高一数学不等式的解法人教版知识精讲
高一数学不等式的解法人教版知识精讲
高一数学不等式的解法人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：不等式的解法二. 数学目标：1. 会解c b ax c b ax >+<+,两类不等式。
2. 了解一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程的联系。
3. 掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地解一元二次不等式。
三. 知识讲解：c b ax c b ax >+⇔>+或)0(>-<+c c b ax )0(><+<-⇔<+c c b ax c c b ax4. 分式不等式的解法：利用不等式的性质可以把分式不等式0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f【典型例题】[例1] 已知}312|{},913|{Z x x B x x A ∈+=<-=，求B A ⋂。
解：由913<-x 得9139<-<-x ∴ 31038<<-x∵ Z x ∈+312 ∴ Z n n x ∈=+,312即Z n n x ∈-=,213 }25,1,21,2{--=⋂B A[例2] 解不等式3321>+++++x x x （*）解：（1）当3-<x 时，（*）化为3321>------x x x ，∴ 3-<x ，∴ 3-<x （2）当23-<≤-x 时，（*）化为3321>++----x x x ，∴ 3-<x ，x 无解 （3）当12-<≤-x 时，（*）化为3321>++++--x x x ，∴ 1->x ，x 无解 （4）当1-≥x 时，（*）化为3321>+++++x x x ，∴ 1->x ，∴ 1->x 综上，不等式的解集为}1,3|{->-<x x x 或 [例3] 解不等式333>--+x x （*）解：（1）当3-<x 时，（*）化为333>-+--x x ，即36>，∴ 3-<x （2）当33<≤-x 时，（*）化为，333>-++x x ，23>x ，∴ 23>x 或23-<x 故323<<x ，或233-<≤-x （3）当3≥x 时，（*）化为36>，∴ 3≥x综合（1）（2）（3）得}23,23|{>-<x x x 或解法二：原不等式化为333>--+x x 或333-<--+x x ，略。
人教版高中数学必修一一元二次不等式的解法-课件牛老师
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity.
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
类型 解集
ax2 bx c 0
ax2 bx c 0 ax2 bx c 0
0 , x1 x2, , x1 x2,
x1, x2
2.一元二次不等式的解法：
（2）解法：（不妨设 a 0）
0，
x1,
x2
为方程 ax2
bx
c
0
的两根，且
x1
x2
b 2a
.
类型 解集
ax2 bx c 0
x7
x4
x2
解析：（1） x 3 0 (x 3)(x 7) 0 7,3 .
x7
例 2.解下列不等式.
（1） x 3 0 ；（2）1 2x 0 ；（3） 2x 1 1；（4） x4 2x2 8 0 .
x7
x4
x2
解析：（2）1 2x 0 2x 1 0 ,4
x 4
x 4
北京市中小学空中课堂
一元二次不等式的解法
高一年级 数学
主讲人 苗金利 北京市第四中学
1.一元一次不等式组的解集
问题：设 a,b R,a b ，求下列不等式组的解集.
（1）
x x
a b
高一数学必修一不等式的解法总结
高一数学必修一不等式的解法总结一、不等式的基本概念不等式是数学中一种常见的数值关系表示方法，它用符号<、>、≤、≥等来表示数量的大小关系。
不等式中的未知数可以是实数或者是代数式，不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
二、一元一次不等式的解法1. 移项法：将所有项都移至一个侧边，得到形如ax + b < 0或ax + b > 0的不等式，然后根据a的正负来确定解集的范围。
2. 乘除法：在不改变不等式的方向的前提下，可以对不等式的两侧同时乘以正数或除以正数，但是对于负数，要注意改变不等式的方向。
三、一元二次不等式的解法1. 移项法：将所有项都移至一个侧边，得到形如ax² + bx + c < 0或ax² + bx + c > 0的不等式，然后通过判别式Δ=b²-4ac来确定解集的范围。
a) 当Δ > 0时，不等式有两个实根，解集为两个实根之间的区间。
b) 当Δ = 0时，不等式有一个实根，解集为该实根。
c) 当Δ < 0时，不等式无实根，解集为空集。
四、分式不等式的解法1. 分式的定义域：首先要确定分式的定义域，即分母不能为零，根据分母的正负来确定定义域的范围。
2. 分式的符号：根据分式的分子分母的符号来确定不等式的符号，注意分式的分母不能为零。
3. 分式的解集：根据不等式的符号和定义域的范围，确定不等式的解集。
五、绝对值不等式的解法1. 绝对值的定义：|x|表示x的绝对值，即|x| = x（当x≥0时）或|x| = -x（当x<0时）。
2. 绝对值不等式的性质：当|a| < b时，-b < a < b；当|a| > b时，a > b或a < -b。
3. 绝对值不等式的解集：根据不等式的性质，可以得到不等式的解集。
六、不等式的图像解法1. 不等式的图像：将不等式转化为函数的图像，通过观察图像来确定不等式的解集。
新人教B版必修一 不等式的解法 课件(31张)
【解析】由 Δ=4-4a<0,得 a>1.
.
5.不等式
2-
>0
+4
的解集是
.
【答案】(-4,2)
2-
>0,
+4
【解析】使用穿根法求解.∵
-2
<0.如图,得其解集为(-4,2).
+4
∴
T 题型一一
元二次不等式的解法
例 1 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},
即 Δ 的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.
1.解不等式 x2-(a+a2)x+a3>0.
【解】将不等式 x2-(a+a2)x+a3>0 变形为
(x-a)(x-a2)>0.
当 a<0 时,有 a<a2,解集为{x|x<a 或 x>a2};
当 0<a<1 时,有 a>a2,解集为{x|x<a2 或 x>a};
1 2 3
-2 +4
所以只需 m< 即可.所以,m 的取值范围是 <
6
7
.
(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求
最值,也可通过分离参数,再求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁
的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.
