直角三角形的判定HL

N
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线 CN于点A; M B
C
A
N
C
A
N
⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？ ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
学习目标： 1、理解直角三角形全等的判定方法－斜边 直角边； 2、熟练运用“HL”定理证明直角三角形全 等； 3、熟练运用“HL”定理解决有关问题.
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
4.有两边对应相等的两个直角三角形. 全等
情况1：全等 (SAS)
情况2：全等 ( HL)
例1
已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 A
Rt△ABP≌Rt△DEQ
P D
C
AB=DE,AP=DQ
E
Q
F
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中
A
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中
{
AB=DE AP=DQ
B
P D
C
∴△ABC≌△DEF (ASA)
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
{
AB=AC AD=AD
等腰三角形三线合一
B
D
C
例2
已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD.
证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中 D C
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
N B
M
A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB;
C′
斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等。 简写为“斜边、直角边”或“HL”。
A A´
几 何 B 语 B´ C 言： ∵在Rt △ABC和Rt △A´B´C´中 Rt AB=A´B´ BC=B´C´ Rt △A´B´C´ （HL） ∴ Rt△ABC≌ Rt
∟
∟ C´
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
AB BA BC AD
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
A A
B
例3
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
分析： △ABC≌△DEF
∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
B
D
B
C
E
F
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.
B 5cm
A
4cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
N
M
A
C
动动手 做一做
回 顾 与 思 考
1、判定两个三角形全等方法: 2、如图，Rt ABC 中，直角边 A
， 、
SSS ，
SAS ，
。 ASA 。 AB
AAS
BC，斜边 AC A
B 3、如图，AB （1）若 则 A=
C BE 于B，DE ⊥ BE于E， ⊥
B
F
E
C
D
AB=DE， D， DEF
△
ABC与
△
（填“全等”或“不全等”） 全等
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 全等 (AAS)
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 ( ASA)
判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 ( SAS)
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△ABC中

A
C B′
AB=AB
BC=BC
A′
B′ C′ (HL) ∴Rt△ABC≌ Rt△A′
{
∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ，△ABC与△DEF 全等吗？请说明思路。
N B
△ABC即为所要画的三角形
M
A
C
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α， 利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c.
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°; M
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; M
B
C
N
C ⑷ 连接AB. M B
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为 了美观，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。
你能帮工作人员想个办法吗？
A D
B
C
E
F
情境问题2:
A D
B
C
E
FБайду номын сангаас
工作人员只带了一条尺，能完 成这项任务吗？
情境问题2:
工作人员是这样做的，他分别测量了没有 被遮住的直角边和斜边， 发现它们对应相等， 对于两个直角三角形，若满足 于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。 一条直角边和一条斜边对应相等时， 你相信他的结论吗？ 这两个直角三角形全等吗？ A
根据
（用简写法） ASA
（2）若
A=
BC=EF， D，
则 ABC与 △ 根据
DEF （填“全等”或“不全等”） 全等 △ （用简写法） AAS
A
E
（3）若AB=DE，BC=EF，
则 ABC与 DEF △ △ （用简写法） SAS
B
F C
（填“全等”或“不全等”）根据 全等
D
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 ABC与 DEF △ △ （用简写法） SSS （填“全等”或“不全等”）根据 全等