数值计算方法 第1章复习
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《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法第一章答案
数值计算方法第一章答案
2.（1）3580
绝对误差限：；相对误差限：
经过四舍五入得到的近似值2580，其各位都是有效数字，故有四位有效数字。
（2）0.00476
绝对误差限：；相对误差限：
有三位有效数字。
（3）
绝对误差限：；相对误差限：
精确到小数点后两位，所以有四位有效数字。
或者
近似值有四位有效数字。
（4）也可理解为)
(对于14300000精确到小数点前四位)
有四位有效数字。
3.解：取为最好用
，
准确到小数点后第二位，有三位有效数字
准确到小数点后位，有单位有效数字。
6.解：
方法一：
，
取
（）
由此，取4位有效数字.
方法二（有问题，看看错在什么地方？）：
即
则取三位有效数字，
验证
满足要求，所以应取三位有效数字。
8.解：
又
或
11.解：由求根公式
解得
或。
数值计算方法复习要点
第一章引论计算方法解决问题的主要思想计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简1、采用“构造性”方法构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。
这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。
2、采用“离散化”方法把连续变量问题转为求离散变量问题。
例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。
3、采用“递推化”方法将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。
由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。
4、采用“近似代替”方法计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。
算法的可行性分析时间复杂度、空间复杂度分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。
时间复杂度是算法耗费时间的度量。
算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度算法的可靠性分析良态算法、病态算法一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。
误差的来源1、模型误差我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。
因而总是近似的，这就产生了误差。
这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。
2、观测误差观测到的数据与实际数据之差。
3、截断误差数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。
4、舍入误差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。
绝对误差、相对误差定义2 记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。
定义3 称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。
实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。
“四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。
数值计算方法重点复习内容
Newton迭代方法求非线性方程组的迭代格式。
➢第七章
最小二乘问题的定义、思想及其求法；
❖广义逆矩阵 A和 最小二乘解的关系；
Householder变换的定义、性质、求法及应用；
Givens变换的定义、性质、求法及应用；
➢第八章
幂法的迭代格式及其应用； ❖反幂法的迭代格式及其应用； QR方法的思想。
《数值计算方法》重点复习内容 ➢第一章
基本概念：误差的分类、绝对误差和相对误差、
有效字；
❖误差分析的原则：避免相近的数相减等。
➢第二章
二分法及对分次数的计算； ❖不动点迭代：几何意义、迭代函数的构造、迭代
格式的收敛性判定方法。
Newton迭代及其收敛性。
➢第三章
代数插值函数的定义、存在唯一性、误差估计式； ❖Lagrange插值多项式、n次Lagrange插值基函数
➢第九章
单步法的构造方法：Taylor展开法； ❖Euler公式、 Euler预报-校正公式
和经典4阶Runge-Kutta公式及其应用；
单步法的局部截断误差、收敛阶的定义；
梯形公式、Simpson公式及其余项；
复化梯形公式、复化Simpson公式及其余项； Gauss型求积公式的定义及其特点。 数值微分的三点公式计算近似导数定理。
➢第五章
常用的向量范数和矩阵范数的定义及求法；
❖列主元Gauss消去法、Doolittle分解方法；
条件数的定义及其计算。
➢第六章
了解向量序列和矩阵序列的定义、收敛性； ❖一般迭代法的形式、收敛性判定； Jacobi、Gauss-Seidel迭代格式（包括分量形式）
的性质（习题4-4）、Newton插值多项式
数值计算方法复习知识点
数值计算方法复习知识点2015计算方法复习1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
(二) 复习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。
2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。
3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x 。
例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一)考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求1.了解求根问题和二分法。
2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。
3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。
5.了解弦截法。
（三）例题1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C)(D)迭代公式解：在(A)中,=1.076 故迭代发散。
第一章 数值计算方法的基本概念
b−a [ f (a) + f (b)] 2
e = x − x∗
为近似值 x 的绝对误差，简称误差。
∗
（2.1）
一般情况下，我们只能知道近似值 x ，而不只准确值 x ，但可以根据测量工具或计算 的情况，对绝对误差的大小范围作出估计，即可以给出一个正数ε，使得
∗
e = x − x∗ ≤ ε
∗
(2.2)
1 1 11 ⎧ ⎪ x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 6 ⎪ 1 1 13 ⎪1 ⎨ x1 + x 2 + x3 = 3 4 12 ⎪2 1 1 1 ⎪ x + x + x = 47 1 2 3 ⎪ 4 5 60 ⎩3
求解时，先将系数舍入成两位有效数字的数，变为