(3)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象
当 a>1 时,有 a<a2,解集为{x|x<a 或 x>a2};
高一数学不等式知识点讲解
高一数学不等式知识点讲解不等式是数学中比较大小关系的一种表示方式，它在实际问题解决中起着重要的作用。
高一数学学习的一部分内容就是学习不等式的相关知识。
本文将对高一数学中常见的不等式知识点进行讲解。
一、基本符号和性质在学习不等式之前，我们需要先了解一些基本符号和性质。
1.1 基本符号在不等式中，我们通常会用到以下几个基本符号：- 大于号（>）：表示大于的关系，如a > b表示a大于b；- 小于号（<）：表示小于的关系，如a < b表示a小于b；- 大于等于号（≥）：表示大于等于的关系，如a ≥ b表示a大于等于b；- 小于等于号（≤）：表示小于等于的关系，如a ≤ b表示a小于等于b。
1.2 传递性和对称性不等式具有传递性和对称性两个基本性质：- 传递性：若a > b，b > c，则有a > c。
即若a大于b，b大于c，则a大于c。
- 对称性：若a > b，则有b < a。
即若a大于b，则b小于a。
二、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最简单的一类不等式。
其形式通常为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为实数，且a ≠ 0。
2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的基本思路是找出使不等式成立的x的取值范围。
对于不等式ax + b > 0，可以按如下步骤进行解答：- 将不等式转化为等式，即ax + b = 0；- 求得方程的解x = -b/a；- 判断x的取值范围，当a > 0时，解为x > -b/a；当a < 0时，解为x < -b/a。
类似地，对于不等式ax + b < 0，可以按照以上步骤解答。
2.2 不等式的加减运算性质在解决一元一次不等式时，我们需要运用加减运算性质。
对于不等式ax + b > c，可以将不等式两边同时减去c，得到ax + b - c > 0。
高一数学不等式知识点
高一数学不等式知识点在高一数学的学习中，不等式是一个重要的内容。
不等式不仅在数学中有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
比如说，5 ＞ 3 ，那么 3 ＜ 5 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
例如 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 。
3、加法性质：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
比如 8 ＞ 6 ，那么 8 ＋ 2 ＞ 6 ＋ 2 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
举个例子，若 4 ＞ 2 ，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3；当 c ＝－3 时，4×（－3) ＜ 2×（－3) 。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）：根据不等式的性质，在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母。
但要注意，当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项：将同类项合并，化简不等式。
5、系数化为 1 ：在不等式两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集。
例如，解不等式 2(2x 1) 3(x ＋ 1) ＜ 5 ，首先去括号得 4x 2 3x 3 ＜ 5 ，然后移项得 4x 3x ＜ 5 ＋ 2 ＋ 3 ，合并同类项得 x ＜ 10 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
高一数学 含绝对值的不等式解法 重难点解析 人教版
数学 含绝对值的不等式解法【重点难点解析】本节的重点是：(1)解含绝对值不等式的基本思想：把含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式，并且要注意转化的等价性．(2)|ax ＋b|>c 与|ax ＋b|<c(c>0)型不等式的解法．本节的难点是：解含字母参数的绝对值不等式及将较复杂的绝对值不等式等价转化为不含绝对值的不等式．【考点】解绝对值不等式的问题在各级各类考试都经常涉及，是重点内容．本节的学习要求是：①会解|ax ＋b|<c(c>0)，|ax ＋b|>c 两类不等式；②理解掌握解绝对值不等式的基本思想：根据已知条件，利用不等式性质，将含绝对值的不等式同解转化为不含绝对值的不等式．【典型热点考题】例1 解下列不等式：(1)|2x －3|>5；(2)1<|3x ＋4|≤6．思路分析解题目标是去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式(组)．途径1：根据绝对值定义分情况去掉绝对值符号；途径2：利用|ax ＋b|>c ，|ax ＋b|<c(c>0)型不等式的解法．解：(1)解法一：根据绝对值定义，原不等式可化为⎩⎨⎧>-≥-53x 203x 2或⎩⎨⎧>--<-5)3x 2(03x 2 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>≥4x 23x 或⎪⎩⎪⎨⎧-<<1x 23x∴原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．解法二：原不等式化为2x －3>5或2x －3<－5∴原不等式的解为{x|x>4或x<－1}．(2)原不等式可化为⎩⎨⎧>+≤+1|4x 3|6|4x 3| 即⎩⎨⎧-<+>+≤+≤-14x 314x 364x 36或 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->≤≤-35x 1x 32x 310或 ∴原不等式解集为}32x 135x 310|x {≤<--<≤-或． 例2 对一切实数x ，若|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围．思路分析这是一个逆向问题．途径1：可利用零点分段讨论，得到|x －5|＋|x ＋2|的取值范围，然后据此确定a 的取值．途径2：充分考虑绝对值的几何意义，从距离关系上分析|x －5|＋|x ＋2|的意义．解法一：若|x －5|＝0，x ＝5；若|x ＋2|＝0，x ＝－2这样－2，5把数轴分成三部分．①当x ≤－2时|x －5|＋|x ＋2|＝－(x －5)－(x ＋2)＝－2x ＋3≥7②当－2<x<5时|x －5|＋|x ＋2|＝－(x －5)＋(x ＋2)＝7③当x ≥5时|x －5|＋|x ＋2|＝(x －5)＋(x ＋2)＝2x －3≥7综上，对一切x ∈R ，有|x －5|＋|x ＋2|≥7．因此，要使对一切x ∈R ，|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，只有a<7．即a 的取值范围是(－∞，7)．解法二：根据绝对值的几何意义，|x －5|可看作点P(x)到点B(5)的距离，|x ＋2|可看作点P(x)到A(－2)的距离．由于|AB|＝7，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离和都等于7．当点P 在线段AB 延长线上或在BA 延长线上时，一定有|PA|＋|PB|>|AB|＝7即数轴上任一点到A 、B 的距离之和都大于或等于7．∴要使|x －5|＋|x ＋2|>a 恒成立，必有a<7．点评 解法一主要是从数的方面考虑，而解法二则主要是从形的方面寻求解答．数形结合是数学中的一种基本思维方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这对同学们高中数学的学习是极为有益的．【同步达纲练习】一、选择题1．如果a<b ，那么下列各式中不正确的是( )A ．2a<2bB ．a ＋1<b ＋1C ．a －2<b －2D ．2b 2a -<- 2．满足不等式|5x ＋4|<11的整数x 的值是( )A ．－2，－1，0，1B ．1C ．－3，－2，－1，0，1D ．0，13．当x<－2时，|1－|x ＋1||等于( )A ．2＋xB ．－2－xC ．xD ．－x4．