2017全国初中数学联赛初二卷

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2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

【答】B.
F
B
D
E
C
如图，因为 BAF CAE ，所以 BAF BAE CAE BAE ，即
FAE BAC 90 .
又因为 AD BC ，故 AD2 DE DF DB DC .
而 DF BF BD 6 3 9 ，DC BC BD 15 3 12 ，所以 AD2 DE 9 312 ，所以 AD 6 ，DE 4 .
3b c 18 ，所以 3b c 1. a 2b
2．已知△ ABC 的三边长分别是 a,b,c ，有以下三个结论：
（1）以 a, b, c 为边长的三角形一定存在；
（2）以 a2 ,b2 ,c2 为边长的三角形一定存在；
（3）以 | a b | 1,| b c | 1,| c a | 1 为边长的三角形一定存在.
以 | a b | 1 ， | b c | 1， | c a | 1 为边长的三角形一定存在.
3．若正整数 a,b, c 满足 a b c 且 abc 2(a b c) ，则称 (a,b, c) 为好数组.那么，好数组的个数
为 A. 1．【答】C.
B．2．
C．3．
D．4．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
（3）因为 a b c ，所以 | a b | 1 a b 1,| b c | 1 b c 1,| c a | 1 a c 1 ，故三条边中 | c a | 1 大于或等于其余两边，而（| a b | 1）（| b c | 1）（a b 1）（b c 1）=a c 11 a c 1 | c a | 1 ，故
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

全国初中数学联赛初二卷及详解

全国初中数学联赛初二卷及详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. A.1023 B.1033C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式311a a ++=成立的实数a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得423AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()14210214233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式311a a ++=成立的实数a 的值为________.答案：8 对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得()3211aa ++=.令1x a =+，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°. ………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC.………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 是不全相等的正整数，且55a bb c ++为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值. 答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到50b c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值. 解析：50b c -≠，由()()()2222255555555a b b c ab bc b ac a b b c b c b c +--+-⋅+==--+是有理数，可得b 2=ac. …10分 ()()22222a c b a b c a c b a b c a c b +-++==+-++++. ………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3. 所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时. ………25分。

2017年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及

在 Rt △ EAD 中，有 422 (98 x)2 x2 ，解得 x 58 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准第 2 页（共 5 页）
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．使得等式 1 1 a 3 a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 . 由所给等式可得 (1 1 a)3 a2 .令 x 1 a ，则 x 0 ，且 a x2 1，于是有 (1 x)3 (x2 1)2 ，
4．已知正整数 a,b, c 满足 a2 6b 3c 9 0 ， 6a b2 c 0 ，则 a2 b2 c2 ＝（）
A. 424．【答】C.
B. 430．
C. 441．
D. 460．
由已知等式消去 c 整理得 (a 9)2 3(b 1)2 75 ，所以 3(b 1)2 75 ，又 b 为正整数，解得1 b 6 .
2
2
Байду номын сангаас
3
A
D
F
所以梯形的面积为 1 (1 4) 4 2 10 2 .
2
3
3
E
6．如图，梯形 ABCD 中， AD // BC , A 90 ，点 E 在 AB 上，若 AE 42 ，
BE 28， BC 70 ， DCE 45 ，则 DE ＝
（）
B
C
A. 56．
B. 58．
C.60．
D. 62．
为 A. 4．【答】B.
B．3．
C．2．
D．1．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.

09-2017年全国初中数学联赛决赛试卷B

2017年全国初中数学联赛决赛试卷B(3 月26 日上午8:45—11:15 )一、选择题(本题满分42分，每小题7分)本题共有6小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。

