几种特殊的矩阵
常用的特殊矩阵
常用的特殊矩阵矩阵在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
除了常规的矩阵外，还存在一些特殊的矩阵形式，它们具有独特的性质和应用。
本文将介绍一些常用的特殊矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵、零矩阵和方阵。
1. 对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
主对角线上的元素可以是任意值。
对角矩阵在线性代数中有广泛的应用，例如求解线性方程组、矩阵的特征值等。
对角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
2. 上三角矩阵上三角矩阵是指除了主对角线及其以上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
上三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
上三角矩阵在计算机科学和数学中都有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
上三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
3. 下三角矩阵下三角矩阵是指除了主对角线及其以下的元素外，其余元素都为零的矩阵。
下三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
下三角矩阵在计算机科学和数学中也有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
下三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
4. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵。
换句话说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵在数学和物理学中有广泛的应用，例如求解线性方程组、特征值问题、二次型等。
对称矩阵具有很多重要的性质，例如所有的特征值都是实数，特征向量可以正交等。
5. 反对称矩阵反对称矩阵是指矩阵的转置的相反数等于自身的矩阵。
换句话说，反对称矩阵的元素关于主对角线对称且元素为相反数。
反对称矩阵在数学和物理学中也有广泛的应用，例如旋转、刚体运动等。
反对称矩阵的特征值具有特殊的性质，例如如果矩阵的维度是奇数，则至少存在一个特征值为零。
6. 单位矩阵单位矩阵是指主对角线上的元素都为1，其余元素都为零的矩阵。
单位矩阵在线性代数中有重要的作用，它在矩阵乘法中起到类似于数字1的作用。
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
线性代数中的特殊矩阵分类
线性代数中的特殊矩阵分类线性代数是数学中一门重要的学科，其中矩阵是其中的一个核心概念。
矩阵作为一种数学工具在实际应用中有着非常广泛的应用。
由于矩阵具有一些重要的性质，因此矩阵可以根据这些性质进行分类，其中特殊矩阵是线性代数中常见的一个概念。
1. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它的转置矩阵与它本身相等，即A = A^T。
对称矩阵具有很多重要的性质，可以应用于广泛的领域。
例如，在椭圆偏微分方程中，对称矩阵的证明可以被用来证明谱定理；在统计学中，协方差矩阵是对称矩阵，用于描述变量之间的关系。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊的矩阵类型。
上三角矩阵的所有下方元素都为0，下三角矩阵的所有上方元素都为0。
上下三角矩阵继承了其自身的性质。
上三角矩阵通常在求解线性方程组时用到，因为它可以轻松找出未知数。
上三角形式可以通过高斯消元算法来实现，这样，矩阵可以在O（n ^ 3）时间内求解。
3. 稀疏矩阵稀疏矩阵是一种非常特殊的矩阵。
如果矩阵中有大量元素值为0，则称该矩阵稀疏。
稀疏矩阵经常出现在一些实际应用和大型数据集中。
例如，社交媒体网站会生成巨量的关系矩阵，并且相互之间共享数据是非常常见的。
但是，在这个关系矩阵中，大多数元素的值都为0，因为人们只能与一小部分人进行交互。
稀疏矩阵可以通过一些优化算法来处理。
例如，压缩稀疏行（CSR）格式就是一种处理稀疏矩阵的算法，该算法将稀疏矩阵压缩为一个矩阵。
这个格式可以使得矩阵的计算变得非常高效，并且存储空间也可以大大减少。
总之，矩阵作为线性代数的核心概念，在实际应用中有着广泛的应用。
特殊矩阵是其中非常重要的一个概念，这些特殊矩阵都具有一些独特的性质，在实际应用中有着非常广泛的应用。
对于一个数学学习者来说，对于这些矩阵的掌握是十分必要的。
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨逆矩阵是矩阵论中非常重要的概念，它在线性代数及应用数学中都有广泛的应用。
