机械振动PPT课件
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Td=1.00125T
与无阻尼的情形比较，只差0.125%。
当ζ=0.3时，
Td=1.05T， 与无阻尼的情f形d=比0较.95，f 也只差5%。
所以在阻尼比较小时，对周期和频率的影响 可以忽略不计。
或 解得
x0 n x0 Acos d
2
A
x02
x0
d
n
x0
,
tg d x0 x0 n x0
将A与代入式(2.5-18)即得系统对于初始条件 x0与
的 x0响应。
x Aent sindt
11
粘性阻尼系统自由振动响应
x
ent
x0
cos d t
x&0 n x0 d
sin dt
(2.5-1)
1
粘性阻尼：
两接触面之间有润滑剂，摩擦力则决定于润滑 剂的“粘性”和运动的速度。两个相对滑动面之 间有一层连续的油膜存在，阻力与润滑剂的粘性 和速度成正比，其速度的方向相反，即
F cv cx&
(2.5-2)
式中c称为粘性阻尼系数，单位为N·s/m。
阻尼的存在将消耗振动系统的能量。消耗的能
式(2.5-15)可以简化为 x ent (B1eidt B2eidt )
x ent A1 cosdt A2 sin dt
(2.5-17)
式中A1=B1+B2，A2=i(B1-B2),为待定系数。仍决
定于初始条件。
设在t=0时，有x=x0, x，则x0代入解式(2.5-17)及 其导数，得
x
ent
n
A1
cosd
t
A2
sin
d
t
ent A1d sin dt A2d cosdt
9
在t=0时有
x0 A1, x0 n x0 A2d
解得
x0 A1,
x0 n x0 d
A2
经 A1与A2代入式(2.5-17)即得系统对于初始条件x0
与x0 的响应。
通常，经过三角函数变换A1=Asin，A2=Acos，
量转变成热能和声能(噪声)传出去。在自由振动
中，能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最后
使振动停止。
2
图2.5-1表示有粘性阻尼的振动系统，试建立 粘性阻尼的衰减振动的微分方程。
取铅垂向下的坐标轴x，以 物体的静平衡位置O为原点，
向下为正。由牛Fra Baidu bibliotek运动定律， 有
mx cx kx (2.5-3a)
或 x c x k x 0 mm
x ent (B1ei 1 2nt B2ei ) 1 2nt (2.5-15)
令
d 1 2n
(2.5-16)
d 通常称为阻尼自由振动的圆频率。
7
设在t=0时，有x=x0, x，则x0 代入解(2.5-15)及其
导数
x ent ( B1eid t B2eid t )
t=0时
解得
x nent (B1eidt B2eidt )
cc 2m
k m
2mn
2
km
(2.5-9)
式中,n为无阻尼时振动系统的固有频率。 5
引进阻尼比ζ(或称相对阻尼系数)，有
c c c cc 2 km 2mn
(2.5-10)
引进了ζ以后，微分方程(2.5-3)和特征方程
(2.5-6)可以改写为
x 2nxn2x 0
(2.5-11)
s2 2ns n2 0
ent id (B1eidt B2eidt )
x0 B1 B2 x0 n (B1 B2 ) id (B1 B2 )
B1
x0 n id
i2d
x0
,
B2
x0
n
i2d
id
x0
将 B1与 B2 代入式(2.5-15)即得系统对于初始条件 x0
与 x0的响应
8
另外，根据欧拉公式 eidt cos，dt 则isin dt
程，有两个根s1和s2
s1,2
c 2m
c 2m
2
k m
(2.5-7) 4
于是微分方程(2.5-3)的通解为
x B1es1t B2es2t
(2.5-8)
式中，B1和B2为任意常数。决定于运动的初始条件。
s1, 2
c 2m
c
2
2m
k m
(2.5-7)
使式(2.5-7)根号内的项等于零，亦即s1与s2为等值 时的阻尼系数值，称为临界阻尼系数。记为cc，即
方程的解(2.5-17)可以简化为
x Aent sindt
(2.5-18)
式中A与为待定常数，仍决定于初始条件。10
