引力场

例3：证明在引力场中，把一个物体从一个点移动 到另一个点，引力场所做的功与经过的路径无关。
6、引力位
依据引力场的保守性
E 0 E 4 G
可引入引力位的概念
E U
从另一个角度看引力位,引力做功与路径 无关,只取却于起点和终点:
W F dl U ( B) U ( A)
Es S s E x S x 4 GM
因上下两个面的方向相反，且大小相等
Es S s E x S s 4 GM Esn S s Exn S s 4 GM
方程两边同除以面积
M Esn Exn 4 G 4 G s S
例题: 计算半径为r,面密度均匀分布的圆盘在垂 直轴上的引力场强度.
依据高斯公式,散度的体积分等于场在表面上的面积分
S
E ds 4 GM 其中M为圆柱体中的所有质量,把方程的左端写成顶,底和侧面的积
分

Sx
E ds E ds E ds 4 GM
Ss Sc
令圆柱体的高趋于0,则侧面的积分为0。设圆柱体的半径足够小， 此时有
3、引力场对物质的作用
具有质量的物体在引力场论要受到力的作用：力 的方向为引力场强度的方向，大小为：
F mE
4、加速度
引力场强度的定义是单位质量的质点所受到的作 用力： F
E lim
m 0
m
依据牛顿定律
F ma
可知:引力场强度就是加速度
引力场强度的单位：N/kg 或者： m / s 2


2、场源关系
在任何具有质量的物质的周围空间中,有与它共存 的引力场存在，二者紧密联系，不可分离，谁也不 可能单独存在。 因此，在引力场中，我们总是把场和场源一起研究， 找出二者之间的关系。这些关系，就是我们用来指 导生产实践的基础。比如在天体物理学中，我们用 这些关系来研究星体的运行，在勘探地球物理学中， 我们用这些关系来确定矿体的位置、大小和形状。
5、引力场的基本方程
依据亥姆霍兹定理，要研究引力场，需要两个基 本方程：
E 0 E 4 G
方程的意义： • 引力场是一种保守场 • 万有引力定律
例1：由万有引力定律方程
E 4 G
证明方程牛顿万有引力公式
m1m2 F G 2 R
例2：计算密度为2.6克/立方厘米的无限大水 平地层在空间任意一点的引力场。
D E
B H




G 6.67 1011 ( N m2 / kg 2 )
引力场的基本方程组
1、各个物理量的含义 E和H分别表示引力场强度和质流场强度。 J为质流密度，是一个矢量，其方向为物质运动的 方向，大小为单位时间内通过与物质运动方向相 垂直的平面内单位面积的质量。 为质量密度。 D是描述引力场的一个辅助参量，其与引力场强度 E之间有线性关系。 B是描述质流场的一个辅助参量，其与质流场强度 H之间有线性关系。
U U U 2 2 4 G 2 x y z
2 2 2
正演问题:已知质量分布函数，通过求解泊松方程 得到引力位，进而求得引力场分布的过程． 反演问题:已知引力位的分布，求解质量分布函数 的过程．
引力场的唯一性定理
引力场的唯一性定理:在空间中某一区域Ｖ内，如 果各点的质量密度和这个区域的边界面Ｓ上各点 的引力位或其梯度（场强度）为已知时，那么这 个区域中由泊松方程解出的引力位是唯一的． 下面来证明这个定理。 利用反证法，设在Ｖ内引力位有两组解： 2U1 4 G
2、场源关系
在引力场论中，一般需要解决下列两个问题： 一个是正演问题，就是从已知场源分布，求得场 的分布； 另一个是反演问题，就是从已知场的分布，求得 场源的分布。 这两个问题的实质，都是要解决场与场源之间的 关系问题。所以引力场论的基本问题，就是决定 场的性质对场源特征量(即质量的密度和位置)的 依赖关系，掌握场的分布规律，并运用来指导生 产实践。
2 2
1]
当a趋于无限大时，与无限大平板一致。
7、引力位的泊松方程
引力位的泊松方程
E 0
引入电位函数(x,y,z)：E U (U ) 0
E 4 G
U 4 G
2
直角坐标系中的泊松方程
E 4 G
2、场源关系
场源质点m在距离为R的P点激发的引力场，其场 强度为：
m E G 3 R R
m为场源的质量，R为由场源点至场点P的矢量， 负号表示引力，与R方向相反。 G为引力常数
G 6.67 10 ( N m / kg )
2 2
11
2、场源关系
如果质量连续以体密度ρ分布在空间一体积V中， 则可将V分为无数体积元dv，使每个体积元中的质 量dm，于是dm=ρdv，则dm在P点的场强度为：
dl idx jdy kdz
在该位移上引力位的增量为:
U U U dU dx dy dz x y z U dl
取dl为等位面的切向,此时dU为0.可见力与等位 面垂直.
例题: 求任一点质量场的等位面.
面质量分布的场
面质量分布的位和场为:
U G
s
dm dE G 3 R R dv G 3 R R
2、场源关系
若将上式对所有质量分布求积分，则全部质量所 激发的场在P点的场强度为：
( x ', y ', z ')R E( x, y, z ) G dv 3 V R ( x ', y ', z ')[( x ' x)i ( y ' y) j ( z ' z )k ] G dx ' dy ' dz ' 3 V ( x ' x)2 ( y ' y) 2 ( z ' z ) 2
例题: 试证明面质量两边相邻两点的引力场强度 的切线方向分量连续.
证明: 垂直质量分布的面作一如图所示的圆柱体,用符号V表示圆柱体 所在的空间区域,S表示圆柱体的表面积. 在V上对引力场的基 本方程 E 4 G
两边进行体积分,得到

