. πB. 2C. 2-πD. 2+π 4. 从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 和PCD ,AB 是圆O 的直径,若3,5,4===CD PC PA ,则=∠CBD ( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 若X ~Y B ),3,0,5(~N )4,1(,则=+)()(Y E X E ( )A. 2.5B. 2.05C. 6D. 96. 现有排成一排的7个座位,安排3名同学就座,如果要求剩余的4个座位连在一起,那么不同的坐法总数为( )A. 16B. 18C. 24D. 327. 从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取,设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数,则==)3(X P ( ) A. 103 B. 107 C. 4021 D. 407 8. 1升水中有2只微生物,任取0.1升水化验,含有微生物的概率是( )A. 0.01B. 0.19C. 0.1D. 0.2二、填空题共6小题。

9. 若n xx )1(+展开式中第二项与第六项的系数相等,则=n ;展开式中间一项的系数为 。

10. 从如图所示的长方形区域内任取一个点),(y x M ,则点M 取自阴影部分的概率为 。

11. 复数z 满足2=-++i z i z ,则1++i z 的最小值是 。

12. 将5位志愿者分成3组,分赴三个不同的地区服务,不同的分配方案有 种(用数字作答)。

13. 在极坐标系中,曲线θ=ρsin 32和1cos =θρ相交于点A ,B ,则线段AB 的中点E 到极点的距离是 。

北京市西城区2024-2025学年高二上学期期中测验数学试题含解析

北京市西城区2024-2025学年高二上学期期中测验数学试题含解析

2024-2025学年度第一学期期中试卷高二数学(答案在最后)2024年11月本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题,共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角是23π,则斜率是()A.33-B.33C.D.【答案】C 【解析】【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系即得.【详解】∵直线的倾斜角是23π,∴直线的斜率为2tan tan()tan 333ππππ=-=-=故选:C.2.已知点P 在椭圆22132x y +=上,点()11,0F ,()21,0F -,则12PF PF +=()A.2B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果.【详解】由椭圆方程为22132x y +=可知1a c ==,则()11,0F ,()21,0F -即为椭圆的左、右焦点,由椭圆定义可得122PF PF a +==.故选:C3.已知圆222610x y x y +-++=关于直线0x y m ++=对称,则实数m =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案.【详解】将222610x y x y +-++=化成标准方程为()()22139x y -++=,圆心为()1,3-,半径为3,因为圆222610x y x y +-++=关于直线0x y m ++=对称,所以圆心()1,3-在直线上,即130m -+=,解得2m =.故选:D.4.以点()2,1A 为圆心,且与x 轴相切的圆的标准方程为()A.()()22211x y -+-= B.()()22214x y -+-=C.()()22211x y +++= D.()()22214x y +++=【答案】A 【解析】【分析】根据圆心和半径可得圆的方程.【详解】以点()2,1A 为圆心,且与x 轴相切的圆的半径为1.故圆的标准方程是()()22211x y -+-=.故选:A .5.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点,点P 满足()1,3QP =-,记P 的轨迹为E ,则()A.E的圆 B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l D.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ,由()1,3QP =-可得Q 点坐标,由Q 在直线上,故可将点代入坐标,即可得P 轨迹E ,结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ,由()1,3QP =-,则()1,3Q x y -+,由Q 在直线:210l x y ++=上,故()12310x y -+++=,化简得260x y ++=,即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行,E 上的点到l的距离d ==,故A 、B 、D 错误,C 正确.故选:C .6.如图,三棱锥D-ABC 中,DC ⊥平面ABC ,DC=1,且 为边长等于2的正三角形,则DA 与平面DBC所成角的正弦值为A.5B.5C.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先过A 点作出高线,利用等体积法先求高线,再计算线面角.【详解】过点A 作垂直于平面BCD 的直线,垂足为O ,利用等体积法求解AO .011131V DC S 60221V AO S 33233D ABC ABC A BCD BCD sin --=⨯=⨯⨯⨯⨯===⨯,由此解得AO =,DA 与平面DBC 所成角为ADO ∠,所以15sin ADO 5AO AD ∠==,故选B 【点睛】本题考查了等体积法和线面角的基本求法,综合性强,在三棱锥中求高线,利用等体积法是一种常见处理手段,计算线面角,先找线面角,要找线面角必找垂线,而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式.7.点M 是直线250x y -+=上的动点,O 是坐标原点,则以OM 为直径的圆经过定点().A.(0,0)和(1,1)-B.(0,0)和(2,2)-C.(0,0)和(1,2)-D.(0,0)和(2,1)-【答案】D 【解析】【分析】过点O 作OP 垂直于直线250x y -+=,根据圆的性质可得以OM 为直径的圆过定点O 和P ,得解.【详解】如图,过点O 作OP 垂直于直线250x y -+=,垂足为P ,则以OM 为直径的圆过定点O 和P ,易知直线OP 的方程为12y x =-,联立25012x y y x -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得21x y =-⎧⎨=⎩,即()2,1P -.所以以OM 为直径的圆经过定点()0,0和()2,1-.故选:D.8.“3m =”是“椭圆2214x y m+=的离心率为12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆2214x y m+=的离心率为12求出m ,进而求得答案.【详解】椭圆2214x y m +=的离心率为12,当04m <<时,4122=,得3m =;当4m >时,12=,得163m =.即“3m =”是“椭圆2214x y m+=的离心率为12”的充分不必要条件.故选:A.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖,在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1),把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合,这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则点P 到平面QGC 的距离是()A.12B.22C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,结合向量法求解点到面的距离,即可得到结果.【详解】建立如图所示空间直角坐标系,则()()()()0,2,0,0,0,2,1,0,2,2,0,1C G Q P ,则()()()1,0,0,0,2,2,2,2,1GQ GC CP ==-=-,设平面QGC 的一个法向量为(),,n x y z =,则0220GQ n x GC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ,取1z =,得()0,1,1n = ,所以点P 到平面QGC 的距离是22n CP n ⋅== .故选:B10.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点M 为棱AB 的中点,点P 在正方形11BCC B 的边界及其内部运动.以下四个结论中错误的是()A.存在点P满足1PM PD +=B.存在点P 满足1π2D PM ∠=C.满足1AP D M ⊥的点P 的轨迹长度为π4D.满足1MP D M ⊥的点P的轨迹长度为4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量解决此题,对于A ,利用两个特殊点求出1PM PD +的值,在此范围内即可;对于B ,利用向量垂直数量积等于零解方程即可求P 点坐标;对于C ,D 利用向量垂直数量积等于零可求P 点的轨迹方程,根据图形找到P 点的轨迹求长度即可.【详解】如图所示,建立空间直角坐标系,则(1A ,0,0),1(0D ,0,1),1(1,,0)2M ,1(0C ,1,1),动点P 设为(P x ,1,)z ,对于A ,点M 关于平面11BCB C 的对称点为13(1,,0)2M ,当动点P 在点1M时,此时1min 11()2PM PD D M +===<,当动点P 在点1C时,此时111135122PM PD C D C M +=+=+=>,所以存在点P满足1PM PD +=,所以A 正确;对于B ,1(1,,)2PM x z =--- ,1(,1,1)PD x z =--- ,若1π2D PM ∠=,则11(1)(1)02PM PD x x z z ⋅=--+--= ,化简得:2211()(022x z -+-=,解得1212x z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即11(,1,)22P ,满足题意,所以B 正确;对于C ,(1,1,)AP x z =- ,11(1,,1)2D M =- ,若1AP D M ⊥,则11102AP D M x z ⋅=-+-= ,即12z x =-,取BC 中点E ,1BB 中点F ,则点P 的轨迹为线段EF ,长度为22,所以C 错误;对于D ,1(1,,)2MP x z =- ,11(1,,1)2D M =- ,若1MP D M ⊥,则11104MP D M x z ⋅=-+-= ,即34z x =-,取BF 中点H ,BE 中点K ,则点P 的轨迹为线段HK ,长度为24,所以D 正确.故选:C .第二部分(非选择题,共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.椭圆22194x y +=的离心率是_________.【答案】53【解析】【分析】利用标准方程,求出a ,b ,然后求解c ,即可求解离心率.【详解】椭圆22194x y +=的长半轴为a =3,短半轴为b =2,则半焦距为c ==.所以椭圆的离心率为:e 53c a ==.故答案为53.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,离心率的求法,是基础题.12.已知直线1l :()210m x y +++=,2l :()5210x m y +-+=.若12l l ∥,则实数m 的值为______.【答案】-3【解析】【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可.【详解】若12l l ∥,则()()2250m m +--=,解得3m =或3m =-,当3m =时,直线1l :510x y ++=与2l :5310x y ++=重合,不符合题意;当3m =-时,直线1l :10x y -++=与2l :5510x y -+=,符合题意,综上,3m =-故答案为:-3.13.在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,1AA =,则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为______.【答案】π2【解析】【分析】利用异面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果.【详解】分别取11,BC B C 的中点1,O O ,连接1,AO OO ,由正三柱性质可知11,,AO BC OO BC AO OO ⊥⊥⊥,以O 为坐标原点,1,,OA OB OO 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:由2AB =,12AA =可得)()((113,0,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2AB BC -,所以((113,1,2,0,2AB BC ==-,又111111022cos ,066AB BC AB BC AB BC ⋅===⨯,且[]11,0,πAB BC ∈ ;所以11π,2AB BC = .故答案为:π214.已知点P 是圆()2211x y -+=上的动点,直线1l :3470x y -+=,2l :340x y m -+=,记P 到直线1l ,2l 的距离分别为1d ,2d (若P 在直线上,则记距离为0),(1)1d 的最大值为______;(2)若当点P 在圆上运动时,12d d +为定值,则m 的取值范围是______.【答案】①.3②.(],8∞--【解析】【分析】(1)根据圆上点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离加半径求解即可;(2)根据12d d +为定值,分析得到圆的位置,结合直线与圆的位置关系求解.【详解】(1)圆()2211x y -+=,圆心 th ,半径为1,圆心到直线1l 的距离()2231407234d ⨯-⨯+==+-,所以P 到直线1l 的距离1d 的最大值为13d +=;(2)当7m =时,两直线重合,不符题意;当7m ≠时,直线1l ,2l 平行,若当点P 在圆上运动时,12d d +为定值,所以圆在两平行线之间,此时直线2l 与圆相离,所以()223140134m d ⨯-⨯+=≥+-,解得2m ≥或8m ≤-,又因为当2m ≥时,直线1l ,2l 在圆同侧,不符合题意,所以8m ≤-,故答案为:3,(],8∞--.15.