数轴标根法及习题
专题8数轴穿根法
专题:数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0、(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如: (x －２)(ｘ—1)(x+１)＞0第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(ｘ-１)(x+1)=0得根为:x ＝２,x ＝1,x=—1第三步:在数轴上从左到右依次标出各根、例如:-1 １ ２第三步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根"得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一下依次穿过各根、第四步:观察不等号,如果不等号为“＞”,则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。
例如:若求(x －2)(x-1)(ｘ+1)>0得解。
因为不等号威“〉”则取数轴上方,穿根线以内得范围。
即:－１<x<１或x>2、 穿根法得奇过偶不过定律: “奇穿过,偶弹回”。
还有关于分式得问题:当不等式移项后,可能就是分式,同样就是可以用穿根法得,但就是注意,解不能让原来分式下面得式子等于０专项训练:1、解不等式ﻩ解析:１)一边就是因式乘积、另一边就是零得形式,其中各因式未知数得系数为正。
2)因式、、得根分别就是、、。
在数轴上把它们标出(如图1)。
3)从最大根3得右上方开始,穿线(图象,)。
4)数轴上方曲线对应得得取值区间,为得解集,数轴下方曲线对应得得取值区间,为得解集。
不等式得解集为。
在上述解题过程中,学生存在得疑问往往有:为什么各因式中未知数得系数为正;为什么从最大根得右上方开始穿线;为什么数轴上方曲线对应得得集合就是大于零不等式得解集,数轴下方曲线对应得集合就是小于零不等式得解集。
2、解不等式解析:1)一边就是因式乘积、另一边就是零得形式,其中各因式未知数得系数为正。
2)因式、、得根分别为、、,在数轴上把它们标出(如图２)。
３)从最大根3得右上方开始向左依次穿线,次数为奇数得因式得根一次性穿过,次数为偶数得因式得根穿而不过。
数轴标根法求解一元二次不等式步骤详解
数轴标根法求解一元二次不等式步骤详解数轴标根法是一种直观且实用的方法，用于求解一元二次不等式。
这种方法主要基于一元二次方程的根与不等式解集之间的关系。
以下是将数轴标根法应用于一元二次不等式求解的详细步骤：1. 解一元二次方程首先，你需要解出对应的一元二次方程 ax 2+bx +c =0（其中 a ≠0）的根。
这可以通过求根公式 x =−b±√b 2−4ac 2a 来完成。
记得到的根为 x 1,x 2（注意，有时可能只有一个实根，即重根，或者没有实数根，但在这里我们主要关注有实数根的情况）。
2. 将根标在数轴上然后，将求解得到的根 x 1,x 2（从小到大）标在数轴上。
如果只有一个实根（即重根），则在该位置只标一个点。
3. 判断不等式的符号和开口方向根据不等式的符号（是“>”还是“<”）和二次项系数 a 的符号（决定函数图像的开口方向），你可以确定不等式的解集是在数轴上哪些区间内。
● 如果 a >0，则二次函数图像开口向上。
对于不等式 ax 2+bx +c >0，解集是两根之外的区间；对于不等式 ax 2+bx +c <0，解集是两根之间的区间（如果根存在且不相等）。
● 如果 a <0，则二次函数图像开口向下。
对于不等式 ax 2+bx +c >0，解集是两根之间的区间；对于不等式 ax 2+bx +c <0，解集是两根之外的区间（同样，假设根存在且不相等）。
4. 确定解集最后，根据数轴上的根的位置和二次函数的开口方向，你可以确定满足不等式的x的取值范围，即解集。
示例考虑不等式x2−4x+3<0。
1.解方程x2−4x+3=0，得到根x1=1和x2=3。
2.将根x1=1和x2=3标在数轴上。
3.因为a=1>0，所以二次函数开口向上。
4.由于不等式是“<”号，我们需要找到使函数值小于0的x的取值范围。
5.根据二次函数的开口方向和根的位置，我们可以确定解集是两根之间的区间，即1<x<3。
数轴标根法在解不等式与函数题中的应用
数轴标根法又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”，是把各个因式的根标在数轴上，形成若干个区间，用一根线从右上方依次穿过每一个根所对应的点，直至穿过最后一个点后就不再变方向的方法.数轴标根法不仅适用于求解高次不等式的解集，而且在求函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点时发挥着巨大的作用.下面我们结合实例谈一谈数轴标根法在解高中数学题中的应用.一、解不等式若一个高次不等式可分解成若干个一次因式的积，如k (x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )（其中k >0）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，用一根线从右往左穿过，进而根据图形求出不等式的解集.设f (x )=k (x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )（其中k >0），当f ()x <0时，数轴的下方有弧的开区间就是不等式的解集；当f ()x >0时，数轴的上方有弧的开区间就是不等式的解集；当f ()x ≤0或f ()x ≥0时，需加上零点.例1.解不等式x ()x -2x +2≤0.图1解：将不等式变形可得x (x -2)(x +2)≤0，令x (x -2)(x +2)=0，则x =0或2或-2，在数轴上依次标注各个零点，如图1所示，则不等式的解集为x <-2或0<x <2.用数轴标根法解不等式，需先将不等式变形为k (x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )≥0或≤0（其中k >0）的形式，然后借助数轴来解题.二、求函数的单调区间和极值运用数轴标根法求函数的单调区间和极值，需对函数求导，然后令导数f '()x =0，求出其零点，在数轴上标注各个零点，用一根线穿过数轴，进而根据图形求得函数的单调区间和极值.一般地，位于数轴的上方有弧的开区间即为函数的单调递增区间；位于数轴的下方有弧的开区间即为函数的单调递减区间.而从函数的单调递增区间过渡到函数的单调递减区间的零点，且这个零点有定义，这个点就是极大值点；从函数的单调递减区间过渡到函数的单调递增区间的零点，且这个零点有定义，这个点就是极小值点.例2.求函数y =x 4-8x 2+2的单调区间和极值.解：对函数y =f ()x 求导可得f '()x =4x 3-16x =4x ()x +2()x -2，其零点为0,2，-2，将其在数轴上标注出来，如图2所示.则该函数的单增区间是()-2,0和()2,+∞；该函数的单减区间是()-∞,-2和()0,2；当x =0时，函数有极大值，y 极大=2；当x =±2时，函数有极小值，y 极小=2.图2一般地，在函数所有满足条件的极大值和端点值中，最大者为函数的最大值；在所有的极小值点和端点值中，最小者为函数的最小值.三、求函数的凹凸区间和拐点解答此类问题，第一步需求出函数的二阶导数，并求得f ''()x =0的零点，将其标注在数轴上，那么位于数轴的上方有弧的开区间就是函数的单调凹区间；位于数轴的下方有弧的开区间即为函数的单调凸区间；曲线穿过数轴并且有定义的点，就是该函数的拐点.例3.求函数y =ln ()1+x 2的凹凸区间和拐点.解：对函数求导可得f '()x =2x1+x 2，则f ''()x =2()1+x 2-2x ∙2x ()1+x 22=2()1-x ()1+x ()1+x 22，则函数的二阶导数的零点为1和-1，由图3可知该函数的凹区间为()-1,1；凸区间为()-∞,1和()1,+∞；拐点为()-1,ln 2，()1,ln 2.图3可见，运用数轴标根法求函数的凹凸区间和拐点非常简单、直接，这个方法比常规方法要简单很多.数轴标根法可以帮助同学们高效解答高次不等式的解集、函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点等问题，且解法非常简单.值得注意的是，数轴标根法只适用于解答二次或者二次以上的不等式、函数问题.（作者单位：江苏省丰县民族中学）马培养46。
