四川大学商学院应用统计学2

QL = 不满意
QU = 一般
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众数、中位数与算术平均数的关系：

众数
不受极端值影响 具有不唯一性
数据分布偏斜程度较大时应用

中位数
不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用

平均数
易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用

举例:竞赛中的评分规则


十个家庭的年收入如下： 64000 39000 37500 36750 35250 31500 31500 30500 30400 25500 这一群体的平均收入是多少？
均值 中位数 众数
x 36190 M e 33375 M 0 31500
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算术平均数只是平均数的一种。 算术平均数指标只有在现象总体中各变量值 差异不大的情况下，其均值的代表性才较强， 才能反映现象的本质特征。
年收入（万元） 人数（人） 组中值（x) 0-1 2 0.5 1-3 3-5 5-7 7-9 9以上 合计 5 25 30 6 2 70 2 4 6 8 10 xf 1 10 100 180 48 20 359
7
平均收入:
xf x f 359 70 5.129
（万元/人）
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2、调和平均数：
回答类别
非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 合计
甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 300 累计频数 24 132 225 270 300 —
解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3×300)/4 =225 从累计频数看， QL 在“ 不满意”这一组别中； QU 在“一般”这一组别中。因 此
X
fi
[例4-9]
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4 、中位数:
将总体单位的某一数量标志的各 个数值按其大小顺序排列，处于中间 位置的标志值就是中位数。
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例题分析
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别
非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 合计
甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 300 累计频数 24 132 225 270 300 —
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数据类型与集中趋势测度值
数据类型和所适用的集中趋势测度值
数据类型 适 用 的 测 度 值 分类数据 众数 顺序数据 中位数 定距数据 算术平均数 定比数据 算术平均数
—
— — —
四分位数
众数 — —
众数
中位数 四分位数 —
几何平均数
中位数 四分位数 众数
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―平均”（集中趋势）意味着不同含义
M 1 XM
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算术平均数和调和平均数的区别和联系：
联系：调和平均数是算术平均数的变形，都是 总体标志总量除以总体单位总量。
xH M Xf Xf x 1 1 f M Xf X X
区别: 已知各组单位数，用算术平均数；已知各 组标志总量，用调和平均数。
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3 、几何平均数:
（元/公斤）
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调和平均数
调和平均数是各个变量值的倒数的算 术平均数的倒数。 简单调和平均数
1 xH (1 / x1 1 / x 2 ... 1 / xn ) / n n 1 / xi
加权调和平均数
M1 M 2 ... M N xH M1 / X1 M 2 / X 2 ... M N / X N
几何平均数是n个数值的n次方根。在分析 经济现象时，要求变量值间在经济内容上具有 连乘积关系。是计算平均比率和平均速度的常 用方法。 简单几何平均数:
X G n x1 x2 ...xn n
x
i
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加权几何平均数：
当数列各变量值存在权数或有分组 资料的情况下，必须用加权几何平均数。
fi fn f1 f2 XG X 1 X 2 ... X n fi
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6、分位数：
分位数按顺序排列的一组数据被划 分为若干相等部分的分割点的数值。 分类:四分位数 十分位数 百分位数
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四分位数
(quartile)
排序后处于25%和75%位置上的值
25%
QL
25%
25%
QM
25%
QU
主要用于顺序数据，也可用于数值型数 据，但不能用于分类数据
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例题分析
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
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1、算术平均数：
总体标志总量 算术平均数= 总体单位总量
x
x
i 1
n
i
n
Xi代表总体各单位的标志值
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x f f 加权算术平均数：x x f f
i i i i i
i
适用于分组资料， f为权数。
xi 为各组变量值； 在组距式数列中， xi 为组中值。
在单项式数列中，
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例：表4-1某保险公司业务员收入情况
四川大学
工商管理学院
刘馨 副教授 (liuxin67@sina.com)
1
第四章
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第一节 集中趋势的描述
平均指标是表明同类社会经济现 象在一定时间、地点条件下所达到的 一般水平的综合指标。它的数值表现 是平均数。
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平均指标的分类：
数值平均数
算术平均数 位置平ຫໍສະໝຸດ Baidu数 调和平均数
几何平均数
中位数
众数 分位数
例：青石桥市场某日提供3种大闸蟹，大、中、 小单价每公斤分别为120元、100元和80元，问 各买1公斤，平均每公斤多少钱？如果每种蟹 各买100元钱，平均每公斤多少钱？
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各买1公斤：
120 100 80 x 100（元/公斤） 3
各买100元钱:
300 x 97 100 / 120 100 / 100 100 / 80
解：中位数的位置为 300/2＝150
从累计频数看， 中位数在“一般”这 一组别中。因此
Me=一般
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5、众数：
众数是指总体中最常见的标志值， 亦即在研究和考察某种社会经济现象 时，重复次数最多的标志值。
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例题分析
不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露 合计 频数 15 11 9 6 9 50 比例 0.30 0.22 0.18 0.12 0.18 1 百分比 (%) 30 22 18 12 18 100 解：这里的变量为“饮料 品牌”，这是个分类变量 ，不同类型的饮料就是变 量值 在 所 调 查 的 50 人 中 ， 购买可口可乐的人数最多 ， 为 15 人 ， 占 总 被 调 查 人数的30%，因此众数为 “可口可乐”这一品牌， 即 Mo＝可口可乐