⎧ x1 + 0.5 x 2 + 0.33 x3 = 1.8 ⎪ ⎨ 0.50 x1 + 0.33 x 2 + 0.25 x3 = 1.1 ⎪0.33 x + 0.25 x + 0.20 x = 0.78 1 2 3 ⎩
按四舍五入取四位小数，可得 2 = 1.4142 ，前面已经提到，该数的绝对误差不超过末位 数字的半个单位，即
∗
2 − 1.4142 ≤
定义 2.1 设 x 的近似值
1 *10 − 4 = 0.00005 2
(a1 ≠ 0)
（2.6）
x ∗ = ±0.a1 a 2 L a n * 10 m
如果
x − x∗ ≤
§2
误差来源与误差的基本概念
2.1 误差的来源及分类 在数值计算中，误差是不可避免的。引起误差的因素很多，主要的原因有以下几种： 1.模型误差 解决实际问题的科学计算 ，首先要建立数学模型，即将实际问题经过 抽象合理简化，略去一些次要因素。因而它只是对所提出的问题的一种近似描述，包含有误 差，这种误差称为模型误差。 2.观察误差 在数学模型中总含有一些参数，如温度、长度、电压等，它们的值往往
《数值计算方法》复习资料
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= π=3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，相对误差限εr＝＝0.000 056x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr＝＝0.000 000 56由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法总复习.docx
数值计算方法总复习第一章算法与误差 第二章非线性方程求解 第三章线性代数方程求解 第四章函数插值与曲线拟合 第五章数值积分与数值微分 第六章當微分方程的数值解法 Chap. 1 （1）关于数值计算方法，What,特点教窗才算方法是应用数学的一个分支, 又称数值分析或计算方法,它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计 和对数值结果进行分析的依据和基础。
应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数 学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。
可见数值计算方法是进行 科学计算全过程的一个重要环节。
计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只能完成加、减、乘、除和 一些逻辑运算。
所以，各种复朵的数学问题 T 归结为四则运算 ------------- 9 编程指令。
把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序 有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。
研究各种算法 和和关理论的一门课程。
§1.2误差一、 误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）； 近似数/近似值。
1） 模型课差或描述误差2） 测量误差（观测误差）3） 截断误并（方法误并）4） 舍入误差（计算误差）:数值计算关心的是截断谋差（方法谋差）和舍入谋差（计算谋差） 二、误差限和有效数字1. 误差限的定义设Z 是准确值Z 的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事 先估计出误差的绝对值不超过某个正数5即：关于《数值计算方法》IZ - Z| W £则称£为近似值的谋差限。
或称在允许谋差£的情况下，结果z是“准确的”・2.误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和谋差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。
有效数字的定义：设数x的近似值T=0內兀2…乙xl（T ,其中灯是0到9之间的任一个数，但力工0门二1,2,3.・・，n正整数，刃整数，若lx-x* l< jxlO,n-n则称x*为x的具有n位有效数字的近似值，准确到第n位，x 1x2...xn是/ 的有效数字。
(完整版)数值计算方法复习提纲
（2）回代过程：
1．若 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。
2
举例说明。
4、消元法应用
（1）行列式计算；
（2）矩阵求逆。
二、利用矩阵三角分解求解线性方程组
1、求解原理
线性方程组写成矩阵形式为：
AX=b
若A=LU，则LUX= b，
记UX=Y
解的存在性定理：
解析解的概念
数值解的概念
§1 Euler方法
一、Euler公式
导数离散化
由向前差商代替导数
得
记为 ------- Euler显式公式
由向后差商代替导数
得
记为 ------- Euler隐式公式
由中心差商代替导数
得
记为 ------- Euler两步公式
二、Euler预估-校正公式
梯形公式
。。。
依次带入
----- Newton插值多项式
计算时先造差商表；
三、余项
§4差分与等距节点插值多项式
一、差分及其性质：
二、等距节点插值多项式
§5 Hermite插值
一、带导数的插值多项式
1、问题：求次数不超过3次多项式 ；
2、利用基函数构造
二、一般情形
1、问题：求次数不超过2n+1次多项式
2、利用基函数构造
1、公式推导
由Lagrange插值多项式 代替函数f(x)
记
则
求积系数 的计算：
-
为Cotes系数；
--------- Newton-Cotes求积公式
2、Cotes系数性质
对称性：
数值计算方法复习知识点
数值计算方法复习知识点数值计算方法是研究计算数值解的方法和数值计算的理论。
它是计算数学的一个分支，主要用于解决无法用解析方法求解的数学模型问题。
本文将综述数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。
一、插值与逼近1.插值：插值是利用已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点上与已知函数完全相等。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
2. 逼近：逼近是从已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点附近与已知函数近似相等。
逼近常用的方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
二、数值微分与数值积分1.数值微分：数值微分是通过计算差分商来近似计算函数的导数。
常见的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
2.数值积分：数值积分是通过近似计算定积分的值。
常见的数值积分方法有中矩形法、梯形法和辛普森法。
三、线性方程组的直接解法与迭代解法1.直接解法：直接解法是通过一系列数学运算直接计算线性方程组的解。
常见的直接解法有高斯消元法和LU分解法。
2. 迭代解法：迭代解法是通过迭代计算逼近线性方程组的解的方法。
常见的迭代解法有Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。
四、常微分方程的数值解法1.常微分方程：常微分方程是描述动力系统的数学模型，常用来描述物理系统、生物系统等。
常微分方程的数值解法主要包括初始值问题的一阶常微分方程和常微分方程组的数值解法。