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”是高次不等式的简单解法当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如图四）奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过（X-1)^2. 0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
数轴标根法 (3)
数轴标根法什么是数轴标根法？数轴标根法（Root-finding algorithm）是一种用于求解方程根的数值算法。
方程根指的是方程中使得方程成立的变量值。
数轴标根法最基本的思想是在数轴上标记出方程在某个区间内的根，并根据方程的性质逐步缩小这个区间，直到得到近似的根。
数轴标根法的步骤数轴标根法的步骤如下：1.首先，选择一个合适的初始区间，该区间内有且仅有一个根。
初始区间应该包含方程的根，并且足够窄，以便逐步缩小区间。
2.将初始区间分成若干个等间隔的小区间，可以通过在初始区间上取等间距点来实现。
3.在每个小区间内计算方程的函数值，并判断函数值的正负性。
如果小区间两端的函数值异号，说明在这个小区间内存在根。
4.选取其中一个包含根的小区间，将其继续二分，并重复第3步，直到根的位置足够精确。
数轴标根法的核心思想在于将整个区间不断划分，然后根据函数值正负变化的特征来快速缩小求解区间，从而准确地找到根的近似值。
数轴标根法的优缺点数轴标根法作为一种求解方程根的数值算法，具有一定的优缺点。
优点•数轴标根法相对简单，易于理解和实现。
•可以通过不断划分区间来逐步逼近方程的根，从而显著提高了求解根的效率。
•在求解单根时表现良好，收敛速度较快。
缺点•数轴标根法对于方程存在多个根时，可能只能求解到其中一个或几个近似根。
•如果方程的根位于初始区间之外，或者函数在某些区间上的增减变化比较大，可能会导致算法失效。
数轴标根法的应用领域数轴标根法在实际中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：•工程领域：在工程计算中，方程根经常需要被求解，如在电路分析中求解电流和电压的方程根。
•经济学：经济学模型中，方程根求解常用于确定经济模型的平衡点或边界值。
•物理学：在物理学中，方程根的求解经常用于解释实验数据和验证物理学定律等。
•计算机科学：在图形学、人工智能等领域，方程根的求解也是常见的需求。
总之，数轴标根法作为一种求解方程根的数值算法，在各个领域都有广泛的应用。
穿根法
穿根法.txt我爸说过的最让我感动的一句话：“孩子，好好学习吧，爸以前玩麻将都玩儿10块的，现在为了供你念书，改玩儿1块的了。
”穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。
例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。
穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。
还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。
继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
用数轴标根法巧解不等式(组)
用数轴标根法巧解不等式（组）中学数学中常将不等式的解集标示在数轴上，在解不等式（组）时，将不等式组中几个不等式的解集标示在数轴上后，取公共部分便为不等式组的解集。
您想过吗？用数轴标根的方法也可解不等式（组）。
例如：一些可化为（x＋a）（x ＋b）（x＋c）…（x＋n）＞0（或≤0）（其中a、b、c…n为常数）的不等式，就可用数轴标根法巧解。
数轴标根法解不等式（组）时，只需将不等式（组）对应方程的根标示在数轴上，从数轴左边开始划上下弯曲的曲线，即由先霐的规则，就可直接观察求解集。
具体来说，根的个数是奇数，就从数轴下方入手画曲线；就可直接观察求解集。
具体来说，根的个数是偶数，就从数轴上方入手划曲线。
观察求解集时，不等式“＞0”取上部；“＜0”取下部；若含等于零连该解也取上。
例1：解不等式x＋4＞0⑴通常解法解：x＋4＞0x＞－4⑵数轴标根法为解：由图1可知，不等式x＋4＞0解集为x＞－4说明：因为对应方程x＋4=0的根为－4，根的个数是1，是奇数，根据“奇从下入”规则，从数轴左边下方开始划曲线，又因为不等式“＞0”，所以取数轴上方，因此，不等式x＋4＞0解集为x＞-4。
例2：解不等式x2＋2x－3≤0⑴通常解法解：解x2＋2x－3≤0即解(x＋3)(x－1) ≤0也就是解（无解）⑵数轴标根解法由图2可知，－3≤x≤1说明：因为方程x2＋2x－3=0根为－3,1，个数是偶数，根据“偶从上入”规则，在数轴左边从上入手划曲线，又因为不等式为“≤0”，所以取数轴下半部，因此，不等式x2＋2x－3≤0解集为：－3≤x≤1。
例3：解不等式＞0（x≠4）⑴常用解法解：原不等式可化为：∴x＞4或－1＜x＜2∴原不等式解集为：x＞4或－1＜x＜2⑵数轴标根解法解：原不等式可化为(x＋1)(x－2)(x－4)＞0由图3可知，x＞4或－1＜x＜2说明：因为方程＝0（x≠4）的根为－1，2，4根的个数3为奇数，根据“奇从下入”，从数轴左边下方入手划曲线，又因为原不等式为“＞0”，所以取数轴上半部，因此原不等式解集为x＞4或－1＜x＜2。
专题8-数轴穿根法
