第3章 资产选择理论

E ( rP ) x A E ( rA ) x B E ( rB )
思考：如何证 明上述结论？
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证券组合的收益与风险
•投资组合的预期收益率
– 案例3：
E (rA ) 20%, E (rB ) 10% xA = xB =0.5
组合的收益率等于收益额除以投资本金：
7.6% = 76 400 600 ( 0.1) ( 1000 1000 1000 rP x A rA x B rB 0.06)
投资组合的收益率等于组合中所有证券收益率的加权平均，权重 （x）等于每一证券初始投资额占投资本金的比例。
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E (rP ) 0.5 20% 0.5 10% 15% 如果自有资金为1000元，卖空证券 B的收入为1000元。
将两笔资金 2000元均投资于证券A，则： E (rP ) 2 20% (1) 10% 30%
– 如果没有卖空交易，组合的预期收益率总是介于两种证券的收 益率之间，具体大小取决于资金的分配比例。 – 如果卖空某种证券，则组合的收益率既可能无限上升也可能无 限下降。 – 如果要尽可能大地提高组合的预期收益率，只需要大量卖空收 益率低的证券即可。但随着预期收益率的上升，组合的风险也 会随之上升。
2 A 2 2 2
1
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联合线——不相关的情况
•案例：
E(r) 证券
A
0.10
B
0.04
σ(r)
ρ ＝0
0.05
0.10
E (rP ) xA 0.10 (1 xA ) 0.04
(rP ) [ x 0.05 (1 xA ) 0.10 ]
Harry Markowitz (1927－)
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证券组合概述
• 为什么要研究和进行组合投资？
– 是现实投资活动中的一种普遍现象 – 单个证券的收益与风险之间的匹配性以及投资 者期望效用最大化特征 – 组合投资给投资者提供了更多的选择机会 – 组合投资可以在收益不至于大幅下降的情况能 有效地降低风险
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证券组合概述
• 投资组合的构建过程
– 根据投资目标的不同界定适合于选择的证券范围
– 估计各证券的预期收益率、风险和协方差（相关系数）
– 确定有效边界 – 最优化——找出最佳投资组合
• 组合内各种证券的选择 • 组合中各证券的投资比例
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证券组合的收益与风险
•权重与卖空
所购买的（或卖空的）证券A的金额 xA 投资于该资产组合中的自有资金额 xA xB 1
– 组合的权重可以为正值，也可以为负值。负值意味 着卖空某种证券。 – 卖空证券与卖出自己拥有的证券并非完全一样 – 卖空通常是指投资者向经纪人（券商）借入一定数 量的某种证券事先卖掉，在一定时间后再归还，并 支付相应报酬的行为。
0.22
0.0625 0.085
0.5 0.075 0.07 如果卖空与自有资金 同样金额的证券 0.25 0.0875 0.055 再将所获得的卖空收 入与自有资金一起投 -0.5 0.125 0.01 资于证券 成一个无风险的投资 组合。
0.13
0.12
0.1
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0.10
0.05,
0.045, 0.07
0.06
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联合线——完全正相关的情形
xA 3 2 1.5 0.75
•案例（续）：
σ(rp) 0.05 0 0.025 E(rp) 0.22 0.16 0.13
0.24 0.22 0.2
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证券组合的收益与风险
•权重与卖空
– 案例2：投资者自有资金1000元，卖空证券B收入600元，将 1600元全部用于购买证券A。假设证券A的收益率为20%，证 券B的收益率为10%。那么，（1）组合的权重为多少？（2） 组合的收益率为多少？
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Cov(rA ,rA )=σ 2 (rA )
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证券组合的收益与风险
•投资组合的方差（风险）
– 要计算投资组合的方差，还必须知道该投资组合中每 一证券的权重，并对协方差矩阵中的元素进行估计， 按以下方式建立一个新的矩阵：
____________________________________________
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即席思考
• 以下说法是否正确？
– 只要两种证券的标准差不同，且这两种证券完 全正相关，我们就总能够通过卖空其中的一种 证券达到构建一个无风险投资组合的目的。
证明：当AB =1时，要构建0风险组合,即使
2 (rP ) xA 2 (rA ) (1 xA )2 2 (rB ) 2 xA (1 xA ) AB (rA ) (rB )＝0
E (rP ) xA E (rA ) (1 xA ) E (rB )
(rP ) [ x (rA ) (1 xA ) (rB ) 2 xA xBCov(rA , r )]
2 A 2 2 2
1 2 B
[ x (rA ) (1 xA ) (rB ) 2 xA xB AB (rA ) (r2 B )]
2 A 2 2
1 2 2
假设自有资金为1000，卖空证券B收入500，共1500都投资于证券A，则 投资组合中证券A的权重为1.5。
E (rP ) 1.5 0.10 (0.5) 0.04 0.13
1
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联合线——不相关的情况
