曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳

一、曲线积分与曲面积分的计算方法

1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：

(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.

(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则

1

(,)2(,)L

L f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨

⎪⎩⎰

⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数

对为偶函数

1

0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数

对为奇函数

其中1L 是L 在右半平面部分.

若积分曲线L 关于x 轴对称，则

1

(,)2(,)L

L f y f x y ds f x y ds f y ⎧⎪=⎨

⎪⎩⎰

⎰对为奇函数对为偶函数 1

0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数

对为奇函数

1

0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数

对为偶函数

其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则

()()=⎰

⎰L

L

f x ds f y ds .

—

（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则

1

0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑

∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰对为奇函数对为偶函数

1

0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.

若积分曲面∑关于yOz 面对称，则

1

0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑

∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰对为奇函数

对为偶函数

1

0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.

若积分曲面∑关于zOx 面对称，则

1

0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑

∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰

⎰⎰对为奇函数

对为偶函数

1

0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪

=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分.

（4）若曲线弧()

:()()

αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则

[

(,)(),()()β

α

αβ=<⎰⎰L

f x y ds f x t y t

若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则

[

(,)()cos ,()sin β

α

θθθθθ=⎰

⎰L

f x y ds f r r

若空间曲线弧()

:()()()αβ=⎧⎪

Γ=≤≤⎨⎪=⎩

x x t y y t t z z t ，则

—

[

(,,)(),(),()()β

α

αβΓ

=<⎰

⎰f x y z ds f x t y t z t

（5）若有向曲线弧()

:(:)()αβ=⎧→⎨=⎩

x x t L t y y t ，则

[][]{}(,)(,)(),()()(),()()β

α

''+=+⎰

⎰

L

P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt

若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪

Γ=→⎨⎪=⎩

x x t y y t t z z t ，则

(,,)(,,)(,,)Γ

++⎰

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()β

α

'''=++⎰

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt

（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则

[

(,,),,(,)xy

D f x y z dS f x y z x y ∑

=⎰⎰

⎰⎰

其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.

若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则

[

(,,)(,),,yz

D f x y z dS f x y z y z ∑

=⎰⎰⎰⎰

其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.

若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则

[

(,,),(,),zx

D f x y z dS f x y x z z ∑

=⎰⎰⎰⎰

其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.

（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则

(,,)[,,(,)]xy

D R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑

=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”

） 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.

若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则

(,,)[(,),,]yz

D P x y z dydz P x y z y z dydz ∑

=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”

） 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.