高中数学：2.1《指数与指数函数》学案湘教版必修1
湘教版高中数学必修第一册《指数函数的图象和性质》学案设计(无答案)
2.1.2 指数函数的图象和性质一、学习目标1.了解指数函数的概念2.会画指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质.二、重、难点分析1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质三、学习过程(一)自主预习指数函数的概念一般地，函数y=a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.注意：在指数函数的定义域表达式y=a x中，a是常量，a x前的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上，否则，就不是指数函数.比如：y=2a x，y=a x+1， y=a x+1等，都不是指数函数.(二)合作探究1.指数函数的图象和性质当0＜a＜1时，y=a x的定义域为R，值域为(0，+∞)，图象如下：性质：①图象过定点(0，1)；②当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1.③函数在定义域R上为减函数.当a＞1时，y=a x的定义域为R，值域为(0，+∞)，图象如下：性质：①图象过定点(0，1)；②当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1.③函数在定义域R上为增函数.2.函数y=a x与y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭(a＞0，且a≠1)图象间的关系.一般地，函数y=a x与y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.在函数y=a x的图象上任取一点P(x，y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)，显然，点P’在函数y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭=a-x的图象上，由于点P是任意取的，所以y=a x上任意一点关于y轴的对称点都在y=1xa⎛⎫⎪⎝⎭的图象上，反之也成立.例如，2x y =与12xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=两个函数的图象如下：四、同步练习1.已知函数f(x)=a x (a ＞0且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大23a ，求实数a 的值.解析：分别就当a ＞1和当0＜a ＜1时指数函数的单调性，可得关于a 的方程，解方程可得.答案：当a ＞1时，函数f(x)=a x 在区间[1，2]上是增函数，∴f(x)min=f(1)=a ，f(x)max=f(2)=a 2，由题意知a 2-a=23a ，解得a=53，或a=0(舍去)； 当0＜a ＜1时，函数f(x)=a x在区间[1，2]上是减函数， ∴f(x)min=f(1)=a 2，f(x)max=f(2)=a ，由题意知a-a 2=23a ，解得a=13，或a=0(舍去)； 综上可知，a 的值为53或13.2.已知指数函数y=f(x)的图象过点(2，4)，求：(1)指数函数y=f(x)的解析式；(2)f(3)的值.解析：(1)设函数f(x)=a x，a ＞0 且a ≠1，把点(2，4)，求得a 的值，可得函数的解析式.(2)根据函数的解析式求得f(3)的值.答案：(1)设函数f(x)=a x，a＞0 且a≠1，把点(2，4)，代入可得 a2=4，求得a=2，∴f(x)=2x.(2)由以上可得f(3)=23=8.五、自我测评1.已知函数f(x)=a x(a＞0且a≠1)在[1，2]上的最大值为M，最小值为N(1)若M+N=6，求实数a的值；(2)若M=2N，求实数a的值.解析：按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f(x)的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可.答案：①当a＞1时，f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)的最大值为M=f(2)=a2，最小值N=f(1)=a；②当0＜a＜1时，f(x)在[1，2]上单调递减，则f(x)的最大值为M=f(1)=a，此时最小值N=f(2)=a2，(1)∵M+N=6，∴a2+a=6，解得a=2，或a=-3(舍去).(2)∵M=2N，当a＞1时，a2=2a，解得a=2，或a=0(舍去)，当0＜a＜1时，2a2=a，解得a=12，或a=0(舍去)，综上所述a=2或a=12.2.已知指数函数f(x)=a x图象过点(2，16)，求f(0)，f(-1)，f(-3).解析：根据指数函数f(x)=a x图象过点(2，16)，可得a2=16，由此求得a的值，从而求得f(0)，f(-1)，f(-3)的值.答案：∵指数函数f(x)=a x图象过点(2，16)，可得a2=16，∴a=4，∴f(0)=40=1，f(-1)=4-1=14，f(-3)=4-3=164.六、小结1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质。
湘教版高中数学必修一指数函案(2)
指数函数导学案学习导航】学习要求：1、巩固指数函数的图象及其性质；2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质；一、 复合函数的定义域与值域例1、求下列函数的定义域与值域。
(1)y=11210-+x x ；(2)y=22)21(x x -；(3)y=91312--x二、利用复合函数单调性来解题例2、求函数y=x x 22)21(+-的单调区间。
点评：y=a )(x f 的单调性由a u 和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。
三、利用图象的性质比较大小例3、已知函数f(x)=a x (a>0，且a ≠1)，根据图象判断21[f(x 1)+f(x 2)]与f(221x x +)的大小，并加以证明。
四、分类讨论思想在解题中的应用例4、已知f(x)=(e x －a)2+ (e －x －a)2(a ≥0)。
（1） f(x)将表示成u= 2xx e e -+的函数；（2） 求f(x)的最小值思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。