通常情况下，我们可以使用伴随矩阵或者高斯消元法来求解逆矩阵。
但是对于一些特殊矩阵，我们可以利用它们的特殊性质来求解逆矩阵，从而简化计算过程。
一、对角矩阵的逆矩阵求法对角矩阵是指所有非主对角线元素都为零的方阵。
对于对角矩阵，逆矩阵的求解非常简单。
设A为n阶对角矩阵，其中对角线上的元素为a1,a2,...,an。
由于对角矩阵非常特殊，可以直接取每个元素的倒数作为逆矩阵的对角线元素，即A^(-1)的对角线上的元素为1/a1,1/a2,...,1/an。
其余元素仍然为零。
这是因为矩阵乘法满足交换律，任何数与零相乘都为零。
二、上三角矩阵的逆矩阵求法上三角矩阵是指所有主对角线上方的元素都为零的方阵。
对于上三角矩阵，逆矩阵的求解也相对简单。
设A为n阶上三角矩阵，其中主对角线上的元素为a1,a2,...,an。
逆矩阵A^(-1)也是一个上三角矩阵，其主对角线上的元素为1/a1,1/a2,...,1/an。
通过数学归纳法可以证明这个结论。
因为对角线以下的元素都是零，而矩阵乘法中对角线以下的元素与对应位置的元素相乘后都为零，因此A×A^(-1)的对角线以下的元素也都是零。
三、单位矩阵的逆矩阵求法单位矩阵是指主对角线上的元素全为1，其余元素全为零的方阵。
单位矩阵非常特殊，其逆矩阵就是它本身。
也就是说，单位矩阵的逆矩阵就是单位矩阵本身。
这是因为单位矩阵对于矩阵乘法是一个单位元，与任何矩阵相乘得到的结果仍然是原矩阵。
综上所述，对于一些特殊的矩阵，我们可以利用它们的特殊性质来求解逆矩阵，从而简化计算。
对角矩阵、上三角矩阵和单位矩阵都是常见的特殊矩阵，它们的逆矩阵都可以通过简单的规则来求解。
这些特殊矩阵的逆矩阵求解方法也为我们在解决实际问题中的数学建模提供了便利，可以节约计算时间，提高求解效率。
矩阵知识点
矩阵知识点(总10页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵定义 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E ) 3．正交矩阵定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。
定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则(1)或(2)(3) 也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。
定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
E A A T=A 1=A 1-=A TA A =-1)(1TA A 即-AB ⇔1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
特殊矩阵知识点总结归纳
特殊矩阵知识点总结归纳一、特殊矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它是一个按照矩形排列的数的集合。
特殊矩阵是指具有特殊性质的矩阵，这些特性可以是对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。
1. 对角矩阵对角矩阵是一种形式特殊的矩阵，它的非对角元素都是零。
具体来说，一个n×n的矩阵A 是对角矩阵，当且仅当a_ij=0，i≠j。
对角矩阵的特点是计算简单，特殊类型的特殊矩阵可以大大简化计算过程。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊矩阵的一种。
上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为零的矩阵，而下三角矩阵是指所有主对角线以上的元素都为零的矩阵。
这两种矩阵的特点是对称性很强，可以简化矩阵的运算过程。
3. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足a_ij=a_ji。
也就是说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵具有许多特殊的性质，比如它的特征值都是实数，对应不同的特征值的特征向量是正交的等。
4. 正交矩阵正交矩阵是指满足Q^T·Q=I的方阵Q，其中Q^T表示Q的转置矩阵，I表示单位矩阵。
正交矩阵的特点是它的列向量是正交的，也就是说，Q^T·Q=I意味着Q的列向量正交。
正交矩阵在旋转、变换等领域有着广泛的应用。
二、特殊矩阵的性质特殊矩阵具有许多特殊的性质，这些性质使得它们在科学计算、工程学和物理学等领域中有着广泛的应用。
1. 对角矩阵的性质对角矩阵的特点是它的非对角元素都是零，这使得它的计算非常简单。
对角矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
此外，对角矩阵具有可逆性，只要对角线上的元素不全为零，对角矩阵就是可逆的。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的性质上三角矩阵和下三角矩阵都具有可逆性，只有主对角线上的元素不为零，它们就是可逆的。
