湘潭大学第二学期高等数学期末考试B卷答案
高中数学选择性必修 第二册期末试卷及答案_湘教版_2024-2025学年
期末试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像中，存在一个点P，使得过点P的切线斜率为0。
则点P的横坐标是：A. 0B. 1C. 2D. 3，则该函数的图像关于点（）2、已知函数f(x)=2x1−xA、(1,0)B、(0,1)C、(0,0)D、(1,1)3、在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为B，则点B的坐标是（）A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）4、设集合(A={x|x2−5x+6=0})，集合(B={2,3,4})，则(A∩B=)（）A、({2,3,4})B、({2,3})C、({3,4})D、({2,4})5、在平面直角坐标系中，点(A(1,3))关于直线(y=x)对称的点(B)的坐标是：A.((3,1))B.((1,−3))C.((−3,1))D.((−1,−3))6、若函数(f(x)=√x−1+√4−x)的定义域为(D)，则(D)的取值范围是：A.(1≤x≤4)B.(1<x<4)C.(x=3)D. 无解7、设函数(f(x)=ln(x−1)+√4−x2)，则(f(x))的定义域为（）。
A.(1<x≤2)B.(1<x≤2)或(x≥−2)C.(x>1)且(−2≤x≤2)D.(x>1)8、已知函数(f(x)=x3−3x2+4)，下列说法正确的是（）A. 函数在((−∞,1))上单调递增，在((1,+∞))上单调递减B. 函数的极小值点为(x=1)，极大值点为(x=2)C. 函数的导函数(f′(x)=3x2−6x)有两个零点(x=0)和(x=2)D. 函数(f(x))在(x=0)处取得最小值二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）))，则下列选项正确的是（）。
1、设函数(f(x)=sin(2x+π3A.(f(x))的最小正周期为(π)])上单调递增B.(f(x))在([0,π3)对称C. 函数(f(x))的图象关于直线(x=π6,0))中心对称D. 函数(f(x))的图象关于点((π3+(x+3)2)，下列选项中正确的有：2、已知函数(f(x)=1x−2A. 函数的定义域为(x≠2)B. 函数在(x=2)处有垂直渐近线C. 函数的图像是一个开口向上的抛物线D. 函数在(x=0)处取得最小值3、下列函数中，哪些函数的图像是关于y轴对称的？A.(f(x)=x2+2x+1)B.(g(x)=x2−4x+4)C.(ℎ(x)=|x|+1))D.(j(x)=1xE.(k(x)=√x)三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、设(f(x)=x3+ax2+bx−4)，其中(a,b)是实数。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
2020-2021某大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷合集2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷B10适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1. 微分方程x y 2='的通解为2. 设z=223x xy y ++，则x z∂∂= ; y z ∂∂= .3.改变积分顺序22(,)dx f x y dy ⎰⎰=4. 级数0!nn x n ∞=∑的和函数为5.级数211p n n∞=∑ (p>0) 当 时收敛 .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域:x 2+y 2≤2,Ddxdy ⎰⎰=A.则A =( ) .(A) π (B) 4π (C) 2π (D) 3π. 2. lim 0n n u →∞=是级数∑∞=1n n u 收敛的( )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件. 3.积分 ()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )(A)P Q y x ∂∂=∂∂ (B) P Q y x∂∂=-∂∂ (C) P Q x y ∂∂=∂∂ (D)P Q y y ∂∂=∂∂ 4. 设2z x y =，则dz =( ).(A)dx dy + (B)22xydx x dy + (C) 2x dx ydy + (D) 2x ydx dy +5. 级数21n n ∞=∑为（ ）级数(A).收敛 (B). 发散 (C).既不收敛也不发散 (D)既收敛也发散 三、解下列各题。
(共4小题，每小题10分，共40分) 1. 设2cos z x y =，求全微分dz 。
2. 求曲线23,,x t y t z t ===在点()1,1,1处的切线及法平面方程3. 将函数()x f x e =展开成x 的幂级数.4.计算二重积分D dxdy⎰⎰，其中D：00x a y b≤≤≤≤，。
四.(10分)从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形的两直角边长。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
湘大年期末考试习题及解答
dx 解：v 3 15t 2; dt dv a 30t dt
故，振幅增加为原来2倍，能量应为原来的4倍，答案为D。
8.有以下几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态 无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速 率都相同。 若问其中哪些说法是正确的，答案是： A、只有（1）、（2）是正确的。 B、只有（1）、（3）是正确的。 C、只有（2）、（3）是正确的。 D、三种说法都是正确的。
m m0
1
v2 1- 2 c 105.7 150 v 105.8
（
1
1) m0 c 2 105.7 MeV
21. 两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为:ｙ1＝ 4.00×10-2cos(π/3)( 4ｘ －24ｔ）（ＳＩ）ｙ2＝4.00×102cos(π/3)( 4ｘ ＋24ｔ）（ＳＩ） 求（１）两波的频率、波长、波速； （２）两波叠加后的节点位置； （３）叠加后振幅最大的那些点的位置． 解：（１）与标准波动方程 ｙ＝Ａｃｏｓ2 π（νｔ－ｘ／λ） 对比可得：
