北京市101中学2020学年高二数学上学期期中试题理

北京101中学2017-2018学年上

学期高二年级期中考试数学试卷（理科）

本试卷满分120分，考试时间100分钟

一、选择题共8小题，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ）

A. k 1>k 2>k 3

B. k 1> k 3> k 2

C. k 3> k 2> k 1

D. k 2> k 3> k 1

2. 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点。若AB =a ，AD =b ，1AA =c ，

则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）

A. c b a ++-

2121 B. c b a ++2121 C. c b a +--2121 D. c b a +-2

1

21 3. 过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=0

4. 已知球O 与正方体各棱均相切，若正方体棱长为2，则球O 的表面积为（ ） A.

3

4π

B. 2π

C. 4π

D. 6π

5. 在下列命题中：

①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；

②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；

④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p=xa+yb+zc 。

正确命题的个数是（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D.

3

6. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB=OC ，且∠AOB=∠AOC=3

π

，则cos （OA ，BC ）的值为（ ）

A.

3

3

B. 0

C.

2

1

D.

2

2 7. 如图，点O 为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E 为面B'BCC'的中心，点F 为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）

A. B. C. D.

8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内

所绘出的图形大致是（）

A. B. C. D.

二、填空题共6小题，共30分。

9. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为__________。

10. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截的弦长为__________。

11. 正四面体棱长为2，则它的体积是_________。

12. 若直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则m的值是_______。

13. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_________。

14. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_________；截得的平面图形中，面积最大的值是________。

三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （12分）已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上。

（1）求直线PQ的方程；

（2）圆C的方程；

（3）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程。

16. （12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。

（1）求证：PA⊥BD；

（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积。

17. （12分）已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B 两点。

（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；

（2）求四边形QAMB面积的最小值；

（3）若|AB|=

32

4

，求直线MQ的方程。

18. （14分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点。

（1）求证：B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1-BD-A的大小；

（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。

参考答案

1. D

2. A

3. B

4. C

5. A

6. B

7. D

8. A

9. 10. 10. 23 11.

31 12. 8

9

- 13. 217 14. 23；33 15. （1）直线PQ 的方程为x+y-2=0。 （2）圆C 的方程为（x-1）2

+y 2

=13。

（3）设直线l 的方程为y=-x+m ，A （x 1，m-x 1），B （x 2，m-x 2）， 由题意可知OA ⊥OB ，即OA ·OB =0， 所以x 1x 2+（m-x 1）（m-x 2）=0， 化简得2x 1x 2-m （x 1+x 2）+m 2

=0。（*）

由⎩⎨⎧=+-+-=13)1(,2

2y x m x y 得2x 2-2（m+1）x+m 2-12=0， 所以x 1+x 2=m+1，x 1x 2=2

122-m 。

代入（*）式，得m 2

-12-m ·（m+1）+m 2

=0， 所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式∆>0， 所以直线l 的方程为x+y-4=0或x+y+3=0。 16. （1）因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC 。 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD 。

（2）因为AB=BC ，D 为AC 中点，所以BD ⊥AC 。 由（1）知，PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC 。 所以平面BDE ⊥平面PAC 。

（3）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE=DE ， 所以PA ∥DE 。

因为D 为AC 的中点，所以DE=

2

1

PA=l ，BD=DC=2。 由（1）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC 。 所以三棱锥E-BCD 的体积V=

61BD ·DC ·DE=3

1

。 17. （1）设过点Q 的圆M 的切线方程为x=my+1， 则圆心M 到切线的距离为1， 所以

11

|12|2=++m m ，所以m=3

4

-

或0， 所以QA ，QB 的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。