若M ＝{x||x|<1}，}1x |x {N <=，则M ∩N ＝( )A ．{x|－1<x<1}B ．{x|0<x<1}C ．{x|－1<x<0}D ．{x|0≤x<1}5．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．k<3B ．k<－3C ．k ≤3D ．k ≤－3二、填空题1．不等式|2x －1|<2－3x 的解集是____________________．2．不等式2≤|1－4x|<5的解集是____________________．3．关于x 的不等式|2a －3x|＋5b<0(b<0)的解集是____________________．4．已知集合A ＝{x||x －1|<a ，a>0}，B ＝{x|－1<x<2}适合B A ⊆的a 的取值范围是____________________．5．不等式|x ＋2|＋|x|>4的解集是____________________．三、问答题1．解不等式0<|x －a|<δ(δ>0)．2．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求a 的取值范围．3．解关于x 的不等式|ax|>1．参考答案【同步达纲练习】一、1．D 2．A 3．B 4．D 提示：因为M ＝{x|－1<x<1}，而N ＝{x|0≤x<1}5．B 提示：结合数轴考虑二、1．}53x |x {< 2．}23x 4341x 1|x {<≤-≤<-或3．}3b5a 2x 3b 5a 2|x {-<<+提示：注意－5b>0 4．{a|0<a≤1} 5．{x|x<－3或x>1}三、1．原不等式化为：0<x －a<δ或－δ<x －a<0∴解集为{x|a<x<a ＋δ或a －δ<x<a} ＝{x|a －δ<x<a ＋δ，且x≠a}2．解法一：根据绝对值的几何意义|x ＋2|＋|x －1|表示数轴上一点到A(－2)，B(1)两点距离之和∴|x ＋2|＋|x －1|≥3，又|x ＋2|＋|x －1|<a 解集为∅∴a≤3．解法二： 令⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤--<--=-++=1x 1x 21x 2 32x 1x 2|1x ||2x |y 1 ，，，令a y 2=∵21y y <解集为∅如图1－36知：a≤3．3．当a ＝0时，x ∈∅当a≠0时，ax>1或ax<－1当a>0时，}a1x a 1x |x {>-<或当a<0时，}a 1x a 1x |x {-><或．。
2020-2021人教版高一数学《等式的性质与不等式的性质》知识梳理与例题详解
第二章一元二次不等式、方程和不等式2.1 等式的性质与不等式的性质【学习目标】1.了解不等式的概念，能用不等式组表示实际问题中的不等关系2.掌握等式与不等式的性质，并能根据性质解决有关问题3.能比较两数的大小【知识网络详解】知识点一：不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式。
知识点二：不等式的性质【考向详析】题型一：两代数式比较大小例1.比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小例2.已知a =4b =，c =则,,a b c 的大小关系为 。
【练习】1.比较大小：(1) （x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2；(2) 3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1题型二：有限制条件的代数式比较大小例1.“已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．【练习】1.已知104b a <<<，试比较：（1的大小；（2a b -的大小。
题型三：两分式比较大小例1.已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a b的大小【练习】1.已知x y z >>，比较y x y -与zx z -的大小。
题型四：不等式性质的综合应用例1.对于实数a 、b 、c ，有下列结论：①若a ＞b ，则ac ＜bc ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞b c －b； ⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0. 其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5例2.若2＜a ＜5，3＜b ＜10，则a －2b 的范围为________．例3.已知a b -<0，2a b ->0，则-3+a b （ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法比较与0的大小【练习】1.（多选）下列说法中正确的是( )A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则2c a ＞2c b D ．若a ＞b 且1a ＞1b，则ab ＞0 E.若a ＞|b |，则a 2＞b 22.已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围．3.已知实数,x y ，满足-41x y ≤-≤-，-145x y ≤-≤，则3x y +的取值范围为 。
高一数学函数不等式知识讲解
高一数学函数不等式知识讲解高一数学函数不等式是高一学生的重要知识，也是学习数学的重要内容，它和函数非常相关，所以理解和掌握不等式就非常重要。
本文将介绍高一数学中函数不等式的基本概念，解决方法，应用以及考试技巧。
一、函数不等式的基本概念函数不等式是函数各部分定义域中的一种不等关系，用它可以限制函数值的取值范围，并且能够得到函数的有效解。
比如，如果y取值范围是[0,1]，可以用函数不等式来刻画，即 y < 1。
二、函数不等式的解决方法（1）极限法极限法是一种利用极限求解函数不等式的方法，意思是通过求函数表达式或不等式双侧极限间接求解函数不等式的解集。
比如，函数不等式2xy-3x+2y≤0，通过求双侧极限得到yy≤3/2，因此解集是yy≤3/2。
（2）非线性变量法非线性变量法是一种利用非线性函数求解函数不等式的方法，它和极限法有点类似，只不过它是利用非线性函数的变量替换法求解函数的，比如函数不等式x2+y2-1y>0，可以通过把y=1/x变量替换法得到x2+1/x2-1>0，后面只要解一个非线性方程就可以求出不等式的解集。
三、函数不等式的应用函数不等式在数学中有着重要的应用，比如可以用它来刻画函数表达式的取值范围，也可以用它来探究函数的性质，特别是可以用它来推导函数的最值。
比如，可以利用极限法推出二次函数y=ax2+bx+c 在x=0处的极值，从而推出抛物线的顶点。
四、函数不等式的考试技巧考试时函数不等式的答题也有一定的技巧。
首先，要认真分析题目，看清楚题目中是求解函数最值、极值、解集还是不等式成立的条件，然后再根据题目内容选择恰当的解题思路，在此基础上再找出函数的解或区间范围，最后要注意检查运算步骤的正确性。
以上就是关于高一数学函数不等式知识的简要介绍，希望通过本文的介绍能够帮助大家更好的理解和掌握不等式的概念，掌握解决方法，更好的应用于数学中，也希望能够在考试中取得最好的成绩。
2022-2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义2-1 等式性质与不等式性质 (解析版)