0.16 0.14 0.12 0.1 中南财经政法大学中国投资研究中心 李建华 2006 版权所有 0.16 0.24 0.22 0.2 0.22
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前讲内容回顾
– 单个证券的收益与风险的估计 – 证券之间的关联性 – 证券间优劣比较的评价标准 – 投资者行为偏好假定 – 期望效用最大化决策原则 – 投资者效用无差异曲线
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3- 3
本章内容
• 证券组合概述 • 证券组合的收益与风险 • 投资者最优投资组合的确定 • 引入无风险资产的投资策略
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证券组合的收益与风险
•投资组合的方差（风险）
– 要计算投资组合的方差，必须先知道该投资组合中所 有证券之间的协方差。例如证券A、B、C的协方差矩 阵如下：
_______________________________________ Sec A B C _______________________________________ A B C Cov(rA ,rA ) Cov(rB ,rA ) Cov(rC ,rA ) Cov(rA ,rB ) Cov(rB ,rB ) Cov(rC ,rB ) Cov(rA ,rC ) Cov(rB ,rC ) Cov(rC ,rC ) _______________________________________ Cov(rA ,rB )=Cov(rB ,rA )
xA 1.6 xB 0.6
证明 rP xA rA xB rB （重新购回的成本，价格上涨了10％） 1.6 0.2 (0.6) 0.1 整体收益260，本金1000，收益率26％ 0.26
买入证券A收益为320（0.2 1600） 卖出证券B损失60（600－660）
证券组合的收益与风险
•投资组合的方差（风险）
2 2 2 (rP ) x2A 2 (rA ) x B 2 (rB ) xC 2 (rC ) 2 xA xBCov(rA , rB ) 2 xA xC Cov(rA , rC ) 2 xB xC Cov(rB , rC ) 如果是 n种股票 : 2 N i 1 i 2 2 N N
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证券组合的收益与风险
•证券组合的收益率
– 案例1：假如某个投资组合仅由两种证券组成，本金为1000 元，其中400元投资于A，600元投资于B，投资期限1个月。 到期时，A的收益率为10％，B的收益率为6％，那么整个组 合的收益率又为多少？
显然，投资组合的货币收益为两种证券收益之和： 76 (400 0.1) (600 0.06) 76 40 36
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证券组合概述
• 投资组合的类型——按照投资目标划分
– 收入型组合 – 增长型组合 – 收入增长混合型组合 – 货币市场型组合 – 指数型组合 – 避税型组合 – 国际证券组合
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即使：xA (rA ) (1 xA ) (rB ) 0 (rB ) 可得：xA＝ (rB ) (rA )
类似的结论是否适用于完全负相关的情形？如何证明？
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联合线——完全负相关的情形
•案例（续）：
xA 3 2 1.5 0.667 0.25 σ(rp) 0.35 0.2 0.125 0 0.0625 E(rp) 0.22 0.16 0.13 0.08 0.055
Cov(rC ,rA )
Cov(rC ,rB )
2 (rB )
C Cov(rA ,rC ) xC Cov(rB ,rC ) 2 (rC ) ____________________________________________
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•案例（续）：
– 如果xA取不同的值，则可得到如下结果
xA 1.5 1 0.75 0.5 σ(rp) 0.09 0.05 0.045 0.056 E(rp) 0.13 0.1 0.085 0.07
0.12 0.14
卖空B
A
0.09,
0.13
0.25
0 -0.5
0.076
0.1 0.152
0.055
0.04 0.01
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证券组合的收益与风险
•投资组合的预期收益率
– 在不确定条件下，由于各证券的收益率在事先是不确定的，投 资组合的收益率也不可能确定，都为随机变量。 – 投资组合的预期收益率等于该投资组合中所有证券预期收益率 的简单加权平均，其权重则等于购买（或卖空）该证券的金额 占最初自有投资额的比例。
组合方差的 计算方法： 将矩阵中每 一个协方差 乘以其所在 行和列的组 合权重，然 后将所有的 乘积加总。
xA xB xC Sec A B C ____________________________________________
xA
xB
A
B
2 (rA )
Cov(rA ,rB )
Cov(rB ,rA )
i 1 j 1 ij
•思考：如何证明证券A、B的方差？
2 2 (rP ) x2A 2 (rA ) x B 2 (rB ) 2 xA xBCov(rA , rB )
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两种证券的联合线
•联合线
– 是由E（r）和σ（r）所确定的一系列点联结起来的曲线。 – 曲线上的每一个点都表示在某一既定的投资组合权重下，由两种证券 所构成的投资组合的预期收益率和标准差。 – 由于曲线上每一个点所代表的投资组合的权重各不相同，因此通过联 合线可以知道当改变投资组合权重时，由两种证券构成的投资组合的 预期收益率和风险将会发生怎样的变化。