将你选择的答案的代号填在题号的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内) ，一律得0分。

1、若q是质数，且q +1是完全平方数，就称q为P型质数，则P型质数的个数是( )A、0B、1C、2D、无数个k .2、已知k为正实数，一次函数y=kx+1与反比例函数y=-的图象交于A(X1, y"，B(x2，Xy2)两点，若|X1-X2|= ,5,则k的值是( )A、1B、2C、,3D、2EF 53、已知AD、BE、CF为锐角△ ABC三边上的高，若AB=26，BC =后，贝V BE的长度是( )A、10B、12C、13D、244、在梯形ABCD 中，AB// CD，/ ABC=90° E是腰AD 的中点，若EC= 锁,AB+BC+CD=2 .''26,贝打BCE=( )A、30°B、45°C、60°D、75°5、若实数k使得关于x的方程(x2-)(kx2-x -8)=0恰有三个不同的实数根，则称k为“好数”，则“好数” k的个数是(C、36、记正整数m的各位数字之和为S(m)，比如S(2017)=2+0+1+7=10，现从1 , 2 ,3,…,2016,2017这2017个正整数中，任意取出n个不同的数，都能在这n个数中找到a i, a2，…，a7，a8,使得S(a" = S(a2)= •••= S(a7)= S(a8)，则正整数n的最小值是( )A、185B、187C、189D、191二、填空题(本大题满分28分，每小题7分)本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上•—-2—x 1 17、若x^/3 42,则-X q-宁(|X|+1 + 帝)的值是 __________________8、在平面直角坐标系中，点O (0, 0)、A (0, 6)、B (-3, 2)、C (-2, 9),点P为线段OA (含端点)上任意一点，贝V PB+PC的最小值是______________9、有4只杯口全朝上的茶杯，现在每次翻转3只，翻动的茶杯允许再翻，经过n次翻动后，使得杯口全朝下，则正整数n的最小值是 _________(注：所谓一只茶杯的一次翻转是指将该茶杯的杯口朝上(下)翻为杯口朝下(上) ) 10、设A、B为抛物线y= x2上两点，该两点在y轴两侧，满足AB=4,记厶AOB的面积为S,其中O为坐标原点，则S的最大值是__________________三、解答题(本题满分20分)11、设a、b、c是任意三个互不相等的有理数，证明：匕+ 匕+ & 是(a -b) (b -c) (c -a)有理数•四、解答题（本题满分25分）12、如图，正方形ABCD绕A点逆时针旋转到正方形APQR,连接CQ,延长BP交CQ 于点E.⑴求证：E是线段CQ的中点;Bp⑵若CP丄BE,求PE的比值•A五、解答题（本题满分25分）13、如图，以直角厶ABC（其中/ C=90°的三边CA、CB、AB向外分别作正方形CADE、BCFG、ABHI，记边CB、CA的长分别为a、b;凸六边形DEFGHI的面积为S.问:是否在正整数a、b使得S=2016?若存在，请求出所有的正整数a、b,若不存在，请说明理由I H2017年全国初中数学联介竞赛试题参考答案及评分标准说明*评何试卷时.请依撫4•评兮标准•邊斤題和填空旳只设7分wo分两档* trnn. 请严格按科本评分标准规定的评分档次给分•不要再增加其他中间档次.如果考生的解齐力法如衣解答不同•只隻思路合理•步驟正确.圧评栓时请够照本评分标准划分的档次•给十相应的分数・一.选挣18（本邑満分42分.毎小E 7分）L B 2. A 3. D 4. B 5. D 6. A二.填空赳（本逍満分28分.毎小超7分）7、£8、5 + VTJ 9、4 10、8三.解答題（本題満分20分）1K站恥足任倉三个邸相^有理飲・呦,仙需占足自理故.tfWh 令x = • Wx)c#0- II丄 + 丄 + 丄=0. «5 分》x y 2十是少+忙♦二x=0・（10分）从而------ + -------- + ------- r(a-by (b_e)・ (e-a) *=x•+ ＞厂+二・=(x + y + :)2 - 2(xy + 齐♦ h) = (x + y +二)：.（15分）=—+-— * —-—是h 理数. a — b b_c c^a（20分）2017勺乞国杓陀説堂0・诀・・&$*及评分加応＜M 1 ill R 3 ii）12. talM. iF方彫•仏O绕・4 .占•迪时忡険转到iF方形.iPQR. mtCQ.址长BP交C0 于点£・（I）求if$ 段CQ的中点$（2）杵CP一BE.求需的比值.<1）谨结才C. AQ. AE. 正方形.IBCD^A^时什険转列正方形APQR.AC^AQ.厶B心ZG4Q・所以^BAP^^CAQ.所以乙IBP-厶4C0 （5分）li|）Z.15£^ ^ACE.所以儿B、C\三四点妹:乌・所以二<£OiUO180°・即冇*£丄（70 又因为AC^AQ.所以E是枚段CQ的中恵. （10分）<2）iZl:由<1〉A. B. C、E 四点共M可如.ZC£P-ZC£fl=ZC^=45% 所以PE"C・（15分）从而C£ = V2P£・（20分）故4匹=密=樂BP BP BP（25分》法2：由（1） J. B. C.£四点共卯可知.ZC£P^ZC£2UZC45=450.出以MJC. IRfiP 中4 " l AM.WJtli AB^iP. «rw^M 丄BP.由ZAMB M BPCM.（15 分）"BMM-ZPBC口ZPCB. AB二BC・所以所以MB^PC.BP 2BM7E"~PC Q0分）〈25 分）13. ttltL其中ZC ・9(T)的三边C. CB.川刃向外分别作正方形CADE. BCFG 、ABH1.记边CB ・Q 的长分别为a. 6：凸兀边形DEFGHI 的曲枳为S.何，是否存任正矗救a. b.便得S = 2016?若〃任.请求出所升的正整故a. bi 若不«•讷说明理由•解：如用.延长必至厅・便BA -= AB . ii7C.则峪址 VCmMQ.从而= S^4C = S xac «5 分〉同理* S 乂b =E M »C = S t y aG・则S ■ 4x£ab + 2(a'+F)・ 2(a‘ +b‘ 4ab)・■ f?设存任正廉tSd.b.便得S«=2016・即瑚+b' + ab) = 2016・于^a 2^b\ab^24x32x7 •②由2 a'+ab + X 知a 上均为«tt <fia.b 均为奇救或A a.b -奇一偶.都宵a^ab+b 2为奇数.矛压人令a = "4% 代入®»0；+代+叭・2‘肿x7・类fcl 可知“4均为偶散.令a x « lx.b = ly •从而F+)'・xy ・3‘x7 3>( 15分)不妨设x^y. W32X 7^3X \ 故x 2£ll.注®^x.y 为正Cft.则x = 1.23.4. 当x = lH ・有y 】 + y = 62・即(2y+l)' = 249・柚与 *・2 时.iiy 2^2y59. «P(v^l)2 » 60.当y = 3时.*3y = 54.解御)=6或y = -9 (舍去h 当 X = 4H< <J /-^4y = 47.即(>“2尸=51・因此满足③的if ¥ tt.r.j •只<ix»3. y«6或打x ■ 6.y ■ 3・①(10分)(20分》。