等式性质与不等式性质1等式的性质(1)如果a=b，那么b=a；(2)如果a=b，b=c，那么a=c；(3)如果a=b，那么a±c=b±c；(4)如果a=b，那么ac=bc；(5)如果a=b，c≠0，那么ac =bc.2不等式关系与不等式①不等式的性质(1) 传递性：a>b ,b>c⇒ a>c；(2) 加法法则：a>b ⇒ a+c>b+c , a>b ,c>d ⇒ a+c>b+d；(3) 乘法法则：a>b ,c>0 ⇒ ac>bc ,a>b ,c<0⇒ac<bc；(4) 倒数法则：a>b ,ab>0 ⇒1a <1b；(5) 乘方法则：a>b>0⇒a n>b n (n∈N∗且 n>1).【例1】证明：若c<b，b<a，则c<a.证明若c<b，b<a，则c−b<0,b−a<0,∴c−a=c−b+b−a<0，即c<a.【例2】已知a+b<0且a>0，则( )A、a2<−ab<b2B、b2<−ab<a2C、a2<b2<−abD、−ab<b2<a2解析a+b<0且a>0，∴b<0，∵a+b<0，∴a<−b，又a>0，∴a2<−ab，∵a+b<0，∴b<−a，又b<0,∴b2>−ab，∴a2<−ab<b2成立，故选A.【练】若a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A．|a|>|b|B．1a−b >1aC．1a>1bD．a2>b2解析∵a<b<0，∴a<a−b<0，∴1a−b<1a．因此B不正确．故选：B．②比较a ,b大小(1) 作差法( a−b与0的比较)a−b>0→ a>b ; a−b=0→ a=b ; a−b<0→ a<b(2) 作商法(ab与1比较)a b >1 ,b>0→ a>b ; ab>1 ,b<0→ a<b 【例】比较x2−x+3与x+1的大小.解析∵(x2−x+3)−(x+1)=x2−2x+2=(x−1)2+1>0，∴x2−x+3>x+1.【练】已知M=x2−3x+7，N=−x2+x+1，则()A．M<NB．M>NC．M=N D．M,N的大小与x的取值有关解析∵M−N=x2−3x+7+x2−x−1=2(x2−2x+3)=2(x−1)2+4>0，故M>N，故选：B．【题型1】不等式性质的运用【典题1】已知a >b >0，d >c >0，求证：ac >bd.证明ac −bd=ad−bccd，∵a >b >0，d >c >0，∴ad >bc，cd >0，即ad－bc >0，cd >0.∴ac −bd>0，即ac>bd.点拨证明过程中，多尝试利用分析法求解，即要证明ac >bd只需要证明ac−bd>0⟺ad−bccd>0⟺ad−bc>0.【典题2】若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A．a2<b2B．ab<b2C．a+b<0D．|a|+|b|>|a+b|解析方法1 因为1a <1b<0，所以{a<0b<0a>b，则a2<ab<b2，且a+b<0，故选项A、B、C正确，而|a|+|b|=|a+b|，故D错误.方法2 取特殊值排除法因为1a <1b<0，所以可令a=−1,b=−2，显然ABC均对，D错，故选D.点拨 选择题可采取排除法！【典题3】已知0≤a −b ≤1，2≤a +b ≤4，求4a −2b 取值范围． 解析 方法1 ∵4a −2b =(a +b )+3(a −b ) ∴2+0×3≤(a +b )+3(a −b )≤4+1×3，即2≤(a +b )+3(a −b )≤7，检验可得两个等号均可取， ∴2≤4a −2b ≤7.方法2 设n =a −b ，m =a +b ，则0≤n ≤1，2≤m ≤4， ∵a =m+n 2,b =m−n 2，∴4a −2b =4×m+n 2−2×m−n 2=m +3n ，∵0≤n ≤1，∴0≤3n ≤3， 又2≤m ≤4，∴2≤m +3n ≤7， 即2≤4a −2b ≤7.点拨 方法1中特别注意严谨性，要注意等号是否取到，比如当a =b =1时，4a −2b =2，即4a −2b ≥2而不是4a −2b >2；方法2利用换元法，取到等号的问题变得简洁些了！ 【巩固练习】1.对于实数a,b,c ，下列结论中正确的是 ( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b >0，则1a>1bC ．若a <b <0，则a b <baD ．若a >b ，1a >1b ，则ab <0答案 D解析 对于A ，a >b ，若c =0，则ac 2=bc 2，故A 错；对于B ，a >b >0，取a =2,b =1,12<1，即1a<1b，故B 错；对于C ，a <b <0，取a =−2,b =−1,2>12，即ab >ba ，故C 错； 对于D ，若ab ，则a −b >0，又1a >1b ，所以1a −1b >0 所以b−aab >0，又a −b >0，所以ab <0，故D 正确. 2.已知a >b ，那么下列不等式中正确的是( )A ．√a >√bB ．a 2>b 2C ．|a|>|b|D ．|a|>b 答案 D解析由题根据不等式的性质，A,B,C选项，数的正负不明，错误；而选项D，无论取任何数都成立.3.若b<a<0，则下列结论不正确的是()A．1a <1bB．ab>a2C．|a|+|b|>|a+b|D．√a3>√b3答案C解析∵b<a<0，∴1a <1b，ab>a2，√b3<√a3．设a=−2，b=−1时，|a|+|b|=|a+b|与C矛盾．因此只有C错误．故选：C．4.若a、b、c∈R，且a>b则下列不等式中，一定成立的是()A．a+b≥b−cB．ac≥bcC．c2a−b>0D．(a−b)c2≥0答案D解析∵a>b，∴a−b>0．又c2≥0，∴(a−b)c2≥0．故选：D．5.实数a、b、c满足a>b>c，则下列不等式正确的是()A．a+b>cB．1a−c <1b−cC．a|c|>b|c|D．ab2c2+1<a2bc2+1答案B解析∵a>b>c，∴A．a+b>c错误，比如−4>−5>−6，得出−4−5<−6；B．a−c>b−c>0，∴1a−c <1b−c，∴该选项正确；C．a|c|>b|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；D．ab2−a2b=ab(b−a),ab(b−a)=0时，ab2=a2b，∴ab2c2+1=a2bc2+1，∴该选项错误．故选：B．6.若−2<x<y<5，则x−y的取值范围是________．答案−7<x−y<0解析∵−2<x<y<5，∴−2<x<5,−5<−y<2，∴−7<x−y<7，又∵x<y，∴x−y<0，∴x−y的取值范围是−7<x−y<0．7.已知ca >db，bc >ad，求证：ab >0.解析由{ca>dbbc>ad，得{ca−db>0bc−ad>0，所以{bc−adab>0bc−ad>0，所以ab >0.【题型2】比较大小【典题1】设a=√3+2,b=√2+√5，则a,b的大小关系为．解析 ∵a 2=7+4√3=7+√48，b 2=7+2√10=7+√40， ∴a 2>b 2，∴a >b ．【典题2】已知c >1，a =√c +1−√c ，b =√c −√c −1，则正确的结论是( ) A ．a <b B ．a >b C ．a =b D ．a 与b 的大小不确定 解析 方法一 特殊值法取特殊值，令c =2，则a =√3−√2，b =√2−1， 易知a <b , 排除B,C ，还不能排除D ，猜测选A . 方法二 做差法，分析法a −b =√c +1−√c －(√c −√c −1)=√c +1+√c −1−2√c 要比较a ,b 大小，只需要比较√c +1+√c −1与2√c 的大小⟺比较(√c +1+√c −1)2与4c 的大小 (遇到二次根式可考虑平方去掉根号)⟺比较2c +2√c 2−1与4c 的大小⇔比较√c 2−1与c 的大小而显然√c 2−1<c ，故√c +1+√c −1<2√c ，故a <b ，故选A . 方法三 共轭根式法 √c +1−√c =√c+1−√c)(√c+1+√c)√c+1+√c=√c+1+√c，√c −√c −1=√c−√c−1)(√c+√c−1)√c+√c−1=√c+√c−1，∵c >1，∴c +1>c −1>0⇒√c +1>√c −1⇒√c +1+√c >√c +√c −1>0， ∴√c+1+√c<√c+√c−1，即a <b ，故选A .点拨1.比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；2.方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；3.方法三中注意到(√c −√c −1)(√c +√c −1)=1.若A =√x +√y ,B =√x −√y ，A,B 互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点. AB =x −y ，A 2+B 2=2(x +y ) ，A 2−B 2=4√xy . 【典题3】已知a >0，试比较a 2+1a 2−1与a+1a−1的大小． 解析 方法1 作差法 a 2+1a 2−1−a+1a−1=a 2+1−(a+1)2a 2−1=−2aa 2−1，(作差法，确定差−2aa 2−1与0的大小，由于a >0，只需要判断a 2−1与0的大小)(i)当a >1时，−2a <0，a 2−1>0，则−2aa 2−1<0，即a 2+1a 2−1<a+1a−1； (ii)当0<a <1时，−2a <0 ,a 2−1<0，则−2a a 2−1>0，即a 2+1a 2−1>a+1a−1．综上可得a >1时，a 2+1a 2−1<a+1a−1；0<a <1时，a 2+1a 2−1>a+1a−1． 方法2 作商法 ∵a 2+1a 2−1÷a+1a−1=a 2+1a 2+2a+1<1，(确定a 2+1a 2−1与a+1a−1的大小只需要确定a+1a−1与0的大小) (i)当a >1时，a+1a−1>0，则a 2+1a 2−1<a+1a−1；(ii)当0<a <1时，a+1a−1<0，则a 2+1a 2−1>a+1a−1．综上可得a >1时，a 2+1a 2−1<a+1a−1；0<a <1时，a 2+1a 2−1>a+1a−1．