伯努利双纽线(简称双纽线)是瑞士数学家伯努利(1654-1705)在1694年提出的.伯努利将椭圆的定义作了类比处理,指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线.在平面直角坐标系xOy 中,到定点(),0A a -,(),0B a 的距离之积为()20a a >的点的轨迹C 就是伯努利双纽线,C 的方程为()()2222222x y a x y +=-,其形状类似于符号∞,若点()00,P x y 是轨迹C 上一点,给出下列四个结论:①曲线C 关于原点中心对称;②00y x ≤恒成立;③曲线C 2a ;④当0x a =时,0y 取得最大值或最小值.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②③【解析】【分析】根据曲线的方程,结合对称性的判定方法,联立方程组,以及不等式和三角形面积,逐项判定,即可求解.【详解】在曲线C 上任取一点(),M x y ,关于原点的对称点为(),M x y '--,代入曲线C 的方程,可知M '在曲线C 上,所以曲线C 关于原点中心对称,故①正确;因为点()00,P x y 是轨迹C 上一点,所以()()22222200002x y a x y +=-,因为()222000x y +≥,所以()()222222000020x y a x y +=-≥,即2200y x ≤,所以00y x ≤,故②正确;因为()()()22222222222x y a x x y y a +=-+≤,所以2222x y a +≤,≤,所以曲线C ,故③正确;因为()00,P x y ,所以12121212011||||sin ||||22PF F S PF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅ ,又212||||PF PF a ⋅=,所以2120sin 2||a F PF a y ∠=⋅,即012||sin 22a a y F PF =∠≤,所以022a a y -≤≤,当12π2F PF ∠=时等号成立,故④错误,故答案为:①②③【点睛】方法点睛:本题考查曲线的轨迹及其性质的问题,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、解答题共6小题,共85分.解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程.16.已知直线l :()()211510x y λλλ++---=,R λ∈.(1)当直线l 与直线20x y +=垂直时,求λ的值;(2)设直线l 恒过定点P ,求P 的坐标;(3)若对任意的实数λ,直线l 与圆()2220x y r r +=>总有公共点,直接写出r 的取值范围.【答案】(1)14λ=(2)()2,1P(3)r ≥【解析】【分析】(1)根据直线与直线垂直关系列方程即可求得λ的值;(2)将直线方程转化为()1250x y x y λ--++-=,列方程组解得定点坐标即可;(3)根据直线与圆位置关系结合点与圆位置关系求解即可.【小问1详解】当直线l :()()211510x y λλλ++---=与直线20x y +=垂直时,可得()()21112410λλλ+⨯+-⨯=-=,解得14λ=;【小问2详解】直线l :()()211510x y λλλ++---=方程整理得()1250x y x y λ--++-=,令10,250x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得2,1,x y =⎧⎨=⎩即直线l 恒过定点()2,1P ;【小问3详解】对任意的实数λ,直线l 与圆()2220x y rr +=>总有公共点,则直线l 恒过定点()2,1P 在圆上或者圆内,则OP r =≤,即r ≥17.已知C 经过点()0,2A -,()3,1B ,并且圆心C 在直线28y x =-上,(1)求C 的方程;(2)设过点()2,0P 的直线l 与C 交于M ,N 两点,若MN =l 的方程.【答案】(1)()()22329x y -++=(2)2x =或3460x y +-=.【解析】【分析】(1)根据圆的几何性质确定线段AB 的垂直平分线方程,从而联立直线可得圆心坐标,根据圆的定义得半径,从而得圆的方程;(2)根据直线与圆相交弦长公式,分直线斜率存在与不存在两种情况验证求解直线方程即可.【小问1详解】因为()0,2A -,()3,1B ,则1AB k =,且线段AB 中点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,则线段AB 的垂直平分线的斜率为1-,故其方程为1322y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭,即10x y +-=,由圆的对称性知点C 在AB 的垂直平分线上,因此联立10,28,x y y x +-=⎧⎨=-⎩解得3,2,x y =⎧⎨=-⎩即点()3,2C -,又因为3r AC ==,所以圆C :()()22329x y -++=.【小问2详解】圆心()3,2C -,半径3r =当1l 的斜率不存在时,1l :2x =,则圆心C 到直线1l 的距离为1d =,此时相交弦长MN ==当1l 的斜率存在时,设1l :()2y k x =-,即20kx y k --=,因为相交弦长MN ==所以C 到1l的距离为1d ==,解得34k =-,此时,直线1l :3460x y +-=,综上,直线1l 的方程为2x =或3460x y +-=.18.已知椭圆C :()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为()1F和)2F ,长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为椭圆C 上一点,()1,0M .若存在实数λ使得12PF PF PM λ+=,求λ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=(2)4,3⎡⎢⎣.【解析】【分析】(1)根据椭圆,,a b c 的关系列方程组求得,,a b c 的值,即可得椭圆方程;(2)根据椭圆的定义可得124PF PF +=,再根据两点距离公式结合点在椭圆上求解PM 的取值范围,即可得所求.【小问1详解】由题知22224,,c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以,C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由椭圆的定义可知124PF PF +=,设点 h t h ,其中220014x y +=,则220014x y =-,所以()222020200033421224433PM x y x x x ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭,因为022x -≤≤,所以2293PM ≤≤,即633PM ≤≤当且仅当043x =时,63PM =,02x =-时,3PM =,因为12PF PF PM λ+=,则12PF PF PM λ+=,所以4,3λ⎡∈⎢⎣.综上所述,λ的取值范围是4,3⎡⎢⎣.19.如图,在三棱台111ABC A B C -中,若1A A ⊥平面1,,2ABC AB AC AB AC AA ⊥===,111,A C N =为AB 中点,M 为棱BC 上一动点(不包含端点).(1)若M 为BC 的中点,求证:1//A N 平面1C MA .(2)是否存在点M ,使得平面1C MA 与平面11ACC A 所成角的余弦值为66?若存在,求出BM 长度;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理,结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可;(2)利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】连接NM ,因为N 为AB 中点,M 为BC 的中点,所以1//,2NM AC NM AC =,因为111ABC A B C -是正三棱台,111,2A C AC ==,所以11111//,2AC AC AC AC =,于是有11111//,2NM A C NM A C =,因此四边形11NMC A 是平行四边形,所以111//,A N C M A N ⊄平面1C MA ,1C M ⊂平面1C MA ,所以1//A N 平面1C MA【小问2详解】假设存在点M ,使得平面1C MA 与平面11ACC A 所成角的余弦值为66,因为1A A ⊥平面,,ABC AB AC ⊂平面ABC ,所以11,A A AB AA AC ⊥⊥,而AB AC ⊥,所以建立如图所示的空间直角坐标系,()()()()()10,0,0,0,1,2,2,0,0,0,2,0,,,A C B C M x y z ,设()()()()()0,12,,2,2,022,2,0BM BC x y z M λλλλλ=∈⇒-=-⇒-,设平面1C MA 的法向量为(),,m a b c =,()()1220,1,2,0,,2,AC AM λλ=-=,所以有()1202,2,112220m AC b c m m AM a b λλλλ⎧⋅=+=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪-⎝⎭⋅=-+=⎪⎩,因为1A A AB ⊥,AB AC ⊥,11,,AA AC A AA AC A == ,所以AB ⊥平面11ACC A ,所以平面11ACC A 的法向量为()2,0,0AB =,所以41cos ,66m AB m AB m ABλ⋅==⇒⋅ ,解得13λ=,1λ=-舍去,即42,,033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,223BM ==,即BM 长度为223.20.平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点()1,0P ,若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点,求实数k 的取值范围.【答案】(1)24,00,0y y x y ≥⎧=⎨<⎩(2)[)0,1.【解析】【分析】(1)根据题意列出等量关系并整理即可得出轨迹C 的方程;(2)分情况将曲线C 与直线方程联立,根据方程根的个数求得实数k 的取值范围.【小问1详解】设点 t1y =+,两边平方,并整理得24,0220,0y y x y y y ≥⎧=+=⎨<⎩,所以轨迹C 的方程为24,00,0y y x y ≥⎧=⎨<⎩.【小问2详解】易知直线():1l y k x =-,当0y ≥时,如下图所示:联立()214y k x x y⎧=-⎨=⎩,消去y 得2440x kx k -+=,21616k k ∆=-,当0∆=,即0k =或1k =时,有且仅有一个公共点且满足题意;当0∆<,即01k <<时,无公共点;当0y <时,令0x =,yk =-,当0k ≤时,无公共点;当0k >时,有一个公共点;综合以上可知当01k ≤<时,有且仅有一个公共点,故k 的取值范围是[)0,1.21.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管(如图1):将该矩形铁皮围成一个圆柱体(如图2),再用一个与圆柱底面所成45︒的平面截圆柱,将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管.现使用长为2π,宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管,当得到的直角圆形弯管的体积最大时(不计拼接损耗部分),解答下列问题.(1)求该直角圆形弯管的体积;(2)已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆,求该椭圆的离心率;(3)如图3,若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开,并展成平面图形(如图4),证明:该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象,并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅.【答案】(1)2π(2)22(3)证明见解析,最小正周期为2π,振幅为1【解析】【分析】(1)易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积,且当矩形的长或宽作为圆柱的高时,体积最大,分别求两种情况的体积;(2)根据圆柱截面的性质可得a =,即可得离心率;(3)以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x 轴建立平面直角坐标系,设对于底面圆上一点()cos ,sin P αα,则()1,0与P 所连接的弧长为α,假设短轴对应的高度为0,可得点P 对应到椭圆上的点的高度,即可得截口展开形成的图形的函数,进而可得最小正周期与振幅.【小问1详解】易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积,且当矩形的长或宽作为圆柱的高时,体积最大,当矩形的长作为圆柱的高时,圆柱体的底面圆周长为π,则底面半径为12,高为2π,体积为221π2ππ22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭;当矩形的宽作为圆柱的高时,圆柱体的底面圆周长为2π,则底面半径为1,高为π,体积为222ππ1ππ2⨯=>;所以体积为2π;【小问2详解】设该椭圆为()222210+=>>x y a b a b,因此22a b =,即a =,所以22c e a ===;【小问3详解】以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x 轴建立平面直角坐标系,设对于底面圆上一点()cos ,sin P αα,则()1,0与P 所连接的弧长为α,假设短轴对应的高度为0,则点P 对应到椭圆上的点的高度为sin tan 45sin αα︒=,所以,截口展开形成的图形的函数解析式为sin y x =,最小正周期为2π,振幅为1.。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆 椭圆)含解析

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆 椭圆)含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围:空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。

