微积分三大中值定理详解54页PPT
微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
《中值定理》课件
魏尔斯特拉斯逼近定理
魏尔斯特拉斯逼近定理是中值定理中的一种，它指出任何连续函数都可以中值定理是中值定理中的一种，它描述了函数在一个区间内存在某个点，该点处的瞬时变化率等于该区间 平均变化率的值。
柯西中值定理
柯西中值定理是中值定理中的一种，它更具有一般性，适用于实数区间和复 数区间上的函数。它指出了当两个函数经过某个点处函数值相等时，这两个 函数在某个点处的导数也相等。
《中值定理》PPT课件
欢迎来到本次关于《中值定理》的PPT课件。在这个课件中，我们将深入探讨 中值定理的定义、数学表述、证明以及应用，并比较三种不同中值定理之间 的异同。接下来，让我们开始吧！
什么是中值定理
中值定理是微积分中的重要定理之一，它研究函数在一个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。它包括三 种不同的定理，分别是魏尔斯特拉斯逼近定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
总结
通过比较三种不同中值定理的异同，我们能更好地了解它们在解决不同问题 时的特点和适用范围。中值定理在微积分、数学物理以及其他领域都有广泛 的应用。继续深入学习中值定理，将为你的数学知识打下坚实的基础。
高数微积分中值定理课件
微分中值定理
19
第19页，幻灯片共46页
推论 如果函 f(x数 )在区I间 上的导数,恒为零 那末 f(x)在区I间 上是一个 . 常数
证: 在 I 上任取两点 x 1,x2(x 1x2),在[x1,x2]上用拉
氏中值公式 , 得
f(x2)f(x1)f()x ( 2 x 1 )0 (x1x2)
f(x 2 ) f(x 1 ) 由 x1, x2 的任意性知, f (x) 在 I 上为常数 .
x
3
定义:
设函数f (x)在区间(a,b)内有定义, x0是(a,b)内的一个点 , (1)如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的任何x,点
除了点x0外, f (x) f (x0)均成立, 就称f (x0)是函数f (x)的一个极大值 ; (2)如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的任何x,点 除了点x0外, f (x) f (x0)均成立, 就称f (x0)是函数f (x)的一个极小值 .
关于高数微积分中值 定理
1
第1页，幻灯片共46页
第一节 中值定理
一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
2
第2页，幻灯片共46页
1.函数极值的定义
y
A
yf(x)
B E
C
D
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
第3页，幻灯片共46页
又 f(0)ar0 cs airn0 cc 0 o s , 即C .
22
2
arcxsa in rcxco.s
§3.1-微分中值定理PPT课件
1 x2
1 x2
f ( x) C , x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 ,
即
C
.
arcsin
x
arccos
x
2
.
2
2
2
说明 欲证x I , f ( x) C0 ,只需证在 I上
f ( x) 0,且 x0 自证 arctan x arc
则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
广义微分中值定理
20
微分中值定理
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
0
由条件,则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两
点的函数值都相等,所以, f ( x) C.
17
微分中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x0) arcsin x0 arccos 0x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.由推论
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
x1
1 (4 3
37),
第六节微分中值定理7928251页PPT
ba
证明：作辅助函数 F (x )f(x )f(b )f(a )x, b a
几何解释:
y
C
连续光滑曲线 y f (x) 在
点A、B处纵坐标相,等
则弧AB上至少有一C点, 在该点处的切线是水 的.平o a 1
yf(x)
2 b x
物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.
3、罗尔定理还指出了这样的一个事实： 若 f (x) 可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间，
第六节 ——第十二节
中值定理
罗尔中值定理
推广
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
(第七节)
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
第六节 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
1.引理（费马(Fermat)定理）
设函数f(x)在点x0 的某邻域U(x0,)内
有定义并且在 x0
处可导，如果对任意 y
的xU(x0,)，有
f(x) f(x0) (或f(x) f(x0))
则
f(x0)0.
o x0 x
若 f ( x 0 ) 0 ,则 x 0 为 称 f ( x ) 函 的 驻点 . 数 (或称为临界点，稳定点)
至少有 f(x) =0 的一个实根.
例2 不求导数, 判断函数 f(x) = (x 1) (x 2) (x 3)
的导数f(x)有几个零点及这些零点所在的范围.
4. 注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满
微积分三大中值定理详解共54页文档
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
3.1 微分中值定理
π
自证: arctan + arccot = , ∈ (−∞, +∞).
2
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 证明当 > 0时,
< ln( 1 + ) < .
1+
证
设 () = ln( 1 + ), 则()在[0, ]上满足拉格朗日中值定理的条件,
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日定理
如果函数()满足
(1) 在闭区间[, ]上连续;
(2) 在开区间(, )内可导,
() − ()
.
则在开区间 , 内至少存在一点 , 使得 ′( ) =
−
几何解释∶
在曲线弧 上至少有一点 , 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
分析:
欲证 ′ (
() − ()
)=
−
将 变为
逆
向
思
维
′ ()
() − ()
=
−
适当变形
() − ()
() −
−
′
=0
设为辅助函数
验证辅助函数满足罗尔定理条件, 得出结论.
