几种特殊的矩阵

几种特殊的矩阵
1.对角矩阵
a11 0 ... 0
形如
diag
(a11
,
a22
,
...,
ann
)
0
a22 ...
0
0
0
...
ann
的n 阶方阵 称为对角矩阵. 其中 a11,a22,...,ann 是主对角
线上的元素, 主对角线以外的元素均为零.
4 0 0
diag(4,
1,
5)
0 0
1 0
0
a22 ...
0 b11 0
0
0 0
b22 0
0 ... 0 ... b33 ...
0 0 0
a11b11 0
0
a22b22
0 ... 0 ...
0 0
0
0 ...
nn
ann
0
00
nn
... bnn
0
0
0 ... annbnn
nn
两个n阶对角矩阵的乘积 还是n阶对角矩阵.
00
... c1n 两个n阶上三角矩阵
... c2n 的积 还是n 阶上三角
...
c3n 矩阵.
cnn
上三角矩阵的转置矩阵为下三角矩阵。
a11
a12
a13
...
a1n
T
a11 0
0 ... 0
0
AT 0
a22 0
a23 a33
... ...
a2n a3n
a12 a13
a22 a23
0 a33
... ...
0 0
0
0
0
... ann
a1n a2n a3n ... ann
同理, 所有n 阶下三角 矩 阵关于加法、数乘、
乘法封闭.下三角矩阵的转置矩阵 为上三角矩阵。
a11 0 ...
对角矩阵 0 a22 ...
0 0
既可看成上三角矩阵 也可看成下三角矩阵.
0
0
...
0
0
ka22 ...
0
0
0
0
...
ann
0
0
...
kann
两个n阶对角矩阵的和 还是n阶对角矩阵.
数乘n阶对角矩阵 还是n阶对角矩阵.
a11 0 ...
AT
0
a22 ...
0 T a11 0 ...
0
0
a22 ...
0
0
=A
0
0
...
ann
0
0
...
ann
a11 0 ...
在矩阵的乘法中 数量矩阵 起着“数”的作用。
3.三角形矩阵
如果n阶方阵A=(aij)中 的元素满足条件：i j时,
aij 0 即
a11 a12 a13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2
n
A 0 0 a33 ... a3n
0 0 0 ... ann
则称A为n 阶上三角矩阵.
0 0 0 ... ann 0 0 0 ... bnn
a11 b11 0 0
0
a12 b12 a22 b22
0
0
a13 b13 ... a23 b23 ... a33 b33 ...
0 .Fra Baidu bibliotek.
a1n b1n a2n b2n a3n b3n
ann bnn
即两个n 阶上三角 矩 阵的和还是n 阶上三角矩阵.
0
a
0
1
...
0
aE
0
0
...
a
0
0
...
1
b11 b12 ... b1n
设
B
b21
b22
...
b2n
为任一
m n矩阵
bm1 bm2 ... bmn
a 0 ...
0
a
...
0
0
...
mm
0 b11 b12 ...
0
b21
b22
...
a
bm1
bm 2
即主对角线左下方 的元素均为零的矩阵称为
上三角矩阵.
如果n阶方阵A=(bij)中的元素满足条件：i j时,
bij 0 即
b11 0
b21
b22
0 ... 0
0
...
0
B b31 b32 b33 ... 0
bn1 bn2 bn3 ... bnn
则称A为n 阶下三角矩阵.
即主对角线右上方 的元素均为零 的矩阵称为
下三角矩阵.
注意：上、下三角矩阵 必为方阵.
所有n 阶上三角 矩 阵关于加法、数乘、乘法封闭.
a11 a12 a13 ... a1n b11 b12 b13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2n
0
b22
b23
...
b2
n
0 0 a33 ... a3n 0 0 b33 ... b3n
a11 a12 a13 ... a1n b11 b12 b13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2n
0
b22
b23
...
b2n
0 0 a33 ... a3n 0 0 b33 ... b3n
0 0 0 ... ann 0 0 0 ... bnn
c11
0
0
0
c12 c13 c22 c24 0 c33
ann
4.对称矩阵
如果n 阶方阵 A aij 满足 ai j a ji (i, j 1,2,...,n)
则称A为对称矩阵。
如
A
1 7
7
2
均为对称矩阵.
5
B
2 1
2 4 3
1 2
3 0
8
0
3
8 0 4 6
0 4 1 2
a11
0
a12 a22
a13 a23
... ...
a1n
a2
n
ka11
0
ka12 ka22
ka13 ka23
... ka1n
...
ka2n
k 0 0 a33 ... a3n 0
0 ka33 ... ka3n
0
0
0
...
ann
0
0
0 ... kann
即 数k乘n阶上三角矩阵后 还是n 阶上三角矩阵.
对角矩阵的转置 还是对角矩阵.
所有n阶对角矩阵关于加法、数乘、乘法、转置封闭.
2.数量矩阵
如果n阶对角矩阵A中的元素a11 a22 a33 ... ann
即
a 0 ... 0
A
0
a
...
0
0
0
...
a
则称A为n阶数量矩阵.
a 0 ... 0 1 0 ... 0
A
0
a
...
...
mn
b1n
b2n
(aEm
)
B
a(Em
B)
aB
bmn
用一个m阶数量矩阵左乘 B，等于用数 a乘 B
b11 b12 ...
b21
b22
...
bm1
bm 2
...
mn
b1n a
b2n
0
bmn 0
0 ... a ...
0 ... nn
0
0
B(
aEn
)
a(BEn
)
aB
a
用一个n阶数量矩阵右乘 B，等于用数 a乘B
0 5
注意：对角矩阵必为方阵.
a11 0 ...
0
a22
...
0 b11 0 ...
0
0
b22
...
0 a11 b11 0 ...
0
0
a22 b22 ...
0
0
0
0
...
ann
0
0
...
bnn
0
0
...
ann
bnn
a11 0 ...
k
0
a22 ...
0 ka11 0 ...