椭圆,双曲线,抛物线知识点(最新整理)
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线、抛物线知识点汇总一、椭圆（Ellipse）1. 定义：椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)其中，\(a\) 是椭圆的长半轴，\(b\) 是短半轴。
3. 性质：- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个大于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 椭圆的长轴和短轴互相垂直。
- 椭圆的面积 \(A = \pi a b\)。
4. 焦点性质：- 椭圆上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
5. 椭圆的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) 是焦点到中心的距离。
二、双曲线（Hyperbola）1. 定义：双曲线是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为右开口双曲线；\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) 为上开口双曲线。
3. 性质：- 焦点：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个小于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 双曲线的两个分支分别位于中心点的两侧。
- 双曲线的面积无限大。
4. 焦点性质：- 双曲线上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 - PF_2 = 2a\)。
5. 双曲线的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 是焦点到中心的距离，且 \(e > 1\)。
高中数学椭圆双曲线抛物线
LOGO
Y
. . . . C1 OO
F2
C2 A2
X
LOGO
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200 371＋5 100
⇒ 2a＝18 042 km.
问题2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：∵a＝9 021，c＝2 450，
∴e＝ac＝0.271 6. 问题3：“嫦娥一号”卫星的轨道方程是什么?
x2 y2 1 49 25
10
2b
4
18
4
14
范围 | x | 4 2 |x|≥3 |y|≥2 |y|≥5
顶点 4 2,0 (±3,0) (0,±2) (0,±5)
焦点 6,0 3 10 ,0 0,2 2 0, 74
离心率 渐近线
e3 2 4
y 2x 4
e 10
y=±3x
e 2
Y
.
B2
..
F1 A1
. .X
A2 F
2
.B1
(2)离心率：
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
三、典例精析
21
例1:已知双曲线的两个焦点的距离为26，双曲线上 一点到两个焦点的距离之差的绝对值为24，求双 曲线的方程。
解：设焦点F1, F2在x轴上,由题意知 2c 26,2a 24.
y2 a2
x2 b2
1
Y A2
F2
B1 o F1 B2 X
A1
b x b,a y a
关于x轴，y轴， 原点 ,对称。
A(0,a), B(b,0)
e c (0 e 1) 10 a
椭圆的几何性质
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。
2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。
二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。
2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。
三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。
2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。
3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。
四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。
2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。
3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。
五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。
双曲线抛物线椭圆知识点汇总
双曲线抛物线椭圆知识点汇总“哇，这图形好有意思啊！”我看着数学书上的双曲线、抛物线和椭圆惊叹道。
有一天，我和小伙伴们在公园里玩耍。
阳光洒在绿茵茵的草地上，花朵绽放得格外鲜艳。
“嘿，你们看那棵树的树冠像不像个椭圆呀！”我突然指着不远处的一棵树喊道。
小伙伴们纷纷望过去，“还真有点像呢！”“哈哈，那旁边那个弯弯的小路是不是有点像双曲线呀！”另一个小伙伴也兴奋地说。
我们就围绕着这些图形叽叽喳喳地讨论起来。
我不禁想到，在数学的世界里，双曲线、抛物线和椭圆可是有着好多神奇的地方呢！双曲线就像是两个背靠背的弯弯的弧线，它有着特别的性质。
哎呀，就好像是两个好朋友闹别扭了，各自向两边走开，但又有着某种联系。
抛物线呢，那优美的曲线，就像是把一个球抛出去后它飞行的轨迹，一直向上，然后再落下来。
而椭圆呢，扁扁的或者圆圆的，感觉就像是一个神秘的圈圈，有着好多我们还没发现的秘密。
双曲线，它可不是一般的曲线哦！它有两个分支呢，感觉就像两条调皮的小蛇在扭动。
老师说双曲线在生活中也有很多应用呢，比如那些卫星的轨道啥的。