2017初中数学联合竞赛省初赛试题解答及评分标准(八年)

A
)
B
D E
C
2 SADC CD AF 7 12 28 法可得 CE . AD AD 15 5 1 1 6．已知 a ＝ 5 ，那么代数式 a 最大值与最小值之差等于 a a
A． 2． B． 4．
1
（ B ）
C． 6．
D．8.
解析
欲使代数式
1 a 取到最大值，则 a 0 , 于是 a
(15 分)
(18 分) (20 分) (5 分)
a 2b b2c c2a ab2 bc2 ca 2 (a b)(b c)(c a) 0 .
(a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1)=k 1 ,
令 ab a b bc b c ac c a =k , 则因此 [(a 1)(b 1)(c 1)] (k 1) ，
4．设 a,b 是实数，若 a b 2 a 1 4 b 1 5 ，则 a b 的值等于 A. 3 ．解析
a b 2 a 1 4 b 1 5 ( a 1 1)2 ( b 1 2)2 0
a 2 , b 3 a b 1. 5 ．如图 , 在 △ ABC 中 , AB=13,BC 21, CA 20 . D 是 BC 上一点 , 满足
1 1 1 ． 3 1 7 1 7
解析
1 1 1 7 1 7 1 7 1 7 1

7

1 1
7 1
7
. 7 3
1
A
8. 如图, ABC 、 CDE 均为等边三角形, 且 A, D, E 三点共线, 点 D 在 A, E 之间, BDE 30 . 则解析

2017年全国初中数学联合竞赛试题(pdf版,含答案)

D．4．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
若 a ＝2，由 ab 6 可得 b 2 或 3， b 2 时可得 c 4 ， b 3 时可得 c 5 （不是整数）； 2
若 a ＝1，则 bc 2(1 b c) ，于是可得 (b 2)(c 2) 6 ，可求得 (a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，
若 b ＝6，则 (a 9)2 0 ，解得 a 9 ，此时 c 18 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 7 页）
因此， a 9 ， b ＝6， c 18 ，故 a2 b2 c2 ＝441.
5．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 BAD ACB 180，且 BC 3，AD 4 ，
（2）以 a 2,b 3,c 4 为边长可以构成三角形，但以 a2 4,b2 9,c2 16 为边长的三角形不存在；
（3）因为 a b c ，所以 | a b | 1 a b 1,| b c | 1 b c 1,| c a | 1 a c 1 ，故三条边中 | c a | 1 大于或等于其余两边，而（| a b | 1）（| b c | 1）（a b 1）（b c 1）=a c 11 a c 1 | c a | 1 ，故
2
4
2
设 m 是最接近 n 的整数，则| m n | 1 ， m 1. 2
易知：当 m 1时，| m n | 1 (m 1)2 n (m 1)2 m2 m 1 n m2 m 1 .

2017年全国初中数学联赛试题-含详细解析

2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，，则32b ca b+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DOOB＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．435. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．2156. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( )A ．1917B ．1927C ．1937D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.成立的实数a 的值为______．8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DOOB＝( )A ．43B ．65C ．87D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．7。

全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷

2017年全国初中数学联赛（初二决赛）试卷（3月26日上午8：45---11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。

将你选择的答案的代号填在题后的括号内。

每小题选对得7分；不选或错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、六位朋友一起去吃饭，实行AA 制，即大家均摊费用。

因为小王忘了带钱，所以其他人每人多付了5元钱，则这顿饭共花费（）A.90元B.120元C.150元D.180元x-m ＜02、若关于x 的不等式组 9-2x ＜1，的整数解共有5个，则实数m 的取值范围为（）A.8≤m ＜9B.8＜m ≤9C.9≤m ＜ 10D.9＜m ≤103、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EFB 沿EF 所在直线折叠得到△EFB ′，连接DB ′，则DB ′的最小值为（） A.10-1 B.3 C.13-1 D.24、已知三角形的三条边长为a ，b ，13，且a ，b 为整数，a ＜b ＜13，则（a ，b)的组数共有（）A.26组B.30组C.36组 D49组5、已知△ABC 中，AB=210，BC=6，CA=2,点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D.则BD= （） A.1 B.313 C.13136 D.13 6、已知非零实数x 、y 、z 满足x 2+20171+y =y 2+20171+z =z 2+20171+x ，则zx yz xy z y x ++++222的值为（）A.1或3B.1或-3C.-1或3D.-1或-3二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上。