2.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法有欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法都是将微分方程转化为递推方程，通过迭代计算逼近微分方程的解。
总结：数值计算方法是求解数学模型的重要工具，在科学计算、工程设计和经济管理等领域有广泛的应用。
本文回顾了数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。
数值计算方法马东升等第 版习题解答
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
数值计算方法总复习
数值计算方法总复习第一章算法与误差第二章非线性方程求解第三章线性代数方程求解第四章函数插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法Chap.1 （1）关于数值计算方法，What,特点一、关于《数值计算方法》数值计算方法是应用数学的一个分支，又称数值分析或计算方法，它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。
应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。
可见数值计算方法是进行科学计算全过程的一个重要环节。
计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算。
所以，各种复杂的数学问题------→归结为四则运算------→编程指令。
把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。
研究各种算法和相关理论的一门课程。
§1.2 误差一、误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）；近似数/近似值。
1）模型误差或描述误差2）测量误差（观测误差）3）截断误差（方法误差）4）舍入误差（计算误差）：数值计算关心的是截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）二、误差限和有效数字1. 误差限的定义设Z 是准确值Z *的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数ε：即： |Z * - Z |≤ε则称ε为近似值的误差限。
或称在允许误差ε的情况下，结果Z 是“准确的”.2. 误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和误差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。
有效数字的定义：设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯= , 其中 xi 是0到9之间的任一个数，但x 1≠0,i=1,2,3…,n 正整数，m 整数，若nm *|x x |-⨯≤-1021 则称x *为x 的具有n 位有效数字的近似值，x *准确到第n 位，x1x2…xn 是x *的有效数字。
计算方法复习
数值计算方法复习（40学时）第一章 误差1、了解误差的概念，来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差；2、掌握绝对误差、相对误差与有效数字；3、知道数值运算中误差传播的规律及应注意的问题。
例1：问142.3，141.3，7/22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？例2：设计算球体体积允许其相对误差限为1%，问测量球半径的相对误差限最大为多少？ 例3：1）经过四舍五入得出1025.61=x ，115.802=x 。
试问它们分别具有几位有效数字？ 2）求21x x +的绝对误差限。
3)若64.3587=*x 是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限. 第二章 插值法1、 了解插值问题的提法，差商与差分的概念与求法；2、 掌握Lagrange 插值多项式与Newton 插制多项式的求法；3、 了解分段低次插值，样条插值；4、 了解数值微分。
例1：已知10100=，11121=，12144=，用抛物线插值求115的近似值，并 估计误差。
例2：设4)(x x f =，试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次 插值多项式。
例3：已知1234)(248+++=x x x x f ，求]2,,2,2[81f . 例4：已知x x f sin )(=的数值表如下，试写出三阶(向前)差分表.例5：已知5,3,2,0=x 对应的函数值为5,2,3,1=y ，做三次Newton 插值多项式. 如再增加6=x 时的函数值为6，作四次Newton 插值多项式。
例6：判断函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+<≤<≤-=21,)1(10,01,0)(233x x x x x x x f 是否为三次样条函数.第三章 曲线拟合了解最小二乘法的提法，掌握最小二乘法 例：用最小二乘法建立下表的经验公式第四章 矩阵的特征值与特征向量了解乘幂法与反幂法，雅可比方法；会求主特征值和相应的特征向量。
例：用幂法求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5423A 的主特征值和对应的特征向量. （取T v )1,1(0=，精度为0.1）第五章 数值积分1、 掌握构造数值积分公式的基本方法；2、 会求数值积分公式的代数精度3、了解Newton-Cotes 公式；复和求积公式，龙贝格算法。
数值计算方法复习提纲PPT
b) 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则 必有: I±A可逆、 I A 1 1
1|| A||
4) 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
－7－
17:40
❖ 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
1) 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1
第6章 数值积分
基本概念：
❖ 数值积分（机械求积公式）的一般形式 ❖ 求积公式的代数精度（计算、证明）
Akba
插值型求积公式：
❖ 插值求积公式的构造方法（★） 1) n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 2) n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有 n+1次代数精度
1) 步骤
2) 估算某点的近似值：
❖ Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
－11－
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Hermit插值
❖ 基本思想 ❖ 插值多项式的构造方法
1) Lagrange型构造法（基函数构造法） 2) Newton型构造法（重节点的差商）
2) f[x 0 , ,x n ] i n 0 (x i x 0 ) (x i x i f 1 ( )x i x ) i( x i 1 ) (x i x n )
f[x0,,xn]
f
(n)()
(n)!