此外，上三角矩阵和下三角矩阵的特征值就是它们的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
数据结构之特殊矩阵
数据结构之特殊矩阵特殊矩阵在数据结构中是一个重要的概念，它是一种具有特定性质的矩阵，可以帮助我们解决很多实际问题。
在本文中，我将介绍几种常见的特殊矩阵，并说明它们的结构和用途。
一、对称矩阵对称矩阵是指矩阵的第i行第j列元素等于第j行第i列元素的矩阵。
对称矩阵的主对角线上的元素对称于矩阵的副对角线上的元素。
对称矩阵在图论、物理学和金融学领域有广泛的应用。
例如，在图论中，对称矩阵常用于表示图的邻接矩阵。
二、上三角矩阵上三角矩阵是指矩阵的下三角部分全为0的矩阵。
上三角矩阵可以有效地节省内存空间，并且在矩阵乘法和矩阵求逆等运算中具有重要的作用。
在线性代数中，上三角矩阵常用于解线性方程组和计算特征值等问题。
三、下三角矩阵下三角矩阵是指矩阵的上三角部分全为0的矩阵。
和上三角矩阵一样，下三角矩阵也可以节省空间并且在矩阵运算中有重要的应用。
在数值分析中，下三角矩阵常用于求解线性方程组和计算矩阵的特征值。
四、稀疏矩阵稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0的矩阵。
稀疏矩阵在图论、网络分析和机器学习等领域有广泛的应用。
由于稀疏矩阵的元素非常稀少，因此可以有效地压缩存储和加速计算过程。
在处理大规模数据时，稀疏矩阵的优势更加明显。
五、对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为0的矩阵。
对角矩阵在线性代数和微分方程等领域有广泛的应用。
由于对角矩阵的特殊结构，其乘法和逆运算非常简单，可以提高计算效率。
六、压缩矩阵压缩矩阵是一种用于存储稀疏矩阵的数据结构。
常见的压缩矩阵包括行压缩矩阵、列压缩矩阵和坐标压缩矩阵。
压缩矩阵可以提高稀疏矩阵的存储效率，并且可以支持基本的矩阵运算。
总结起来，特殊矩阵是指具有一定特性的矩阵，包括对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、稀疏矩阵、对角矩阵和压缩矩阵等。
这些特殊矩阵在不同的领域和问题中有广泛的应用，能够提高存储效率和计算效率，对于处理大规模数据和复杂计算任务具有重要的作用。
因此，了解和熟悉特殊矩阵的结构和特点对于数据结构的学习和实践非常重要。
《线性代数》2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
7. 单位矩阵 对角矩阵中的对角线元素都等于1的矩阵, 记作
1 1 E 1
三、同型矩阵及矩阵相等 定义2.1.2
B 有相同的行数和列数， 如果两个矩阵 A 、
则称A与B为同型矩阵.
若矩阵A aij 与 B bij 是同型矩阵，而且对应 位置上的元素均相等，即aij 记为 A B
线 性 代 数
(第二版)
第二章Байду номын сангаас
矩 阵
• 第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵 • 第二节 矩阵的运算 • 第三节 逆 矩 阵 • 第四节 分 块 矩 阵
第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵
一、矩阵的概念 产品 引例 某厂向三个商店发送四种产品的数量，如下表 1 2 3 4 数量
商店
1 2 3
a11
a12
字母 A , B , C 等来表示.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 上述矩阵记作 A a a a mn m1 m 2
可以简写成
A (aij ) mn .
其中 aij 叫做矩阵的第i 行第 j 列的元素. 元素为实数的矩阵称为实矩阵， 元素为复数的矩阵称为复矩阵.
bij ，则称A与B相等.
2 4 2 c 例如 若要求下面等式成立 5 a d 7 b 1 3 1
必须 a 7, b 3, c 4, d 5
二、几种常见的特殊矩阵 1. 行矩阵 只有一行的矩阵，即1×n 矩阵
A (a11 ,a12 ,,a1n )
2. 列矩阵 只有一列的矩阵，即m×1矩阵
a11 a 21 a , a ,, a T A 11 12 1n a m1
几种特殊类型的矩阵
A1
a 1 22
.
0
a 1 nn
下三角形矩阵
a 11
a 21
0 a
22
0 与上三角形 0 矩阵的性质
类似.
a n1
a n2
a nn
正交矩阵
定义 实数域上的方阵A如果满足AA = AA
=E, 则称A为正交矩阵.
例如
cos sin
sin cos
1 0 0 1
都是正交矩阵.
aa i2 j2
a a in jn
0(i
j,i,
j 1,2,n).
a 2 1j
a2 2j
a2 nj
1,
j
1,2,, n.
a1i
a 1
j
a a 2i 2 j
a a ni nj
0(i
j,i,
j
1,2,n).
例 判1别 1下113列2 矩1阵1122是否11231为,正交阵2． 919984
8 9 1
9 4
9
4
9 4
.
