04第十三章习题答案

第十三章习题答案

4. 设连通无向图G 具有k 个奇顶点，问最少加几条边到G 中，可使产生的新图为欧拉图(可以是多重边图)? 对于图13.12中的无向图，按上述要求使其变为一个欧拉图，并写出一个欧拉圈。

解：由定理9.1可推出：在任何图中奇顶点的个数必为偶数。只要在每对奇顶点之间各加一条边，G 就成为欧拉图。故最少加2/k 条边到G 中，可使产生的新图为欧拉图。

在图13.12中加上两条边，如下图中虚线所示，就得到一个欧拉图如下图所示。欧拉回路为： abcdefghifdigbea 。

7. 图13.13给出了四个无向图，试确定哪一个是欧拉图? 哪一个是哈密顿图? 并分别指出其欧拉圈和哈密顿圈。

解：图13.13中的（a ）图既是欧拉图又是哈密顿图，欧拉回路为：1234563762781u u u u u u u u u u u u u ，哈密顿回路为：123456781u u u u u u u u u 。

（b ）图是欧拉图，欧拉回路为：123415361u u u u u u u u u 。去掉顶点1u 和3u ，（b ）图成为有4个连通分支的图，不满足哈密顿图的必要条件p(G －V 1)≤｜V 1｜，（b ）图不是哈密顿图。

（c ）图是哈密顿图，哈密顿回路为：123456781u u u u u u u u u 。（c ）图有两个奇顶点，由定理13.1，该图不是欧拉图。

（d ）图有两个奇顶点，由定理13.1，该图不是欧拉图。去掉顶点5u 和3u ，（d ）图成为有3个连通分支的图，不满足哈密顿图的必要条件p(G －V 1)≤｜V 1｜，（d ）图不是哈密顿图。

9. 证明若n>2则完全图k n 是哈密顿图。

证明：由完全图k n （n>2）的定义可知，k n 中任两顶点之间都有一条边。设k n 的顶点分别为v 1，v 2，…，v n ，则有经过所有顶点的初级回路v 1v 2…v n v 1，该回路即为哈密顿回路。所以k n 为哈密顿图。

10. 设G 是具有n （n 2）个顶点的无向图。证明若G 中每一对顶点的次数之和大于或等于n ，则G 中存在一个哈密顿圈。

证明：由书的第九章中的约定可知，G是简单无向图。已知G具有n个顶点且每一对顶点的次数之和大于或等于n，根据第九章习题19的结论，G是连通图。由定理13.3可知，G中存在一条哈密顿链，令它为（v1，v2，…，v n）。若v1与v n邻接，则G中存在一个哈密顿圈（v1，v2，…，v n，v1）。若v1与v n不邻接，v1与其它k个顶点邻接，即d(v1)=k。由于每一对顶点的次数之和大于或等于n，则必有2≤k≤n-2，在这k个顶点中至少有一顶点v j，使得v n与v j的前一顶点v j-1邻接，若不然，v n至多与(n-1)-k个顶点邻接，即d(v n)≤n-1-k，于是

d(v1)+d(v n)≤k+(n-1-k)=n-1

与已知条件每一对顶点的次数之和大于或等于n矛盾.故v n与v j的前一顶点v j-1必邻接，因此得到哈密顿圈（v1，v2，…，v j-1，v n，v n-1，…，v j，v1）。综上所述，若n（n 2）个顶点的无向图G中每一对顶点的次数之和大于或等于n，则G中存在一个哈密顿圈。