专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：经由过程不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0.（留意：必定要包管x前的系数为正数）例如：(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根.例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2,x2=1,x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根.例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为尺度,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一下依次穿过各根.第四步：不雅察不等号,假如不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的规模;假如不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的规模.例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解.因为不等号威“>”则取数轴上方,穿根线以内的规模.即：-1<x<1或x>2.穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过,偶弹回”.还有关于分式的问题：当不等式移项后,可能是分式,同样是可以用穿根法的,但是留意,解不克不及让本来分式下面的式子等于0专项练习：1.解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x解析：1）一边是因式乘积.另一边是零的情势,个中各因式未知数的系数为正.2）因式)12(+x .)1(-x .)3(-x 的根分离是1-.1.3.在数3）从最大根3的右上方开端,向左依次穿线（数轴上方有线暗示数轴上方有函数图象,数轴下方有线暗示数轴下方有函数图象,此线其实不暗示函数的真实图象）.4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间,为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集,数轴下方曲线对应的x 的取值区间,为0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集.∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,21(+∞- . 在上述解题进程中,学生计在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正;为什么从最大根的右上方开端穿线;为什么数轴上方曲线对应的x 的聚集是大于零不等式的解集,数轴下方曲线对应x 的聚集是小于零不等式的解集.2.解不等式0)3()121)(2(32<--+x x x解析：1）一边是因式乘积.另一边是零的情势,个中各因式未知数的系数为正.2）因式)2(+x .2)121(-x .3)3(-x 的根分离为2-.2.3,在数轴上把它们标出（如图2）.3）从最大根3的右上方开端向左依次穿线,次数为奇数的因式的根一次性穿过,次数为偶数的因式的根穿而不过.4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间,为0)3()121)(2(32>--+x x x 的解集,模,为0)3()121)(2(32<--+x x x 的解集. ∴0)3()121)(2(32<--+x x x 的解集为2()2,2( - 数轴标根法.分式不等式.绝对值不等式一.数轴标根法解不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>02. （x-1）（x-2）(x+3)<03. （1- x ）（x-2）(x+1)0≤4.（x- 1）2（x-2）3 (x+1)0≥二． 分式不等式思虑 （1）()()303202x x x x ->-->-与解集是否雷同,为什么？（2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否雷同,为什么？ 解：办法1：应用符号轨则转化为一元一次不等式组,进而进行比较.图2办法2：在分母不为0的前提下,双方同乘以分母的平方. 经由过程例1,得出解分式不等式的根本思绪：等价转化为整式不等式（组）：（1）()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅>（2）()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 1.302x x -≥- 2.11≤x 3.2113x x ->+ 4.2232023x x x x -+≤-- 5.()2309x x x -≤- 6.101x x<-< 三.含绝对值的不等式的解法|x|>a(a>0)⇔________________ |x|<a(a>0)⇔________________例3:解下列不等式 1. 312≤-x 2. 0)1(1≥+-x x3.|x 2-2x|>x 2.4.0)1(1>+-x x 巩固演习1. 解不等式222310372xx x x ++>-+ 2. 解不等式3113x x+>-- x x x x 1212->-的解集是4 .（2012 山东理）若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________.5. 解不等式（2x- 1）2（x-2）3(x+1)0≥6. 解不等式（3- x ）2（x-2）(x+1) 70≤不等式解法15种典范例题典范例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ;（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 剖析：假如多项式)(x f 可分化为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解,但要留意处理好有重根的情形． 解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 按序标上数轴．然后从右上开端画线按序经由三个根,其解集如下图的暗影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或解释：用“穿根法”解不等式时应留意：①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但留意“奇穿偶不穿”,其法如图．典范例题二例 2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ; （2）12731422<+-+-x x x x剖析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时,要留意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ; ②⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(.（2）解法一：原不等式等价于 027313222>+-+-x x x x 212131><<<⇔x x x 或或,∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞. 