5.难度系数:0.62。

第一部分(选择题共58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知{},,a b c 为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是()A .a b + ,c b + ,a c- B .2a b + ,b ,a c- C .2a b +,2c b + ,a b c++r r r D .a b + ,a b c ++r r r ,cA .π2B .π3C .π4D .π6【答案】B3.设定点()10,2F -,()20,2F ,动点P 满足条件()120PF PF m m m+=+>,则点P 的轨迹是()A .椭圆B .线段C .射线D .椭圆或线段4.如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,113CF CC =,则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为()A .23B C .26D .21故选:C .5.已知直线l :3mx y ++和直线:,则“1m =-”是“l ∥A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//l n 时,(m m6.已知椭圆22:1(0)M a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在M 上,Q 为2PF 的中点,且121,FQ PF FQ b ⊥=,则M 的离心率为()A .3B .13C .12D 根据题意可知112PF F F ==又Q 为2PF 的中点,可得PQ12均过定点,且圆12均与轴、轴相切,则圆12的半径之积为()A .ab B .2abC .22a b+D .222a b +为线段AF 的中点,过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ,设四面体AOPQ 的体积为V ',则V V'的最小值为()A .14B .18C .116D .127【答案】C【详解】连接AM ,由题意知:()1122AN AF AD DF ==+ ()111362AD AB AC =+⨯+=令AOx AB APy AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨,则AO AB x AP AC y ⎧=⎪⎪⎪=⎨选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是()A .两条不重合直线1l ,2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-,()2,3,1b =-- ,则12l l //B .两个不同的平面α,β的法向量分别是()2,2,1u =-,()3,4,2v =- ,则αβ⊥C .直线l 的方向向量()112a ,,=- ,平面α的法向量是()6,4,1u =-,则l α⊥D .直线l 的方向向量()0,3,0a = ,平面α的法向量是()0,5,0u =-,则//l α10.已知直线,圆00为圆C 上任意一点,则下列说法正确的是()A .2200x y +的最大值为5B .00y x 的最大值为5C .直线l 与圆C 相切时,k =D .圆心C 到直线l 的距离最大为411.已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆221x y a b+=于A ,B 两点,1F ,2F为椭圆的左、右焦点,M ,N 为椭圆的左、右顶点,在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ,则()A .若1k =,则椭圆的离心率为B .若13MA MB k k =-,则椭圆的离心率为3C .1//l FQ D .若直线BQ 平行于x 轴,则k =对于A ,若1k =,则(0,)Q c 所以2222c cc e a b cc ===+对于B ,设0,0,则(B三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上,点()()4,0,0,2A B ,当PBA ∠最小时,PB =.13.下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin 20x y θ-+=的倾斜角可以是2;②直线l 过点()2,3-,并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10x y +-=;③过点()00,P x y 的直线0Ax By C ++=的直线方程还可以写成()()000A x x B y y -+-=;④经过()11,A x y ,()22,B x y 两点的直线方程可以表示为111212y y x x y y x x --=--.1111的棱长为3,P 是侧面11(包括边界)上一动点,E 是棱CD 上一点,若APB DPE ∠=∠,且APB △的面积是DPE 面积的9倍,则三棱锥P ABE -体积的最大值是..77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知直线l 的方程为:()()211740m x m y m +++--=.(1)求证:不论m 为何值,直线必过定点M ;(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点,当AOB 面积最小时,求AOB 的周长.()1740++--=m y m 可得:(m ,所以直线l 过定点()3,1M ......................51111平面11(1)求证:平面11AB C ⊥平面1A BC ;(2)设点P 为1AC 的中点,求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【详解】(1)证明1AA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面ABC ,1AA BC ∴⊥.又1,AB BC AA AB A ⊥⋂= ,且1,AA AB ⊂平面11ABB A ,BC ∴⊥平面11ABB A .1AB ⊂ 平面111,ABB A BC AB ∴⊥.又111,AB A C A C BC C ⊥⋂= ,且1,AC BC ⊂平面1A BC ,1AB ∴⊥平面1A BC .1AB ⊂ 平面11AB C ,∴平面11AB C ⊥平面1A BC ......................6分(2)由(1)知11AB A B ⊥,所以四边形11ABB A 为正方形,即12AA AB ==,且有22AC =.以点A 为原点,以1,AC AA 所在直线分别为,y z 轴,以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴,建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示,则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1A C B B P ,所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,0BP AP CB =-==-,设平面ABP 的一个法向量 =s s ,则0,0,BP n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20,x z y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取()1,1,2n =- ,同理可得平面BCP 的一个法向量()2,2,2m = ,所以()()2,2,21,1,2221cos ,2224112222m n m n m n ⋅-⋅====++⨯++⨯ ,所以平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值为12......................15分17.(15分)已知椭圆C :()222210+=>>x y a b a b的焦距为22,离心率为22.(1)求C 的标准方程;(2)若5,02A⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线l:()302x ty t=+>交椭圆C于E,F两点,且AEF△的面积为2,求t的值.联立则12232ty yt+=-+,12y y=-设直线l与x轴的交点为D⎛⎝如图,在四棱锥P ABCD-中,平面PAD⊥平面ABCD,PA PD⊥,AB AD⊥,PA PD=,1AB=,2AD=,AC CD==.(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M,使得//BM平面PCD?若存在,求出AM AP的值;若不存在,请说明理由.【详解】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD⋂平面ABCD AD=,且AB AD⊥,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥平面PAD,∵PD⊂平面PAD,∴AB PD⊥,又PD PA⊥,且PA AB A=,,PA AB⊂平面PAB,∴PD⊥平面PAB;.......................5分(2)取AD中点为O,连接,CO PO,19.(17分)已知圆O的方程为2,1-的圆O的切线方程;(1)求过点()(2)已知两个定点(),2A a ,(),1B m ,其中R a ∈,0m >.P 为圆O 上任意一点,PA n PB =(n 为常数),①求常数n 的值;②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点,若M 点恰好是线段NE 的中点,求实数t 的取值范围.。

2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A ={﹣1,0,1,2},B ={x |﹣1<x ≤1},则A ∩B =( ) A .{1}B .{0,1}C .{﹣1,0,1}D .{﹣1,0,1,2}2.设命题p :∃x ∈Z ,x 2≥2x +1,则p 的否定为( ) A .∀x ∉Z ,x 2<2x +1 B .∀x ∈Z ,x 2<2x +1 C .∃x ∉Z ,x 2<2x +1D .∃x ∈Z ,x 2<2x +13.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3﹣x B .f (x )=x 2﹣3x C .f (x )=−1x+1D .f (x )=﹣|x |4.若a >b >0,c >d >0,则一定有( ) A .ac>bdB .a d<bcC .a c<bdD .a d>bc5.定义在R 上的函数f (x )在(﹣∞,2)上是单调增函数,且f (x +2)=f (2﹣x )对任意x ∈R 恒成立,则( )A .f (﹣1)<f (3)B .f (﹣1)=f (3)C .f (0)>f (3)D .f (0)=f (3)6.若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32<x ≤5,则方程f (x )=1的解是( )A .√2或2B .√2或3C .√2或4D .±√2或47.已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m +2)x +m4=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.若1x 1+1x 2=4m ,则m 的值是( ) A .2B .﹣1C .2或﹣1D .不存在8.已知a >0,且关于x 的不等式x 2﹣2x +a <0的解集为(m ,n ),则1m+4n的最小值为( )A .92B .4C .72D .29.已知a 1,a 2,b 1,b 2均为非零实数,不等式a 1x +b 1<0与不等式a 2x +b 2<0的解集分别为集合M 和集合N ,那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M =N ”的( )A .充分非必要条件B .既非充分又非必要条件C .充要条件D .必要非充分条件10.已知f (x )=x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1(k ∈R ).以下四个命题: ①对任意实数x ,存在k ,使得f (x )>0; ②对任意k ,存在实数x ,使得f (x )>0; ③对任意实数k ,x ,均有f (x )>0成立; ④对任意实数k ,x ,均有f (x )<0成立. 其中所有正确的命题是( ) A .①②B .②③C .①③D .②④二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含解析