点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。
1、求下列函数定义域和值域.(1)y=22)21(++-x x ；(2)y=112+-x x2、求函数y=xx 222+-的单调区间.3、已知f(x)=11+-x x a a （a>0且a 1≠）(1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断f(x)与的关系； (3)讨论f(x)的单调性；答案：例1、解关于x 的对数不等式；2 log a (x －4)>log a (x －2).思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a 的取值范围不确定，故应进行分类讨论。
解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->-->-,02,04),2(log )4(log 2x x x x a a(1)当a>1时，又等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->-->-,02,04,2)4(2x x x x解之，得x>6。
湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 指数爆炸和指数衰减--指数函数的图象与性质
解 (1)如图1,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)如图1,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
(3)如图1,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.
(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图
【例4】 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的
是( D )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
解析 由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,
又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故选D.
解得
故 a=2.
> 0,且 ≠ 1,
> 0,且 ≠ 1,
规律方法
指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1
下列以x为自变量的函数是指数函数的为( A )
A.y=(π-1)x
B.y=(1-π)x
C.y=3x+1
D.y=x2
解析 π-1为正实数,A是指数函数;B式中,1-π<0,B不是指数函数;C式中,指数
漂洗 n 次后存留污垢 yn=
3
1
1- 4 a= 4 a.
若使存留的污垢不超过原有的 1%,
则有 yn=
1
a≤0.01a,解不等式得
4
n≥4,即至少要清洗 4 次.
探究点三
指数函数的图象及应用
1.指数型函数图象过定点问题
湘教版高中数学必修第一册《指数函数的图象和性质》学案设计(无答案)
2.3.2 幂函数的图象和性质一、学习目标1.会画幂函数的图象2.能根据幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质.3.会比较幂的大小二、重、难点分析幂函数的图象和性质三、学习过程（一）复习回顾幂函数的特征(1)以幂的底数为自变量，指数为常数.(2)xα前的系数为1，且只有一项，如：y=5x，y=x2+2均不是幂函数. 只有满足这两个特征，才是幂函数.阅读课本.（二）合作探究1.五个幂函数的性质2.如何比较幂的大小（1）比较两个幂的大小的关键是明确底数和指数是否相同，若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性比较；若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性比较；若底数、指数皆不同，则可考虑利用中介值法比较，中介值通常取0或1；（2）比较若干个数的大小，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法不行，则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小.四、同步练习1.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0，+∞)上的增函数，则m的值为( )A.2B.-1C.-1或2D.0解析：因为函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数，所以m2-m-1=1，即m2-m-2=0，解得m=2或m=-1. 又因为幂函数在(0，+∞)，所以-5m-3＞0，即m＜-35，所以m=-1.答案：B.2.幂函数y=f(x)经过点(3，则f(x)是( )A.偶函数，且在(0，+∞)上是增函数B.偶函数，且在(0，+∞)上是减函数C.奇函数，且在(0，+∞)是减函数D.非奇非偶函数，且在(0，+∞)上是增函数解析：设幂函数的解析式为：y=xα，将(3代入解析式得：3α=12，∴y=12x.答案：D.五、自我测评1.若幂函数f(x)=x k在(0，+∞)上是减函数，则k可能是( )A.1B.2C.1 2D.-1解析：若幂函数f(x)=x k在(0，+∞)上是减函数，则k=1，2，12时都是增函数，k=-1时是减函数.答案：D.2.若0＜x＜y＜1，则( )A.3y＜3xB.x0.5＜y0.5C.log x3＜log y3D.log0.5x＜log0.5y解析：因为：0＜x＜y＜1，y=3x为增函数，则3y＞3x，故A错误，因为：0＜x＜y＜1，y=x0.5为增函数，则x0.5＞x0.5，故B正确，因为：0＜x＜y＜1，则log x3＞log y3，故C错误，因为：0＜x＜y＜1，log0.5x为减函数，则log0.5x＞log0.5y，故D错误. 答案：D.六、小结幂函数的图象和性质。
湘教版高中数学必修一指数函数教案(1)
指数函数教案教学目标：1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。
2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