点拨 比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较a a b b与(ab )a+b 2；多项式形式常用做差法，比如比较xy 与x +y −1. 【巩固练习】1已知M =x 2−3x +7，N =−x 2+x +1，则( )A ．M <NB ．M >NC ．M =ND ．M,N 的大小与x 的取值有关 答案 B解析 ∵M −N =x 2−3x +7+x 2−x −1=2(x 2−2x +3)=2(x −1)2+4>0，故M >N ，故选：B ．2.已知a >b >0，则√a −√b 与√a −b 的大小关系是( ) A ．√a −√b >√a −b B ．√a −√b <√a −b C ．√a −√b =√a −b D ．无法确定 答案 B解析 方法一 取特殊值排除法，令a =9，b =4，很容易得到B .方法二 ∵(√a −√b)2−(√a −b)2=2b −2√ab =2√b(√b −√a)<0 ∴√a −√b <√a −b .3.若A =√6−√5，B =2√2−√7，则A,B 的大小关系为 ．答案 A >B 解析 A =√6−√5=√6−√5)(√6+√5)√6+√5=√6+√5，B =2√2−√7=√2−√7)(2√2+√7)2√2+√7=2√2+√7，由0<√6+√5<2√2+√7，可得A >B ， 4.比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3+b 3与a 2b +ab 2的大小． 解析 (1) (x 2+3)−3x =x 2−3x +3=(x −32)2+34≥34>0，∴x 2＋3 >3x .(2) (a 3+b 3)−(a 2b +ab 2)=a 3+b 3−a 2b −ab 2=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)(a 2−b 2)=(a −b)2(a +b)，∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a −b)2>0，a +b >0. ∴(a 3+b 3)−(a 2b +ab 2)>0， 即a 3+b 3>a 2b +ab 2.。
高一数学均值不等式人教实验B版知识精讲
高一数学均值不等式人教实验B 版【本讲教育信息】一、教学内容：均值不等式二、学习目标1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会简单运用；2. 利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”.三、知识要点1、算术平均数：如果+∈R b a ,，那么2b a +叫做这两个正数的算术平均数。
2、几何平均数：如果+∈R b a ,，那么ab 叫做这两个正数的几何平均数。
3、定理：如果+∈R b a ,，那么ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）4、均值定理：如果+∈R b a ,，那么ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 5、基本不等式：若+∈R b a ,，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号【典型例题】例1、若()2lg ,lg lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，试比较P ，Q ，R 的大小。
解：0lg lg ,1>>∴>>b a b a()b a b a lg lg lg lg 21⋅>+， 即Q P >又()b a ab b a ab b a lg lg 21lg 2lg ,2+=>+∴>+， Q R >∴ 即P Q R >>例2、已知+∈R b a ,且a+b=1求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 证一：91441b a a b 24b a 2a b 21b b a 1a b a 1b 11a 1=++≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 证二：因为+∈R b a ,且a+b=1，所以ab b a 2≥+，21≥∴ab()()()981ab 41ab ab 41ab b a 21ab 1b a ab ab 1b 1a 1b 11a 1=+≥+=+≥++=+++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴例3、已知a ，b 为实常数，求函数()()22b x a x y -+-=的最小值。
2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义2-3 二次函数与一元二次方程、不等式 (解析版)
二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.【例】填表解析【练1】二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R 的条件是( ) A ．{a >0△>0B ．{a >0△<0C ．{a <0△>0D ．{a <0△<0解析 由题意可知二次不等式ax 2+bx +c <0，对应的二次函数y =ax 2+bx +c 开口向下，所以a <0 二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R ，所以△<0． 故选：D ． 【练2】解不等式(1) x 2−x −6≤0 (2) x 2−3x +4<0 (3) x 2−4x +4>0 解析 (1) −2≤x ≤3 (2) ∅ (3)x ≠2 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于a b>0与ab >0均意味a,b 同号，故ab>0与ab >0等价的；ab<0与ab <0均意味a,b 异号，故ab <0与ab <0等价的； 可得① f (x )g(x)>0⇒f (x )g (x )>0，f (x )g(x)≥0⇒f (x )g (x )≥0且g (x )≠0. 比如x−1x−2>0⇒(x −1)(x −2)>0 ; x−1x−2≥0⇒(x −1)(x −2)≥0且x −2≠0. ② f (x )g(x)<0⇒f (x )g (x )<0，f (x )g(x)≤0⇒f (x )g (x )≤0且g (x )≠0.比如x−1x−2<0⇒(x −1)(x −2)<0 ; x−1x−2≤0⇒(x −1)(x −2)≤0且x −2≠0. 【例】解不等式x+1x−2<0的解集是 .解析 不等式x+1x−2<0，等价于(x +1)(x −2)≤0，解得−1<x <2. 【练】解不等式x−1x−3≤0的解集是 .解析 不等式x−1x−3≤0，等价于{(x −1)(x −3)≤0x −3≠0，解得1≤x <3. ．【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 【典题1】 解下列不等式：(1) −12x 2+72x −5<0；(2) 4x 2+18x +814>0；(3) x−2x+3≥2.解析(1) 二次项系数化为1得：x 2−7x +10>0， 十字相乘得：(x −2)(x −5)>0，解得x >5或x <2. (2) 4x 2+18x +814>0⇔(2x +92)2>0，结合二次函数图像易得不等式解集是{x|x ≠−94}. (3)不等式x−2x+3≥2⇔x−2x+3−2≥0⇔−x−8x+3≥0⇔x+8x+3≤0，等价于{(x +8)(x +3)≤0x +3≠0，解得−8≤x <−3.点拨1.求解不等式ax 2+bx +c >0(或<0)，其中a >0，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.【典题2】若不等式2kx 2+kx −38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．(−3,0) B ．(),3-∞- (−∞,−3) C ．(−3,0] D ．(−∞,−3)∪(0,+∞) 解析 由题意可知2kx 2+kx −38<0恒成立，当k =0时成立，当k ≠0时需满足{k <0Δ<0，代入求得−3<k <0，所以实数k 的取值范围是(−3,0].点拨 注意二次系数是否为0，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析.【典题3】 若不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式cx 2−2x +a ≤0的解集是( )A ．