北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含解析

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学(答案在最后)2024.11本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.在复平面内,复数1i +的共轭复数所对应的点位于()A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出复数的共轭复数,即可得出对应点所在象限.【详解】 复数1i +的共轭复数为1i -,∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,属于基础题.2.已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=,且//a b,那么||b =()A. B.6C.9D.18【答案】A 【解析】【分析】根据题意,设b ka =,即(3, ,)(1y k =-,2,1),分析可得 、y 的值,进而由向量模的计算公式计算可得答案.【详解】根据题意,向量(1a =- ,2,1),(3b = , ,)y ,且//a b ,则设b ka =,即(3, ,)(1y k =-,2,1),则有3k =-,则6x =-,3y =-,则(3b = ,6-,3)-,故||b =故选:A .3.在空间直角坐标系中,点()1,2,3P 关于坐标平面xOy 的对称点为()A.()1,2,3-B.()1,2,3- C.()1,2,3-- D.()1,2,3-【答案】B 【解析】【分析】由关于坐标平面xOy 的对称点的,x y 坐标不变,z 坐标相反可得.【详解】由于关于坐标平面xOy 的对称点的,x y 坐标不变,z 坐标相反,因此所求对称点坐标为(1,2,)3-,故选:B .4.设()()120,1,1,1,0,1v v ==-分别是空间中直线12,l l 的方向向量,则直线12,l l 所成角的大小为()A.π6B.5π6C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据向量的夹角公式即可求解.【详解】1212122c 1,o s v v v v v v ⋅==,设12,l l 所成角为π,0,2θθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则1cos 2θ=,故π3θ=故12,l l 所成角为π3,故选:C5.过()2,0-和()0,2两点的直线的倾斜角是()A.1- B.1C.3π4D.π4【答案】D 【解析】【分析】根据两点求解斜率即可求解.【详解】由()2,0-和()0,2可得直线斜率为20102k -==+,故倾斜角为π4,故选:D6.“1a =”是“直线1:20l ax y +-=与()2:2120l x a y +++=平行”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据一般式方程的形式,结合两直线平行的条件,列式求解.【详解】若直线12l l //,则12212a a -=≠+,解得:1a =.所以“1a =”是“直线12l l //的充分必要条件.故选:C7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AA a AB b AD c ===,点P 在1AC 上,且1:1:2A P PC =,则AP =()A.211333a b c ++r r rB.122333a b c ++C.112333a b c-++D.122333a b c --r r r 【答案】A 【解析】【分析】由题意,结合向量的线性运算即可求解.【详解】11111111()33AP AA A P AA AC AA AC AA =+=+=+-112121211()3333333AA AC AA AB AD a b c =+=++=++.故选:A .8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为1BB 的中点,则1B 到平面11A D E 的距离为()A.5B.255C.253D.235【答案】B 【解析】【分析】作11B F A E ⊥,垂足为F ,证明1B F ⊥平面11A D E ,在直角11A B E 中,求出1B F 即得.【详解】如图,作11B F A E ⊥,垂足为F ,因为11A D ⊥平面11ABB A ,1B F ⊂平面11ABB A ,所以111A D B F ⊥,又因为1111A E A D A ⋂=,111,A E A D ⊂平面11A D E ,所以1B F ⊥平面11A D E ,即1B F 的长即为1B 到平面11A D E 的距离,在直角11A B E 中,112A B =,11B E =,则15A E =,1111122555A B B E B F A E ⋅===,故选:B.9.在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是线段11A C 上任意一点,则AE 与平面ABCD 所成角的正弦值不可能是()A.13B.23C.53D.63【答案】A 【解析】【分析】首先求点E 到平面的距离,再求AE 的取值范围,即可求解线面角的正弦值,即可判断选项.【详解】设正方体的棱长为1,因为平面//ABCD 平面1111D C B A ,所以点E 到平面的距离为1,AE 的最小值为11AA =,AE 的最大值为13AC =,所以AE 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为1333=,所以正弦值的范围是3,13⎤⎥⎣⎦,13,133⎤∉⎥⎣⎦.故选:A10.已知点()()0,1,0,1A B -,直线:2l y kx =-,若直线l 上至少存在三个M ,使得MAB 为直角三角形,直线l 倾斜角的取值范围是()A.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D.πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】0k ≠,过A 或B 作x 轴平行线,它们一定与直线l 相交,共有两个交点满足题意,然后由直线l 与以AB 为直径的圆有交点可得倾斜角的范围.【详解】当0k =时,直线l 上不存在M ,使得MAB 为直角三角形,当0k ≠,如图,过A 或B 作x 轴平行线,它们一定与直线l 相交,这就是符合题意的两个M ,因为至少有三个M ,使得MAB 为直角三角形,所以直线l 与以AB 为直径的圆有公共点,圆心是原点,半径为1,1≤,解得k ≥k ≤,设直线l 的倾斜角为θ,则tan θ≥或tan θ≤所以ππ32θ≤<或π2π23θ<≤,所以倾斜角范围是πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,故选:B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.复数5i12iz =-,则z =______.【答案】【解析】【分析】首先计算复数z ,再求模.【详解】()()()()5i 12i 5i i 12i 2i 12i 12i 12i z +===+=-+--+,所以z ==12.已知点()()1,1,4,1,4,2A B -,点C 在线段AB 上,且2AC CB =,则点C 坐标为__________.【答案】()1,3,0【解析】【分析】由条件得到2AC CB =,根据向量的坐标表示,即可求解.【详解】设(),,C x y z ,且2AC CB =,即()()1,1,421,4,2x y z x y z --+=---,即()()()121124422x x y y z z ⎧-=-⎪-=-⎨⎪+=-⎩,解得:1,3,0x y z ===,所以点C 的坐标为()1,3,0.故答案为:()1,3,013.若平面αβ⊥,平面α的法向量为()11,2,3n = ,平面β的法向量为()2,,0n x y =,写出平面β的一个法向量______.【答案】()2,1,0-(不唯一,共线即可)【解析】【分析】根据平面与平面垂直得法向量垂直,即120n n ⋅=,代入坐标公式列式求解.【详解】由平面αβ⊥,则1220n n x y ⋅=+=,2,1x y ==-满足条件,所以平面β的一个法向量为()2,1,0-.故答案为:()2,1,0-(不唯一,共线即可)14.已知点()()1,3,1,4B A -,直线:2l y ax =-与线段AB 无交点,则直线l 在y 轴上的截距为__________;a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.()6,5-【解析】【分析】根据直线l 所过的定点,根据条件求边界的斜率,即可求解.【详解】直线:2l y ax =-在y 轴上的截距为2-,a 表示直线l 的斜率,直线l 恒过点()0,2P -,5PA k =,6PB k =-,若直线l 与线段AB 无交点,则a 的取值范围是()6,5-.故答案为:()6,5-15.如图:在直三棱柱111ABC A B C -中,13,3,90AB BB BC ABC ∠==== ,1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤.记(),f x y AH HP =+,给出下列四个结论:①存在H ,使得任意P ,都有AH HP ⊥;②对于任意点H ,都不存在点P ,使得平面AHP ⊥平面11A B C ;③(),f x y 的最小值为3;④当(),f x y 取最小时,过点,,A H P 作三棱柱的截面,则截面周长为56+.其中,所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】问题①,根据故AB ⊥平面11BB C C ,得BP AB ⊥,对任意P ,取H 位于B 处,则始终有AH HP ⊥即可判断,问题②化为对于任意点H ,是否存在点P ,使面AHP ⊥面11A B C ,由已知证面11A B C ⊥面11BB C C ,结合面面垂直判定判断存在性即可;问题③将△ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内,证△1AB C 为等边三角形,进而确定(,)f x y 的最小值;问题④P 为1CB 的中点,H 为△1AB C 的重心,平面11BCC B 中,延长HP 交11B C 于点M ,取1B M 的中点Q ,N 为11A C 的中点,证过点A ,H ,P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ,即可判断.【详解】对于①,因为三棱锥111ABC A B C -为直三棱锥,故1BB BA ⊥,又BC BA⊥由1BB BC B = ,1BB ,⊂BC 平面11BB C C ,故AB ⊥平面11BB C C ,BP ⊂平面11A B C ,故BP AB ⊥,故对任意P ,取H 位于B 处,则始终有AH HP ⊥,故①正确;对于②,因为三棱锥111ABC A B C -为直三棱锥,所以1BB ⊥面111A B C ,又11A B ⊂面111A B C ,所以111BB A B ⊥,又90ABC ∠=︒,所以11190A B C ∠=︒,所以1111A B B C ⊥,由1111BB B C B = ,1BB ,11B C ⊂面11BB C C ,故11A B ⊥面11BB C C ,11A B ⊂面11A B C ,所以面11A B C ⊥面11BB C C ,而H BC ∈,1P CB ∈且都在面11BB C C 内,由于面11A B P 即为面11A B C ,要使面AHP ⊥面11A B P ,只需面AHP ⊥面11A B C ,综上,HP ⊥面11A B C 时,HP ⊂面AHP ,此时面AHP ⊥面11A B C ,即面AHP ⊥面11A B P ,对于任意点H ,只需对应HP 平行于△1BCB 中1CB 边上的高时,均满足要求,②错误;对于③,将△ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内,则AH HP +的最小值为点A 到直线1CB 的距离,又1AB BB ==3BC =,190ABC B BC ︒∠=∠=,所以11AC CB AB ===所以A 到直线1CB 的距离为3,所以(,)f x y 的最小值为3,③正确;对于④,当(,)f x y 取最小时,P 为1CB 的中点,因为△1AB C 为等边三角形,B 为1AB 的中点,所以H 为1AB C △的重心,故13BH BC =,在平面11BCC B 中,延长HP 交11B C 于点M ,因为1PC PB =,1PB M PCH ∠=∠,1B PM HPC ∠=∠,所以△1PB M ≅△PCH ,故123B M CH ==,取1B M 的中点Q ,N 为11AC 的中点,则1//MN A Q ,因为1//BH B Q ,1BH B Q =,所以四边形1BB QH 为平行四边形,则1//HQ BB ,1HQ BB =,又11//AA BB ,11AA BB =,所以1//A Q AH ,所以//MN AH ,故过点A ,H ,P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ,2AH ==,1112MN A Q ==,2MH ==,AN ==则梯形AHMN 的周长为1225MN AH AN HM +++=+++=,④正确;故答案为:①③④【点睛】方法点睛:作截面的常用三种方法:直接法,截面的定点在几何体的棱上;平行线法,截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行;延长交线得交点,截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知ABC V 的顶点坐标为()()()1,52,14,3A B C ---、、.(1)求过点B 且与直线AC 平行的直线的方程;(2)求BC 边上的中线所在直线的方程;(3)求AB 边上的高所在直线的方程.【答案】(1)2590x y ++=(2)230x y +-=(3)6220x y +-=【解析】【分析】(1)求出直线AC 的斜率再利用点斜式方程即可得出结果;(2)求出中点坐标再计算中线斜率,代入点斜式方程即可;(3)根据垂直关系得出斜率,再利用点斜式方程可求.【小问1详解】直线AC 的斜率532145AC k -==---过点B 且与直线AC 平行的直线的斜率为25-过点B 且与直线AC 平行的直线方程为()2125y x +=-+即2590x y ++=【小问2详解】设BC 边的中点为D ,因为()()2,14,3B C --、,所以点D 的坐标为2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭,即()1,1D ,51211AD k -==---所以BC 边的中线所在直线方程为()121y x -=--即230x y +-=【小问3详解】因为15621AB k --==-+,所以AB 边的高线所在直线的斜率为16-,因此AB 边的高线所在直线方程为()1346y x -=--,即6220x y +-=17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥底面ABC ,D 是11A C 的中点,且12AC BC CC ===.(1)求证:1BC ∥平面1AB D ;(2)若AC BC ⊥,求直线1CC 与平面1AB D 所成角的正弦值;(3)若AC BC ⊥,求平面1AB D 与平面11ACC A 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)66(3)66【解析】【分析】(1)连接1A B 与1AB 相交于点E ,连接DE ,然后利用三角形的中位线证明线线平行,再用线面平行的判定定理证明线面平行即可;(2)直接建立空间直角坐标系求解即可;(3)利用(2)的法向量直接求解即可.【小问1详解】连接1A B ,设11A B AB E = ,连接DE ,由111ABC A B C -为三棱柱,得1A E BE =.又D 是11A C 的中点,所以DE 是11ΔA BC 的中位线,1BC ∴∥DE .1BC ⊄ 平面1,AB D DE ⊂平面1AB D ,1BC ∴∥平面1AB D ;【小问2详解】1CC ⊥ 底面,ABC AC BC ⊥,以C 为原点,1,, CA CB CC 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ,()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ,()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 设平面1AB D 的法向量为由12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,得()2,1,1n = ;设直线1CC 与平面1AB D 所成角为θ.则111sin cos ,6n CC n CC n CC θ⋅=== .∴直线1CC 与平面1AB D所成角的正弦值为6.【小问3详解】设平面1AB D 与平面11ACC A 所成角为,αα为锐角,平面11ACC A 的法向量为()0,1,0m =,cos cos ,6n m n m n m α⋅=== ,平面1AB D 与平面11ACC A所成角余弦值为6.18.设ABC V 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c,且sin cos b A B =.(1)求角B 的大小;(2)从下列三个条件中选择一组作为已知,使ABC V 存在且唯一,并求ABC V 的面积.条件①:3,sin 2sin b C A ==;条件②:5b a ==;条件③:7b C ==.注:如果选择的条件使ABC V 不存在或不唯一,第(2)问得0分.【答案】(1)π3B =(2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据正弦定理边角互化可得tan B =,即可求解,(2)选①,根据正弦定理边角互化得2c a =,即可根据余弦定理求解a c ==,由面积公式即可求解,选②,根据余弦定理求解三角形不唯一,选③,根据和差角公式可得sin A ,即可根据正弦定理求解c ,由面积公式即可求解.【小问1详解】sin cos b A B =,由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin cos B A A B =,在ABC V 中,sin 0,tan A B ≠=,()0,πB ∈ ,π3B ∴=.【小问2详解】若选①,sin 2sin ,C A = 则2c a=由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得222944cos a a a B =+-,解得a c ==11333sin2222S ac B ∴==⨯=.若选条件②:由5b a ==可得2201212525255c c c c =+-⨯⇒+-=⨯,解得52c =,此时三角形不唯一,若选③,7b C ==,故sin C ==()1sin sin sin cos cos sin 272714A B C B C B C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理可得:sin 4sin 32b Cc B ==1157sin 42214S bc A ==⨯=19.已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =+,且()f x 的图象过点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)若函数()f x 在π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与直线3y =有交点,求实数m 的取值范围;(3)设函数()()()g x f x t t =-∈R ,记函数()g x 在π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,求()M t 的最小值及此时t 的值.【答案】(1)最小正周期π;单调减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)当1t =时,min ()2M t =【解析】【分析】(1)直接代入已知点坐标可求得a ,利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式,然后由正弦函数性质求得最小正周期和单调递减区间;(2)ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,题意说明函数取得最大值3,因此解不等式ππ262m +≥可得;(3)ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,求出()f x t -的最大值和最小值,则通过比较它们的绝对值的大小得出()M t (由最大值和最小值是相反数可得t 的分类),从而可得()M t 的最小值.【小问1详解】由题意()sin 2cos 21f x a x x =++由题意,πππsin cos 110312632f a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得a =()cos21f x x x ∴=++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,()f x 的最小正周期2ππ2T ==;由ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+,得π2πππ63k x k +≤≤+,所以()f x 的单调减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;【小问2详解】 函数()f x 在区间π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与直线3y =有交点所以函数()f x 在区间π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3,又因为ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦所以ππ262m +≥,解得π6m ≥.∴实数m 的取值范围是π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦当ππ262x +=时,()f x t -取最大值3t -当π3π262x +=时,()f x t -取最小值1t --,结合图象所以当1t ≤时,()3M t t=-当1t >时,()1M t t =+所以当1t =时,min ()2M t =20.如图,已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为4的正方形,CD ⊥平面,PAD PAD 是正三角形,,,,E F G O 分别为,,,PC PD BC AD 的中点.(1)求证:⊥PO 平面ABCD ;(2)求点A 到平面EFG 的距离;(3)线段PC 上是否存在点M ,使得三棱锥M EFG -的体积为33,若存在,求PM PC 的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析(23(3)存在,14PM PC =或34【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判断定理,转化为证明PO AD ⊥,PO CD ⊥;(2)以O 为原点建立空间直角坐标系,求平面EFG 的法向量,再代入点到平面的距离,求解;(3)根据11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,求得点M 的坐标,再根据(2)的结果求点M 到平面EFG 的距离,并根据向量的数量积公式,以及面积公式,求EFG S ,结合体积公式,即可求解.【小问1详解】证明:因为PAD △是正三角形,O 是AD的中点,所以PO AD ⊥.又因为CD ⊥平面,PAD PO ⊂平面,PAD CD PO ⊥,,,AD CD D CD AD ⋂=⊂平面ABCD ,所以⊥PO 面ABCD ;【小问2详解】因为,,OA OG OP 两两互相垂直.以O 点为原点,,,OA OG OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,2O A B C D P --,((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-== 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =r ,由2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩,得)n =(3,AE =- ,点A 到平面EFG的距离AE n d n⋅== 【小问3详解】设11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,42,M EM λλλλ-=-- 所以点M 到面EFG的距离为定值2PF n d nλ⋅==-cos ,2||||EF EG EF EG EF EG ⋅==- .1sin ,22EFG S EF EG EF EG == 113sin ,363M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>= ,解得:14PM PC λ==或34.21.给定正整数2n ≥,设集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣.对于集合M 中的任意元素()12,,,n x x x β= 和()12,,,n y y y γ= ,记1122n n x y x y x y ⋅=+++L βγ.设A M ⊆,且集合(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣,对于A 中任意元素,i j αα,若,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩则称A 具有性质(),T n p .(1)判断集合()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =是否具有性质()3,2T ,集合()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =是否具有性质()4,2T ;(直接写出答案,结论不需要证明)(2)判断是否存在具有性质()4,T p 的集合A ,并加以证明;(3)若集合A 具有性质(),T n p ,证明:()121,2,,j j nj t t t p j n +++== .【答案】(1)集合A 具有性质()3,2T ,集合B 不具有性质()4,2T (2)不存在具有性质()4,T p 的集合A ,证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据定义,直接判断;(2)首先由题设{}0,1,2,3,4p ∈,再分p 的不同值,结合性质()4,T p ,即可判断选项;(3)记()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= ,则12n c c c np +++=L ,利用反证法,逐步推理证明.【小问1详解】集合A 具有性质()3,2T ,集合B 不具有性质()4,2T .【小问2详解】当4n =时,集合A 中的元素个数为4.由题设{}0,1,2,3,4p ∈.假设集合A 具有性质()4,T p ,则①当0p =时,(){}0,0,0,0A =,矛盾.②当1p =时,()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =,不具有性质()4,1T ,矛盾.③当2p =时,()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆.因为()1,1,0,0和()0,0,1,1至多一个在A 中;()1,0,1,0和()0,1,0,1至多一个在A 中;()1,0,0,1和()0,1,1,0至多一个在A 中,故集合A 中的元素个数小于4,矛盾.④当3p =时,()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =,不具有性质()4,3T ,矛盾.⑤当4p =时,(){}1,1,1,1A =,矛盾.综上,不存在具有性质()4,T p 的集合A .【小问3详解】记()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= ,则12n c c c np +++=L .若0p =,则(){}0,0,,0A =,矛盾.若1p =,则(){}1,0,0,,0A = ,矛盾.故2p ≥.假设存在j 使得1j c p +≥,不妨设1j =,即11c p +≥.当1c n =时,有j c =0或()12,3,,j c j n == 成立.所以12,,,n ααα 中分量为1的个数至多有()1212n n n n np +-=-<≤.当11p c n +<≤时,不妨设11211,111,0p n t t t t +===== .因为n n p αα⋅=,所以n α的各分量有p 个1,不妨设23,11n n n p t t t +====L .由i j ≠时,1i j αα⋅=可知,{}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 中至多有1个1,即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中,至多含有121p p p ++=+个1.又()11,2,,1i n i p αα⋅==+ ,则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中,含有()()1122p p p +++=+个1,矛盾.所以()1,2,,j c p j n ≤= .因为12n c c c np +++=L ,所以()1,2,,j c p j n == .所以()121,2,,j j nj t t t p j n +++== .【点睛】关键点点睛:本题的关键是理解新定义.。