教学重点、难点：1、重点：指数函数的图像和性质2、难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。
教学方法：引导——发现教学法、比较法、讨论法教学过程：一、事例引入T：上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。
什么是函数？S：--------T：主要是体现两个变量的关系。
我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。
我们来看一种球菌的分裂过程：C：动画演示（某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。
一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是： y = 2 x）S，T：（讨论）这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式（指数形式），从函数特征分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量，我们称这种函数为指数函数——点题。
二、指数函数的定义C：定义：函数 y = a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数， x∈R.。
问题 1：为何要规定 a > 0 且 a ≠1？S：（讨论）C ： (1)当 a ＜0 时，a x 有时会没有意义，如 a=﹣3 时，当x=21就没有意义； （2）当 a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时， (3)当 a = 1 时， 函数值 y 恒等于1，没有研究的必要。
高中数学《指数函数》教案3 湘教版必修1
《指数函数》教学设计1 教材分析1．1 教材的地位与作用函数的理论贯穿于中学代数的始终，指数函数是中学所要学习的几个重要的初等函数之一。
它是在集合映射新的函数理论出现后，在初中正比例函数、一次函数和二次函数掌握的前提下给出的，而且由于它的出现，为与它互为反函数的函数，即又一重要初等函数对数函数的学习作了必要的准备，所以本节课在教材中起到了承上启下的作用。
另外通过学习指数函数的定义、图象和性质，也可以类比地研究对数函数的图象和性质，为今后的学习打下了良好的基础。
1．2教学的重点与难点教学重点：① 理解指数函数的定义；② 掌握指数函数的图象和性质；③ 会用以上的知识解决有关问题。
教学难点：指数函数当1a >与01a <<时函数值的变化的不同情况及函数性质的应用。
2 教学目标分析2．1 教学知识点①指数函数的概念②指数函数的图象和性质2．2 能力训练目标①理解指数函数的概念②掌握指数函数的图象和性质③培养学生实际应用函数的能力2．3 过程与方法采用问题发现法，以引导发现组织教学，化归思想贯穿始终，计算机辅助教学，直观形象的将所学的知识化难为易，化抽象为具体，而且有助于培养学生的数形结合思想，培养学生动手能力，为解决问题的能力打下良好的基础。
2．4 情感态度与价值观引导学生由个别的具体事例抽象出一般性的结论，启发学生从事物之间的内部联系入手，抓住主要矛盾，从而培养学生的辨证唯物主义观点。
使学生逐步养成严谨的学风，实事求是的科学态度和独立思考、勇于创新的精神。
从特殊的具体事例出发归纳总结出一般性的结论的方法，有利于提高学生分析问题及概括总结的能力。
使学生在学习中体会到发现的乐趣，激发学生主动学习的积极性。
3 学情分析3．1 学生学习本课内容的基础学生已经学习了函数的知识，，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能从能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。
指数运算与指数函数——必修一函数复习学案
八、指数运算与指数函数知识要点1、指数运算公式2、分数指数幂（1）tsa a ⋅=____________________ ； nm a =___________________________（2）ts a )(=_____________________ ； nm a-=_____________________________（3）=t saa _______________________；（4）()=sab ______________________。
3、根式运算:=n n a ______________；n n a )(=________________ 二、指数函数1、定义：一般的,)10(≠>=a a a y x 且叫做_____________2、指数函数的图像及性质在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y =，（2）x )21(y =（3）x 2y =，（4）x 3y =，（5）x 5y = 结论：基础自测1． (课本改编题)化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________． 答案 7解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2． 若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.3． 若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.答案3解析 当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]． 因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]． 此时，定义域和值域不一致，故此时无解． 综上，a ＝ 3.4． (2012·四川)函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )答案 D解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B. 当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a <0，故选D. 5． 设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)答案 A解析 ∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.典型例题题型一： 指数的化简与计算例1. 将下列各式用另一种形式表示出来 54a ，()345a 1-， ()4322ba +， 865-a 32b例2. 