[−12,13]B ．[−13,12]C ．[−2,3]D ．[−3,2]解析 不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)， ∴−13和12是方程ax 2+2x +c =0的两个实数根，由韦达定理得{−13+12=−2a−13×12=c a，解得a =−12，c =2，故不等式cx 2−2x +a ≤0，即2x 2−2x −12≤0，解得−2≤x ≤3， 所以所求不等式的解集是[−2,3]， 故选：C ． 【巩固练习】1.下列不等式的解集是空集的是 ( )A ．x 2−x +1>0B ．−2x 2+x +1>0C ．2x −x 2>5D ．x 2+x >2 答案 C2.若不等式kx 2+2kx +2<0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A ．0<k <2B ．0≤k <2C ．0≤k ≤2D ．k >2答案 C 解析 当k =0时，满足题意；当k >0时，△=4k 2−8k ≤0，解得0<k ≤2； ∴实数k 的取值范围是0≤k ≤2．故选：C ．3.关于x 的不等式x 2+ax −3<0，解集为(−3,1)，则不等式ax 2+x −3<0的解集为 . 答案 {x|−32<x <1}解析由题意知，x=−3，x=1是方程x2+ax−3=0的两根，可得−3+1=−a，解得a=2；所以不等式为2x2+x−3<0，即(2x+3)(x−1)<0，解得−32<x<1，所以不等式的解集为{x|−32<x<1}.4.不等式2x2−x−3>0的解集为.答案{x|x>32或x<−1}解析2x2−x−3>0⇒(2x−3)(x+1)>0⇒x>32或x<−1.5.不等式x2x−1>1的解集为.答案{x|12<x<1}解析原不等式等价于x2x−1−1>0，即x−(2x−1)2x−1>0，整理得x−12x−1<0，不等式等价于(2x−1)(x−1)<0，解得12<x<1．6.若不等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}(1)求不等式ax2−5x+a2−1>0的解集．(2)已知二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，求关于x的不等式cx2−bx+a>0的解集．答案(1){x|−3<x<12}(2){x|−3<x<−2}解析(1)因为等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}，所以12和2是一元二次方程ax2+5x−2=0的两根，∴12×2=−2a，解得a=−2，∴不等式ax2−5x+a2−1>0可化为−2x2−5x+3>0，即2x2+5x−3<0，∴(2x−1)(x−3)<0，解得−3<x<12，所以不等式ax2−5x+a2−1>0的解集为{x|−3<x<12}；(2)由(1)知a=−2，∴二次不等式−2x2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，∴13和12是一元二次方程−2x 2+bx +c =0的两根，∴13+12=−b−2，13×12=−c 2，解得b =53，c =−13，所以不等式cx 2−bx +a >0可化为：−13x 2−53x −2>0， 即x 2+5x +6<0，解得−3<x <−2．所以关于x 的不等式cx 2−bx +a >0的解集为{x|−3<x <−2}． 【题型2】求含参一元二次不等式(选学)角度1 按二次项的系数a 的符号分类，即a >0 ,a =0 ,a <0; 解不等式ax 2+(a +2) x +1>0. 解析(不确定不等式对应函数y =ax 2+(a +2) x +1是否是二次函数，分a =0与a ≠0讨论) (1) 当a =0时，不等式为2x +1>0，解集为{x | x >−12} ； (2) 当a ≠0时，∵Δ=(a +2)2−4a =a 2+4>0 (二次函数y =ax 2+(a +2) x +1与x 轴必有两个交点) 解得方程ax 2+(a +2) x +1=0两根x 1=−a−2−√a 2+42a,x 2=−a−2+√a 2+42a；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a >0与a <0讨论) (i)当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；(ii)当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.(注意x 1,x 2的大小)综上，当a =0时，解集为{x | x >−12}； 当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.角度2 按判别式的符号分类解不等式x 2+ax +4>0. 解析 ∵Δ=a 2−16(此时不确定二次函数y =x 2+ax +4是否与x 轴有两个交点，对判别式进行讨论) ∴①当−4<a <4，即Δ<0时，解集为R ； ②当a =±4，即Δ=0时，解集为{x | x ≠−a2}；③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=−a+√a2−162 ,x2=−a−√a2−162，显然x1>x2，∴不等式的解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为{x | x≠−a2}；当a>4或a<−4时，解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.角度3 按方程的根大小分类解不等式：x2−(a+1a)x+1<0 (a≠ 0).解析原不等式可化为：(x−a)(x−1a)<0 ,令(x−a)(x−1a )=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=(x−a)(x−1a)与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；(ii)当x1<x2时，即a<1a ⇒a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当x1>x2时，即a>1a ⇒−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.点拨①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a) ,x2−(a+1a )x+1=(x−a)(x−1a)，ax2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)等，若判别式Δ是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.【巩固练习】1.解关于x的不等式:12x2−ax−a2<0.解析方程12x2−ax−a2=0∴(4x+a)(3x−a)=0，即方程两根为x1=−a4,x2=a3，(1)当a>0时，x2>x1，不等式的解集是{x∣−a4<x<a3}；(2)当a=0时，x1=x2，不等式的解集是ϕ；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集{x∣a3<x<−a4}2.解关于x的不等式 x2+2x+a>0．解析方程x2+2x+a=0中△=4−4a=4(1−a)，①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R，②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，③当1−a>0即a<1时，由x2+2x+a=0解得：x1=−1−√1−a,x2=−1+√1−a，∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}，综上，a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}．3.若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．解析当a=0时，x>−1．当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．。
高一不等式的知识点及解法
高一不等式的知识点及解法高中数学中，不等式是一个重要且常见的数学概念。
不等式是数学中表示两个数或两个函数之间大小关系的一种符号表达方式。
在高一阶段，学生将开始接触到不等式的知识，并学习如何解决不等式的问题。
本文将介绍一些高一不等式的基本知识点和解题方法。