18. 某弹簧不遵守胡克定律，设施力F,相应伸长为x,力与伸长为x,力 与伸长的关系为F=52.8x+38.4x2 (SI).求：
（1)将弹簧从伸长x1=0.50拉伸到伸长x2=1.00m时，外力所需做的功。 （2）将弹簧横放在水平光滑桌上，一端固定，另一端系一个质量 为2.17kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2=1.00m,再将物体由 静止释放，求当弹簧回到x1=0.50m时，物体的速率。 （3）此弹簧的弹力是保守力吗？
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
高数II及微积分I-B(2)答案
∞
sin α 1 ) 2 n n n =1 ∞ ∞ sin α 1 1 sin α ≤ 2 , ∑ 2 收敛,所以 ∑ 2 收敛 解: 2 n n n =1 n n =1 n ∞ 1 ∑ ( n ) 发散 n =1
∑(
∞
所以原级数发散 六. 解: lim
…………………………(2 分)
…………………………(4 分)
…………………………(8 分)
由点 A(0, 0) 到 B (1,1) 的曲线积分 十.解: un = e
∫ ( xe
L
x
1 + f ( x)) ydx + f ( x)dy = e ………………………(10 分) 2
1 n x 令 f ( x) = e 1 x, f (0) = 0
南 京 航 空 航 天 大 学
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二○○ 六 ～ 二○○七 课程名称: 《 命题教师:
一.填空题 1.
学年
第 2 学期
高等数学 II 及微积分 I》参考答案及评分标准
试卷类型:B 卷 试卷代号:
1 (dx dy ) + dz ; 2. 7 ; 2
3. 2π e ;
2
4. 2 x + 2 y + z = 6 ; 7. + 1
∞
…………………………(8 分)
n+2 = 1 ,收敛半径为 1, x = ±1 时原级数发散, n →∞ n + 1 …………………………(3 分) 所以收敛域为 (1,1) s ( x) = ∑ (n + 1) x n = (∑ x n +1 )′
06-07高等数学(2)期末考试B卷答案07.7.9考试
中国民航大学 高等数学(2)期末试卷(B 班)B 卷答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。
解：选D 。
()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
大学期末试卷模板(命题和答题区不超过4页使用的)
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制卷人签名： 制卷日期： 审核人签名： 审核日期： …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
湘潭大学 201 《
（A 或 B 卷）
年 上(下) 学期 20 级 》课程考试试卷
考试时间
班级 姓名
阅卷 教师
适用年级专业 考试方式开卷（闭卷）
专业 学号
分钟
学院
题 号 得 分
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
………………………………………………………………………………………………………………
得 分
一、□□□□□□□□□（每小题△△ 分，共△△分） （注意：各类题型引导语、小题得分和共得分，必须注明清楚；每题前要有 题首分。本注意事项和括号内的方框及
八、
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得 分
二、
（第 1 页 共 4 页）
附件 3 说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题区域。
得 分
三、
得 分
四、
得 分
五、
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附件 3 说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题区域。
得 分
六、
（第 3 页 共 4 页）
附件 3 说明： 本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题区域。
2017-2018高数B-2期末B试题及答案
学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――温馨提示（请务必仔细阅读）（1）本试卷共8页，第1-2页为答题纸，第3-6页为试题页，第7-8页为草稿页。
试题页空白处及背面也可做草稿纸用。
（2）请将答案写在答题纸相应位置上，答案写在试题页或草稿页上一律无效。
（3）交卷时请将答题纸（1-2页）和试题页、草稿页（3-8页）分开上交。
一、填空题Ⅰ（共12分，每小题3分）1. 若三重积分(,,)d 1f x y z v Ω=⎰⎰⎰，且Ω的体积2V =，则[](,,)2d f x y z v Ω-=⎰⎰⎰___________． 2. 对于正项级数1n n u ∞=∑，若1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑的收敛性为___________．3. 将函数3()e x f x =在(,)-∞+∞内展开为x 的幂级数，则展开式为()f x =________________________．4. 幂级数2n nn x ∞=∑在11(,)22-内的和函数为()s x =_________________． 答：1．3- 2．收敛 3．301!n n x n ∞=∑ 4．112x - 二、填空题Ⅱ（共18分，每小题3分）5. 方程32ln y y x ''+=是_______阶微分方程． 6. 微分方程d d 0yx x-=的通解为________________________________． 7. 微分方程sin y x ''=的通解为_______________________________． 8. 微分方程0y y '''-=的通解为_________________________． 9. 微分方程10250y y y '''-+=的通解为________________________． 10.若函数e cos 2xy x =与e sin 2xy x =是常系数线性方程0y py qy '''++=的两个解，则该方程的通解为__________________________．答：5．二 6．212y x C =+ 7．12sin y x C x C =-++8．12e x y C C =+ 9．