化简下列各式 （1）()337-，()29-，()443π- （2）（232a 21b ）（-621a 31b ）÷（-361a 65b ）（3）()410001.0-+()3227-216449-⎪⎭⎫⎝⎛+5.191-⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）4332baa b b a练习：（1）5.0972⎪⎭⎫ ⎝⎛+21.0-+3127102-⎪⎭⎫ ⎝⎛+0π （2） 21211m m 2m m +++-- （3））（10a a 2a 3234<<+-a例3. 已知21a +21a-=3，求下列各值（1）1a -+a （2）2a +2a - （3）212123-23aa a a ---变式训练：2k )12k ()12k (222---+-+-等于 ( )A ．2k 2- B.)12k (2-- C.1)-(2k 2-+ D.2练习：244)(x x+=x f ，若10<<a ，求(1))1()()(a f a f x f -+=的值（2）)10011000(...)10013()10012()10011(f f f f ++++的值（二） 指数函数 题型一：判断指数函数例1. 若函数()x a a x f )12)(3(--=是指数函数，求a 的值。
数学2.1指数函数教案(湘教版必修1)
一．课题：指数函数二．教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；3.培养学生的数学应用意识。
三．教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法四．教学难点：指数函数的性质应用五．教学过程：（一）复习：（提问）1.指数函数的图象及性质2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：（1）考查函数定义域是否关于原点对称；（2）比较()f x -与()f x 或者()f x -的关系；（3）根据函数奇偶性定义得出结论。
（二）新课讲解：例1．当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数。
证明：由10xa -≠得，0x ≠， 故函数定义域{0}x x ≠关于原点对称。
1()1x x a f x a --+-=-(1)(1)x x x x a a a a --+=-11xxa a +=-()f x =- ∴()()f x f x -=- 所以，函数11x x a y a +=- 是奇函数。
评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。
例2．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。
还应要求学生注意不同题型的解答方法。
（1）证明：设1212,,x x R x x ∈<，则12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++21222121x x =-++ 12122(22)(21)(21)x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以1222x x <即12220x x -<， 又由20x >，得1120x +>，2120x +>，所以，12()()0f x f x -<即12()()f x f x <．因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，()f x 在R 为增函数。
高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.1 指数概念的推广学案 湘教版必修1-湘教版高
2．1.1 指数概念的推广[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2.2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引]1．把n (正整数)个实数a 的连乘记作a n ，当a ≠0时有a 0＝1，a －n＝1an (n ∈N )．2．整数指数幂的运算有下列规则：a m·a n＝a m ＋n，a m a n ＝a m －n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n ·b n，(a b )n ＝a n bn (b ≠0)．3．若一个(实)数x 的n 次方(n ∈N ，n ≥2)等于a ，即x n＝a ，就说x 是a 的n 次方根.3次方根也称为立方根．当n 是奇数时，数a 的n 次方根记作na .a ＞0时，n a ＞0；a ＝0时，n 0＝0；a ＜0时，na ＜0.当n 是偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n 次方根叫作算术根，记作na .也就是说，当a ＞0时，如x n＝a ，那么x ＝±na . 规定：n0＝0，负数没有偶次方根．4．式子n a 叫作根式(n ∈N ，n ≥2)，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．一般地，有(na )n＝a .当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，na n＝|a |. 5．当a ＞0，m ，n ∈N 且n ≥2时，规定na m＝a m n，1na m＝am n.6．规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a ＞0时，对于任意有理数m ，n 仍有公式a m·a n＝a m ＋n，a m a n ＝a m －n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )m ＝a m ·b m，(a b )m ＝a m bm (b ≠0)．7．对任意的正有理数r 和正数a ，若a ＞1则a r ＞1；若a ＜1则a r＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：对任意的负有理数r 和正数a ，若a ＞1，则a r ＜1；若a ＜1则a r＞1.8．任意正数a 的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数a ，对任意实数x ，a 的x 次幂a x都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：对任意的正实数x 和正数a ，若a ＞1则a x ＞1；若a ＜1则a x＜1. 