7、已知a=321+，b=321-，则2a 2-5ab+2b 2的值为 . 8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于M ，且AB=AC ，AB ⊥AC ，BC=BD ，那么∠AMB 的度数为 .9、从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为 .10、如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10，点D 、E 在线段BC 上，且CD=2，BE=5，点P ，Q 分别是线段AC 、AB 上的动点，则四边形PQED 周长的最小值为 .三、解答题（本题满分20分）11、已知关于x 的方程12--x =a 有且仅有两个解，求实数a 的取值范围.四、解答题（本题满分25分）12、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠B=90°，D 为BC 的中点，E 为线段AC 上一点，且∠EDC=∠ADB.求BDED BE +的值.五、六、解答题（本题满分25分）13、从连续的自然数1，2，……，2017中可以取出n 个不同的数，使所取的这n 个不同的数中任意三个数之和都能被21整除.求正整数n 的最大值.。

2017年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2．设 O是锐角三角形 ABC的外心， D,E分别为线段 BC,OA的中点，
,
，则
_________.
3.题目与（A）卷第 3题相同. 4.题目与（A）卷第 4题相同
第二试（A）
一、（本题满分 20分）已知实数 x,y满足 x+y=3，
，求
的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，AB AC， BAC 45，E是 BAC的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F在AB 上且EF AB.已知AF 1，BF
1．已知二次函数 y ax2 bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函
数
y a3x2 b3x c3 的图象与x轴的交点个数为（）
A．0
B．1
C．2
D．不确定．
2．题目与（A）卷第1 题相同.
3.题目与（A）卷第3 题相同.
4．已知正整数a,b,c满足 a2 6b 3c 9 0， 6a b2 c 0，则a2 b2 c2
CB的延长线上，满足
.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE＝（）
A.
B.
C.
D.
6．对于正整数 n，设 an是最接近的整数，则
A.191/7
B．192/7
C．193/7
（） D．194/7
二、填空题（本题满分 28分，每小题 7分） (本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1．使得等式
2017 年全国初中数学联合竞赛试题
2017年3月26日（星期日）上午8：30－11：30
第一试(A)
一、选择题（本题满分 42分，每小题 7分） (本题共有 6个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D的四个答案，其中有且仅

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。

2017年全国初中数学联赛初二试题及参考答案(详解版)

2017年全国初中数学联合竞赛试题（初二）第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（）A . 125B . 120C . 100D . 813.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 14.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（） A .424 B . 430 C . 441 D . 4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（） ABC. D.6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（）A . 56B . 58C . 60D . 62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.8.已知ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++的值为（） A .2 B . 1 C . 0 D .1- 【答案】B【思路】因为所求分式的特点可以想到把2a b +，3b c +看成一个整体变量求解方程. 【解析】已知等式可变形为()()223390a b b c +++=，()()32372a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以312b ca b+=+. 2.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1110135a b c ++=+++，则()()()222135a b c +++++的值为（）A . 125B . 120C . 100D . 81 【答案】C 【思路】换元法【解析】设1x a =+，3y b =+，5z c =+，则10x y z ++=，1110x y z++=， 0xy xz yz ∴++=，由()()22222100x y z x y z xy xz yz ++=++-++=.则()()()222135100a b c +++++=.3.若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 1 【答案】B【思路】先通过a b c ≤≤且()2abc a b c =++的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.【解析】若(),,a b c 为好数组，则()26abc a b c c =++≤，即6ab ≤，显然1a =或2. 若1a =，则()21bc b c =++，即()()226b c --=，可得()(),,1,3,8a b c =或()1,4,5，共2个好数组.若2a =，则2b =或3，可得2,4b c ==；53,2b c ==，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组()()()(),,1,3,8,1,4,5,2,2,4a b c =.4.已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++的值为（） A .424 B . 430 C . 441 D . 460 【答案】C【思路】由已知等式消去c 整理后，通过,a b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.【解析】联立方程可得()()2293175a b -+-=，则()23175b -≤，即16b ≤≤. 当1,2,3,4,5b =时，均无与之对应的正整数a ；当6b =时，9a =，符合要求，此时18c =，代入验证满足原方程. 因此，9a =，6b =，18c =，则222441a b c ++=.5.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（） ABC. D.【答案】A【思路】通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.【解析】作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则3BE BC CE BC AD AB =-=-==，则ABE 是等腰三角形，3BE AB ==，2AE =，经计算可得AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+. 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，45DCE ∠=︒，则DE 的值为（）A . 56B . 58C . 60D . 62【答案】B【思路】补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.【解析】作CF △AD ，交AD 的延长线于点F ，将CDF 绕点C 逆时针旋转90︒至CGB ，则ABCF 为正方形，可得ECG △ECD ，EG ED ∴=. 设DE x =，则28DF BG x ==-，98AD x =-. 在RtEAD 中，有()2224298x x +-=，解得58x =.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 7.=a 的值为________. 【答案】8【思路】通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.【解析】易得(321a =.令x ，则0x ≥，代入整理可得()()2310x x x -+=，解得1230,3,1x x x ===-，舍负，即1a =-或8，验证可得8a =.8.已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<<︒.用θ表示100,,C C B B A ︒---中的最小者，则θ的最大值为________. 【答案】20︒【思路】一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.【解析】100C θ≤︒-，C B θ≤-，B A θ≤-()()()131002206C C B B A θ∴≤︒-+-+-=︒⎡⎤⎣⎦ 又当40,60,80A B C =︒=︒=︒时，20θ=︒可以取到. 则θ的最大值为20︒.9.设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.【答案】7【思路】因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a b +、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.【解析】因为,a b 互质，所以a b +、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得1a b ==，4p =，不是质数舍； 381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得7a =，1b =，7p =，符合题意. 则7p =.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 【答案】34【思路】考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.【解析】设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34. 由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.【思路】对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a b +，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.【解析】设()101,9,,A a b a b a b N =+≤≤∈，则10B b a =+，由,A B 不同得a b ≠，()()()()22221010911A B a b b a a b a b -=+-+=⨯⨯+-.由22A B -是完全平方数，则a b >，()()11|a b a b +-，可得11a b +=，a b -也是完全平方数，所以1a b -=或4.若1a b -=，则6a =，5b =；若4a b -=，则没有正整数解. 因此6a =，5b =，65A =.二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.【思路】因为EF 、PD 都在DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出90EDF ∠=︒，此时若能得出EP PD =，则自然可以得到结论.【解析】由DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，可得90EDF ∠=︒. 由BE DE ⊥得BE △DF ，则EBD FDC ∠=∠.又BD DC =，90BED DFC ∠=∠=︒，则BED △DFC ，BE DF =. 得四边形BDFE 是平行四边形，PED EDB EDP ∠=∠=∠，EP PD =. 又△EDF 是直角三角形，2EF PD ∴=.三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，求222a b c a b c ++++的最小值.【思路】通过,,a b c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用,,a b c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--可得2b ac =.()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.不妨设a c <，若1a =，2c b =，因为a b ≠，则()113a c b b b +-=+-≥，取等号当且仅当2b =时.若2a ≥，因为1c b ≠≠，则()1243a c b a b b a +-=+-≥+≥>.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当1a =，2b =，4c =时.。