512()e x y C C x =+ 10．12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+三、单项选择题（每小题只有一个正确选项）（共18分，每小题3分）11.设Ω是由上半球面2224x y z ++=与xOy 面所围成的空间闭区域，则三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰可转化为（ ） （A）2204d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰ （B ）2224d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰⎰（C）2204(,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰ （D ）2224d (,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰⎰12．设级数①11n n ∞=∑，②()01nn ∞=-∑，则收敛的为（ ）（A ）①② （B ）① （C ）② （D ）①②均发散 13．设幂级数1nn n a x∞=∑在点1x =处收敛，在点1x =-处发散，则（ ）（A ）幂级数1nn n a x∞=∑在点2x =处必发散（B ）幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在点2x =处可能发散（C ）数项级数13nnn a ∞=∑必条件收敛 （D ）幂级数1n nn a x∞=∑在点23x =-处必发散 14．幂级数112nn x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）[1,1]- （B ）[1,1)- （C ）(1,1)- （D ）{0} 15．关于微分方程21y y''=-，下列说法正确的是（ ）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――（A ）是可分离变量的微分方程，可利用分离变量的方法求解 （B ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为21p y'=-求解 （C ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为2d 1d p p y y=-求解 （D ）是二阶线性微分方程，可通过特征方程求解16．若11()y y x =、22()y y x =分别是线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=（()0f x ≡/）及其对应的齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则函数122y y y =+是方程（ ）的解．（A ）()()0y p x y q x y '''++= （B ）()()()y p x y q x y f x '''++= （C ）()()2()y p x y q x y f x '''++= （D ）()()3()y p x y q x y f x '''++=111213141516A D ABC B四、计算题（共28分，每小题7分）17．设闭区域:02, 02, 01x y z Ω≤≤≤≤≤≤，计算三重积分2d xz v Ω⎰⎰⎰． 解：22122000d d d d xz v x y xz z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4分）2212000d d d x x y z z =⋅⋅⎰⎰⎰（5分）142233=⋅⋅=（7分）18．计算三重积分()22d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由圆柱面221x y +=与平面0z =、4z =围成的闭区域．解：()223d d d d x y v z ΩΩρρθ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2分）2143000d d d z πθρρ=⎰⎰⎰（5分）12424ππ=⋅⋅=（7分）19．求微分方程311107e xy y y '''-+=的通解．解：特征方程为211100r r -+=，121,10r r ==，对应齐次方程11100y y y '''-+=的通解为1012e e x xy C C =+；（3分）设原方程一个特解为3e xy C *=，代入方程得33339e 33e 10e 7e x x x xC C C -+=，12C =-，从而31e 2x y *=-，（6分） 原方程通解为103121e ee 2xxx y y y C C *=+=+-（7分） 20．求解微分方程的初值问题4304e1x x y x y y -=⎧'+=⎪⎨=⎪⎩．解：方程通解为()3344d 4d e ee d x xx xx y x C --⎰⎰=⋅+⎰（3分）()()4444e e e d e xx x xx C x C ---=⋅+=+⎰（6分） 由01x y ==，得1C =，从而初值问题的解为()4e 1xy x -=+（7分）解法二（常数变易法）：解出对应齐次方程通解4ex y C -=（2分）设非齐次方程通解为4()e x y u x -=（3分），代入整理得出通解()4e x y x C -=+（6分），代初始条件得出特解（7分）五、解答题（共24分，每小题8分）21．判断级数1cos(1)!n n n ∞=+∑是否收敛？是否绝对收敛？ 解：cos(1)11cos(1)!!!n n n n n +=+≤（2分）由正项级数11!n n ∞=∑收敛（4分），知1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛（6分），从而1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛且绝对收敛（8分） 22．将函数21()4f x x =-展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的范围． 解：211()414f x x =-⋅-（2分）20144nn x ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（6分）21014nn n x ∞+=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（7分），214x <即22x -<<（8分） 23．已知函数()y x 在区间(1, 1)-内满足方程()yy s x '=，且(0)0y =，其中()s x 在区间(1, 1)-内可展开为幂级数211()n n s x nx∞-==∑，求()y x ．