对任意的负实数x 和正数a ，若a ＞1则a x ＜1；若a ＜1则a x＞1.要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值：(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3(－2)3＝－2. (2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， 当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练1 化简下列各式．(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a－b)4.解(1)5(－2)5＝－2.(2)4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－b，a≥b，b－a，a＜b.要点二根式与分数指数幂的互化例2 将下列根式化成分数指数幂形式：(1)3a·4a；(2)a a a；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.解(1)3a·4a＝a13·a14＝a712；(2)原式＝a 12·a14·a18＝a78；(3)原式＝a 23·a32＝a136；(4)原式＝(a 13)2·a12·b32＝a76b32.规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a mn＝na m和amn-＝1amn＝1na m，其中字母a要使式子有意义．跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：(1)3a·6－a(a＜0)；(2)3ab2(ab)3(a，b＞0)；(3)(4b23)23(b＜0)；(4)13x(5x2)2(x≠0)．解(1)原式＝a 13·(－a)16＝－(－a )13·(－a )16＝－(－a )12(a ＜0)；(2)原式＝3ab 2·a 32b 32＝3a 52b 72＝(a 52·b 72)13＝a 56b 76(a ，b ＞0)； (3)原式＝b 23×14×23＝(－b )19(b ＜0)； (4)原式＝1x 13·x45×13＝1x35＝x53-.要点三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.06413-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]43-＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)化简：3a92a －3÷3a －7·3a 13(a ＞0)．解 (1)原式＝(0.43)13-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[a 13×92·a13×(32-)]÷[a12×(73-)·a12×133]＝a96－36＋76－136＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33823-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)12-·(a12-)13.解 (1)原式＝(－1)23-⎝ ⎛⎭⎪⎫33823-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫150012-－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823-＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝(a 32·a 32-)13·[(a －5)12-·(a12-)13]12＝(a 0)13·(a 52·a 132-)12＝(a －4)12＝a －2.1．下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a |D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b答案 C解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3．计算[(－2)2]12的结果是( ) A. 2 B ．－ 2 C.22D ．－22答案 A解析 [(－2)2]12＝[(2)2]12＝ 2.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1，212-，⎝ ⎛⎭⎪⎫1212-，2－1中，最大的数是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1B ．212-C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1212- D ．2－1答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝－2,212-＝12＝22，⎝ ⎛⎭⎪⎫1212-＝2，2－1＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1212-最大．5．212-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ；(2)n 为奇数，na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ，a ＜0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标1．化简3a a 的结果是( ) A ．a B.a C ．a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·a 12)13＝(a 32)13＝a 13＝a .2．若(1－2x )34-有意义，则x 的取值范围是( ) A ．RB ．{x |x ∈R 且x ≠12}C ．{x |x ＞12}D ．{x |x ＜12}答案 D解析 (1－2x )－34＝14(1－2x )3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.3．1614-等于( )A.12B ．－12C ．2D ．－2 答案 A 解析 1614-＝(24)14-＝24×(14-)＝2－1＝12.4．