设在t=0时，有x=x0, x，则x0代入解式(2.5-18)及 其导数，得
x Aent d cos(dt ) n sin(dt )
在t=0时有
x0 Asin , x0 A(d cos n sin )
2.5 有阻尼系统的自由振动
阻力可能来自多方面。例如，两物体之间在润 滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力;物体在磁 场或流体中运动所遇到的阻力;以及由于材料的粘 弹性产生的内部阻力等等。在振动中,这些阻力称 为阻尼。
阻尼的分类：
1．干摩擦阻尼 2．结构阻尼 3．流体阻尼 4．粘性阻尼
F N F x2
则特征方程的根为
(2.5-12)
s1,2 2 1 n
(2.5-13)
6
下面分别就ζ <1， ζ =1及ζ >1的三种情况讨
论有粘性阻尼振动系统的解的性质。
1．小阻尼情况(即ζ <1，c<cc)
s1,2 n i 1 2n
(2.5-14)
式中 i 1。则解式(2.5-8)为 x B1es1t B2es2t
(2.5-3b)
图 2.5-1
有粘性阻尼的振动系统的自由振动微分方程。3
粘性阻尼的衰减振动的解。
设
x est
(2.5-4)
其中s是待定常数，代入式(2.5-3)，可
得
s
2
c m
s
k m
e
st
0
有
s2 c s k 0 mm
(2.5-5) (2.5-6)
上面的代数方程为有粘性阻尼振动系统的特征方
或表示为：
2
x
x02
x&0 n x0 d
ent sin(dt ),
tg d x0 x&0 n x0
d 1 2n
12
由解(2.5-18)可见，系统振动已不再是等幅的 简谐振动，而是振幅被限制在曲线 之Ae内，nt 随 时间不断衰减。
图 2.5-2
当t， x0，振动最终将消失，所以小
阻尼的自由振动也称为衰减振动。
13
●阻尼对自由振动的影响有两个方面：
(1)使系统振动的周期略有增大，频率略 有降低，即
Td
2 d
2 1 2n
1 T
1 2
(2.5-19)
fd
d 2
1 2 f
(2.5-20)
式中T=2/n和f=n/2为无阻尼自由振动的周
期和频率。 14
小阻尼情况(即ζ<<1)： 当ζ=0.05时，
与无阻尼的情形比较，只差0.125%。
当ζ=0.3时，
Td=1.05T， 与无阻尼的情f形d=比0较.95，f 也只差5%。
所以在阻尼比较小时，对周期和频率的影响 可以忽略不计。
或 解得
x0 n x0 Acos d
2
A
x02
x0
d
n
x0
,
tg d x0 x0 n x0
将A与代入式(2.5-18)即得系统对于初始条件 x0与
的 x0响应。
x Aent sindt
11
粘性阻尼系统自由振动响应
x
ent
x0
cos d t
x&0 n x0 d
sin dt
(2.5-1)
1
粘性阻尼：
两接触面之间有润滑剂，摩擦力则决定于润滑 剂的“粘性”和运动的速度。两个相对滑动面之 间有一层连续的油膜存在，阻力与润滑剂的粘性 和速度成正比，其速度的方向相反，即
F cv cx&
(2.5-2)
式中c称为粘性阻尼系数，单位为N·s/m。
阻尼的存在将消耗振动系统的能量。消耗的能
式(2.5-15)可以简化为 x ent (B1eidt B2eidt )
x ent A1 cosdt A2 sin dt
(2.5-17)
式中A1=B1+B2，A2=i(B1-B2),为待定系数。仍决
定于初始条件。
设在t=0时，有x=x0, x，则x0代入解式(2.5-17)及 其导数，得
x
ent
n
A1
cosd
t
A2
sin
d
t
ent A1d sin dt A2d cosdt
9
在t=0时有
x0 A1, x0 n x0 A2d
解得
x0 A1,
x0 n x0 d
A2
经 A1与A2代入式(2.5-17)即得系统对于初始条件x0
与x0 的响应。
通常，经过三角函数变换A1=Asin，A2=Acos，
量转变成热能和声能(噪声)传出去。在自由振动
中，能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最后
使振动停止。
2
图2.5-1表示有粘性阻尼的振动系统，试建立 粘性阻尼的衰减振动的微分方程。