9
7
9
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的 第一列和第 二列，
由于
1
1 2
1 2
1
1 3
1 2
0,
所以它不是正交矩阵．
解
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
4 9
4 9
7 9
由于
1
9 8
9
4 9
8 9 1
定义 方阵的非主对角线的元素全部为零,
几种特殊的矩阵
b 2Ob n
a 2 b 2Oa n b n
《线性代数》(第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
(一)对角矩阵
对角矩阵
a 1 1
A a 2 2 O a n n
对角矩阵的性质
如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角 矩阵
提示
a 1
b 1
a 1 b 1
a 2Oa n
b 2Ob n
a 2 b 2Oa n b n
《线性代数》(第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
(一)对角矩阵
对角矩阵
a 1 1
A a 2 2 O a n n
对角矩阵的性质
如果A B为同阶对角矩阵 则kA AB AB仍为同阶对角 矩阵
对称矩阵
对称矩阵A的元素关于主对角线对称 因此有ATA 对称矩阵的性质
数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵 但对 称矩阵乘积未必对称
举例例 如 1 1 0 1 1 1 0 2 0 2 1 1 2 3 1 均 为 对 称 矩 阵
《线性代数》(第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
(四)三角形矩阵
上三角形矩阵 如果n阶矩阵A(aij)中元素满足条件 aij0 ij (i, j1, 2, , n)
则称A为n阶上三角形矩阵 即
a 1 1 a 1 2 L a 1 n A a 2 2 L O a a M 2 n n n
《线性代数》(第四版)教学课件
首页 上一页 下一页 结束
(二)数量矩阵
数量矩阵
a A a O a 数量矩阵的性质
以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B 其乘积
等于以数a乘矩阵B
线性代数-特殊矩阵
例3 设 A2 A, E 是单位矩阵，证明：
( A E )m E (2m1 1) A
其中, m是正整数. 证 A,E相乘可以交换，由二项式定理有：
( A E )m
0 1 2 m 1 m Cm Am Cm Am 1 Cm Am 2 Cm A Cm E
1 0 0 1 例2 设 A 0 0 0 , B 3 1 1 1 , 0 0 1 1
验证A,B都是幂等矩阵． 解
1 0 0 1 0 0 1 2 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 B 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 B 1 0 0 0 0 A 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1
2.数量矩阵
对角线上元素相同的对角矩阵
称为数量矩阵．
a aEn a nn a11 k a k , A 21 20 若K k nn a n1
a a a nn
2.2
几种特殊的矩阵
• 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 • 上(下)三角形矩阵 • 对称矩阵和反对称矩阵 • 幂等矩阵，幂幺矩阵和幂零矩阵
一、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵
1.对角矩阵 形如
a1 a2 的方阵称为对角矩阵． an nn
【注】 1o A ( aij )nn 为对角矩阵 aij=0(i≠j，i,j=1,2,…,n)
1.对称矩阵
若方阵A=(aij)满足aij＝aji，则称A为对称矩阵．
几种特殊的矩阵
1. 零矩阵
几种特殊的矩阵
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记作O， 如果要指明其行数与列数，则记为Om×n，即
注意：行（列）数不同的零矩阵是不同的．
几种特殊的矩阵
2. 行（列）矩阵
3. n阶方阵
几种特殊的矩阵
矩阵的行数与列数都为n时，称为n阶矩阵或n阶方阵． 对于n阶方阵
连接其左上角元素a11和右下角元素ann的连线称为矩阵A的 主对角线，位于主对角线上的元素a11，a22，…，ann称为矩阵A 的对角元．
注意：当m=n=1时，在逻辑上，我们把一阶方阵A=a视同 为普通的数a.
4. 对角阵
几种特殊的矩阵
除对角元以外，其余元素全为0的n阶方阵称为n阶对 角阵，记为：
几种特殊的矩阵
注意：当n阶对角阵Λ中对角元a11=a22=…=ann=a时， 则称之为数量矩阵.特别地，当a=1时，该数量矩阵称为 单位矩阵，一般记为En，在不引起混淆的情况下，简记 为E（也有部分教材将n阶单位矩阵记为In或I），即
几种特殊的（上）方元素全为0的n阶方阵称为上 （下）三角形矩阵．例如，
分别是3阶上三角形矩阵和4阶下三角形矩阵． 显然，对角阵既是上三角形矩阵，也是下三角形 矩阵，但反之则不然．
谢谢聆听
几种特殊的矩阵
0 0 7 8 0
0
0
0
0
0
1 0 0 0 0
9
60
0
0
1 2 3 0 0
5
2
3
3
0
5 7 0 12 3
0
1
2
2
1
0 0 0 8 9
0
0
0
0
1
1 0 0 0
1
2
0
0
0 0 0 0
1 0 0 0 0
5 0 6 0 0
2
3
4
0
0
0 0 0 0 0
4 4 3 2 1
几种特殊的矩阵
若对角线上的元素是相同的数k，得到的特殊矩阵为：
k
k
这个矩阵称作数量矩阵。
问题
对角阵、单位阵、数量阵的相同点是什么？
几种特殊的矩阵
a11 a12
6
.