解法二：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞典范例题三例3 解不等式242+<-x x剖析：解此题的症结是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种办法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ;二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<,是以本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或,即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x ,故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 典范例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 剖析：这是一个分式不等式,其左边是两个关于x 二次式的商,由商的符号轨则,它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x ,所以,原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0412,05622x x x x ⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或⎩⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x ；⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或⎩⎨⎧>-<><6,2,5,1x x x x 或或 ,51<<⇔x 或2-<x 或6>x ．∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x ．画数轴,找因式根,分区间,定符号．)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号 ∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．解释：解法一要留意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,不然会产生误会．解法二中,“定符号”是症结．当每个因式x 的系数为正值时,最右边区间必定是正值,其他各区间正负相间;也可以先决议含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要准确应用．典范例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 剖析：不等式阁下双方都是含有x 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解．解：移项整顿,将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ． 由012>++x x 恒成立,知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ． 解之,得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．解释：此题易消失去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误会法．防止误会的办法是移项使一边为０再解．别的,在解题进程中,对消失的二项式要留意其是否有实根,以便剖析不等式是否有解,从而使求解进程科学合理．典范例题六例6 设R m ∈,解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．剖析：进行分类评论辩论求解．解：当0=m 时,因03<-必定成立,故原不等式的解集为R ．当0≠m 时,原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ;若0>m 时,解得m x m 13<<-;若0<m 时,解得mx m 31-<<． 综上：当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x m x 13; 当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x m x31． 解释：解不等式时,因为R m ∈,是以不克不及完整按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时,原不等式化为03<-,此时不等式的解集为R ,所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情形来评论辩论． 在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31-=,m x 12=后,以为m m 13<-,这也是易消失的错误之处．这时也应分情形来评论辩论：当0>m 时,mm 13<-;当0<m 时,m m 13>-． 典范例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．剖析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类评论辩论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ,得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ,故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时,1212≤-+≤a a a ,121>++a a ,不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ,不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时,不等式组(1)无解,(2)的解是2a x ≥． 综上可知,当20≤<a 时,原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ;当2>a 时,原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ． 解释：本题分类评论辩论尺度“20≤<a ,2>a ”是根据“已知0>a 及(1)中‘2a x >,1≤x ’,(2)中‘2a x ≥,1>x ’”肯定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热门．一般地,分类评论辩论尺度（解不等式）大多半情形下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去肯定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．改正错误的办法是闇练控制无理不等式根本类型的解法．典范例题八例8 解不等式331042<--x x ．剖析：先去失落绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．解答：去失落绝对值号得3310432<--<-x x ,∴原不等式等价于不等式组 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或． 