2017年全国初中数学联赛

将你选择的答案的代号填在题后的括号内。

每小题选对得7分；不选或错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、六位朋友一起去吃饭，实行AA 制，即大家均摊费用。

7、已知a=321+，b=321-，则2a 2-5ab+2b 2的值为 . 8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于M ，且AB=AC ，AB ⊥AC ，BC=BD ，那么∠AMB 的度数为 .9、从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率为 .10、如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10，点D 、E 在线段BC 上，且CD=2，BE=5，点P ，Q 分别是线段AC 、AB 上的动点，则四边形PQED 周长的最小值为 .11、已知关于x 的方程12--x =a 有且仅有两个解，求实数a 的取值范围.四、解答题（本题满分25分）12、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠B=90°，D 为BC 的中点，E 为线段AC 上一点，且∠EDC=∠ADB.求BDED BE +的值.13、从连续的自然数1，2，……，2017中可以取出n个不同的数，使所取的这n个不同的数中任意三个数之和都能被21整除.求正整数n的最大值.。

2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c＝（）a +2bA. 2．B. 1．C. 0．D.-1．【答】B.已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，3b+c=18 ，所以3b+c=1.a +2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +222b +c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即边长的三角形一定存在；（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=52（不是整数）；若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝（）OB10 8 64A.．B.．C.．D.．D9 7 5 3E【答】A.C过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以AC = BC ，所以4O3AB EBAB ⋅ BC6 ⨯318BEB = = = .A6AC 5 5再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .BEOB 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝（）AA. 4 3 ．B. 2 13 ．C. 2 14 ．D. 2 15 ．【答】B.FBDEC如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近的整数，则 1 + 1 + 1 + +1 = （ n）na 1 a 2 a 3a200A. 191 ．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7 【答】A.对于任意自然数 k ， ( k +1 )2 = k 2 + k + 1不是整数，所以，对于正整数 n ，- 1 一定不是整数.n24 2的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.设 m 是最接近 nn2易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .n 2 2 24 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近的整数，n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.所以1+1+1+ +1= 2 ⨯1+ 4 ⨯1+ 6 ⨯1+ + 26 ⨯1+ 18⨯1=191.a a a a12313147 123200二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 .由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.所以， a =8.2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72︒，AF⊥BC于点F， AFM交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．【答】 66︒.BE 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .2设∠AED =α，则∠AME =180︒ -2α，∠ABM =α-18︒.又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ -2α=α-18︒，解得α=66︒.3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位数字是 01.所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．1【答】2 .因为0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =12(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.若x + y =1，则x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12[1+(x-y)2]≥12，当且仅当x=y=12时等号成立.所以， x 2+ y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式∆2=(b3)2-4a3c3=b6-161(4ac)3=b6-161(b2)3=1615b6>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180︒，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.A 【答】10︒.如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC= ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ -2x ，∠ODE =180︒ - x -(180︒ -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所22B 以∠DOC =60︒，从而可得 x =10︒.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，1+1=1，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x 2+ y2解由1+1=1可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )⋅[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分二（、本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是 ∠BAC的外角平分线与 △ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥ AB . 已知 AF =1， BF = 5，求△ ABC 的面积.解在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝180︒ - 2 ∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10 分EAFDCGB……………………15 分所以 AG = BC ，所以 AC = BG ，所以 AC ＝BG. 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高 h = AC sin 45︒ = 2 2 .所以，△ ABC 的面积 S = 1 ⋅ AB ⋅ h = 1 ⨯ 6 ⨯ 2 = 6 .2 2 ……………………25 分22三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对 ( a , b ) ，使得 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 . 解显然， 49 ⨯ 3b +8 为奇数，所以 a 为奇数.又因为 a 3 = 49 ⨯ 3b + 8 ≥ 49 ⨯ 3 + 8 > 53 ，所以 a > 5 .……………………5 分由 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 可得 a 3 - 8 = 49 ⨯3b ，即 ( a - 2)( a 2 + 2a + 4) = 7 2 ⨯3b . ……………………10 分设 ( a - 2, a 2 + 2a + 4) = d ，则 d 为奇数.注意到 a 2 + 2a + 4 = ( a - 2)( a + 4) +12 ，所以 d | 12 ，所以 d＝1 或 3. ……………………15 分⎧a - 2 = 7 2,⎧a - 2 = 3b,均无正整数解.……………………20 分若 d ＝1，则有 ⎨a 2 + 2 a + 4 或 ⎨a 2 + 2 a + 4 = 7 2 ⎪ = 3b ,⎪ , ⎩⎩⎧a - 2 = 3 ⨯7 2, ⎧a - 2 = 3b -1,解得 a =11， b = 3 . 若 d ＝3，则有 ⎨ 2 + 2 a + 4 b -1或 ⎨ 2 + 2 a + 4 = 3 ⨯7 2 ⎪ a = 3 , ⎪ a ,⎩⎩所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25 分第二试（B ）一、（本题满分 20 分）已知实数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c ， a + b + c =16 ， a 2 + b 2 + c 2 +14 abc =128 ，求 c 的值.解设 a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2 - 2 y + (16 - x ) 2 +14 y (16 - x ) =128 ，整理得( x - 8) 2 = 1y ( x -8) ，8所以 x = 8 或 y = 8( x -8) .……………………10 分（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.综合可知： c =8.……………………20分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ⋅ (2m-1 ) 2- 2 ⋅ 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x<y， xy =22m-2，所以x,y均为2的方幂.……………………20分又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2⨯2m=22m-2，解得m=3.综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，DOA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.AOP 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90︒，又∠OAD =∠OCB，所以△ AOD ∽△ COB ，……………………5分OD AO OC AOB所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90︒，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2.……………………25分。

