10.1_平面的基本性质

个平面.
a
图形语言：
b
符号语言：a，b是两条直线
a//b
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1, A1B1, B1C1，分别记作、、 ，试用适当的符号填
空．
(1)A1 __∈_____, B1 __∈_____
(2)B1 __∈_____ , C1 __∈_____ (3)A1 __∈_____ , D1 __∈_____
D
C
A
B
平面α、平面AC
符号语言：通常用希腊字母 , ,等来表示， 如：平面 也可 用表示平行四边形的两个相对 顶点的字母来表示，如：平面AC．
(1) 当平面是水平放置的时候，通常把平行 四边形的锐角画成45°，横边画成邻边长的2倍。
（2）画直立平面时，要有一组对边为竖直。
β
水平平面
直立平面
一般用水平放置的正方形的直观图作 为水平放置的平面的直观图
②图形语言：
B
C
③符号语言：A、B、C三点不共线，有且
只有一个平面α，使得A∈α，B∈α，
C∈α.
A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
如何理解公理2？ (1) 公理2是确定平面的条件，也是证明两个 平面重合的依据. (2) 确定平面的条件是将空间图形问题转化 为平面图形问题来解决的重要依据，也为证 明直线共面问题提供了依据. (3) 深刻理解“有且只有”的含义，这里的 “有”是说平面存在，“只有”是说平面惟 一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这 两方面.
（2）公理1可以用来检验某一个面是否为 平面，检验的方法为：把一条直线在面内 旋转，固定两个点在面内后，如果其他点 也在面内，则该面为平面。
将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光 就能检查桌面是否平整．
3．公理2：
①文字语言：经过不在同一条直线上的三
点，有且只有一个平面，也可以说成不共
线的三点确定一个平面。 A
(4) __∩_____ A1B1 ___∩____ BB1
(5) A1B1 ________, BB1 ________
A1B1 ________
∩∩ ∩
如图，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，
Ｐ为棱ＢＢ１的中点，画出 由Ａ１，Ｃ１，Ｐ三点所确定
的平面 与长方体表面的交线．
分析：因为点Ｐ既在平面
（3）相交两平面：
βB
βB β
B
a
α A
α A
Aα
图2
α
a
β
四.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上：记为：B∈a
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α
点B不在平面α上： 记为：B∈ α α
B A
文字叙述
图形表示
符号表示
直线l在平 面α内
l α
直线l在平
l
l
面α外
α
α
直线l1 l2交于 点Ｐ
平面α 、 ß相 交于直线 l
P l1
l2
l
l l1 l2 P
l
五.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
五．平面的基本性质：
1．公理1：
①文字语言：如果一条直线上的两点在
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P 墙面β
β
a
α
P
2. 公理3： ①文字语言：如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过这个 点的公共直线.
②图形语言：
③符号语言： P P
.
l且P l
如何理解公理3？ (1) 公理3反映了平面与平面的位置关系， 只要“两面共一点”，就有“两面共一线， 且过这一点，线惟一”. (2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平 面，只要他们有公共点，它们就是相交的 位置关系，交集是一条直线.
(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个
平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
观察下列问题，你能得到什么结论_？
B A
B
CαA
C
六. 平面基本性质的推论
（1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一
一个平面内，那么这条直线上的所有点
都在这个平面内 ；
AB
②图形语言：
l
③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α
AB α.
练习：
（1）
A B
（2） l , Al
AB
。
A
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证 明直线是否在平面内的依据，即只需要看 直线上是否有两个点在平面内就可以了；
内又在平面ＡＢ１内，所以点
P在平面 与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 与平面
AB1的交线上,因此,PA1就是平面
与平面AB1的交线.
Ｄ１
Ａ１ Ｄ
Ａ
Ｃ１
．Ｂ１ Ｃ
Ｐ Ｂ
作法: 连结A1P,PC1,AΒιβλιοθήκη BaiduC1,它们
就是平面与长方体表面的交线.
点，有且只有一个平面. A
a
图形语言：
符号语言：a是任意一条直线
点Aa
a与A共属于平面α且平面α惟一 .
（2）推论2：
文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一
个平面.
图形语言：
a
Ab
a是任意一条直线
符号语言：b是任意一条直线
a∩b=A a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
（3）推论3：
文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉. 象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给
我们以平__面__的局部形象 黑板面是平面（×）
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延 展的。
三.平面的表示方法
图形语言：通常用平行四边形来表示平面．