2022-2023学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷一、选择题。

共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.直线x +y =0的倾斜角为( )A .45°B .60°C .90°D .135°2.圆(x +2)2+y 2=5关于原点O (0,0)对称的圆的方程为( )A .(x +2)2+y 2=5B .x 2+(y ﹣2)2=5C .(x ﹣2)2+y 2=5D .x 2+(y +2)2=5 3.如图,在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,DA →=a →,DC →=b →,DD 1→=c →,则与向量D 1B →相等的是( )A .a →+b →−c →B .a →+b →+c →C .a →−b →+c →D .a →−b →−c →4.已知直线l :x +ay +2=0,点A (﹣1,﹣1)和点B (2,2),若l ∥AB ,则实数a 的值为( )A .1B .﹣1C .2D .﹣25.若点M (1,1)为圆C :x 2+y 2﹣4x =0的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( )A .x ﹣y ﹣2=0B .x +y ﹣2=0C .x ﹣y =0D .x +y =06.如图,在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是棱A 1B 1,BB 1,CC 1,C 1D 1的中点,那么( )A .BD 1∥GHB .BD ∥EFC .平面EFGH ∥平面A 1BCD 1 D .平面EFGH ∥平面ABCD7.已知直线m ⊥平面α,则“直线n ⊥m ”是“n ∥α”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,给出下列四个结论:①直线BC1与DA1所成的角为90°;②直线BC1与CA1所成的角为90°;③直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°;④直线BC1与平面ABCD所成的角为45°.其中,正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.49.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0与圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1相切,则m+n的取值范围是()A.(−∞,2−2√2]B.[2+2√2,+∞)C.[2−2√2,2+2√2]D.(−∞,2−2√2]∪[2+2√2,+∞)10.在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则()A.平面α与平面β平行B.平面α与平面β垂直C.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°二、填空题。