计算0.25－0.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12713-－416的值为( ) A ．7B ．3C ．7或3D ．5 答案 B 解析 0.25－0.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12713-－416 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412-＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13313-－424 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×（12-）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×（13-）－2 ＝2＋3－2＝3. 5．设a 12－a12-＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2答案 C 解析 ∵a 12－a12-＝m ，∴⎝⎛⎭⎫a 12－a 12-2＝m 2，即a ＋a －1－2＝m 2，a ＋1a＝m 2＋2.∴a 2＋1a＝m 2＋2.故选C.6．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝________.答案 3×2n －3解析 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫384317n －3＝3(12817)n －3＝3×2n －3. 7．求下列各式的值： (1)733－3324－6319＋4333；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2102723-－3π0＋3748.解 (1)原式＝7×313－3323×3－63⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋43×313＝7×313－6×313－6×323-＋313＝2×313－2×3×323-＝2×313－2×313＝0.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫642723-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 二、能力提升8．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B ．10C ．20D ．100 答案 A解析 ∵2a＝m,5b＝m ，∴2＝m 1a ，5＝m 1b ，∵2×5＝m 1a ·m 1b ＝m 1a＋1b∴m 2＝10，∴m ＝10.故选A. 9．化简23－610－43＋22得( )A ．3＋2B ．2＋3C ．1＋22D ．1＋2 3 答案 A解析 原式＝23－610－4(2＋1) ＝23－622－42＋(2)2＝23－6(2－2)＝9＋62＋2＝3＋ 2.10．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14215解析 利用一元二次方程根与系数的关系， 得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.11．计算下列各式的值：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)(a 85·b65-)12-·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0)．解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝a 85×(12-)·b(65-)×(12-)·a 45÷b 35＝a 45-·b 35·a 45÷b 35＝a45-＋45b35－35＝a 0b 0＝1.三、探究与创新12．(1)已知2x＋2－x＝a (常数)，求8x ＋8－x的值；(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求x 12－y 12x 12＋y12的值．解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2， ∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x＋4－x－1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)x 12－y12x 12＋y12＝(x 12－y 12)2(x 12＋y 12)(x 12－y 12)＝(x ＋y )－2(xy )12x －y.①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. 又∵x ＜y ，∴x －y ＝－63.③将②③代入①，得x 12－y 12x 12＋y12＝12－2×912－63＝－33. 13．当x ＝2＋2，y ＝2－2时，化简(x 23－y 13-)·(x 43＋x 23y13-＋y23-)．解 原式＝(x 23)3－(y 13-)3＝x 2－y －1，因为x ＝2＋2，y ＝2－2，所以原式＝2＋2－12－2＝2＋22.。
湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 对数的运算法则
2
lg 3 =lg(x2y)-lg z3=lg x2+lg
1
2
-
y-3lg z=2lg x+lg y-3lg z.
2
3
(4)lg( ).
1
2
-
2
3
1
2
-
解 lg( )=lg +lg y+lg
2
3
1
=- lg
2
x+lg
2
y+ lg
3
z.
知识点二
名称
常用对数
两种特殊的对数
【例1】 计算下列各式的值:
(1)log2
7
1
+log224- log284;
96
2
解 (方法
(方法
7×24
1
1
1)原式=log2 96× 84=log2 2=-2.
1
7
1
3
2)原式=2log296+log2(2 ×3)-2log2(22×3×7)
1
1
1
1
5
=2log27-2log2(2 ×3)+3+log23-1-2log23-2log27
两边取以 10 为底的对数,得
lg0 .4
x=
lg0 .912 5
=
lg4 -1
lg9 .125-1
所以约经过10年这台机器的价值为8万元.
=
2lg2 -1
≈10(年).