一、基本概念和符号首先，我们需要了解不等式的基本概念和符号。
不等式可分为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”四种类型。
分别用符号“>”、“<”、“≥”、“≤”表示，例如“a > b”表示a大于b。
在解不等式时，我们需要用到一些基本的性质。
例如，如果a > b，那么对于任意的正整数c，我们有a + c > b + c。
另外，如果a > b且b > c，那么a > c，这是不等式的传递性。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数的一次方程。
例如，2x + 3 > 5是一个一元一次不等式。
解一元一次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以2x + 3 > 5为例，我们首先将其转化为等式2x + 3 = 5，得到x = 1。
然后，在数轴上标出1，再根据函数的斜率和截距，判断解集在1的左边或右边。
代数法是通过一系列的变换，将不等式转化为更简单的形式。
对于2x + 3 > 5，我们可以进行如下的代数变换：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1因此，不等式的解集为x > 1。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指包含一个未知数并且最高次幂为2的不等式。
例如，x^2 - 4x + 3 > 0是一个一元二次不等式。
解一元二次不等式可以通过图像法或代数法。
图像法同样是通过绘制函数的图像来确定不等式的解集。
以x^2 - 4x + 3 > 0为例，我们先将其转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0，然后求得方程的根x = 1和x = 3，并且找到抛物线在x轴上的开口方向。
不等式数学知识点高一
不等式数学知识点高一一、不等式的概念和性质1. 不等式的定义不等式是数之间不相等关系的表示形式，可分为大于、小于、大于等于、小于等于四种不等式类型。
2. 不等式的解集表示法当不等式成立时，将满足不等式的数值表示为解集，用集合的形式表示。
3. 不等式的性质（1）对于同一不等式，两边同时加（减）同一个数，不等式的成立关系不变。
（2）对于同一不等式，两边同时乘（除）同一个正数，不等式的成立关系不变，但若同除，需考虑除数不能为零。
（3）对于同一不等式，两边同时乘以同一个负数，不等式的成立关系改变。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法针对一元一次不等式，通过图像法或数值法求解。
2. 一元一次不等式的图像法（1）将一元一次不等式转化为方程，得到直线的方程。
（2）绘制直线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元一次不等式的数值法（1）根据不等式的性质，将x的系数乘以-1，使其系数为正数。
（2）列出方程，求解x的值，并根据解的大小关系确定不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法针对一元二次不等式，通过图像法或配方法（改变形式法）求解。
2. 一元二次不等式的图像法（1）将一元二次不等式转化为方程，得到抛物线的方程。
（2）绘制抛物线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元二次不等式的配方法（1）根据不等式的性质，将一元二次不等式化为标准形式。
（2）通过配方法（改变形式法）将不等式化简为平方项的形式。
（3）根据不等式的解集性质，确定不等式的解集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法针对绝对值不等式，通过正负号讨论法求解。
2. 绝对值不等式的正负号讨论法（1）根据绝对值的性质，将绝对值不等式拆分为正负号的形式。
（2）分别讨论正负号情况下的不等式，并求解不等式的解集。
五、不等式的运算和复合不等式1. 不等式的运算法则（1）对于同一不等式，两边同时加、减、乘、除同一个数，不等式的成立关系不变。
高一数学两种不等式的解法知识精讲
高一数学两种不等式的解法【本讲主要内容】两种不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式的解法【知识掌握】 【知识点精析】1.的解集是；2.的解集是{}x x a x a＞，或＜-解绝对值不等式时要注意不要丢掉这部分解集。
或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法。
3. 一元二次不等式的解法：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a>0),△＝b 2－4ac,（1）△>0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1,x 2，设x 1<x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x<x 1或x>x 2}一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：{x ∣x 1<x<x 2}（2）△＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1＝x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x ≠x 1} 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：。
（3）△<0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)无实根，一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：实数集R 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：【解题方法指导】例1. 解不等式（）分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论． 解：原不等式可化为即当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭51＜＜ 当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭15＜＜ 评析：1. 遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向。
2. 若遇的系数为负的含绝对值不等式，如，等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为，后再解，以减小错误的发生率。
例2. 解不等式x x ++-214＜点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论。
高一上数学必修一第二章《2.2.2不等式的解集》知识点梳理
高一上必修一第二章《等式与不等式》知识点梳理2.2.2不等式的解集 学习目标： 1.理解不等式解集的概念，会用集合表示不等式（组）的解集； 2.掌握绝对值不等式的解法； 3.理解绝对值的几何意义，并利用几何意义推导数轴上两点间距离公式和中点坐标公式； 4.体会化归与转化、数形结合的思想方法，发展数学运算、直观想象和逻辑推理等数学素养，培养回归概念寻找解决问题方法的解题习惯.【重点】1、掌握不等式组解集的方法.2、理解绝对值的定义，借助数轴解决简单绝对值不等式.3、掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式.4. 学会如何求绝对值不等式【难点】1、正确用数轴来理解绝对值不等式2、求解复杂绝对值不等式.3、一、不等式的解集与不等式组的解集从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成的未知数的值称为不等式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质。
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.【典型例题】例1 求不等式组2x+1≥-9，①21②的解集.解 ①式两边同时加上一1，得2x≥-10，这个不等式两边同时乘以 ，得x≥-5，因此①的解集为[-5，+oo ）.类似地，可得②的解集为（-oo ，-3）.又因为[-5，+oo ）∩（-oo ，-3）=[-5，-3），所以原不等式组的解集为[-5，-3）.二、绝对值不等式我们知道，数轴上表示数a 的点与原点的距离称为数a 的绝对值，记作|a|.而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。