高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版

高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版

2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的()A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =,则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆,则椭圆方程可化为2211y x m +=-,则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选:B.2.直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=,若12//l l ,则实数a 的值不可能是()A .1-B .0C .1D .2-【答案】A【分析】根据平行列式,求得a 的值,进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ,所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-,()()()21110a a a a a +---=,()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦,解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时,12:10,:20l x l x --=-+=,即12:1,:2l x l x =-=,两直线平行,符合题意.当1a =时,12:10,:220l y l y -=+=,即12:1,:1l y l y ==-,两直线平行,符合题意.当2a =-时,12:3210,:3220l x y l x y --=-++=,即12:3210,:3220l x y l x y --=--=,两直线平行,符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选:A3.如图,在四面体OABC 中,,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上,且2,OM MA N =为BC 中点,则MN等于()A .121232a b c-+ B .211322a b c-++C .111222a b c+- D .221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ,利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.故选:B.4.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,P 是1AA 的中点,若1AM AB AA λμ=+,[]0,1λ∈,[]0,1μ∈,若1D M CP ⊥,则BCM 面积的最小值为()A .4B .8C .855D .82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内,建立如图空间直角坐标系A xyz -,设(,0,)M a b ,根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-,取AB 的中点N ,连接1B N ,则点M 的轨迹为线段1B N ,过点B 作1BQ B N ⊥,结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、,知点M 在平面11ABB A 内,以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -,则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ,设(,0,)M a b ,则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ,由1D M CP ⊥,得1416280D M CP a b ⋅=-++-=,即24b a =-,取AB 的中点N ,连接1B N ,则点M 的轨迹为线段1B N ,过点B 作1BQ B N ⊥,则4245525BQ ⨯==,又BC ⊥平面11ABB A ,故BC BQ ⊥,所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选:C.5.在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221x y +≤,将军从点()2,0A 出发,河岸线所在直线方程为4x y +=,假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程()A .101-B .251-C .25D .10【答案】B【分析】根据题意作出图形,然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A ',进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤,圆:221x y +=的圆心为原点,半径为1,作图如下:设将军饮马点为P ,到达营区点为B ,设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点,因为()2,0A ,所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭,则2422x y ++=即60x y +-=,又12AA yk x '==-,联立解得:42x y =⎧⎨=⎩,即()4,2A ',所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+,要使得总路程最短,只需要||||PB PA '+最短,即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离,即为11OA OB OA ''-=-=.故选:B.6.在等腰直角三角形ABC 中,4AB AC ==,点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图).若光线QR 经过ABC 的重心,则QR 的长度等于()AB.9C.9D.9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系,得出ABC 各顶点以及重心的坐标,设(),0P a ,04a <<.求出直线BC 的方程,根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标,表示出RQ 的方程,代入重心坐标,求出a 的值,得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标,即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图,建立平面直角坐标系,则()0,0A ,()4,0B ,()0,4C ,ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭,BC 方程为40x y +-=,设(),0P a ,04a <<.根据光的反射原理以及已知可知,点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上,点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上,即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩,解得1144x y a =⎧⎨=-⎩,所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线,所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+,所以,直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭,所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭,整理可得2340a a -=,解得43a =或0a =(舍去),所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+,整理可得3640x y -+=.所以,R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以,QR ==.故选:B.7.正四面体的棱长为3,点M ,N 是它内切球球面上的两点,P 为正四面体表面上的动点,当线段MN 最长时,PM PN ⋅的最大值为()A .2B .94C .3D .52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ,G 为BCD △的中心,E 为CD 的中点,连接,AG BE ,则O 在AG 上,连接BO ,根据题意求出内切球的半径,当MN 为内切球的直径时,MN 最长,再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ,G 为BCD △的中心,E 为CD 的中点,连接,AG BE ,则O 在AG 上,连接BO ,则AO BO =.因为正四面体的棱长为3,所以22333BG BE ==所以AG ===r ,则()222AG r r BG -=+,)22rr =+,解得4r =,当MN 为内切球的直径时MN 最长,此时0+= OM ON,238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ,()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ,因为P 为正四面体表面上的动点,所以当P 为正四体的顶点时,PO 最长,POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选:C8.已知M 为椭圆:()222210x y a b a b+=>>上一点,1F ,2F 为左右焦点,设12MF F α∠=,21MF F β∠=,若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+,则离心率e =()A .12B .13C .12D .23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==,12||2F F c =,结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+,继而推出,,a b c 的关系,求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==,12||2F F c =,则2m n a +=,由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+,即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++,在12MF F △中,由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+,故32cos 2n m m c β-=+,又2224cos 4c n mcmβ+-=,故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+,即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=,即[4()][2()]0c m n c n m -+--=,即4c m n =+或2c n m =-,结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<,故4c m n =+,即142,2c c a e a =∴==,故选:C【点睛】关键点睛:本题是椭圆的离心率的求解问题,即求,,a b c 之间的关系,解答的关键是对于已知等式的化简,即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式,进而化简可得,,a b c 的关系,即可求解答案.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于,A B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP 面积可能是()A .1B .3C .4D .7【答案】BC【分析】根据给定条件,求出线段AB 长,点P 到直线AB 的距离范围,再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意,点(2,0),(0,2)A B --,则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ,半径2r =,则点C 到直线AB 的距离4222r =>,因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈,ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈,显然BC 满足,AD 不满足.故选:BC10.已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=,圆222:450C x y y ++-=,则下列说法正确的是()A .若点()1,1在圆1C 的内部,则24m -<<B .若2m =,则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C .若圆12,C C 外切,则15m =±D .过点()3,2作圆2C 的切线l ,则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误;将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确;利用圆与圆外切,由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确;对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论,由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ,由点(1,1)在圆1C 的内部,得2112100m m ++-<+,解得42m -<<,故A 错误;对于B ,若2m =,则圆221:41040C x y x y ++-+=,将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=,故B 正确;对于C ,圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=,圆心为()1,5C m -,半径15r =,圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=,圆心为()20,2C -,半径23r =,若圆12,C C 外切,则1212C C r r =+,即24953m +=+,解得15m =±,故C 正确;对于D ,当l 的斜率不存在时,l 的方程是3x =,圆心2C 到l 的距离23d r ==,满足要求,当l 的斜率存在时,设l 的方程为()32y k x =-+,圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+,解得724k =,所以l 的方程是724270x y -+=,故D 正确.故选:BCD.11.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为11A B 的中点,P 为棱BC 上的动点(包含端点),则下列结论正确的是()A .存在点P ,使11D P AC ⊥B .存在点P ,使1PE D E =C .四面体11EPCD 的体积为定值83D .二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法,根据线面垂直,两点间的距离,几何体的体积,二面角等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系,设()02CP a a =≤≤,则(),2,0P a ,()2,1,2E ,()()12,0,0,0,2,2A C ,()10,0,2D ,则()12,2,2AC =- ,()1,2,2D P a =-,112442D AC a a P ⋅=-+-=-,当0a =时,即P 点与C 点重合时,11D P AC ⊥,故A 正确.由1PE D E =2a =,此时P 点与B 点重合,故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值,故C 错误.又()12,1,0D E = ,()1,2,2D P a =-,设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ,由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩,令1x =则=2y -,22a z =-,11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ,又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =,12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤,122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦,故D 错误.故选:AB12.已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ,()20,2F -,设直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点,则下列说法正确的是()A .26m =B.椭圆C C .直线l 的方程为320x y +-=D .2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ;再根据离心率公式即可判断B ;由点差法可以求出直线l 的斜率,由直线的点斜式化简即可判断C ;由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示:根据题意,因为焦点在y 轴上,所以224m -=,则26m =,故选项A 正确;椭圆C的离心率为2636c e a ===,故选项B 不正确;不妨设()()1122,,,M x y N x y ,则2211126x y +=,2222126x y +=,两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-,变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+,又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点,所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++,所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=,所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即320x y +-=,故选项C 正确;因为直线l 过1F ,所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==,故选项D 不正确.故选:AC .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在三棱锥-P ABC 中,PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ,则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系,设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =,由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解:建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ,所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =,则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-,所以()1m =-,所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14.若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=,则a b=.【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离,利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==,()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d,()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ,5==,所以125d d ==.因为10AB =,1210d d +=,所以当点A ,B 在直线10ax by ++=同侧时,直线AB 与直线10ax by ++=平行,当点A ,B 在直线10ax by ++=异侧时,A ,B 关于直线10ax by ++=对称,因为直线AB 的斜率174173k +==--,直线10ax by ++=的斜率为ab-,所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以43a b =或34ab=-.故答案为:34-或43.15.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点,若P 恰好是AB 的中点,则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系,再结合通径的长可求基本量,故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程,从而可用基本量表示中点,从而得到基本量的一个关系式,同样结合通径长可取基本量,故可求焦半径的最大值.【详解】法一:将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±,所以22ba=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=,又124x x +=,1212122,1y y y y x x -+==--,所以22210a b-=②,解①②得3a b ==,所以3c =,所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二:将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±,所以22b a =,直线AB 的方程是1(2)y x -=--,即3y x =-,代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=,则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则2122264a x x a b+==+,即222a b =②,解①②得3a b ==,满足0∆>,所以3c =,所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为:3.16.在平面直角坐标系xOy 中,已知()1,1A --,圆22:1O x y +=,在直线AO 上存在异于A 的定点Q ,使得对圆O 上任意一点P ,都有(PA PQλλ=为常数),则Q 的坐标为.【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ,(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立,从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立,从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩,即可求出λ与0x ,从而得解.【详解】设00(,)Q x y ,(,)P x y ,则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ,使得对圆O 上任意一点P ,都有(PA PQλλ=为常数),λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立,即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-,整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=,因为点Q 在直线AO 上,所以00x y =,由于P 在圆O 上,所以221x y +=,故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立,其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上,令x y m +=,则0x y m +-=,所以直线0x y m +-=与圆有交点,所以圆心到直线的距离小于等于半径,即1d ≤,解得m ≤≤[x y +∈,所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩,显然0λ≠,所以021x λ=-,故22230λλ--=,因为0λ>,解得λ=1λ=.当1λ=时,(1,1)Q --,此时,Q A 重合,舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,综上,存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,此时λ=故答案为:11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛:本题解决的关键是利用题设条件,结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立,从而得到关于0,x λ的方程组,由此得解.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD DC =,E ,F 分别是AB ,PB 的中点.(1)求证:EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内,且GF ⊥平面PCB ,试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】(1)以D 为坐标原点,DA ,DC ,DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,设AD a =,再根据0EF DC ⋅= 即可证明.(2)设(,0,)G x z ,根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ,0FG CP ⋅= ,即可得到答案.【详解】(1)以D 为坐标原点,DA ,DC ,DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图),设AD a =,则(0,0,0)D ,(,,0)B a a ,(0,,0)C a ,,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(0,0,)P a ,,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,(0),,0DC a = ,所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ,所以EF CD ⊥.(2)因为∈G 平面PAD ,设(,0,)G x z ,所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由(1),知(,0,0)CB a = ,(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ,所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ,2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以2a x =,0z =,所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即点G 为AD 的中点.18.(12分)已知直线:1l y kx k =+-.(1)求证:直线l 过定点;(2)若当44x -<<时,直线l 上的点都在x 轴下方,求k 的取值范围;(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1,求直线l 的方程.【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】(1)由直线方程观察得定点坐标即证;(2)由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得;(3)求出直线与坐标轴的交点坐标,再计算三角形面积从而得直线的斜率,即得直线方程.【详解】(1)由1y kx k =+-,得1(1)y k x +=+.由直线方程的点斜式可知,直线l 过定点(1,1)--;(2)若当44x -<<时,直线l 上的点都在x 轴下方,则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤,所以k 的取值范围是11[,35-;(3)设直线l 与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,坐标原点为O .当0x =时,得||||1|OB k =-,当0y =时,得|1|||||k OA k -=,所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△,即211|1|12||k k -⨯=,解得2k =2,所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19.(12分)如图所示,第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中,主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD (包含边界和内部,A 为坐标原点),AD 10米,在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗,在距离A 点2米的E v ,电子狗行走速度为2v ,若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ,那么电子狗将被机器人捕获,点M 叫成功点.(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程;(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点,若电子狗在线段FP 上都能逃脱,问:P 点应在何处?【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】(1)分别以,AD AB 为,x y 轴,建立平面直角坐标系,由题意2MF ME v v =,利用两点间的距离公式可得答案.(2)利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】(1)分别以AD ,AB 为x ,y 轴,建立平面直角坐标系,则()0,2E ,()0,4F ,设成功点(),M x y ,可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,因为点M 需在矩形场地内,所以403x ≤≤,故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)当线段FP 与(1)中圆相切时,则413sin 4243AFP ∠==-,所以30AFP ∠=︒,所以4tan 30AP =︒=,若电子狗在线段FP 上都能逃脱,P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦.20.(12分).如图,//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===.(1)若M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,求证://MN 平面CDE ;(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值;(3)若点P 在线段DG 上,且直线与平面ADGE 所成的角为45︒,求点P 到平面CDE 的距离.【答案】(1)证明见解析;(2)10;(3)2.【分析】(1)取GD 中点为Q ,连接NQ ,MQ ,通过证明平面//MQN 平面CDE ,可得//MN 平面CDE ;(2)如图,建立以D 为原点的空间直角坐标系,分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量,即可得答案;(3)由(2),设()0,0,P t ,直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标,可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】(1)取GD 中点为Q ,连接NQ ,MQ .因M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,Q 为GD 中点,由三角形及梯形中位线定理,可得,NQ ED MQ DC .又注意到,,ED DC ⊂平面EDC ,,NQ MQ ⊄平面EDC ,,NQ MQ ⊂平面MNQ ,∩NQ MQ Q =,则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ,则//MN 平面CDE .(2)因DG ⊥平面ABCD ,,⊂DA DC 平面ABCD ,则,DG DC DG DA ⊥⊥,又AD DC ⊥,则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,取()10,1,1n = ;222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ,取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ,则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=(3)由(2),设()0,0,P t ,其中[]0,2t ∈,则()12,,BP t =-- 又由题可得,平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒,则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ,()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ,则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ,则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21.(12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,已知A 、B 是圆O :228x y +=上的两个动点,P 是弦AB 的中点,且90AOB ∠=︒;(1)求点P 的轨迹方程;(2)点P 轨迹记为曲线τ,若C ,D 是曲线τ与x 轴的交点,E 为直线l :4x =上的动点,直线CE ,DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ,N ,判断直线MN 是否过定点,若是,求出定点的坐标,若不是,请说明理由.【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q .【分析】(1)设点(),P x y 为曲线上任意一点,根据几何关系得到2OP =,得到轨迹方程.(2)设()4,E t ()0t ≠,分别计算CE ,DE 的直线方程,联立圆方程得到交点坐标,考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况,计算直线方程得到答案.【详解】(1)设点(),P x y 为曲线上任意一点,P 是弦AB 的中点,且90AOB ∠=︒,圆O :228x y +=的半径r =122OP AB ===,故点P 的轨迹方程为:224x y +=.(2)不妨取()2,0C -,()2,0D ,设()4,E t ()0t ≠,则直线CE 的方程为()26t y x =+,直线DE 的方程为()22t y x =-,联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩,得2222364440363636t t t x x +++-=,则224236M t x t -=-+,即2272236M t x t -=+,()2242636M M t t y x t =+=+,所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,得22224404t x t x t +-+-=,则22424N t x t +=+,即22284N t x t -=+,()28224N N t t y x t -=-=+,所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++,则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭,即()28112t y x t =--,直线过定点()1,0,所以()1,0Q ;②当t =±MN 垂直于x 轴,方程为1x =,也过定点()1,0Q .综上所述:直线MN 恒过定点()1,0Q .【点睛】关键点睛:本题考查了圆的轨迹方程,定点问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中设出E 的坐标,分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22.(12分)如图所示,已知椭圆2219x y +=中()3,0A ,()0,1B ;P 在椭圆上且为第一象限内的点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N(1)求证:①||||AN BM ⋅为定值;②PMN 与PAB 面积之差为定值;(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析(2)92+【分析】(1)①设00(,)P x y ,利用直线方程求出点,M N 坐标,从而可得||||AN BM ⋅的表达式,结合点在椭圆上化简,即可证明结论;②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ,利用三角形面积公式,结合①的定值即可证明结论;(2)利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式,利用(1)的定值结合基本不等式,即可求得答案.【详解】(1)证明:①设00(,)P x y ,()001,030x y <<<<,则220019x y +=,即220099x y +=,直线()0033:y PA y x x =--,令0x =,则0033M y y x =--,故003|||1|3y BM x =+-;直线0011:y PB y x x =+-,令0y =,则001N x x y -=-,故00|||3|1x AN y =+-;所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-,即||||AN BM ⋅为定值6;②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3;(2)MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=,当且仅当||3||AN BM =,结合||||6AN BM ⋅=,即|||AN BM ==时取等号,即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛:解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值,解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ,从而求得||||AN BM ⋅表达式,结合点在椭圆上化简即可证明结论.。