a 22
a1n
a2n
ann
上三角阵 给这两个矩阵取名字吧！
a 1 1
a 21 a 22
a n1
a n2
a nn
1 2 3 0 0
1 0 0 0 0
它们是梯形阵吗? 不是!
请记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.
几种特殊的矩阵
想一下零矩阵是什么样子的？
0
0
O .
m
n
0
0
几种特殊的矩阵
3.对角矩阵 想一下对角矩阵首先要有什么？
首先得有对角线， 所以必须是方阵。
a11
a nn
其它没写出的元素都是零。
几种特殊的矩阵
若对角线上的元素都是1，就得到又一个特殊的矩阵：
几种特殊矩阵与矩阵的分块
0
0 annbnn
二
、
单
位
阵
： 记 为I或E。
即
：I
1
0
0 1
IA AI A , I n I，规定：A0 I
a 0
三、数量矩阵：Ann
0 a
Ann Bnl aBnl , Bmn Ann aBmn
四、三角形矩阵
a11 上 三 角 形 矩 阵 ：A
注意： 1) 矩阵乘法一般不满足交换律，即：
AB BA
如果对A, B有AB BA，则称A与B是可交换的。
2) AB 0一般不能得到A 0或B 0。 3) AB AC,且A 0,但一般不能得到B C.
4) A, B为同阶方阵，则AB A B . 推 广 ：A1 A2 As A1 A2 As
矩阵的转置 ( AB：)T BT AT
§2.3 几种特殊的矩阵
对于一个方阵：
a11 a12 A a21 a22
aபைடு நூலகம்1 an2
a1n
a2n
ann
副对角线 主对角线
上三角阵、下三角阵、对角阵
a11 a12 a1n
上
三角阵：
0
a22
a2n
0
0
ann
a11 0 0
0 1 b
A11 E
O A22 ,
A11
a 0
1 a
O
0 0
0 0
E
1 0
0 1
A22
b 1
1 b
a 1 0 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A1
A2
A3
A4 ,
0 1 1 b
矩阵的特殊类型和对角化的计算
矩阵的特殊类型和对角化的计算矩阵在数学和工程领域中扮演着重要的角色，它不仅可以描述线性系统和变换，还可以应用于数据处理、图像处理等领域。
在矩阵理论中，存在着多种特殊类型的矩阵，如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。
而对角化则是指将一个矩阵转化为对角阵的过程，它在矩阵运算和特征值计算中扮演着重要的角色。
一、对角矩阵对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的主对角线以外的元素全部为零。
具体而言，一个n阶对角矩阵可以表示为：其中a_i (i=1,2,...,n)为非零数。
对角矩阵有很多重要的性质，比如对角线元素之间的运算不会相互影响，可以通过分解成对角线元素的运算来简化问题，从而提高计算效率。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是指矩阵的主对角线以下的元素全部为零，下三角矩阵则是指主对角线以上的元素全部为零。
具体而言，一个n阶上三角矩阵可以表示为：而一个n阶下三角矩阵可以表示为：上三角矩阵和下三角矩阵在矩阵运算和求解线性方程组时有着重要的应用，比如高斯消元法中的三角分解法就是利用了上三角矩阵和下三角矩阵的性质。
三、对角化和特征值计算对角化是指将一个矩阵转化为对角阵的过程。
一个n阶矩阵A可以进行对角化的条件是存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=D，其中D为对角阵。
对角化的重要性在于可以简化矩阵的运算和求解问题，尤其是在求解矩阵的特征值和特征向量时。
对于矩阵的对角化计算，主要分为以下几个步骤：1. 求解矩阵A的特征值λ和特征向量v；2. 构成特征向量矩阵P，P的每一列为矩阵A对应特征值的特征向量；3. 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^(-1)；4. 进行对角化计算，得到对角矩阵D=P^(-1)AP。
对角化的计算过程中，特征值的计算是关键步骤。
特征值可以通过求解矩阵A的特征多项式的根来获得。
对于n阶矩阵A，其特征多项式可表示为：其中λ为变量。
求解特征多项式的根即可得到所有的特征值，进而计算出对应的特征向量。
在实际应用中，矩阵的对角化计算在优化问题、信号处理等方面有着广泛的应用。
1-3常见特殊矩阵
A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；
A2-1=I-beiejT；
A3-1=A3。
分块形式初等变换矩阵。
例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 零特征值完全相同，而且重数也相同。此ห้องสมุดไป่ตู้还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复Hermite矩阵
追求人生的美好!
