04-1 两自由度系统的振动

2 n1, n 2
ad ad 7 3 K bc 2 2 4 4 m
2
则：
K , m
2 n1
K n1 m
5K n 2 2m
5K , 2m
2 n2
3、主振型向量与振型图
振幅比：
2 a n 1 1 b
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主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
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(a ) b 0 2 c (d )
2
将上式展开得：
ω4- (a+d)ω2+(ad-bc)=0 特征根：
称为频率方程或特 征方程

2 1, 2
ad ad (ad bc) 2 2 ad ad bc 2 2
4.1.2 固有频率与主振型
设两质量块按同频率和同相位作简谐振动，即设：
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x1 A1 sin(t ) x2 A2 sin(t )
则：
1 A1 cos( t ) x 2 A2 cos( t ) x
2 K 5K m 2m 0.5 K m
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第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
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(1)两自由度线性系统的自由振动，有两个固有频率，也对应两种 简谐振动。 (2)根据线性微分方程理论，两自由度线性系统的自由振动是两种 简谐振动的叠加：
(1) A1(1)、A2 ——
( 2) A1( 2)、A2
按第1阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅； — — 按第2阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅。
A 上下标约定：下标 j 为质块序号； 上标 i 为固有频率阶数。
由于a、b、c、d和ωn1与ωn2都是由系统固有特性参数所决定的 ，所以某一阶固有频率振动时的振幅比也是由系统固有特性参数 所决定的，是常数，与初始条件无关。
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例 图示系统中，m1=m，m2=2m， k1=k2=k，k3=2k，试求系统的固
有频率和固有振型。
解：振动的微分方程为
x1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m1 x2 k2 x1 （k2 k3 ) x2 0 m2
(i ) j
主振型
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振幅比为常数，说明系统在振动过程中各点的相对位置是确 定的，因此振幅比所确定的振动形态是系统的固有特性。 主振型（固有振型）：当系统按某阶固有频率振动时，由振幅比
所决定的振动形态。
第一阶主振型：与ωn1所对应的主振型； 第二阶主振型：与ωn2所对应的主振型。

4.1 两自由度系统无阻尼自由振动
4.1.1 两自由度系统振动微分方程
如图所示的弹簧质量系统。质块 m1 和 m2在光滑水平面上移动，m1、 m2之间 及其与支撑面之间用弹簧分别联接。 显然，该系统为2自由度系统。 取质块位移xl和x2为广义坐标。 取质块m1和m2 为分离体，受力如图所示。 根据牛顿定律：
2 x A sin(t ) 1 1 2 x A sin(t ) 2 2
将上述关系代入运动 微分方程：
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
(a 2 ) A1 bA2 sin(t ) 0 2 cA ( d ) A2 sin(t ) 0 1
上式是关于A1和A2的二元齐次线性代数方程组，具有无穷多组 解。显然，A1=A2=0是方程的一组零解，即系统处于平衡状态。 由于我们的目的是研究的系统振动规律，因此感兴趣的是A1和 A2的非零解。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为0，即：
(a 2 ) b 0 2 c (d )
K 2 K3 d m2
运动微分方程简化为标准 形式：
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
方程的特点： 二阶常系数齐次线 1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。 x (1)第1个方程既含有 2 项，也含有-cxl项。 x (2)第2个方程既含有 显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。 与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动 微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
ωn1——第1阶固有频率，数值较小的固有频率； ωn2——第2阶固有频率，数值较大的固有频率。
主振型
2 ( a ) A1 bA2 0 将固有频率ωn1和ωn2代入代数方程： 2 cA1 (d ) A2 0
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2
2
固有频率
2 1,2
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ad ad ad ad ( ad bc ) bc 2 2 2 2
2
2
2
2 (1)a、b、c、d是由弹簧刚度和质量所决定的正数，所以 1 与 2
均为实根。 (2)因为 ad bc ， 正实根。
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2K K m m 1 K m
2 a n 2 2 b
主振型向量：
(1) 1 1 A 1 1 A(2) 1 1 0.5 2
整理得系统运动微分方程：
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引入符号：
K1 K 2 a , m1 K2 b , m1 K2 c , m2
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
则可以得到关于A1和A2的齐次线性方程组。由于方程组具有无穷 多组解，所以不能求得A1和A2的具体值，但可以求得二者的比值， 2 (1) 即振幅比： a n A2 c 1
1 (1) 2 b A1 d n 1 2 ( 2) c A2 a n 2 2 2 A ( 2) b d 1 n2
ad ad (ad bc) 2 2
2
2 ，所以12 与 2 均为
2 2 显然， 与 2 是由系统本身参数所决定的，故称ω1、ω2 1 为系统的固有频率。 2
将两个固有频率ωn1、ωn2按 从小到大的顺序排列：
ad ad 2 n bc 1 2 2 2 2 ad ad bc n2 2 2
式中：A1(1) 、 A1( 2) 、φ1和φ2——常数，由系统的初始条件决定。 初始条件：
t0 x1 x10 x 10 1 x
x 2 x 20 2 x 20 x
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t0 x1 x10 x 10 1 x
两自由度扭转振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
再如：双摆振动系统
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若不考虑杆的弹性变形，上述系统均为两自由度振动系统。 工程实际中有许多系统都可简化为两自由度振动系统，所以本 章研究两自由度系统的振动特性。 实际上，两自由度系统的分析方法与多自由度系统的分析方法 相同，两自由度系统是最简单的多自由度系统。 本章的重点：通过两自由度振动系统的分析，掌握多自由度系 统振动分析中的基本概念、基本方法。
1 2kx1 kx2 0 mx 2 kx1 3kx2 0 2mx
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
2K a , m K b m
K c , 2m
3K d 2m
2、固有频率
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连续系统。
例如 图示安装两个齿轮的传动轴系统。
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安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动， 在上述假设条件下，系统可简化成图两 自由度横向振动力学模型。
第4章 两自由度系统的振动 前两章，介绍了单自由度系统的振动理论。
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在工程实际当中，有许多振动问题是相当复杂的，用
单自由度的模型研究分析，往往不能得到满意的结果。
为了提高振动系统的分析精度，常将振动系统简化为 更为复杂的模型： 两自由度系统； 多自由度系统；
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1 K 2 ( x2 x1 ) K1 x1 m1 x 2 K 2 ( x2 x1 ) K 3 x2 m2 x
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x