“嘿，你们说卫星在双曲线轨道上飞的时候是不是很刺激呀！”我和小伙伴们说道。
“肯定很有趣呢！”他们回应道。
抛物线，那可是很厉害的呀！它可以用来描述很多东西的运动轨迹，像投篮的时候篮球的轨迹不就是抛物线嘛。
“哇，那要是我能掌握抛物线的规律，是不是投篮就能百发百中啦！”我笑着说。
小伙伴们都哈哈大笑起来。
椭圆呢，就更神奇啦！行星的轨道大多就是椭圆的呢，这多有意思呀！“哎呀，那行星绕着太阳转就像是在一个大大的椭圆跑道上跑步一样！”我越想越觉得神奇。
这些双曲线抛物线椭圆，它们就像是数学世界里的小精灵，有着自己独特的性格和魅力。
它们让我们看到了数学的奇妙之处，也让我们对这个世界有了更深的理解。
我觉得数学真的好有趣啊，这些图形就像是一把钥匙，打开了我们探索世界的大门。
我们可不能小瞧了它们，要好好去研究它们，发现它们更多的秘密呀！所以呀，大家都要好好学数学哦，一起去探索那些神奇的图形世界吧！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
(完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点
标准
方程
（焦点在 轴）
（焦点在 轴）
定 义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦点弦的几条性质
设直线过焦点F与抛物线 >0）交于 ，
则：（1） =
（2）
（3）通径长：
（4）焦点弦长
直线与抛物线的位置
抛物线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
切线
方程
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
椭圆上到焦点的最大（小）距离
最大距离为：
最小距离为：
相关应用题：远日距离
近日距离
椭圆的参数方程
（ 为参数）
（ 为参数）
椭圆上的点到给定直线的距离
利用参数方程简便：椭圆 （ 为参数）上一点到直线 的距离为：
直线和椭圆的位置
椭圆 与直线 的位置关系：
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
( )
( )
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
直线和双曲线的位置
双曲线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：
过双曲线上一点的切线
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆、双曲线和抛物线
椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线是数学中一类特殊的曲线，在几何学和物理学的各个领域中都有广泛应用。
它们具有独特的几何性质和数学特征，对于理解曲线的形态以及解决实际问题具有重要意义。
一、椭圆椭圆是平面上一组点的集合，这组点到给定两点之和的距离恒定。
其中，这两点称为焦点，称之为F1和F2，而恒定的距离称为椭圆的长轴。
椭圆具有以下几个重要的性质：1. 弦的性质：通过椭圆内的两点的直线称为弦，对于任意一条弦，其两个焦点和弦的中点三者共线。
2. 离心率：椭圆的离心率描述了椭圆形状的瘦胖程度，定义为离心距与长轴长度之比。
离心率小于1，且越接近0，表示椭圆越圆。
3. 焦点与直线关系：对于给定的椭圆和一条直线，若椭圆上某点到该直线的距离等于该点到焦点的距离之差的绝对值，那么该点就位于该直线的法线上。
二、双曲线双曲线在几何学中也是一类十分重要的曲线，其形状类似于椭圆，但与椭圆不同的是，其两焦点之和的距离是恒定的。
双曲线具有以下几个特点：1. 双曲线的焦点：焦点依然是双曲线的特点之一，两个焦点到曲线上的任意一点的距离差的绝对值是一个恒定的值。
2. 双曲线的渐近线：双曲线具有两条对称的渐近线，与双曲线无限远的点相切而且永远不会穿过它。
3. 双曲线的反应曲线：光线在双曲曲面上的反应具有特殊的性质。
焦点到双曲曲面的距离越长，光线离开曲面后的弯曲程度越小。
三、抛物线抛物线是椭圆和双曲线的一种特殊情况，也是一类常见的曲线形状。
具有以下特性：1. 抛物线的焦点：抛物线有一个焦点F和一个直线称为准线。
该焦点与抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
2. 对称性：抛物线具有对称性，焦点F在抛物线的对称轴上，对称轴也是抛物线的准线。
3. 抛物线的重要应用：抛物线在物体运动和天体力学中应用广泛。
物体抛射的轨迹、卫星的运动和太阳系的天体运动等都可以用抛物线来描述。
总结：椭圆、双曲线和抛物线是数学中重要的曲线形状，它们具有独特的几何性质和数学特征。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线的知识要点
曲线与方程一般地，如果曲线C 与方程()0,=y x F 之间有以下两个关系：① 曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x F 的解；② 以方程()0,=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
那么，我们把方程()0,=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程()0,=y x F的曲线。
圆的方程1、圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹是圆。
这个定点就是圆心、定长就是半径。
2、（1）圆的标准方程是()()222rb y a x =-+-其中：圆心()b a C ,，半径r（2）圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 其中：0422>-+F E D椭圆1、椭圆的定义：两定点1F 、2F ，动点M 满足122MF MF a +=（常数122a F F >），则动点M 的轨迹是椭圆。
问：122a F F =时如何？ 问：122a F F <时如何？2、椭圆的性质双曲线1、 双曲线的定义：若定点1F 、2F ，122MF MF a -=（常数122a F F <），则动点M 的轨迹是双曲线。