【优质人教】2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理(6)

【优质人教】2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理(6)

2019学年第一学期半期考 高二数学(理)试题(考试时间:120分钟 总分:150分)第I 卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请把答案填在答题卷相应的位置上. 1. 将121化为六进制数为( )A. )6(301B. )6(311C. )6(321D. )6(3312. 某学校要从高一年级的752名学生中选取15名学生代表去敬老院慰问老人,若采用系统抽样方法,首先要随机剔除2名学生,再从余下的750名学生中抽取15名学生,则其中学生甲被选中的概率为( )A.7522 B. 75215 C.501D.251 3. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示若两个小组的平均成绩相同,则下列结论正确的是( ) A. , B. , C. , D. ,4. 条件p :31≤≤-x ,条件q :02)1(222≤++++m m x m x ,若p是q 的必要条件,则m 的取值范围是( ) A. )1,1(-B. ]1,1[-C. ),1(+∞-D. ),1[+∞-5. 从包含小华的4位同学中依次任选3人参加知识竞赛,则其中小华不是第一个被选中的概率是( )A.65 B.32 C.21 D. 43 6. 如图,给出的是计算20191......715131++++值的程序框图,其中判断框内可填入的条件是( )A.?2021≤iB.?2020>i .C.?2019≤iD. ?2018>i7.一动圆P 过定点,且与已知圆N :外切,则动圆圆心P 的轨迹方程是( )A.)2(112422≥=-x y xB. )2(112422-≤=-x y xC. 112422=-y xD. 112422=-x y8.设21,F F 是椭圆19222=+by x 的左、右焦点,过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点,若22BF AF +的最大值为9,则椭圆的离心率为A.31 B. 33 C. 22 D. 322 9.点P 是椭圆191222=+y x 上一点,21,F F 分别是椭圆的左、右焦点,若1221=PF PF ,则21PF F ∠的正弦值为( )A.36 B. 31 C. 33 D. 2310.已知双曲线C:1422=-y x ,过点)5,3(--P 的直线l 与双曲线C 只有一个公共点,则符合这样条件的直线l 共有( )A.1条B.2条C. 3条D. 4条11.以下四个命题中,正确的个数是( )命题“若)(x f 是周期函数,则)(x f 不是三角函数”的否命题是“若)(x f 是周期函数,则)(x f 是三角函数”;命题“存在R x ∈,11>x ”的否定是“对于任意R x ∈,11≤x”; “B A sin sin >”是“B A >”成立的充要条件;命题p :2≠x 且3≠y ,命题q :5≠+y x ,则p 是q 的必要不充分条件.A. 0B. 1C. 2D. 312.已知抛物线x y 22=的焦点为F ,设),(),,(2211y x B y x A 是抛物线上的两个动点,如满足221||4521xx AB +=-,则AFB ∠cos 的最小值为( ) A.55-B. 552- C. 53-D. 54-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案写在答题卷相应位置上. 13.抛物线22x y =的准线方程为 .14.若样本数据,,,的标准差为4,则数据,,,的方差为_____ .15.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,若双曲线上存在点P 使15021=∠F PF ,则离心率的取值范围是 .16.已知命题p :对],1,3[--∈∀a 都R x ∈∃,使得函数1)(2-+=tx ax x f 至少有一个零点。

北京市海淀区2019_2020学年高二数学上学期期中参考试题(含解析)

北京市海淀区2019_2020学年高二数学上学期期中参考试题(含解析)

如果您喜欢这份文档,欢迎下载!北京市海淀区2019-2020学年高二数学上学期期中参考试题(含解析)一、选择题1.若,,a b c ∈R ,且a b >,则下列结论一定成立的是( ) A. ac bc >B.11a b< C. 22a b >D.a cbc ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质,即可选出答案. 【详解】当0c =时,=ac bc ,错误. 当1,1a b ==-时,,1111a b==-,11a b >,错误.当1,1a b ==-时,22=1=a b ,错误. 因为a b >,所以a c b c ->-,正确. 故选:D.【点睛】本题考查不等式基本性质,属于基础题.若不等式不成立,只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目标分析法来做题.2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A. 25n a n =-B.310n a n =- C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式.本题还可用排除,对B ,55a =,44(72)1002S -+==-≠,排除B ,对C ,245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠,排除C .对D ,24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠,排除D ,故选A .【详解】由题知,41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩,解得132a d =-⎧⎨=⎩,∴25n a n =-,故选A . 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,在适当计算即可做了判断.3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A.22B.32C.5 D.72【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中,//CD AB ,将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值,在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,//CD AB ,所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠,设正方体边长为2a ,则由E 为棱1CC 的中点,可得CE a =,所以5BE a =,则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法:(1)几何法:①平移两直线中的一条或两条,到一个平面中;②利用边角关系,找到(或构造)所求角所在的三角形;③求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角;(2)向量法:①求两直线的方向向量;②求两向量夹角的余弦;③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 4.已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是( ) A. 1322a a a +≥ B. 2221322a a a +≥C. 若13a a =,则12a a =D. 若31a a >,则42a a >【答案】B 【解析】设{a n }的首项为a 1,公比为q ,当a 1<0,q <0时,可知a 1<0,a 3<0,a 2>0,所以A 不正确; 当q =-1时,C 选项错误;当q <0时,a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2,与D 选项矛盾.因此根据基本不等式可知B 选项正确. 【此处有视频,请去附件查看】5.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =u u u r u u u r,则|QF |=( )A.72B.52C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′,利用抛物线定义以及相似得到|QF |=|QQ ′|=3. 【详解】如图所示:过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′,因为4FP FQ =u u u r u u u r,所以|PQ |∶|PF |=3∶4,又焦点F 到准线l 的距离为4, 所以|QF |=|QQ ′|=3. 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义应用,意在考查学生的计算能力.6.已知正四面体ABCD 的棱长为a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点,则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 A. 2a B.214a C.212a D.234a 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法,用几何体的边长表示出向量AE AF u u u v u u u v、,然后求得结果. 【详解】在正四面体ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点1,2AE AB BE AF AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v∴=+=则AE AF ⋅u u u v u u u v =111()222AB BE AD AB AD BE AD +⋅=⋅+⋅u u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v因为是正四面体,所以,3BE AD BAD π⊥∠=即0,BE AD ⋅=u u u v u u u v2cos 32a AB AD AB AD π⋅=⋅=u u u v u u u v 所以AE AF ⋅u u u v u u u v =24a故选:B.【点睛】本题考查了空间几何体与向量的综合知识,熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度,属于基础题.7.设()ln ,0f x x a b =<<,若p f ab =,()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是 A. q r p =< B. q r p => C. p r q =< D. p r q =>【答案】C 【解析】p f ==,()ln 22a b a bq f ++==,11(()())ln 22r f a f b ab =+==,函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增,因为2a b +>()2a bf f +>,所以q p r >=,故选C . 【考点定位】1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性. 【此处有视频,请去附件查看】8.已知双曲线C :2213x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若V OMN 为直角三角形,则|MN |=A.32B. 3C. D. 4【答案】B 【解析】【详解】分析:首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率,并求得其右焦点的坐标,从而得到30FON ︒∠=,根据直角三角形的条件,可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒,根据相关图形的对称性,得知两种情况求得的结果是相等的,从而设其倾斜角为60︒,利用点斜式写出直线的方程,之后分别与两条渐近线方程联立,求得3(,22M N -,利用两点间距离公式求得MN 的值.详解:根据题意,可知其渐近线的斜率为3±,且右焦点为(2,0)F , 从而得到30FON ︒∠=,所以直线MN倾斜角为60︒或120︒,根据双曲线的对称性,设其倾斜角为60︒,可以得出直线MN的方程为2)y x =-,分别与两条渐近线y x =和y x =联立,求得3(,2M N ,所以3MN ==,故选B. 点睛:该题考查的是有关线段长度的问题,在解题的过程中,需要先确定哪两个点之间的距离,再分析点是怎么来的,从而得到是直线的交点,这样需要先求直线的方程,利用双曲线的方程,可以确定其渐近线方程,利用直角三角形的条件得到直线MN 的斜率,结合过右焦点的条件,利用点斜式方程写出直线的方程,之后联立求得对应点的坐标,之后应用两点间距离公式求得结果. 二、填空题9.若双曲线()2210x y a a b-=>的,则渐近线方程为______,若4b =,则a =______.【答案】 (1). 12y x =± (2). 16 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率的定义c e a === ,代入即可得到a b 、的关系式,再利用渐近线的定义即可写出答案.【详解】因为双曲线()2210x y a a b-=>. 所以14b e a ==⇒= 所以双曲线221x y a b-=的渐近线方程为12y x ==±。