则在开区间 , 内至少存在一点 ,使得
() − () ( )
(( ), ( ))
几何解释∶
在曲线弧上至少有一点, 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
[理学]高等数学35微分中值定理 课件
![[理学]高等数学35微分中值定理 课件](https://img.taocdn.com/s3/m/52fa78f7b8f67c1cfad6b834.png)
(b )若M . 所以最值不可能同时在端点取得 . 那么 f ( xm ) 0.
0
0
设 M f (a ), 则在(a, b) 内至少存在一点 ,使 f ( ) M . [a , b], 有 f ( x ) f ( ),
由费马引理, f ( ) 0.
14
F ( x), 使得F ( x) f ( x),
利用Rolle定理来证明. 关键是找辅助函数 F ( x).
19
微分中值定理
例3 设 f ( x)在a, b 上连续, 0 a b ,
在 a, b内可导, 且f (a) b, f (b) a.
f ( ) 至少存在 a, b ,使得 f ( )=.
x a 0
x b 0
则在( a , b )内至少存在一点
使
提示 f ( a 0) , x a 设F ( x ) f ( x ) , a x b 证 F(x)在[a,b]上 f ( b 0) , x b 满足罗尔定理 .
16
微分中值定理
几何意义
7
微分中值定理
推论
设
f ( x)在 a, b 上可微, 且在 a, b内部 f ( x)在 a, b
取到最大(最小)值,又
内部只有一个临界点, 则该临界点就是 函数的最大(最小)值点.
8
微分中值定理
求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最 大(小)值的方法: (1) 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的 点(即为可能极值点)处的函数值和 区间端点的 函数值 f (a), f (b)比较, 其中最大(小)者 就是 f (x) 在闭区间[a, b]上的最大(小)值.
微积分中值定理详细 ppt课件
f(x ) g (x ) c , x (a ,b )
f(x ) g (x ) c , x (a ,b )
应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式 。
例1. 证明等式 arx c a srix c n c ,x o [ s 1 ,1 ]. 2 证: 设 f(x)arc x sairncx,c 则o在 ( s1,1)上
2
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3.1.3 柯 西 中 值 定 理
作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； (3) g(x)0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
g f( (b b ) ) g f((a a ))g f( ( ) ) (ab )
0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
1
转化
转化
转化
0
例7. 求 lim x x.
x0
00 型
解: lim x x limexlnx
x0
x0
利用 例5
e0 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00,1,0型
令 y fg
0型
取对数
0
0型
型
f g
f
1
g
即即agxgagbgafbfafxfxf??????显然fx满足罗尔定理的三个条件因此在ab内至少存在一点使得即0???f0bagagbgafbff???????????xagfagbgafbf??????????为证明等式成立我们作辅助函数三其他未定式二??型未定式一型未定式00第二节机动目录上页下页返回结束洛必达法则第三章定理
微积分三大中值定理详解
第十一页，共51页。
例 2已 知 f(x) (x 2 )(x 1 )(x 1 )(x 3 ),不 求 导 数 ， 试 确 定 f(x) 0 有 几 个 实 根 及 其 所 在 范 围 . 解 f (x), f (x)都是多项式
若满足,求出定理中使f()0的.
解 f (x) 2x3 5x2 2x 5 f (x) 6x2 10x 2都是多项式；
f (x)在[1,1]上连续,在(1,1)内可导 且f (1) f (1) 0.
f (x)满足Rolle定理的三个条件.
第十页，共51页。
而 f ( ) 6 2 10 2 0 (1 1) 得 1 5 6 37 (1,1)，
f (x)在闭区间[-2，-1]， [-1， 1]， [1，3]上连续， f (x)在开区间(-2，-1)，(-1， 1)，(1，3)上可导;
且f (2) f (1) f (1) f (3) 0, f (x)在[-2，-1]， [-1， 1]， [1，3]上均满足RTh条件.
第十二页，共51页。
注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。
第十三页，共51页。
例3 设f (x)在[a,b](0ab)上连续，在(a,b) 内可导，且f(a)b, f(b)a,证明在(a,b)内至
少存在一点，使得f()f().
分析 f (x) f (x) xf (x) f (x) 0 x
(xf (x)) 0;若令F (x) xf (x) 则问题的结论就转化为证明F(x) 0 构造辅助函数F (x) xf (x)，就可以用 罗尔定理来证明。
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个得 f()0.
中值定理教学PPT
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证明： (x1, x3 ),使f ''( ) 0. 证： f (x)在[x1, x2 ] (a,b)上二阶可导,故必连续
又f (x ) f (x Fra bibliotek 由罗尔定理1
2
1 (x1, x2 )
使得f '( ) 0 1
同理，2 (x2 , x3 ) 使得f '(2 ) 0
10 在闭区间[a,b]上连续；
20 在开区间（a,b）内可导；
30 f (a) f (b).
（a,b）,使f '( ) 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例5.若函数f (x)在[0, a]上可导, f (a) 0,
证明： (0, a),使f ( ) f '( ) 0.
分析：f () f '() 0. [ f (x) xf '(x)]x 0.
[xf (x)]'x 0.
例5.若函数f (x)在[0, a]上可导, f (a) 0,
即 bf (b) af (a) f ( ) f '( )
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。