2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b++＝（）A. 2．B. 1．C. 0．D. 1-．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90a b b c +++=，3(2)(3)72a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以32b ca b+=+ 1.2．已知△ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下三个结论：（1 （2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（） A ．0． B ．1． C ．2． D ．3．【答】C.不妨设a b c ≥≥，则有b c a +>.（1）因为b c a +>，所以b c a ++，即22>>边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4a b c ===为边长可以构成三角形，但以2224,9,16a b c ===为边长的三角形不存在；（3）因为a b c ≥≥，所以||11,||11,||11a b a b b c b c c a a c -+=-+-+=-+-+=-+，故三条边中||1c a -+大于或等于其余两边，而||1||111a b b c a b b c -++-+=-++-+（）（）（）（）111||1a c a c c a -++>-+=-+=，故以||1a b -+，||1b c -+，||1c a -+为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且2()abc a b c =++，则称(,,)a b c 为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1． B ．2． C ．3． D ．4．【答】C.若(,,)a b c 为好数组，则2()6abc a b c c =++≤，所以6ab ≤.显然，a 只能为1或2. 若a ＝2，由6ab ≤可得2b =或3，2b =时可得4c =，3b =时可得52c =（不是整数）；若a ＝1，则2(1)bc b c =++，于是可得(2)(2)6b c --=，可求得(,,)a b c ＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）. 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝（） A. 109． B. 87． C. 65． D. 43．【答】A.过B 作//BE AD ，交AC 的延长线于点E ，则180ABE BAD ∠=︒-∠ACB =∠，所以△ABC ∽△AEB ，所以AC BCAB EB=，所以 631855AB BC EB AC ⋅⨯===. 再由//BE AD ，得4101895DO AD OB BE ===.5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知15BC =，6BF =，3BD =，则AE ＝（）A.B.C.．D.【答】B. 如图，因为BAF CAE ∠=∠，所以BAF BAE CAE BAE ∠+∠=∠+∠，即90FAE BAC ∠=∠=︒.又因为AD BC ⊥，故2AD DE DF DB DC =⋅=⋅.而639DF BF BD =+=+=，15312DC BC BD =-=-=，所以29312AD DE =⋅=⋅，所以6AD =，4DE =.从而AE ==6．对于正整数n ，设n a1232001111a a a a ++++= （） A.1917． B. 1927． C. 1937． D. 1947．【答】A.对于任意自然数k ，2211()24k k k +=++不是整数，所以，对于正整数n12一定不是整数.设m1|2m <，1m ≥. 易知：当1m ≥时，1|2m <⇔2211()()22m n m -<<+⇔221144m m n m m -+<<++.于是可知：对确定的正整数m ，当正整数n 满足221m m n m m -+≤≤+时，m即n a m =.所以，使得n a ＝m 的正整数n 的个数为2m .注意到2213131822001414210+=<<+=，因此，12200,,,a a a 中，有：2个1，4个2，6个3，8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147a a a a ++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．=a 的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(1a =.令x =，则0x ≥，且21a x =-，于是有322(1)(1)x x +=-，整理后因式分解得2(3)(1)0x x x -+=，解得10x =，23x =，31x =-（舍去），所以1a =-或8a =. 验证可知：1a =-是原方程的增根，8a =是原方程的根. 所以，8a =.2．如图，平行四边形ABCD 中，72ABC ∠=︒，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若2DE AB =，则AED ∠＝_______．【答】66︒.取DE 的中点M ，在Rt △ADE 中，有12AM EM DE AB ===.设AED α∠=，则1802AME α∠=︒-，18ABM α∠=-︒. 又ABM AMB ∠=∠，所以180218αα︒-=-︒，解得66α=︒.3．设,m n 是正整数，且m n >.若9m与9n的末两位数字相同，则m n -的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnm n--=⋅-是100的倍数，所以91m n --是100的倍数，所以9m n -的末两位数字是01，显然，m n -是偶数，设2m n t -=（t 是正整数），则29981m nt t -==.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t 的最小值为5，从而可得m n -的最小值为10.4．若实数,x y 满足3331x y xy ++=，则22x y +的最小值为．【答】12. 因为333322031()(1)333x y xy x y x y xy xy =++-=++---+ 22(1)[()()(1)(1)]3(1)x y x y x y xy x y =+-+-+⋅-+--+-B22(1)(1)x y x y xy x y =+-+-+++2221(1)[()(1)(1)]2x y x y x y =+--++++，所以1x y ==-或1x y +=. 若1x y ==-，则22x y +＝2. 若1x y +=，则22222111[()()][1()]222x y x y x y x y +=++-=+-≥，当且仅当12x y ==时等号成立.所以，22x y +的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)y ax bx c c =++≠的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数3233y a x b x c =++的图象与x 轴的交点个数为（）A ．0．B ．1．C ．2．D ．不确定．【答】C.因为二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有唯一交点，所以2140b ac ∆=-=，所以240b ac =≠.故二次函数3233y a x b x c =++的判别式323363623211()4(4)()1616b a c b ac b b ∆=-=-=-61516b = 0>，所以，二次函数3233y a x b xc =++的图象与x 轴有两个交点.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4．已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222a b c ++＝（） A. 424． B. 430． C. 441． D. 460．【答】C.由已知等式消去c 整理得22(9)3(1)75a b -+-=，所以23(1)75b -≤，又b 为正整数，所以16b ≤≤. 