2024届北京101中学中考联考数学试题含解析

2024届北京101中学中考联考数学试题含解析

2024学年北京101中学中考联考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米,木工要以一根长为60厘米的木条为一边,做一个与模型三角形相似的三角形,那么另两条边的木条长度不符合条件的是()A.30厘米、45厘米;B.40厘米、80厘米;C.80厘米、120厘米;D.90厘米、120厘米2.如图,矩形ABCD内接于⊙O,点P是AD上一点,连接PB、PC,若AD=2AB,则cos∠BPC的值为()A.55B.255C.32D.35103.如图,在扇形CAB中,CA=4,∠CAB=120°,D为CA的中点,P为弧BC上一动点(不与C,B重合),则2PD+PB 的最小值为()A.B.C.10 D.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为()A.3 B.13C10D3105.下列运算结果正确的是()A.a3+a4=a7B.a4÷a3=a C.a3•a2=2a3D.(a3)3=a66.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠1)的图象如图所示,给出以下结论:①a+b+c<1;②a﹣b+c<1;③b+2a<1;④abc >1.其中所有正确结论的序号是( )A.③④B.②③C.①④D.①②③7.有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则下列结论中正确的是()A.a+b>0 B.ab>0 C.a﹣b<o D.a÷b>08.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有以下结论:①a+b+c<0;②a﹣b+c>1;③abc>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中所有正确结论的序号是()A.①②B.①③④C.①②③⑤D.①②③④⑤9.某几何体的左视图如图所示,则该几何体不可能是()A.B.C.D.10.大箱子装洗衣粉36千克,把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里,装满后还剩余2千克洗衣粉,则每个小箱子装洗衣粉()A.6.5千克B.7.5千克C.8.5千克D.9.5千克11.在半径等于5 cm的圆内有长为53的弦,则此弦所对的圆周角为A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或120°12.2017年牡丹区政府工作报告指出:2012年以来牡丹区经济社会发展取得显著成就,综合实力明显提升,地区生产总值由156.3亿元增加到338亿元,年均可比增长11.4%,338亿用科学记数法表示为()A.3.38×107B.33.8×109C.0.338×109D.3.38×1010二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.已知一个菱形的边长为5,其中一条对角线长为8,则这个菱形的面积为_____.14.2(2) =__________15.如图,直径为1000mm 的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB 为800mm ,则水的最大深度CD 是______mm .16.如图1,在△ABC 中,∠ACB =90°,BC =2,∠A =30°,点E ,F 分别是线段BC ,AC 的中点,连结EF . (1)线段BE 与AF 的位置关系是 ,AF BE= . (2)如图2,当△CEF 绕点C 顺时针旋转a 时(0°<a <180°),连结AF ,BE ,(1)中的结论是否仍然成立.如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.(3)如图3,当△CEF 绕点C 顺时针旋转a 时(0°<a <180°),延长FC 交AB 于点D ,如果AD =6﹣23,求旋转角a 的度数.17.如图,点A 、B 、C 是圆O 上的三点,且四边形ABCO 是平行四边形,OF ⊥OC 交圆O 于点F ,则∠BAF=__.18.某篮球架的侧面示意图如图所示,现测得如下数据:底部支架AB 的长为1.74m ,后拉杆AE 的倾斜角∠EAB=53°,篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m,在篮板MN另一侧,与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐,已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m.则篮球架横伸臂DG的长约为_____m(结果保留一位小数,参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43).三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,已知▱ABCD.作∠B的平分线交AD于E点。

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北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷(理科)本试卷满分120分,考试时间100分钟一、选择题共8小题,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1. 三条直线l 1,l 2,l 3的位置如图所示,它们的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则k 1,k 2,k 3的大小关系是( )A. k 1>k 2>k 3B. k 1> k 3> k 2C. k 3> k 2> k 1D. k 2> k 3> k 12. 如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点。

若AB =a ,AD =b ,1AA =c ,则下列向量中与BM 相等的向量是( )A. c b a ++-2121 B. c b a ++2121 C. c b a +--2121 D. c b a +-2121 3. 过点(-l ,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是( ) A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=04. 已知球O 与正方体各棱均相切,若正方体棱长为2,则球O 的表面积为( ) A.34πB. 2πC. 4πD. 6π5. 在下列命题中:①若向量a ,b 共线,则向量a ,b 所在的直线平行;②若向量a ,b 所在的直线为异面直线,则向量a ,b 一定不共面; ③若三个向量a ,b ,c 两两共面,则向量a ,b ,c 共面;④已知空间的三个向量a ,b ,c ,则对于空间的任意一个向量p ,总存在实数x ,y ,z ,使得p=xa+yb+zc 。

正确命题的个数是( ) A. 0B. 1C. 2D.36. 如图所示,已知空间四边形OABC ,OB=OC ,且∠AOB=∠AOC=3π,则cos (OA ,BC )的值为( )A.33B. 0C.21D.22 7. 如图,点O 为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心,点E 为面B'BCC'的中心,点F 为B'C'的中点,则空间四边形D'OEF 在该正方体的面上的正投影不可能是( )A. B. C. D.8. 如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。

那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M ,N 在大圆内所绘出的图形大致是()A. B. C. D.二、填空题共6小题,共30分。

9. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直,则a的值为__________。

10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截的弦长为__________。

11. 正四面体棱长为2,则它的体积是_________。

12. 若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-l与直线2x-3y=5平行,则m的值是_______。

13. 如图,在一个60°的二面角的棱上有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为_________。

14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作与平面ACD1平行的截面,则截得的三角形中,面积最大的值是_________;截得的平面图形中,面积最大的值是________。

三、解答题共4小题,共50分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. (12分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且圆心在x轴上。

(1)求直线PQ的方程;(2)圆C的方程;(3)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程。

16. (12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点。

(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积。

17. (12分)已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B 两点。

(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;(2)求四边形QAMB面积的最小值;(3)若|AB|=324,求直线MQ的方程。

18. (14分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是3,D是AC的中点。

(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求二面角A1-BD-A的大小;(3)在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD,若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由。

参考答案1. D2. A3. B4. C5. A6. B7. D8. A9. 10. 10. 23 11.31 12. 89- 13. 217 14. 23;33 15. (1)直线PQ 的方程为x+y-2=0。

(2)圆C 的方程为(x-1)2+y 2=13。

(3)设直线l 的方程为y=-x+m ,A (x 1,m-x 1),B (x 2,m-x 2), 由题意可知OA ⊥OB ,即OA ·OB =0, 所以x 1x 2+(m-x 1)(m-x 2)=0, 化简得2x 1x 2-m (x 1+x 2)+m 2=0。

(*)由⎩⎨⎧=+-+-=13)1(,22y x m x y 得2x 2-2(m+1)x+m 2-12=0, 所以x 1+x 2=m+1,x 1x 2=2122-m 。

代入(*)式,得m 2-12-m ·(m+1)+m 2=0, 所以m=4或m=-3,经检验都满足判别式∆>0, 所以直线l 的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。

16. (1)因为PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,所以PA ⊥平面ABC 。

又因为BD ⊂平面ABC ,所以PA ⊥BD 。

(2)因为AB=BC ,D 为AC 中点,所以BD ⊥AC 。

由(1)知,PA ⊥BD ,所以BD ⊥平面PAC 。

所以平面BDE ⊥平面PAC 。

(3)因为PA ∥平面BDE ,平面PAC 平面BDE=DE , 所以PA ∥DE 。

因为D 为AC 的中点,所以DE=21PA=l ,BD=DC=2。

由(1)知,PA ⊥平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC 。

所以三棱锥E-BCD 的体积V=61BD ·DC ·DE=31。

17. (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x=my+1, 则圆心M 到切线的距离为1, 所以11|12|2=++m m ,所以m=34-或0, 所以QA ,QB 的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。

(2)因为MA ⊥AQ ,所以S 四边形MAQB =|MA|·|QA|=|QA|=3||||22≥-MA MQ 。

所以四边形QAMB 面积的最小值为3。

(3)设AB 与MQ 交于P ,则MP ⊥AB ,MB ⊥BQ , 所以|MP|=31)322(12=-。

在Rt △MBQ 中,|MB|2=|MP||MQ|, 即1=31|MQ|,所以|MQ|=3,所以x 2+(y-2)2=9。

设Q (x ,0),则x 2+22=9,所以x=±5,所以Q (±5,0), 所以MQ 的方程为2x+5y+25=0或2x-5y-25=0。

18. (1)连结AB 1交A 1B 于M ,连结DM ,因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱, 所以四边形AA 1B 1B 是矩形, 所以M 为AB 1的中点。

因为D 是AC 的中点,所以MD 是三角形AB 1C 的中位线, 所以MD ∥B 1C 。

因为MD ⊂平面A 1BD ,B 1C ⊄平面A 1BD , 所以B 1C ∥平面A 1BD 。

(2)作CO ⊥AB 于O ,所以CO ⊥平面ABB 1A 1,所以在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中如图建立空间直角坐标系O-xyz 。

因为AB=2,AA 1=3,D 是AC 的中点。

所以A (1,0,0),B (-l ,0,0),C (0,0,3),A 1(1,3,0), 所以D (21,0,23),=(23,0,23),1BA =(2,3,0)。

设n =(x ,y ,z )是平面A 1BD 的法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧==,,0·0·1BA n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,032,02323y x z x 令x=-3,则y=2,z=3,所以n =(-3,2,3)是平面A 1BD 的一个法向量。

由题意可知1AA =(0,3,0)是平面ABD 的一个法向量, 所以cos<n ,1AA >=3432=21。

由题知二面角A 1-BD-A 为锐角,所以它的大小为3π。

(3)设E (1,x ,0),则E C 1=(1,x-3,-3),11B C =(-1,0,-3), 设平面B 1C 1E 的法向量m =(x 1,y 1,z 1),所以⎪⎩⎪⎨⎧==,,0·0·111B C m C m 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--+,03,03)3(11111z x z y x x令z 1=-3,则x 1=3,y 1=x-36,m=(3,x-36,-3),又m ·n=0,即-33+x-312-33=0,解得x=33, 所以存在点E ,使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE=33。

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