根与系数关系

(1) X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_1X2= ___14
(2)( X1-X2)2 = ( ___X1+)2X-24X1X2 = ___ 12
(3) 1 1 = = x1 x2 4
x1 x2
x1 x2
11
(4)
x
2 1
x22
=
x
2 1
x
2
2
(x1x2 )2
= 14
中考链接： （2008年广东）（1）解方程求出两个解
论
方程（二次项系数为1）是
2
x2 （x1 x2）x x1 • x2 0
或(2)(x-x1)(x-x2)=0
2.在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式；
⑵、在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏
例1 根写。据一元二次方程的根与系数的关系，
x 求下列方程两根 x1 ，wenku.baidu.com2的和与积：
已那和么：x1x1和x2x2=是方ba 程ax2x+1 b.xx+2c==0(aca≠0)的两个根
……
5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的
基 础
方
B
程是（ ）
练
习
A、y2+3y-2=0
B、 y2－3y+2=0
C、y2+3y+2=0 此题还有其他解法吗？
D、 y2－3y-2=0
换元法：
（1）x2 6x 15 0 （2） 3x2 7x 9 0 （3）5x 1 4x2
解：（1）x1 x2 -（- 6）= 6 x1 x2 - 15
（2）x1
x2
7 3
x1
x2
9 3
3
（3）方程可化为 4x2 5x 1 0
x1
x2
5 5 44
x1 x2
1 4
2、利用根与系数的关系，求作一个 一元二次方程（二次项系数为1）， 使它的两根为2和3.
则x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
推 特别地： 论 若方程x2 px q 0的两根为x1, x2，
则：x1 x2 p, x1 • x2 q
1
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
则x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
推
以两个数x1 , x2为根的一元二次
设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0，
得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
6、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
作业：
1、课本P43第7题 2、极速P20
再见
人教课标九上·§22.2.4
一元二次方程根与系数的关系
小组合作完成：
（1)x2-5x+6=0两根为x1=2,x2=3
(2)x2+7x+10=0两根为x1=-2,x2=-5
(3)2x2+3x-5=0两根为x1=1,x2=
5 2
则x1+x2= 5 ，x1.x2= 6 。
则x1+x2= -7 ，x1.x2 = 10 。
1
3、如果 2是方程2X2+mX+3=0的一 个根，求它的另一个根及m的值.
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
则x1+x2=
3 2
，x1.x2
=
5 2
。
(4) 方程ax2 bx c 0(a 0)的求根公式是
b
c
则x1+x2= a，x1.x2= a 。
x b
b2 4ac 2a
思考：方程两根和x1+x2，两根积x1.x2与方程系数a，b，c 有什么关系。
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
x1 、 x2 ，并计算两个解的和与积，填人下表
9x2 2 0
2x2 3x 0 x2 3x 2 0
x1
x2
2 3
2
33
0
2
12
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
0 x1 x2
x1
x22
9
30
2
32
b
c
aa
（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的 系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.