取铅垂向下的坐标轴x，以 物体的静平衡位置O为原点，
向下为正。由牛Fra Baidu bibliotek运动定律， 有
mx cx kx (2.5-3a)
或 x c x k x 0 mm
x ent (B1ei 1 2nt B2ei ) 1 2nt (2.5-15)
令
d 1 2n
(2.5-16)
d 通常称为阻尼自由振动的圆频率。
7
设在t=0时，有x=x0, x，则x0 代入解(2.5-15)及其
导数
x ent ( B1eid t B2eid t )
t=0时
解得
x nent (B1eidt B2eidt )
cc 2m
k m
2mn
2
km
(2.5-9)
式中,n为无阻尼时振动系统的固有频率。 5
引进阻尼比ζ(或称相对阻尼系数)，有
c c c cc 2 km 2mn
(2.5-10)
引进了ζ以后，微分方程(2.5-3)和特征方程
(2.5-6)可以改写为
x 2nxn2x 0
(2.5-11)
s2 2ns n2 0
ent id (B1eidt B2eidt )
x0 B1 B2 x0 n (B1 B2 ) id (B1 B2 )
B1
x0 n id
i2d
x0
,
B2
x0
n
i2d
id
x0
将 B1与 B2 代入式(2.5-15)即得系统对于初始条件 x0
与 x0的响应
8
另外，根据欧拉公式 eidt cos，dt 则isin dt
程，有两个根s1和s2
s1,2
c 2m
c 2m
2
k m
(2.5-7) 4
于是微分方程(2.5-3)的通解为
x B1es1t B2es2t
(2.5-8)
式中，B1和B2为任意常数。决定于运动的初始条件。
s1, 2
c 2m
c
2
2m
k m
(2.5-7)
使式(2.5-7)根号内的项等于零，亦即s1与s2为等值 时的阻尼系数值，称为临界阻尼系数。记为cc，即
方程的解(2.5-17)可以简化为
x Aent sindt
(2.5-18)
式中A与为待定常数，仍决定于初始条件。10
设在t=0时，有x=x0, x，则x0代入解式(2.5-18)及 其导数，得
x Aent d cos(dt ) n sin(dt )
在t=0时有
x0 Asin , x0 A(d cos n sin )
2.5 有阻尼系统的自由振动
阻力可能来自多方面。例如，两物体之间在润 滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力;物体在磁 场或流体中运动所遇到的阻力;以及由于材料的粘 弹性产生的内部阻力等等。在振动中,这些阻力称 为阻尼。
阻尼的分类：
1．干摩擦阻尼 2．结构阻尼 3．流体阻尼 4．粘性阻尼
F N F x2
则特征方程的根为
(2.5-12)
s1,2 2 1 n
(2.5-13)
6
下面分别就ζ <1， ζ =1及ζ >1的三种情况讨
论有粘性阻尼振动系统的解的性质。
1．小阻尼情况(即ζ <1，c<cc)
s1,2 n i 1 2n
(2.5-14)
式中 i 1。则解式(2.5-8)为 x B1es1t B2es2t
(2.5-3b)
图 2.5-1
有粘性阻尼的振动系统的自由振动微分方程。3
粘性阻尼的衰减振动的解。
设
x est
(2.5-4)
其中s是待定常数，代入式(2.5-3)，可
得
s
2
c m
s
k m
e
st
0
有
s2 c s k 0 mm
(2.5-5) (2.5-6)
上面的代数方程为有粘性阻尼振动系统的特征方
或表示为：
2
x
x02
x&0 n x0 d
ent sin(dt ),
tg d x0 x&0 n x0
d 1 2n
12
由解(2.5-18)可见，系统振动已不再是等幅的 简谐振动，而是振幅被限制在曲线 之Ae内，nt 随 时间不断衰减。
图 2.5-2
当t， x0，振动最终将消失，所以小
阻尼的自由振动也称为衰减振动。
13
●阻尼对自由振动的影响有两个方面：
(1)使系统振动的周期略有增大，频率略 有降低，即
Td
2 d
2 1 2n
1 T
1 2
(2.5-19)
fd
d 2
1 2 f
(2.5-20)
式中T=2/n和f=n/2为无阻尼自由振动的周
期和频率。 14
小阻尼情况(即ζ<<1)： 当ζ=0.05时，