若b ＝1，则2(9)75a -=，无正整数解；若b ＝2，则2(9)72a -=，无正整数解；若b ＝3，则2(9)63a -=，无正整数解；若b ＝4，则2(9)48a -=，无正整数解；若b ＝5，则2(9)27a -=，无正整数解；若b ＝6，则2(9)0a -=，解得9a =，此时18c =.因此，9a =，b ＝6，18c =，故222a b c ++=＝441.5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若180BAD ACB ∠+∠=︒，且3BC =，4AD =，5AC =，6AB =，则DOOB＝（） A. 43． B. 65． C. 87． D. 109．【答】D.解答过程与（A ）卷第4题相同. 6．题目和解答与（A ）卷第5题相同. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，,D E 分别为线段,BC OA 的中点，7ACB OED ∠=∠，5ABC OED ∠=∠，则OED ∠＝_________. 【答】10︒.如图，设OED x ∠=，则5A B C x ∠=，7ACB x ∠=，DOC ∠=18012BAC x ∠=︒-，10AOC x ∠=，所以1802AOD x ∠=︒-，180(1802)ODE x x x ∠=︒--︒-=，所以1122OD OE OA OC ===，所以60DOC ∠=︒，从而可得10x =︒.3. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.4. 题目和解答与（A ）卷第4题相同.第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,x y 满足3x y +=，221112x y x y +=++，求55x y +的值. 解由221112x y x y +=++可得2233222()x y x y x y x y xy +++=+++. 设xy t =，则222()292x y x y xy t +=+-=-，332()[()3]3(93)x y x y x y xy t +=++-=-，代入上式可得22(392)3(93)t t t t +-=-++，解得1t =或3t =. ……………………10分当3t =时，3xy =，又3x y +=，故,x y 是一元二次方程2330m m -+=的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意. ……………………15分当1t =时，1xy =，又3x y +=，故,x y 是一元二次方程2310m m -+=的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123x y x y x y x y x y t t t +=++-+=-⋅--=.……………………20分二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC >，45BAC ∠=︒，E 是BAC ∠的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB ⊥.已知1AF =，5BF =，求△ABC 的面积.解在FB 上取点D ，使FD ＝AF ，连接ED 并延长，交△ABC 的外接圆于点G.由EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝1802︒-∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10分所以 AG BC =，所以 AC BG=，所以AC ＝BG. ……………………15分又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以BG ＝BD ，所以AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20分 △ABC 的AB边上的高sin 45h AC =︒=所以，△ABC的面积11622S AB h =⋅⋅=⨯⨯= ……………………25分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)a b ，使得34938ba =⨯+. 解显然， 4938b⨯+为奇数，所以a 为奇数.又因为33493849385b a =⨯+≥⨯+>，所以5a >. ……………………5分由34938b a =⨯+可得38493b a -=⨯，即22(2)(24)73ba a a -++=⨯. ……………………10分设2(2,24)a a a d -++=，则d 为奇数.注意到224(2)(4)12a a a a ++=-++，所以|12d ，所以d ＝1或3. ……………………15分若d ＝1，则有2227,243,b a a a ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩或2223,247,b a a a ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩均无正整数解. ……………………20分若d ＝3，则有221237,243,b a a a -⎧-=⨯⎪⎨++=⎪⎩或12223,2437,b a a a -⎧-=⎪⎨++=⨯⎪⎩解得11a =，3b =.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）. ……………………25分第二试（B ）一、（本题满分20分）已知实数,,a b c 满足a b c ≤≤，16a b c ++=，22211284a b c abc +++=，求c 的值.解设a b x +=，ab y =，依题意有2212(16)(16)1284x y x y x -+-+-=，整理得 21(8)(8)8x y x -=-，所以8x =或8(8)y x =-. ……………………10分（1）若8x =，则8a b +=，此时c ＝8.（2）若8(8)y x =-，即8(8)ab a b =+-，则(8)(8)0a b --=，所以8a =或8b =.当8a =时，结合a b c ≤≤可得24a b c ++≥，与16a b c ++=矛盾. 当8b =时，结合a b c ≤≤及16a b c ++=可得0a =，8c =.综合可知：8c =. ……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m ，使得21221m m --+是完全平方数.解当m ＝1时，212211m m --+=是完全平方数. ……………………5分当1m >时，设212221m m n --+=（n 为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)m m m m m m ------+=⋅-⋅+=-+，故可得12122(21)(2)m m n ---+=， ……………………10分所以22212112(21)(21)(21)m m m m n n n ----=--=+--+. ……………………15分设121m x n -=-+，121m y n -=+-，则x y <，222m xy -=，所以,x y 均为2的方幂.……………………20分又22m y x -=-被4除余数为2，所以，只可能2x =，2m y =，故22222m m -⨯=，解得3m =.综上可知：满足条件的正整数m 有两个，分别为1和3. ……………………25分三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ∠=∠，OA OD ⊥，OB OC ⊥.求证：2222AB CD AD BC +=+.证明由题设条件可知90AOD BOC ∠=∠=︒，又O A D O C B ∠=∠，所以△AOD ∽△COB ， ……………………5分所以OD AO OB CO =，从而OC AO OB OD=. ……………………10分又AOC AOB BOC AOB AOD DOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以△AOC ∽△DOB ，所以OAC ODB ∠=∠. ……………………15分设AC 和BD 交于点P ，则90APD AOD ∠=∠=︒，所以AC DB ⊥， ……………………20分所以222222222222()()()()AB CD AP PB PD PC AP PD PB PC AD BC +=+++=+++=+. ……………………25分B。