又： （1）当122a F F =时如何？ （2）当122a F F >时如何？再：关注？2、双曲线的性质：抛物线1．抛物线的定义：平面上与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中：点F叫做抛物线的焦点；定直线l叫做抛物线的准线。
注：若点F在直线l上，则轨迹为过点F垂直于l的直线。
2．抛物线的标准方程的四种形式及其性质：注：p的几何意义。
（1）（2）（3）常见的基础题型1、判定曲线是否方程的曲线，方程是否曲线的方程：2、求圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（1）圆（2）椭圆、双曲线 （3）抛物线3、 知圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程，写到标准：（1）圆：配方法（圆心、半径）（2）椭圆：122=+yx问1：焦点在x 轴？问2：焦点在y 轴？（3）双曲线：122=-y x问1：焦点在x 轴？问2：焦点在y轴？特别地：共渐进线的双曲线系？（4）抛物线：常见的综合性问题：1、求曲线方程的一般方法：（1）直接法（仅一个动点）；特别：利用定义法省略化简（2）代入法（两个及以上动点）。
最新圆锥曲线-椭圆-双曲线-抛物线-知识点总结-例题习题精讲-详细答案
课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
高考数学复习：圆锥曲线
高考数学复习：圆锥曲线考点一：椭圆、双曲线、抛物线知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2；③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a ，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .（3）与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线；③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p23、抛物线中的几何常用结论（1）设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦．①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．（2）过x 2＝2py 的准线上任意一点D 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 【题型1圆锥曲线的定义及应用】容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于12F F 。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（2）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（3）顶点：焦点在$x$轴上时，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上时，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），反映了椭圆的扁平程度。
4、椭圆中的重要结论（1）过椭圆焦点的弦长：若弦过焦点$F_1$，则弦长$｜AB| ＝ 2a e(x_1 ＋ x_2)＄。
（2）椭圆上一点到焦点的距离：设椭圆上一点$P(x_0, y_0)＄，两焦点为$F_1$，＄F_2$，则$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，＄｜PF_2| ＝ aex_0$。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
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顶点坐 标
离心率
准线方 程
（ a ,0） ( a ,0)
e c (e 1) a
x a2 c
(0, a ,) (0， a )
y a2 c
3
左老师备战考高基础复习资料
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a2
c
顶点到 准线的 距离
顶点 A1 （ A2 ）到准线 l1 （ l2 ）的距离为 a a2
e c (0 e 1) ,e2 c2 a2 b2 ，
a
a2
a
e 越大椭圆越扁， e 越小椭圆越圆。
x a2 c
y a2 c
1
顶点到 准线的 距离
左老师备战考高基础复习资料
2a 2 准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：
c
顶点
A1
（
A2
）到准线
l1
（
l
2
）的距离为
a2 c
a
顶点
抛
y l
物
线
OF x
y l
FO x
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离}
4
范围 对称性
焦点
顶点 离心率 准线 方程 顶点到准 线的距离 焦点到准 线的距离
近日距离 a c
x y
a b
cos sin
（
为参数）
x
y
b cos a sin
（
为参数）
椭圆上 的点到 给定直 线的距
离
利用参数方程简便：椭圆
x
y
a b
cos sin
（
为参数）上一点到直线
Ax
By
C
0
的
距离为： d |Aa cos Bb sin C| A2 B2
直线和 椭圆的 位置
焦点弦的 几条性质
直线与抛 物线的位
置 切线 方程
x 0, y R
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x 0, y R
x R, y 0
x R, y 0
关于 x 轴对称
关于 y 轴对称
( p ,0) 2
( p ,0) 2
(0, p ) 2
焦点在对称轴上
(0, p ) 2
O(0, 0)
x p 2
标准 方程
定 义
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椭圆