学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――解：方程分离变量，有d ()d y y s x x =，两边积分，得21()d 2y s x x =⎰（2分）0()d x s x x C =+⎰（3分）由(0)0y =，得0C =（4分）又 22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（7分） 故22222(1)y x x =-，即2()1x y x x=±-（8分） 解法二：对211()n n s x nx∞-==∑两端积分，得22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（3分） 于是22()2(1)x s x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，方程即为222(1)x yy x '⎛⎫'= ⎪-⎝⎭（4分） 分离变量得22d d 2(1)x y y x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，两边积分，得22222(1)y x C x =+-（6分） 由(0)0y =，得0C =，于是2221x y x =-，2()1x y x x=±-（8分）。
2018高数一下学期期末考试附答案
高等数学一（II ）期末B 卷答案与评分标准一、 计算二重积分 ∬xy Ddxdy , 其中 D 为第一象限内的椭圆区域: x 24+y 2≤1,x ≥0, y ≥0.（7分）解：使用广义极坐标变换，即x =2r cos θ,y =r sin θ（1分），积分区域可表示为0≤θ<π2,0≤r ≤1（1分）注意到J =D (x,y )D (r,θ)=[2cos θsin θ−2r sin θr cos θ]=2r （1分），我们有 ∬xy D dxdy =∫dθπ/2∫2r cos θ⋅r sin θ⋅|J |10dr （1分）=∫4cos θ⋅sin θdθπ/2∫r 31dr (1分)=∫2sin 2θdθπ/2×r 44|01=−cos 2θ|0π2×14(1分) =−(−1−1)×14=12(1分)二、 设 Ω 为曲面 z =1 与上半球面 z =√3−x 2−y 2 所围成的区域，S 为 Ω 的边界，求第一型曲面积分 ∬(x +S1)dS 的值. (7分)解：首先通过方程z =1=√3−x 2−y 2，容易算得两曲面交线为x 2+y 2=2，故积分投影区域为D:x 2+y 2≤2，上表面为上半球面z 上=√3−x 2−y 2，下表面为平面z 下≡1.（1分）同时，可计算出√1+z 上x 2+z 上y2=√3−x 2−y 2√1+z 下x 2+z 下y2=1 （1分）,由对称性，注意到两个表面均关于Oyz 平面对称，且x 关于x 为奇函数，所以有：∬(x +1)SdS =∬1SdS (对称性，1分)=∬3√3−x 2−y 2D +1dxdy （1分）=∫dθ2π0∫[3√3−r 21]⋅r √20dr （极坐标，1分） =2π×[−3√3−r 2+r 22]|0√2=2π×(−3−(−3√3)+1−0)=(6√3−4)π（1分）注：本题复杂度偏大，考生即使没有使用对称性，如果能正确列式评分至少可以给到4分。
高等数学期末考试试题及解答
高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。
2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。
3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。
5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。
3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。
5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。
2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。
4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。
高数下期末考试试卷及答案
⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方7．设级数a a 0 (n )为交错级数，，则（）. nnn 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（A）若级数 a 发散，则级数n2a 也发散n名姓⋯⋯⋯⋯⋯题号一二三四总分得分（B）若级数（C）若级数nn112a发散，则级数n2a收敛，则级数nnn11a也发散na 也收敛nn 1 n 1⋯⋯．阅卷人得分一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共16 分）将每题的正确答案的（D）若级数|a n |收敛，则级数n 1n 12a 也收敛n号学⋯⋯⋯代号A B C D、、或填入下表中．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 阅卷人得分⋯线答案二、填空题(7 个小题，每小题 2分，共14 分) ．号序封密1．已知a与b都是非零向量，且满足a b a b，则必有（）.(A) a b0(B) a b0(C) a b0 (D) a b03x 4y 2z 61. 直线x 3y z a 0与z 轴相交，则常数 a为.号班学教12 2lim( xy )sinx 0y 0过2.极限( ).y2．设( , ) ln( ),f x y x x则f2 2D : x y 2x ，二重积分(x y)d= .(1,0)___________.y2 2x y超(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3．函数 f (x, y) x y 在(3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.要3．下列函数中，df f 的是( ).（A）f ( x, y) xy （B）f (x, y) x y c0,c0为实数不4．设纸卷试题答2 2 x y（C）f (x, y) x y （D）f ( x, y) e4．函数 f (x, y) xy (3 x y) ，原点(0,0) 是f (x, y) 的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点5．