我们的共同目标!
(b) 正定矩阵
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn都有xTAx>0，则称 A为对称正定 (symmetric positive definite)矩阵。 记做A>0。 对称正定矩阵的特征值都是正数。 下列条件都等价： 1. A是正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于0； 3. 存在非奇异矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都是正数。
把正定矩阵定义中的xTAx>0改成xTAx<0，则称A 是负定 (negative definite)矩阵。记做A<0。 负定矩阵的特征值都是负数。
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。记做A∈SRn×n。 对称矩阵的特征值都是实数。
设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。
设A∈Cn×n，如果满足A=A*，则称A为Hermite 矩 阵(Hermitian matrix)；如果满足A=-A*，则称A为 反Hermite 矩阵(skew-Hermitian matrix)。
2.1 特殊矩阵(PPT)
专题二MATLAB矩阵处理2.1 特殊矩阵☐通用性的特殊矩阵☐用于专门学科的特殊矩阵1．通用的特殊矩阵☐zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。
☐ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
☐eye函数：产生对角线为1的矩阵。
当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
☐rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵。
☐randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
zeros函数的调用格式：☐zeros(m)：产生m×m零矩阵。
☐zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。
☐zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。
>> A=zeros(2,3)A =0 0 00 0 0>> zeros(size(reshape(A,3,2)))ans =0 00 00 0例1 首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证(A+B)I=IA+BI（I为单位矩阵）。
☐rand函数：产生(0，1)开区间均匀分布的随机数x。
☐fix(a+(b-a+1)*x)：产生[a，b]区间上均匀分布的随机整数。
☐randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机数x。
☐μ+σx得到均值为μ、方差为σ2的随机数。
：>> A=fix(10+(99-10+1)*rand(5)); >> B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5); >> C=eye(5);>> (A+B)*C==C*A+B*Cans =1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1(1)魔方矩阵--Magic Square 2．用于专门学科的特殊矩阵>> M=magic(3)M =8 1 63 5 74 9 2☐n阶魔方阵由1,2,3,…,n2共n2个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a11 a12 a13 ... a1n b11 b12 b13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2n
0
b22
b23
...
b2n
0 0 a33 ... a3n 0 0 b33 ... b3n
0 0 0 ... ann 0 0 0 ... bnn
c11
0
0
0
c12 c13 c22 c24 0 c33
a11
0
a12 a22
a13 a23
... ...
a1n
a2
n
ka11
0
ka12 ka22
ka13 ka23
... ka1n
...
ka2n
k 0 0 a33 ... a3n 0
0 ka33 ... ka3n
0
0
0
...
ann
0
0
0 ... kann
即 数k乘n阶上三角矩阵后 还是n 阶上三角矩阵.
0 a33
... ...
0 0
0
0
0
... ann
a1n a2n a3n ... ann
同理, 所有n 阶下三角 矩 阵关于加法、数乘、
乘法封闭.下三角矩阵的转置矩阵 为上三角矩阵。
a11 0 ...
对角矩阵 0 a22 ...
0 0
既可看成上三角矩阵 也可看成下三角矩阵.
0
0
...
在矩阵的乘法中 数量矩阵 起着“数”的作用。
3.三角形矩阵
如果n阶方阵A=(aij)中 的元素满足条件：i j时,
aij 0 即
a11 a12 a13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2
n
A 0 0 a33 ... a3n
0 0 0 ... ann
则称A为n 阶上三角矩阵.
0 0 0 ... ann 0 0 0 ... bnn
a11 b11 0 0
0
a12 b12 a22 b22
0
0
a13 b13 ... a23 b23 ... a33 b33 ...