lg9 .125-1
学以致用·随堂检测促达标
1 2 3 4 5 6
1.下列等式成立的是( D )
A.log2(8-4)=log28-log24
高一数学上学期湘教版教学设计指数函数
高一数学上学期湘教版教学设计指数函数一、背景分析本节课的内容是高中数学必修一第二章第一节“指数函数”第一课时。
函数的思想贯穿于中学代数的始终，指数函数是中学所要学习的几个重要的初等函数之一。
它是在初中正比例函数、一次函数和二次函数掌握的前提下给出的，同时又对学习后面的对数函数和幂函数作了必要的准备，所以本节课在教材中起到了承上启下的作用。
另外通过利用指数函数图象研究指数函数的性质，能做到很好的“数”与“形”的结合，为今后学习数学打下了坚实的基础。
当然在研究其性质时也可以通过类比的方法，解决一些具体的函数问题还可以用化归转化的思想，因此本节课可以很好地渗透数学思想方法，将数学学习升华到一个更高的层次。
二、设计主题新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要本着从学生的认知规律出发，以学生为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
为此对于本节课主要通过教师的多角度、多层次的质疑，学生始终在教师的引导下分析问题、化归问题，从而渗透多种数学思想方法。
教学过程中充分发挥了学生的主观意识，让学生的智慧和灵感得以充分的展现。
学生在老师“导”的作用下，激活数学思想方法，达成共识，最后形成了自己的能力。
三、教法分析“数学是学生自己学会的，不是教师讲会的。
”这不是说学生学数学不需要教师了。
恰恰相反，教师应是建构活动的深谋远虑的设计者、组织者、参与者、指导者和评估者。
本节课遵循了数学学科的特点，坚持了生生共动和师生互动的原则，也为了突出重点，突破难点，为此采用了“诱思探究、答疑讲解”的教学方法。
即教师始终都是去引导，去质疑，引导学生动手、动脑，动口；教他们探求知识的方法，帮他们处理学习中困难。
这种教学方法，以“学生自主建构知识”为主线，发展学生素质为目的，打破原有的课堂教学的组织形式，充分体现学生的自主性、合作性、研究性等特点，突出学生个性，学生的主动参与意识，师生互动意识，强调课堂民主意识。
本节课改教师权威性传授为教学活动的参与者，注重学生自学能力、研究能力和自我建构能力的培养。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指数与指数函数●知识梳理 1.指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，nn a =a .②当n 为偶数时，nn a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =nm a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.②anm -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象OxyOxyy =a x 11a > ）1y =a x ((0＜a ＜1)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（3）指数函数的性质 ①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. ●点击双基 1.3a ·6a -等于 A.－a - B.－a C.a -D.a解析：3a ·6a -=a 31·（－a ）61=－（－a ）6131+=－（－a ）21.答案：A2.（2003年郑州市质量检测题）函数y =23x 的图象与直线y =x 的位置关系是OxyOxyOx yOxyABC D解析：y =23x =（32）x . ∵32＞1，∴不可能选D.又∵当x =1时，23x ＞x ，而当x =3时，23x ＜x ，∴不可能选A 、B.答案：C3.（2004年湖北，文5）若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有 A.0＜a ＜1且b ＞0 B.a ＞1且b ＞0 C.0＜a ＜1且b ＜0 D.a ＞1且b ＜0 解析：作函数y =a x +b －1的图象. 答案：C4.（2004年全国Ⅱ，理6）函数y =－e x 的图象 A.与y =e x 的图象关于y 轴对称 B.与y =e x 的图象关于坐标原点对称C.与y =e －x 的图象关于y 轴对称D.与y =e －x 的图象关于坐标原点对称 解析：图象法. 答案：D5.（2004年湖南，文16）若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________________.解析：数形结合.由图象可知0＜2a ＜1，0＜a ＜21. 答案：0＜a ＜21 6.函数y =（21）222+-x x 的递增区间是___________. 解析：∵y =（21）x 在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y =x 2－2x +2=（x －1）2+1的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］.答案：（－∞，1］●典例剖析【例1】 下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是Oxy1(1) (2) (3) (4)A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c .解法二：令x =1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1， ∴b ＜a ＜1＜d ＜c . 答案：B【例2】 已知2xx +2≤（41）x －2，求函数y =2x －2－x 的值域. 解：∵2xx+2≤2－2（x －2），∴x 2+x ≤4－2x ，即x 2+3x －4≤0，得－4≤x ≤1.又∵y =2x －2－x是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1.