V
Edv 4 G dv
V
从位场关系来看,如果位函数增加 一个常量,引力场还是不变.
E( x, y, z) U ( x, y, z)
原因是梯度运算本质上是微分运算.
点质量的引力位
场源质点m在距离为r的P点激发的引力位：
m U G C r
C为一个常数,或则说是参考点的引力位. 在一般的计算中,质量分布在有限的区域中,选 择无限远处的引力位为0.此时,有
2U 2 4 G 两式相减得到：
(U1 U 2 ) 0
2
引力场的唯一性定理
在高斯公式：

V
Adv A ds
S
中取：
A U V
这里的Ｕ和Ｖ是任意两个连续函数，其一、二次 微商也是连续的。 A (U V )
U 2V U V
m U G r
以点质量的场考查下列两式直接的内在联系
E U
U ( B) U ( A) F dl
A B
现考查A和B两点在同一径向上,再考查不在同 一同一径向上.
体质量的引力位
对于在空间区域V内连续质量分布的体密度来 说,任意一点P的引力位：
U G

r
V
dv
当p在V内时,该式也正确.因为在球坐标系中, 体元为: dv r 2 sin drd d
A
B
或
U ( B) U ( A) F dl
A
B
该公式表示引力场中任意一个点B的引 力位等于某个参考点A的位与单位质量 的物体从A移动到B引力所做的功之和.
U ( B) U ( A) F dl
A
B
引力场中任意一点引力位与参考点的引 力位有关. 当参考点的引力位增加一个数量时,引力 场中所有点的引力位都增加同一个数量
u V (u u u u)dv S u n ds
2
因ｕ是连个泊松方程的解的差，有
u0
2
所以，有
u (u ) dv u ds V S n
2
引力场的唯一性定理
因Ｕ１和Ｕ２在Ｓ面上的值相同，因此有

V
(u ) dv 0
2
由于被积函数为正，要使积分为０。被积分的函 数一定为０。所有ｕ为一个常数，又因为Ｕ１和Ｕ ２在Ｓ面上的值相同。所以有
1、引力场的基本概念
1.2 引力场强度 引力场强度是物理学家们发现的一个表示引力场的 特征量。所以说引力场强度是用来描述引力场的一 个物理量，并且是一个矢量。我们用矢量函数 E(x,y,z)来描述空间点（x,y,z)处的引力场强度
1、引力场的基本概念
引力场强度定义： 引力场中，某点的引力场强度等于一单位质量 的质点在该处所受的力：
U G r sin drd d
V
被积函数有限
等位面
位函数的值相同的点连起来的曲面就是等位面.引 力位函数是一格标量场函数,是空间位置的函数, 令该函数等于一个常数,就得到一个等位面:
U ( x, y, z ) C
给c以不同的值,就得到不同的等位面.
等位面与引力正交
设任意的微分位移:
2 2 2
r 2 r
r
r 2 sin

r 2 sin 2
引力场的完整理论
B E t H J D t B 0 D 1 1.193 10 9 m 3 s 2 kg 4G 4G 27 2 1 1 2 9.317 10 m s kg c
r
V
ds
sR
R
3 V
E( x, y, z ) G G
ds
V

s ( x ', y ', z ')R
( x ' x) 2 ( y ' y ) 2 ( z百度文库' z ) 2

3
ds
面质量分布的场
例题: 试证明面质量两边相邻两点的引力场强度 的法向分量发生突变,其值等于面质量密度的4πG 倍.
引力场理论
1、引力场的基本概念
1.1 引力场 引力场是在任何具有质量的物质的周围空间中 存在的一种无形的物质。 引力场的特性是对处于引力场空间中的任何具 有质量的物质要施加力的作用。
1、引力场的基本概念
1.2 引力场强度
要研究引力场的性质，必须找到表示引力场的特征量，而 且这个特征量还必须在实验的基础上引入。我们知道，一 个试探质点放在引力场中某一点上时，作用在它上面的力 的大小和方向是可以测量出来的。这个力的方向是恒定的， 力的大小既与场的本身性质有关，也与引入试探质点的质 量有关。但在场中任意确定地点，力与质量之比是不变的， 就是说，作用在单位质量上的力只与场的性质有关。
解: 设原点在圆心,垂直轴为z轴.半径为r,宽度为 dr的圆环产生的引力位为
G s 2 rdr r2 z2
整个圆盘的位为:
U ( z)
a
rdr r2 z2
0
G s 2 [ a 2 z 2 z 2 ]
由于对称性,引力场只有沿z轴方向的分量：
U Ez ( z ) z G s 2 [ z a z
F E lim m 0 m
引力场强度是表示场的性质的物理量，它只是 坐标的函数，而与用来测量引力场强度的试探 质点的质量无关。矢量的方向表示受力的方向。
2、场源关系
因为质量产生引力场，所以我们称引力场的场源为 质量。
牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书 中首先提出了万有引力定律：每一个物体都吸引着 其他每一个物体，而两个物体间的引力大小，正比 于这它们的质量，会随著两物体中心连线距离的平 方而递减。
U1 U 2
证毕
例１：通过求解泊松方程的方法，计算密度为３ 克/立方厘米的无限大水平地层在空间任意一点的 引力位和引力场。
例２：通过求解泊松方程的方法，计算密度为３ 克/立方厘米的球体的引力位和引力场。球坐标系 中： u 1 (r u ) 1 (sin u ) 1 u
引力场的唯一性定理
又因：
A ds (U V ) ds U V ds V U n
代入高斯公式得到格林定理：
V V (U V U V )dv S U n ds
2
在格林定理中取：
U V U1 U 2 u
引力场的唯一性定理
得到：