解释：解含绝对值的不等式,症结是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解．典范例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．剖析：不等式中含有字母a ,故需分类评论辩论．但解题思绪与一般的一元二次不等式的解法完整一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根,然后写出不等式的解,但因为方程的根含有字母a ,故需比较两根的大小,从而引出评论辩论． 解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或<a ）时,不等式的解集为：{}2a x a x x><或;(2)当2a a >（即10<<a ）时,不等式的解集为：{}ax a x x ><或2;(3)当2a a =（即=a 或1）时,不等式的解集为：{}a x R x x ≠∈且．解释：对参数进行的评论辩论,是根据解题的须要而天然引出的,并不是一开端就对参数加以分类.评论辩论．比方本题,为求不等式的解,需先求出方程的根a x =1,22a x =,是以不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不克不及肯定,是以须要评论辩论2a a <,2a a >,2a a =三种情形．典范例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．剖析：按照一元二次不等式的一般解法,先肯定系数c 的正负,然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可断定出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ab -=β+α,ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x,解释0<a ．而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ,∴0022<++⇔>++ca x cb x a bx cx ．∴2<++ca x cb x ,即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x , 即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0,∴β>α11,∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x． (解法2)由题意可断定出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x,解释0<a ．而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ．对方程02=++a bx cx 双方同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c xb xa ．令xt 1=,该方程即为02=++c t b t a ,它的两根为α=1t ,β=2t ,∴α=11x ,β=21x ．∴α=11x ,β=12x ,∴方程02=++a bx cx 的两根为α1,β1．∵β<α<0,∴β>α11．∴不等式2>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． 解释：(1)万变不离其宗,解不等式的焦点等于肯定首项系数的正负,求出响应的方程的根;(2)联合应用韦达定理,本题中只有α,β是已知量,故所求不等式解集也用α,β暗示,不等式系数a ,b ,c 的关系也用α,β暗示出来;(3)留意解法2顶用“变换”的办法求方程的根．典范例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ,求a .b 的值．剖析：不等式本身比较庞杂,要先对不等式进行同解变形,再根据解集列出关于a .b 式子．解：∵043)21(122>++=++x x x ,043)21(122>+-=+-x x x ,∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ．依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-+->-+34231202b a b a b a b a b a ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a ． 解释：解有关一元二次方程的不等式,要留意断定二次项系数的符号,联合韦达定理来解．典范例题十三例13 不等式的解集为{}21<<-x x,求a 与b 的值．剖析：此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为{}21<<-x x,不等式022<-+bx ax 需知足前提0>a ,0>∆,022=-+bx ax 的两根为11-=x ,22=x ．解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x ,2x ,由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x a b x x 22121由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aab∴1=a ,1-=b ,此时知足0>a ,0)2(42>-⨯-=∆a b ． 解法二：结构解集为{}21<<-x x的一元二次不等式：0)2)(1(<-+x x ,即022<--x x ,此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式,故需知足：2211--=-=b a ∴1=a ,1-=b ． 解释：本题考核一元二次方程.一元二次不等式解集的关系,同时还考核逆向思维的才能．对有关字母抽象问题,同窗往往控制得不好．典范例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．剖析：本题考核一元一次不等式与一元二次不等式解法,因为含有字母系数,所以还考核分类思惟． 解：分以下情形评论辩论(1)当0=a 时,原不等式变成：01<+-x ,∴1>x (2)当0≠a 时,原不等式变成：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时,①式变成0)1)(1(>--x ax ,∴不等式的解为1>x 或ax 1<． ②当0>a 时,①式变成0)1)(1(<--x ax ． ②∵aa a-=-111,∴当10<<a 时,11>a,此时②的解为ax 11<<．当1=a 时,11=a,此时②的解为11<<x a．解释：解本题要留意分类评论辩论思惟的应用,症结是要找到分类的尺度,就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数a 的聚集的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏．别的,解本题还要留意在评论辩论0<a 时,解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变成正数再求解．