本科毕业论文正文

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序言

微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是微分学的核心理

论。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日

定理、柯西定理、泰勒定理。它们是沟通倒数

值与函数值的桥梁，是利用倒数的局部性质推

断函数的整体性质的工具。其中拉格朗日中值

定理是核心，从这些定理条件和结论可以看出

罗尔定理是其特殊情况，柯西定理和泰勒定理

是其推广。本文着重讨论的就是拉格朗日中值

定理的证明

人们对微分中值定理的研究，大约经历了两百多年的时间。从费马定理开始，经历了从

特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条

件的发展阶段。人们正式在这一过程中，逐渐

认识到微分中值定理的普遍性。

一、利用构造函数方法证明

(一)利用构造函数方法证明（小四号黑体）

微分中值定理的证明方法很多，一般来说都是通过构造辅助函数来完成的，但是如何构造辅助函数却是一个难点问题。下面针对构造辅助函数的方法分别从几何和分析角度加以分析。

1.分析法（五号黑体）

由于柯西、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理之间存在着一般与特殊的关系，所以证明拉格朗日和柯西中值定理的方法可以利用罗尔中值定理来实现。下面就从分析的角度构造出辅助函数的若干方法。

（1）原函数构造法（五号宋体）

为了利用罗尔定理来推证，以从后向前推得思路，构造一个函数使它满足罗尔定理的第三个条件，同时又能从罗尔定理结论中推导出来拉格朗日中值定理的结论。

要从罗尔定理的结论

()0='ξF

中推出拉格朗日定理的结论

()()()a

b a f b f f --=

'ξ， 显然只需要

()()()()ξξF a

b a f b f f '=---' 由于一次函数的倒数是常数，可以猜想出（或通过两边积分）得到辅助函数应为

()()()c x a

b a f b f x f x F +--+=)

( 其中c 为常数。由验证可知。它满足罗尔定理三个条件。为计算方便起见，可取0=c 。 （2）参数变异法

目的仍然是构造一个函数)(x F 且满足

)()(b F a F =.

这时若令

)()()(B x k A x f x F ---=

其中A 和B 是任意实数，那么

)()()(B a k A a f a F ---= )()()(B b k A b f b F ---=

要使以上两式相等，只需

kb b f ka a f -=-)()(.

故仍然可设参数

a

b a f b f k --=)()(

由此所得)(x F 即可满足要求。 （3）行列式法 由于要求

)()(b F a F =，

故可根据行列式的性质，设 1

)(1)(1

)()(x f x b f b a f a x F =

如此得到的辅助函数满足

0)()(==b F a F .

(4)利用弦倾角法

目的同前。设连接连续曲线

(){}b x a x f x L ≤≤)(,:

两端点A 和B 的弦为AB （图1），其倾斜角为θ，则

22π

θπ<<-， a

b a f b f --=

=)

()(cos sin tan θθθ， 也即有

θθθθsin cos )(sin cos )(a a f b b f -=-

所以可令

,sin cos )()(θθx x f x F -=

如此所得辅助函数)(x F 即满足要求。

首先介绍拉格朗日中值定理以及它的预备定理——罗尔定理。

首先，我们观察图（3-1）。设下图是函数]),[)((b a x x f y ∈=的图形。除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标轩昂等，即).()(b f a f =可以发现在曲线弧的最高点C 处或最低点D 处，曲线有水平的切线。如果记C 点的横坐标为ξ，那么就有().0='ξf 现用分析言语把这个几何现象表述出来。就可以得到下面的罗尔定理，为了应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理。

费马引理 设函数)(x f 在点0

x 的某临域)(0

x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0

x U x ∈，有

)()(0x f x f ≤ )),()((0

x f x f ≥或

那么.0)(0

='x f

证 不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（如果)()(0

x f x f ≥，可以类似地证明）。于是，对于),(0

0x U x x ∈∆+有

),()(0

0x f x x f ≤∆+

从而当0>∆x 时，

)

()(00≤∆-∆+x

x f x x f ；

当0<∆x 时，

.

0)

()(00≥∆-∆+x

x f x x f

根据函数)(x f 在0

x 可导的条件及极限的保号型，便得到

,0)

()(lim )()(0

00

≤∆-∆+='='+

→∆+

x

x f x x f x f x f x ,0)

()(lim )()(0

000

0≥∆-∆+='='-

→∆-x

x f x x f x f x f x 所以，.0)(0

='x f 证毕。

通常称倒数等于零的点为驻点（或稳定点，临界点）。

（罗尔中值定理）若函数f 满足如下条件： （1）f 在闭区间],[b a 上连续； （2）f 在开区间),(b a 上可导； （3）)()(b f a f =，

则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线（图1-1）

证 由于)(x f 在闭区间],[b a 上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理，)(x f 在闭区间],[b a 上必定取得它的最大值和最小值，分别用M 和m 表示，现在分两种情况来讨论：

（1）若M m =，则)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值

M ：.)(M x f =由此，

),(b a x ∈∀，有0)(='x f .因此，任取),,(b a ∈ξ有0)(='ξf .

（2）若M m <，因为)()(b f a f =，所以最大值M 与最小值m 至少有一个在),(b a 内某点ξ处取得。从而ξ使f 得极值点.由条件（2），f 在ξ处可导，故由费马定理推知