0 ...
a1n b1n a2n b2n a3n b3n
ann bnn
即两个n 阶上三角 矩 阵的和还是n 阶上三角矩阵.
即主对角线左下方 的元素均为零的矩阵称为
上三角矩阵.
如果n阶方阵A=(bij)中的元素满足条件：i j时,
bij 0 即
b11 0
b21
b22
0 ... 0
0
...
0
B b31 b32 b33 ... 0
bn1 bn2 bn3 ... bnn
则称A为n 阶下三角矩阵.
即主对角线右上方 的元素均为零 的矩阵称为
...
mn
b1n
b2n
(aEm
)
B
a(Em
B)
aB
bmn
用一个m阶数量矩阵左乘 B，等于用数 a乘 B
b11 b12 ...
b21
b22
...
bm1
bm 2
...
mn
b1n a
b2n
0
bmn 0
0 ... a ...
0 ... nn
0
0
B(
aEn
)
a(BEn
)
aB
a
用一个n阶数量矩阵右乘 B，等于用数 a乘B
0
0
ka22 ...
0
0
0
0
...
ann
0
0
...
kann
两个n阶对角矩阵的和 还是n阶对角矩阵.
数乘n阶对角矩阵 还是n阶对角矩阵.
a11 0 ...
AT
0
a22 ...
0 T a11 0 ...
0
0
a22 ...
0
0
=A
0
0
...
ann
0
0
...
ann
a11 0 ...
0 5
注意：对角矩阵必为方阵.
a11 0 ...
0
a22
...
0 b11 0 ...
0
0
b22
...
0 a11 b11 0 ...
0
0
a22 b22 ...
0
0
0
0
...
ann
0
0
...
bnn
0
0
...
ann
bnn
a11 0 ...
k
0
a22 ...
0 ka11 0 ...
对角矩阵的转置 还是对角矩阵.
所有n阶对角矩阵关于加法、数乘、乘法、转置封闭.
2.数量矩阵
如果n阶对角矩阵A中的元素a11 a22 a33 ... ann
即
a 0 ... 0
A
0
a
...
0
0
0
...
a
则称A为n阶数量矩阵.
a 0 ... 0 1 0 ... 0
A
0
a
...
几种特殊的矩阵
1.对角矩阵
a11 0 ... 0
形如
diag
(a11
,
a22
,
...,
ann
)
0
a22 ...
0
0
0
...
ann
的n 阶方阵 称为对角矩阵. 其中 a11,a22,...,ann 是主对角
线上的元素, 主对角线以外的元素均为零.
4 0 0
diag(4,
1,
5)
0 0
1 0
下三角矩阵.
注意：上、下三角矩阵 必为方阵.
所有n 阶上三角 矩 阵关于加法、数乘、乘法封闭.
a11 a12 a13 ... a1n b11 b12 b13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2n
0
b22
b23
...
b2
n
0 0 a33 ... a3n 0 0 b33 ... b3n
ann
4.对称矩阵
如果n 阶方阵 A aij 满足 ai j a ji (i, j 1,2,...,n)
则称A为对称矩阵。
如
A
1 7
7
2
均为对称矩阵.
5
B
2 1
2 4 3
1 2
3 0
8
0
3
8 0 4 6
0 4 1 2
0
a22 ...
0 b11 0
0
0 0
b22 0
0 ... 0 ... b33 ...
0 0 0
a11b11 0
0
a22b22
0 ... 0 ...
0 0
0
0 ...
nn
ann
0
00
nn
... bnn
0
0
0 ... annbnn
nn
两个n阶对角矩阵的乘积 还是n阶对角矩阵.
00
... c1n 两个n阶上三角矩阵
... c2n 的积 还是n 阶上三角
...
c3n 矩阵.
cnn
上三角矩阵的转置矩阵为下三角矩阵。
a11
a12
a13
...
a1n
T
a11 0
0 ... 0
0
AT 0
a22 0
a23 a33
... ...
a2n a3n
a12 a13
a22 a23
0
a
0
1
...
0
aE
0
0
...
a
0
0
设
B
b21
b22
...
b2n
为任一
m n矩阵
bm1 bm2 ... bmn
a 0 ...
0
a
...
0
0
...
mm
0 b11 b12 ...
0
b21
b22
...
a
bm1
bm 2