❖ Ne推 wton插值论 f 公(x 式)的 构： P n 造(x （)★f,若 [ ）x 0, ,x k] a 0 n ,,k k n n
数值计算方法复习提纲
数值计算方法复习提纲第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字绝对误差 E （x ）=x-x *绝对误差限ε εε+≤≤-**x x x相对误差 ***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=有效数字m n a a a x 10.....021*⨯±=若n m x x -⨯≤-1021*，称*x 有n 位有效数字。
有效数字与误差关系（1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （2）*x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(11021)(--⨯≤n r a x E 。
选择算法应遵循的原则1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 ⎰=101dx e x eI xn n eI nI I n n11101-=-=- △!n x n=△x 02、 简化计算步骤，减少运算次数；3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免第二章 线性方程组的数值解法1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。
本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。
数值计算方法第一章误差的基本知识
推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式
（数学模型）通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字，非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义：设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ，
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法； ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中，用解析方法在理论 上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十 分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值 解法就显得不可缺少，同时有十分有效。
数值计算方法复习要点
数值计算方法复习要点数值计算方法是计算机科学中常用的一类方法，主要用于在计算机上对数值进行精确的计算和近似的计算。
数值计算方法的核心是数值计算技术，它包括离散化方法、插值方法、数值微积分和数值代数等。
本文将复习数值计算方法的要点，总结为以下几个方面。
一、离散化方法离散化是指将连续问题转化为离散问题的方法，在数值计算中广泛应用。
其基本思想是将连续问题的数学模型用离散点来逼近。
常用的离散化方法有有限差分法和有限元法。
1.有限差分法：将微分方程转化为差分方程，通过计算差分方程的数值解来近似原微分方程的解。
-常见的差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
-一阶导数的差分近似公式有一阶向前差分公式和一阶中心差分公式。
-二阶导数的差分近似公式有二阶中心差分公式。
2.有限元法：将连续问题的域划分为有限个子域，构建一个适当的函数空间，在每个子域上选择一个适当的试函数进行逼近。
-有限元法的基本步骤包括离散化、建立有限元方程、计算有限元解和后处理。
二、插值方法插值方法是一种用已知数据构造出逼近其中一种连续函数的近似函数的方法，它可以用于求解函数值，也可以用于构造近似函数。
1.拉格朗日插值多项式：给定n+1个互不相同的节点，可以构造出一个n次多项式，该多项式在这n+1个节点上取得实际值。
2.牛顿插值多项式：给定n+1个节点和与这些节点对应的函数值，可以通过差商构造一个n次多项式。
3.线性插值：在相邻的两个节点之间，用线性函数来逼近目标函数。
三、数值微积分数值微积分主要包括数值求导和数值积分两个方面。
1.数值求导：通过差分方法，计算函数在其中一点的导数近似值。
-前向差分法和后向差分法是一阶求导的差分方法。
-中心差分法是一阶求导的更精确的方法。
2.数值积分：通过数值方法计算函数的定积分或不定积分的近似值。
-区间分割方法是一种常见的数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则和复化求积公式等。
-变换方法是另一种常见的数值积分方法，如换元积分法和对称性积分法等。
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第1章 引论
一、考核知识点：
误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，误差传播，相对误差与有效数字之间的关系。
二、考核要求：
1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。
3．掌握有效数字的求法。
三、重、难点分析
例1. 近似值0.45的误差限为（ ）。
A ． 0.5 B. 0.05
C ． 0.005 D. 0.0005.
解 因 210450.00.45⨯=，它为具有3位有效数字的近似数，
其误差限为 123102
1101021--⨯=⨯⨯=
ε。
或
2,3==k n ，其误差限为 132********--⨯=⨯=ε 所以 答案为B.
例2.. 已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。
解：（绝对）误差限： 1.4140.00021350.00030.0005x ∆==<<
所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。
相对误差限： r x x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414.14142135.1414.1)(
所以，相对误差限0002.0=r ε 例3..已知 ,1415926.3* ==πx 求近似值142.3=x 的误差限，有效数字。
解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ∆ 误差限为31021-⨯=ε 因为1,3,4=-=-=k k n n 则，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。