（焦点在 x 轴）
（焦点在 y 轴）
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y 2 x 2 1(a b 0) a2 b2
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的 距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
x0 x y0 y 1 利用导数 a2 b2
y0 y a2
x0 x b2
1
利用导数
双曲线
标准方程（焦点在 x 轴） x 2 y 2 1(a 0,b 0) a2 b2
双曲线 标准方程（焦点在 y 轴） y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
定义
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值是常数（小于 F1F2 ）的
相交弦 AB 的弦长 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
通径： AB y2 y1
过双曲 线上一 点的切 线
x0 x a2
y0 y b2
1
或利用导数
y0 y x0 x 1 或利用导数 a2 b2
抛物线
y 2 2 px ( p 0)
y 2 2 px ( p 0)
x 2 2 py ( p 0)
x2 y2 k （k 0） a2 b2
y2 x2 k （k 0） a2 b2
方程
双曲线 x2 y 2 1与直线 y kx b 的位置关系： a2 b2
直线和 双曲线 的位置
利用
x a
2 2
y2 b2
1转化为一元二次方程用判别式确定。
y kx b
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
（3）通径长： 2 p
（4）焦点弦长 AB x1 x2 p 抛物线 y 2 2 px 与直线 y kx b 的位置关系：
y kx b
利用
y
2
2 px
转化为一元二次方程用判别式确定。
y0 y p(x x0 )
y0 y p(x x0 )
x0 x p( y y0 )
x0 x p( y y0 )
5
x p 2
e =1 y p 2
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p 2
p
y p 2
设直线过焦点 F 与抛物线 y 2 2 px( p >0）交于 A x1, y1 ， B x2, y2
y A x1, y1
oF x B x2, y2
则：（1） x1x2 =来自p2 4（2） y1 y2 p 2
点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
M MF1 MF2 2a 2a F1F2
P
yy
x
x
F1
F2
yy F2
xx
P F1
第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 e 1时， 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e （ e 1 ）叫做双曲线的离心率。
A1
（
A2
）到准线
l
2
（
l1
）的距离为
a2 c
a
焦点到 准线的 距离
焦点
F1
（
F2
）到准线
l1
（
l2
）的距离为
a2 c
c
a2 焦点 F1 （ F2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 c
c
椭圆上 到焦点 的最大 （小）距
离
椭圆的 参数方
程
最大距离为： a c 最小距离为： a c 相关应用题：远日距离 a c
c
顶点 A1 （ A2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a2 a
c
焦点到 准线的 距离
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l1 （ l2 ）的距离为 c a2
c
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a2 c
c
渐近线 方程
ybx (虚)
a实
xb y (虚)
a
实
共渐近 线的双 曲线系
椭圆 x2 y 2 1与直线 y kx b 的位置关系： a2 b2
利用
x2 a2
y2 b2
1 转化为一元二次方程用判别式确定。
y kx b
相交弦 AB 的弦长 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
通径： AB y2 y1
2
过椭圆 上一点 的切线
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P
yy
P
x
x
F1
F2
yy P F2
xx P
F1
范围
x a，yR
y a，xR
对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
对 称 中 原点 O(0, 0) 心
焦 点 坐 F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
标
焦点在实轴上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2c
焦点坐 标
离心率
准线方 程
x a y b
x b y a
(a,0) (0, b)
(0,a) (b, 0)
x 轴， y 轴；长轴长为 2a ，短轴长为 2b
原点 O(0, 0)
F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
焦点在长轴上， c a2 b2 ； 焦距： F1F2 2c
M MF1 MF2 2a 2a F1F2
y
M
F1 O
F2
x
y
F2
M
O
x
F1
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小 于 1 的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的 准线。
y
y
M
M
F2
M
F1
F2
x
x
F1
M
范 围 顶点坐 标 对称轴 对称中 心