求函数周期问题

函数的周期性

周期函数：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得对定义域内的任意一个x ，总有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期函数。T 叫做这个函数的一个周期，其中最小正数T 叫做最小正周期。 （定义的实质，是存在一个常数T ，（T ≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自变量每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次）

关于函数的周期性，有如下结论：

（）若为函数的一个周期，则且也是的周期，即10T f x kT k Z k f x ()()()∈≠ f x kT f x ()()+=。

（）若是一个以为周期的函数，则是一个以为周20f x T f ax b a T a

()()()+≠期的函数。 证明：（证明的方向）f a x T a b f ax b [()]()++=+

f a x T a b f ax b T [()][()]+

+=++

设由是的周期u ax b f u T T f x f u f ax b =++=+()()()() ∴+T a f ax b 是函数的周期() 如：的周期为，则的周期为y x T y x ===+≠sin sin()()202πωϕωπω

（）若满足恒成立，为常数且，则3f x f x a f x b a b a b T a b ()()(),+=+≠=- 是的一个周期。f x ()

这是因为f x a b f x b a f x b b f x ()[()][()]()+-=-+=-+=

∴=-T a b

（）若满足，则以为一个周期。42f x f x a f x b f x T a b ()()()()()+=-+=- 证明：f x a b f x b a a [()][()]+-=-++22

=--++=--+=---+=f x b a b f x b a f x b b f x [()]

[()]

[()]()2

∴=-T a b 2()

推论：f x a f x ()()+=-

则以为一个周期f x T a ()=2

（只要令上式中的b=0即可）

（5）若)(x f 满足,)(1)(x f a x f -

=+（或)(1)(a x f x f +-=），则a T x f 2)(=以为一个周期。 证明：∵,)

(1)(x f a x f -=+∴,)(1)2(a x f a x f +-=+∴)2()(a x f x f +=， ∴a T x f 2)(=以为一个周期。