典范例题十五例15 解不等式x x x ->--81032．剖析：无理不等式转化为有理不等式,要留意平方的前提和根式有意义的前提,一般情形下,)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =,而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组：①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x 由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或,∴8>x 由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或81374≤<x ,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x或,即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ．解释：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解,留意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f , 这里,设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x xA 81032,则所求不等式的解集为A的补集A,由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或,∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。
用穿根法解不等式(经典归纳)
一元高次不等式的解法这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”.一、解题步骤求不等式32638x x x -+<-+的解集1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式.将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>⇒+-->2. 求根：将不等式换成等式解出所有根.(2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x =3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根.-2 1 44. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并.不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或二、易错提示求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式.2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数.3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”.4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心.三、分式不等式解法1.()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅> 2.()()()()00f x f x g x g x <⇔⋅< 3.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 4.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 四、应用举例1.解不等式：22320712x x x x -+≤-+-（系数非正） 2.解不等式：22911721x x x x -+≥-+（右侧非0） 点评：（1）不能随便去分母（2）移项通分，必须保证右侧为“0”（3）注意重根问题3.解不等式：2256032x x x x +-≥-+（分子，分母有公因式） 点评：（1）不能随便约去因式（2）重根空实心，以分母为准4.解不等式：2121332x x x x ++>--（不等式左右有公因式） 点评：不等式左右不能随便乘除因式。
数轴标根法
用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式或分式不等式具体方法步骤如下：① 将不等式等价化为()()21x x x x --…())0(0<>-n x x 形式，并将各因式x 的系数化“+”(为了统一方便)；② 求出对应方程()()21x x x x --…()0=-n x x 的根（或称零点），并在数轴上表示出来；③ 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧()x f 有因式()n x x 1-时，n 为奇数时，曲线在1x 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在1x 点处不穿过数轴）；④ 若不等式（x 的系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间。
例1 解不等式0)1)(4(<-+x x 由标根法知－4<x<1例2、解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（偶次根），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是偶次根，3是奇次根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.例4解不等式0.1)3)(1(6x x x -++解：（1+x ）(x+3)6(1-x)>0等价于（x+1）(x+3)6（x-1）<0所以 -1<x<-3 或 －3<x<1例4 解不等式()()032432≤+---x x x x x 解析：先将原不等式等价化为不等式()()()032432<+---x x x x x 且2,0,3≠≠-≠x x x ，即()()()()04132<-++-x x x x x 且2,0,3≠≠-≠x x x ，用“数轴标根法”∴原不等式的解是()[)(]4,20,13, --∞-【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.。
《数轴标根法》课件
应用拓展
与其他方法的结合
探索数轴标根法与其他数学方 法的结合，以解决更复杂的问
题。
实际应用领域拓展
将数轴标根法的应用拓展到更 多领域，如物理、工程、经济 等。
可视化与交互性增强
改进ppt课件的设计，增加可视 化元素和交互功能，提高学习 效果。
教学辅助工具开发
将数轴标根法开发成适用于不 同年级和学科的教学辅助工具
。
PART 07
总结与展望
REPORTING
总结数轴标根法的原理、步骤和实例分析
原理总结
数轴标根法是一种基于数轴的数学方法，用于解决不等式问题。其基本原理是利用数轴上的标点来表 示不等式的临界点，然后通过数轴上的区间划分来分析不等式的解集。
