单纯形法的进一步讨论人工变量法

营养要求 700 30
200
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配方问题建模
❖ 设抓取饲料I x1kg;饲料II x2kg;饲料III x3kg…… ❖ 目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5
约束条件 ❖ 营养要求： 3x2+2x2+x3+6x4+18x5 ≥700
x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30 0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 ❖ 用量要求：x1 ≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 ❖ 非负性要求：x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0
1. 关于无界解问题 可行区域不闭合(约束条件有问题) 单纯型表中入变量 xj* 对应的列中所有
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2. 关于退化问题 退化问题的原因很复杂，当原问题存在平衡约束时
当单纯型表中同时有多个基变量可选作出变量时
退化的严重性在于可能导致死循环，克服死循环的 方法有“字典序”法
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3. 关于多重解问题 多个基础可行解都是最优解，这些解在同一个超平
大M法的求解过程 例 p46-1.1(a)
解：
1
p46-1.1(a)的单纯形法迭代过程
x5
[]
x6
x5 x1
2
[]
x5
x1
x2 x1
最优解为：x1=3/4，x2=1/2，x3=x4=x5=x6=0
最优值为 3
有无穷多最优解
3
大M法的一些说明
大M法实质上与原单纯型法一样，M 可看成一个很大的常 数
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 X6+X1≥60
非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
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Fra Baidu bibliotek
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应用举例1——配方问题
❖ 养海狸鼠 饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每 天至少30克，VC每天刚好200克。现有五种饲料，搭配 使用，饲料成分如下表：
饲料
I II III IV V
Va Vb Vc 价格元/kg
3
1
0.5 2
2
0.5 1
7
1
0.2 0.2 4
6
2
2
9
18 0.5 0.8 5
人工变量被迭代出去后一般就不会再成为基变量 当检验数都满足最优条件，但基变量中仍有人工变量，
说明原线性规划问题无可行解 大M法手算很不方便 因此提出了二阶段法
❖计算机中常用大M法 ❖二阶段法手算可能容易
4
5-2 两阶段法 v 第一阶段的任务是将人工变量尽快迭代出去，从而找
到一个没有人工变量的基础可行解 v 第二阶段以第一阶段得到的基础可行解为初始解，采
用原单纯型法求解 v 若第一阶段结束时，人工变量仍在基变量中，则原问
题无解 v 为了简化计算，在第一阶段重新定义价值系数如下：
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用二阶段法求解p46-1.1(d) ,第一阶段
[]
x5
x4
6
[]
x5
x4
x1 x4
7
第二阶段 []
x1 x4
x1 x2
8
x1 x2 无最优解（无界解）。这是因为
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◆ 单纯型法的一些具体问题
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应用举例2 ——人员安排问题
❖ 医院护士24小时值班，每次值班8小时。不同 时段需要的护士人数不等。据统计：
序号
时段
最少人数 安排人数
1
06—10 60
X1
2
10—14 70
X2
3
14—18 60
X3
4
18—22 50
X4
5
22—02 20
X5
6
02—06 30
x6
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人员安排问题建模
❖ 目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 ❖ 约束条件： x1+x2 ≥70
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◆ 修正单纯型法（了解）
v 原单纯型法迭代所需存储量大 v 原单纯型法有不必要的计算量
1. 修正单纯型的原理
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1. 修正单纯型的原理
v 关键是求新基的逆矩阵 B1
仍然可以采用四角算法 混合算法
v 当前基的逆矩阵 B1 在原单纯型表的什么位置上？ 在初始可行基向量位置上 ( AN | I ) ( I | AN1 )
面上，且该平面与目标函数等值面平行 最优单纯型表中有非基变量的检验数为0 最优解的线性组合仍是最优解，即 X=aX1+bX2，
（a+b=1）
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例3 的单纯型表及其迭代过程
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4. 关于无可行解问题 约束条件互相矛盾，无可行域 单纯型表达到最优解检验条件时，人工变量仍在基
变量中
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例4 第一阶段的单纯型表