故所求函数y 的值域是［－16255，23］. 【例3】 要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.解：由题意，得1+2x+4xa ＞0在x ∈（－∞，1］上恒成立，即a ＞－xx421+在x ∈（－∞，1］上恒成立.又∵－xx 421+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41，当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－43. 评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法. ●闯关训练 夯实基础1.已知f （x ）=a x ，g （x ）=－log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1，则y =f （x ）与y =g （x ）的图象 A.关于直线x +y =0对称 B.关于直线x －y =0对称 C.关于y 轴对称 D.关于原点对称 解析：lg a +lg b =0⇒ab =1.∴g （x ）=－log b x =－log a －1x =log a x .∴f （x ）与g （x ）的图象关于y =x 对称. 答案：B2.下列函数中值域为正实数的是A.y =－5xB.y =（31）1－x C.y =1)21(-xD.y =x 21-解析：∵y =（31）x 的值域是正实数，而1－x ∈R ，∴y =（31）1－x 的值域是正实数. 答案：B 3.化简3421413223)(ab b a ab b a ⋅（a ＞0，b ＞0）的结果是___________________.解析：原式=3122131223)(])[(ab ab ab b a ⋅⋅=3732316123b a b a b a ⋅=373234610b a b a =ba . 答案：ba 4.满足条件m 2m ＞（m m ）2的正数m 的取值范围是___________________.解析：∵m ＞0，∴当m ＞1时，有m 2＞2m ，即m ＞2； 当0＜m ＜1时，有m 2＜2m ，即0＜m ＜1. 综上所述，m ＞2或0＜m ＜1. 答案：m ＞2或0＜m ＜15.（2004年湖北，理7）函数f （x ）=a x +log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为A.41B.21C.2D.4解析：f （x ）在［0，1］上是单调函数，由已知f （0）+f （1）=a ⇔1+log a 1+a +log a 2=a ⇔log a 2=－1⇔a =21. 答案：B6.已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（21）x +2的最大值和最小值. 解：由9x －10·3x +9≤0得（3x －1）（3x －9）≤0，解得1≤3x ≤9.∴0≤x ≤2.令（21）x =t ，则41≤t ≤1，y =4t 2－4t +2=4（t －21）2+1.当t =21即x =1时，y min =1；当t =1即x =0时，y max =2.培养能力7.若a 2x +21·a x －21≤0（a ＞0且a ≠1），求y =2a 2x －3·a x +4的值域. 解：由a 2x +21·a x －21≤0（a ＞0且a ≠1）知0＜a x ≤21.令a x =t ，则0＜t ≤21，y =2t 2－3t +4.借助二次函数图象知y ∈［3，4）.8.（2004年全国Ⅲ，18）解方程4x +|1－2x |=11. 解：当x ≤0时，1－2x ≥0.原方程⇔4x －2x －10=0⇔2x =21±241⇔2x =21－241＜0（无解）或2x =21+241＞1知x ＞0（无解）. 当x ＞0时，1－2x ＜0. 原方程⇔4x +2x －12=0⇔2x =－21±27⇔2x =－4（无解）或2x =3⇔x =log 23（为原方程的解）. 探究创新9.若关于x 的方程25－|x +1|－4·5－|x +1|－m =0有实根，求m 的取值范围.解法一：设y =5－|x +1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y 2－4y －m =0在（0，1］内有实根.设f （y ）=y 2－4y －m ，其对称轴y =2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0.解法二：∵m =y 2－4y ，其中y =5－|x +1|∈（0，1］，∴m =（y －2）2－4∈［－3，0）. ●思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数y =a x （a ＞0，a ≠1）的图象和性质受a 的影响，要分a ＞1与0＜a ＜1来研究.3.指数函数的定义重在“形式”，像y =2·3x ，y =2x1，y =32+x ，y =3x +1等函数都不符合形式y =a x （a ＞0，a ≠1），因此，它们都不是指数函数.●教师下载中心 教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为a 2x +b ·a x +c =0或a 2x +b ·a x +c ≥0（≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例【例1】 若60a ＝3，60b ＝5.求12)1(21b b a ---的值.解：a =log 603，b ＝log 605， 1－b ＝1－log 605＝log 6012，1－a －b ＝1－log 603－log 605＝log 604，bb a ---11＝12log 4log 6060＝log 124， 12)1(21b ba ---＝124log 2112＝122log 12＝2.【例2】 方程2x =2－x 的解的个数为______________.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）.由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.。