例如，|x|>3，|x-1|≤2都是绝对值不等式.【尝试与发现】根据绝对值的定义可知，|x|>3等价于x≥0， x ＜0， x ＞3 或-x ＞3，即x>3或x<-3，因此|x|>3的解集为（-oo ，-3）∪（3，+oo ）.不等式|x|>3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x 的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|>3的解集，从而由下图可知所求解集为（-oo ，-3）∪（3，+oo ）.用类似方法可知，当m>0时，关于x 的不等式|x|>m 的解为x>m 或x<-m ，因此解集为（-oo ，-m ）∪（m ，+oo ）；关于x 的不等式|x|≤m 的解为-m≤x≤m，因此解集为[-m ，m]【尝试与发现】如果将a-1当成一个整体，比如令x=a-1，则|a-1|≤2|x|≤2，因此|a-1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，请读者自行尝试。
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高一数学不等式的解法人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
不等式的解法
二. 数学目标：
1. 会解c b ax c b ax >+<+,两类不等式。
2. 了解一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程的联系。
3. 掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地解一元二次不等式。
三. 知识讲解：
c b ax c b ax >+⇔>+或)0(>-<+c c b ax )0(><+<-⇔<+c c b ax c c b ax
4. 分式不等式的解法：
利用不等式的性质可以把分式不等式
0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0
)(0)()(0)()
(x g x g x f x g x f
0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0
)(0)()(0)()
(x g x g x f x g x f
【典型例题】
[例1] 已知}3
1
2|
{},913|{Z x x B x x A ∈+=<-=，求B A ⋂。
解：由913<-x 得9139<-<-x ∴ 3
10
38<<-x
∵ Z x ∈+3
12 ∴ Z n n x ∈=+,312
即Z n n x ∈-=,213 }2
5,1,21,2{--=⋂B A
[例2] 解不等式3321>+++++x x x （*）
解：
（1）当3-<x 时，（*）化为3321>------x x x ，∴ 3-<x ，∴ 3-<x （2）当23-<≤-x 时，（*）化为3321>++----x x x ，∴ 3-<x ，x 无解 （3）当12-<≤-x 时，（*）化为3321>++++--x x x ，∴ 1->x ，x 无解 （4）当1-≥x 时，（*）化为3321>+++++x x x ，∴ 1->x ，∴ 1->x 综上，不等式的解集为}1,3|{->-<x x x 或 [例3] 解不等式333>--+x x （*）
解：
（1）当3-<x 时，（*）化为333>-+--x x ，即36>，∴ 3-<x （2）当33<≤-x 时，（*）化为，333>-++x x ，23>x ，∴ 23>x 或2
3
-<x 故
323<<x ，或2
3
3-<≤-x （3）当3≥x 时，（*）化为36>，∴ 3≥x
综合（1）（2）（3）得}2
3
,23|{>-<x x x 或
解法二：原不等式化为333>--+x x 或333-<--+x x ，略。
[例4] 解不等式1032
<+x x
解：2501032
<<-⇔<-+x x x ，∴ 20<≤x ，∴ 22<<-x ∴ 原不等式的解集为}22|{<<-x x
另解：原不等式化为⎩⎨⎧<-+≥010302x x x 或⎩
⎨⎧<--<01030
2x x x 解得22<<-x
[例5] 解不等式4652
2-<+-x x x
解：原不等式化为⎩⎨⎧<+->+-⇔-<+-<-0
1050
252465422
2
2
x x x x x x x
∴ 2>x
∴ 原不等式的解集为}2|{>x x
另解：原不等式化为⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+-465065222x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-<+--<+-4
)65(0
65222x x x x x
解得3≥x 或32<<x ，∴ 2>x
[例6] 当m 为何值时，关于x 的不等式03)1(4)54(2
2>+---+x m x m m 的解集为R 。
解：
（1）当1=m 时，不等式成立，解集为}8
1|{->x x 。
当5-=m 时，不等式的解集不为R 。
（2）当0542
≠-+m m 时，由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧<-+--=∆>-+0)54(12)1(160
542
22
m m m m m ∴ ⎩⎨⎧<<--<>19151m m m 或 ∴ 191<<m 综上得191<≤m
[例7] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--)
2(05)25(2)
1(0222k x k x x x 的整数解只有2-，试求k 的取值范围。
解：由（1）得2>x 或1-<x
由（2）得0))(52(<++k x x
1）当25-<-k ，25
-<<-x k
2）当25->-k ，k x -<<-25
3）当
5
=k 时，x 无解。
[例1
2+a （1）当0>a 时，原不等式的解集为}46|{a x a x x -<>或 （2）当0=a 时，原不等式的解集为},0|{R x x x ∈≠
（3）当02
1
<<-
a 时，原不等式的解集为}64|{a x a x x >->或 （4）当21
-=a 时，不等式无意义
（5）当2
1
-<a 时，不等式为}46|{a x a x -<<
[例9] 解关于x 的不等式02)12(2
<++-x a ax 。
解：
（1）当0=a 时，原不等式化为02<+-x ，∴ 2>x （2）当0≠a 时，原不等式化为0)2)(1(<--x ax （*）
1）当0>a 时，（*）化为0)2)(1
(<--x a
x ① 当210<<a 时，21>a ∴ a x 1
2<<
② 当21
=a 时，x 无解
③ 当21>a 时，21
21<<<x a
a
2）当0<a 时，（*）化为0)2)(1(>--x a x ∴ a
x 1
<或2>x
综合以上，得
当0<a 时，原不等式的解集为}2,1
|{><x a
x x 或 当0=a 时，原不等式的解集为}2|{>x x
当210<<a 时，原不等式的解集为}1
2|{a x x <<
当21
=a 时，原不等式的解集为φ
当21>a 时，原不等式的解集为}21
|{<<x a
x
【模拟试题】
1. 已知}01|{},04|{2
都成立对一切实数不等式x mx mx m Q m m P <--=<<-=，那
么下列关系中成立的是（ ）。
A. Q P ≠⊂
B. Q P ≠⊃
C. Q P =
D. φ=⋂Q P 2. 不等式0)1(2
>+++b x ab ax 的解集为}21|{<<x x ，则a 、b 的值为 。
3. 不等式012)1(2
>-++-a x a x 对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是（ ）。
A. 5>a 或1<a B. 5-<a 或1->a C. 51<<a D. 15-<<-a
4. 若不等式02<--b ax x 的解集为}32|{<<x x ，求不等式012
>--ax bx 的解集。
【试题答案】
1. A
2. ⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=121b a 或⎩⎨
⎧-=-=21b a 3. C
4. 3
121-<<-x。