实例分析
通过具体实例，如解不等式 (x^2 - 3x + 2 < 0)，演示数轴标根法的应用。通过临界点确定、标点、 区间划分和求解等步骤，得出不等式的解集为 (1 < x < 2)。
判断临界点两侧的根的个数
判断方法
在临界点左侧和右侧分别取一个测试 点，代入函数中计算函数值的正负情 况，从而判断根的个数。
注意事项
测试点的选取应具有代表性，且测试 次数应足够多，以确保判断的准确性 。
确定根的区间
方法
根据临界点及其两侧根的个数，将数轴分为若干个区间，然 后逐个区间验证函数值的正负情况，从而确定根所在的区间 。
科学计算
在科学计算中，数轴标根法可用于 求解一元多项式方程的近似解，为 解决实际问题提供数值方法。
PART 02
数轴标根法的基本原理
REPORTING
奇数次多项式的根的分布
奇数次多项式在数轴上的根总是 成对出现，且分布在数轴的两端
(完整版)数轴标根法及习题
数轴穿根法一、概念简介1. “数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2. 准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3. 是高次不等式的简单解法4. 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
(注意：一定要保证x 前的系数为正数 )例如：将x^3-2x^2-x+2>0 化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“ >”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“ <”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x 的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。
在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“ >”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1 或x>2。
(如下图所示)三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x 偶数幂项时，如(x^2) 或(x^4) 时，穿根线是不穿过0 点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0 点了。
还有一种情况就是例如：(X-1)^2. 当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1 点的。
但是对于如( X-1)^3 的式子，穿根线要过1 点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
一元高次不等式的解法
一元高次不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。
解题步骤： （1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。
求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便)②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。
（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。
注意：奇穿偶不穿。
④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间：注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。
例1： 求不等式223680x x x --+>的解集。
解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 （1）()()()()00,f x f x g x g x >⇔⋅> ()()()()(2)00;f x f xg x g x <⇔⋅< （3）()()()()()000f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ （4）()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 解题方法：数轴标根法。
第4讲------不等式的解法
第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。
数轴标根法及习题
数轴标根法及习题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
数轴穿根法[1]
![数轴穿根法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b72706838762caaedd33d4b0.png)
数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
(数轴右方无穷远处,x值是无穷大的,当然代数式值是正的了.然后向左过一个点,那么有一个因式的值会是负的,其它的还是正的,因为在这一区间的x值比左比的所有根都要大,只比右边的一个小,所以代数式的值是负的,)第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时(是针对整数次幂的不等式来说的，对于分数指数幂不能用)，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。
还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。
继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0数轴标根法附图“数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
数轴标根法
• 为了形象地体现正负值的变化规律，可以 画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对 应的点，穿过最后一个点后就丌再变方向， 这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图 片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤：
• 第一步：通过丌等式的诸多性质对丌 等式迚行秱项，使得右侧为0。
• 注意：一定要保证x前的系数为正 数
• 正确的解法如下： • 解 将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3 画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的 点时浪线丌穿过数轴，仍在数轴的同侧折 回；遇到x=4的点才穿过数轴，亍是，可得 到丌等式的解集 • {x|－1<x<4且x≠1}
• • •