设f x 是连续函数，D2 2{( x, y ,z) | 0 z 9 xy } ，2 2f (x y )dv在柱面坐标系下学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域x y2 2D : (x 1) (y1) 2 ，若I1d ，4Dx yI d ，24Dx yI3 d ，则有（）.34D（A）I I I （B）I1 I 2 I3 （C）I 2 I1 I3 （D）I 3I1 I 21 2 32 y2x2 26．设椭圆L ：1的周长为l ，则(3x 4y )ds （）.4 3L(A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l的三次积分为.6. 幂级数n 1n( 1)1nxn!的收敛域是.1 , xf ( x)7. 将函数 21 x , 0 x以2 为周期延拓后，其傅里叶级数在点x 处收敛于.2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第1页⋯阅卷人得分4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z 0 所围成的空间闭区域，求2 3d d dI xy z x y z .名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x1．设u xf (x, )y解：三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤），其中 f 有连续的一阶偏导数，求ux，uy．解：．⋯号学⋯⋯⋯线封z z xy 在点(2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．2．求曲面 e 3解：号序密过5．求幂级数nx n 1 的和函数S(x) ，并求级数n 1 nn 的和．n1 2解：超号班学要教不纸卷试题答3. 交换积分次序，并计算二次积分解：sin ydxdyxy．学大峡三⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第2页阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字⋯⋯⋯⋯⋯⋯说明、证明过程或演算步骤）1. 从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：名姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯．⋯号学⋯⋯⋯线2．计算积分L2 2( )dx y s，其中L 为圆周2 2x y ax ( a0)．号序封密解：蝌，5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分dxdy + dydz + dzdxS2 2 2其中为圆锥面z x y z 0 z 1介于平面及之间的部分的下侧.解：过超号班学要教不纸卷试题答3．利用格林公式，计算曲线积分I (x y )dx (x 2xy)dy ，其中L 是由抛物线y x2 和2 2Lx y2 所围成的区域D的正向边界曲线．学大峡三⋯⋯．⋯y2y x2 x y⋯D⋯⋯O x⋯⋯⋯⋯2017 年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷 A 共3 页第 3 页2017 学年春季学期（B ）若级数2a 发散，则级数na 也发散；n《高等数学Ⅰ（二） 》期末考试试卷(A)答案及评分标准（C ）若级数n n 1 12 a 收敛，则级数 nn n 11a 也收敛；n（D ）若级数|a n |收敛，则级数2a 也收敛．nn 1n 1一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D A B B A D C D二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4y 2z 6 0 x 3y z a 01. 直线与 z 轴相交，则常数 a 为 3 。
高等数学 二 b教材答案
高等数学二 b教材答案第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质- 极限的定义- 极限的唯一性和局部有界性- 极限的四则运算法则2. 函数的极限- 函数极限的定义和性质- 无穷大与无穷小3. 连续与间断- 连续函数的定义和性质- 间断点的分类与判定第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义和几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系2. 求导法则- 基本初等函数的导数- 和差、积、商的导数法则- 复合函数的求导法则3. 高阶导数与隐函数求导- 高阶导数的定义和性质- 隐函数求导的方法第三章：微分中值定理与导数应用1. 微分中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 函数单调性与极值点2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义和性质- 求函数的近似值3. 线性近似与牛顿法- 线性近似的定义和性质- 牛顿法的基本思想与应用第四章：定积分1. 定积分的概念与性质- 定积分的定义和几何意义- 定积分的性质和基本定理2. 定积分的计算- 基本初等函数的定积分- 积分的换元法和分部积分法3. 定积分的应用- 曲线长度与曲面面积的计算- 物理中的定积分应用第五章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续- 多元函数的极限的定义和性质- 多元函数的连续性定义和性质2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义和计算- 全微分的定义和应用3. 隐函数与方向导数- 隐函数的存在与求导- 方向导数的定义和计算第六章：多元函数的积分学1. 二重积分- 二重积分的定义和性质- 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义和性质- 三重积分的计算方法3. 曲线曲面积分- 第一、第二类曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和计算方法总结：通过学习高等数学二B教材，我们了解了极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、定积分、多元函数微分学以及多元函数的积分学等内容。
这些知识点对我们深入理解数学的基本概念和运算规则，以及应用数学解决实际问题具有重要意义。