2017年初中数学联合竞赛试题(含答案)

【答】 B.
F
B
D
E
C
如图，因为 BAF CAE ，所以 BAF BAE CAE BAE ，即
FAE BAC 90 . 又因为 AD BC ，故 AD 2 DE DF DB DC . 而 DF BF BD 6 3 9 ，DC BC BD 15 3 12 ，所以 AD 2 DE 9 3 12 ，所以 AD 6 ，DE 4 .
数字是 01.
所以 t 的最小值为 5，从而可得 m n 的最小值为 10.
4．若实数 x, y 满足 x3 y3 3xy 1，则 x2 y2 的最小值为 1
【答】 .
2
因为
0 x3 y3 3xy 1 ( x y)3 ( 1)3 3x2 y 3xy2 3xy
( x y 1)[( x y)2 ( x y) ( 1) ( 1)2 ] 3xy( x y 1)
A. 424 ．【答】 C.
B. 430 ．
C. 441 ．
D. 460 ．
由已知等式消去 c 整理得 (a 9)2 3(b 1)2 75 ，所以 3(b 1)2 75 ，又 b 为正整数，所以 1 b 6 .
若 b ＝ 1，则 ( a 9)2 75，无正整数解；
若 b ＝ 2，则 ( a 9)2 72，无正整数解；
【答】 66 . 取 DE 的中点 M ，在 Rt △ ADE 中，有 AM EM 设 AED ，则 AME 180 2 ， ABM
1 DE AB . 2
18 .
E BF
又 ABM AMB ，所以 180 2
18 ，解得
66 .
M C
3．设 m, n 是正整数，且 m n .若 9 m 与 9 n 的末两位数字相同，则 m n 的最小值为

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准(1)

2017年全国初中数学联赛初二卷和详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7.=a的值为________.8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且38abpa b=+为质数.则p的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.C. D.答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得AH =所以梯形ABCD 的面积为()1142⨯+=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.=a 的值为________.答案：8 对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。