• • • •
3． 出现丌能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线” 例3 解丌等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0 解 原丌等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0， 有些同学同解变形到这里时认为丌能用序轴标根法了，因为序轴 标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式 的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解 原丌等式等价亍 x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0， ∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立， ∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原丌等式的解集为 {x|x<－1或0<x<1或x>2}
• 正确的解法是： • 解 原丌等式变形为x（x－3）（x+1） （x－2）<0，将各根－1、0、2、3依 次标在数轴上，由图1，原丌等式的解 集为{x|－1<x<0或2<x<3}。
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数轴标根法及习题 Revised by Jack on December 14,2020
数轴穿根法
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示
数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”
二、方法步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如下图所示）
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
（如图三，为（X-1)^2）四、注意事项
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：
1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
例1解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。
解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<2或x>3}。
事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：
解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x|－1<x<0或2<x<3}。
2．出现重根时，机械地“穿针引线”
例2解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0
解将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得，
原不等式的解集为{x|x<－1或1<x<4}。
（如图二）
这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。
出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：
解将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集
{x|－1<x<4且x≠1}（如图三）
3．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”
例3解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0
解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解原不等式等价于
x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，
∵ x^2+x+1>0对一切x 恒成立，
∴ x （x －1）（x+1）（x －2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<1或x>2}
数轴标根法-练习题
1.不等式x 2﹣6x+8≤0的解集为 _________ .
2.
0622≥-+x x 的解集为________________ 3. 06562≤-+x x 的解集为_________________
4. 0322>++-x x 的解集为__________________
5.
04722<+--x x 的解集为___________________ 6.
0)65)(1)(3(2≥+++-x x x x 的解集为______________ 7. 0)2)(1(2<--x x x 的解集为__________________
8.
0)1()2()4(232>-+-x x x 的解集为________________ 9. 03≤-x x 的解集为___________________
10. 011>-+x x 的解集为________________
11. 0322322≤--+-x x x x 的解集为_______________
12. 13≤-x x 的解集为___________________
13. 123422+≥+--x x x x 的解集为________________
14．（2013广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 _________ ．
15．（2012湖南）不等式x 2﹣5x+6≤0的解集为 _________ ．
16．（2008北京）不等式的解集是_________ ．
17．（2011巢湖模拟）不等式的解集为_________ ．
18．（2008杨浦区二模）不等式的解为_________ ．
19．（2008卢湾区二模）不等式的解集为_________ ．20．不等式﹣x2+5x﹣6＞0的解集为_________ ．
21．不等式2x2﹣3x﹣2＜0的解集为_________ ．
22．不等式﹣x2﹣4x+5＞0的解集是_________ ．
10．函数的定义域是_________ ．
11．不等式的解集为_________ ．
12．不等式的解集是_________ ．
13．已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是_________ ．
14．不等式的解集为_________ ．
15．若不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1或x＞2}，则a=
_________ ．
16．解不等式2x2﹣5x＜3．
17．已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，求A∩B．18．解不等式：．。