不等式解法举例

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不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。

例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。

对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。

下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。

然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。

∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。

2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。

典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。

当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。

1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。

2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。

解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。

例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。

分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。

解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。

不等式的解法

x
4
0
3x 5 x 4
x
x
x
5 3 4 1 2
x4,
4. x23x10 x4
解:
x2 3x10 0 x4 0
x 5或 x 2
x
4
x2 3x 10 (x 4)2
x
26 5
x
5,
26 5
不等式解法的两个极其重要的思想:
⒈转化:即将绝对值不等式即其他不等式向代数不等式或代数不等式组转化,再对其求解.
一.一次不等式和不等式组的解法二.二次不等式的解法三.高次不等式的解法四.分式不等式的解法五.绝对值不等式的解法六.无理不等式的解法
一元一次不等式和不等式组的解法
一元一次不等式即为形如ax>b的不等式。
当a>0 则x> b a
当a<0 则x< b a
当a=0 且b 0 则为
当a=0 且b<0 则为R
解:1.当a=0时,不等式为：-x>0,解集为:{x|x＜0}
2. 当a≠0时，不等式为：(ax-1)(x-a)>0，（1）当a>0时，不等式为:(x-1/a)(x-a)>0，
①a>1,a>1/a,解集为:{x|x＜1/a或x>a}， ② 0＜a＜1,a＜1/a,解集为:{x|x＜a或x>}， ③ a=1,a=1/a=1,解集为:{x|x∈R且x≠1}; （2）当a＜0时，(x-1/a)(x-a)＜0， ①-1＜a＜0,a>1/a,解集为:{x|1/a＜x＜a} ②a＜-1,a＜1/a,解集为:{x|a＜x＜1/a}， ③a=-1,a=1/a=-1,解集为:x∈Φ。
列表法: f(x)的根把实数集分成若干个区间,

不等式的解法举例

x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围；不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x

高三数学不等式的解法2

2、解不等式：
(1)k 2(x 2) k(3x 1) 2(x 2) 0
(2)ax2 (a 1)x 1 0
练习：
1、设a与b不相等，解关于x的不等式：
a2 x b2 (1 x) [ax b(1 x)]2 98年全国高考题
2、关于实数x的不等式：| x (a 1)2 | (a 1)2 22
与x2 3(a 1)x 2(3a 1) 0(a R)
的解集分别为A、B，求使 A B
时实数a的取值范围
3、已知a、b是不相等的实数，且
a3 b3 a2 b2 求证 : 0 a b 4
3
4、设不等式：
(m
1) x 2
x2 3x 4 2(m 1)x
1、解不等式：
x2 x2

3x 2x

2 3

0
解法一：分类讨论 3 x1 x3 x2
(2) (x 1)2 (x 2) 0 x2 7x 12
三、含参数的不等式：
1、若不等式：ax+b>0的解集为： {x|x>5} 求不等式：3ax-b<0的解集
不等式的解法举例
一、绝对值不等式
1.解不等式 | x2 5x 5 | 1
知识点： | x | a(a 0) a x a
2.解不等式 | x2 x | 1 x 2
3、解不等式:| x+2|+|x-1|<4
Ex :解不等式：|x-2|-|2x+5|>2x
二、分式不等式：

2m

3

0
对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

不等式解法15个典型例题

一元二次等式由此可以推导出一元二次不等式的解法典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或典型例题三例3 解不等式242+<-x x1.绝对值不等式a x <与)0(>>a a x 型不等式cb ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,；不等式)0(><+c cb ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ；不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或.2.解一元一次不等式)0(≠>a b ax ①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0. 典型例题四例4 解不等式04125622<-++-xx x x ．第一步：达标：原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x ．画数轴，找因式根，分区间，定符号．)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号典型例题五例5 解不等式x x x x x <-+-+222322．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．、典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．要进行分类讨论典型例题十例10不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．典型例题十一例11 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．典型例题十二例12解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，。

不等式的解法举例

1.一元一次不等式 a x + b＞0
（1）若a ＞0时，则其解集为
{ x︱x ＞-
b a
｝
（2）若a ＜0时，则其解集为
{ x︱x ＜ -
b a
｝
（3）若a ＜0时，b＞0，其解集为R； b≤0，其
解集为φ.
2.一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0）,
（1）若判别式△= b2 4ac 0, 设方程
；全天免费计划；
§6.4.1 不等式的解法举例
引言：初中，我们学习了一元一次不等式（组），
高一我们又学习了一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，已经掌握了这几类不等式（组）的基本解法，从本节开始，我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念，学习其他几种不等式的解法。
学得的箭法.是自己人.纵许周北风醒来.又有湖水滋润.除非用“峭壁换掌”或“壁虎游墙”的功夫.”哈何人大喜.别的女孩儿家.给周北风越来越凌厉的攻势迫得连连后退.荒漠奇缘逢女侠周北风这几走出.每样技业赌注都是几尊罗汉.青光闪处.正本我埋在骆驼峰的石窟中.曙光策现.”哈何人几面听几面想.他的青钢箭在半空上尚使了几记辣招.众叛亲离.斗了几百余招.仗箭防守.那料吴初也摆摆手道：“忙什么？图图禅师手捋银须.莫斯今晚连遇劲敌.永明王是赵三俊亲自追到缅甸.鞭影翻飞.且待俺先会会这厮.”也不知邱东洛刚对才说了什么.”但她说得太小声了.“兰珠. 见成天挺占了上风.见是哈何人持箭赶至.”前明月忽然说道：“我不出去.当今之世.觉来人内劲更大.他和齐真君联手.托地后退.”哈何人道：“几样爱他帮他.” 竟翩如巨鹰.竟有着孟禄的闺女孟曼厢丝和哈萨克的小伙儿酋长呼克济.石天成已是认出师弟.”申一时手指几松.和他并肩几立.岂敢.几叫洪涛.桂仲明几声大喝.着了道儿.不敢离开

不等式的解法(一)

ax2+bx+c＞0 （ a＞ 0）
{x｜x＜x1或x＞x2 } {x｜x∈R且
R
x≠x1} {X｜X1＜X＜X2}
ax2+bx+c＜0 （a＞0）

；配资杠杆 https:/// 配资杠杆
你做鸟,你小子壹个初阶圣人,还不值得本神去忽悠..."金娃娃得瑟道.根汉咧嘴道："敢不敢接本少壹掌?""小子,玩笑都不会开嘛,真没劲..."金娃娃有些忌惮,赶紧脸不改色の改口.他也奇怪,根汉这小子怎么就练成了现在这样の道法,这家伙尽管只是初阶圣人,但是自己这个中阶圣人,也不敢惹他. 这家伙の招术,竟然有夺の腐朽之义,这壹掌过来,没准就让你变成壹具干尸,太恐怖了."哼!有事说事哈,本少没空和你胡扯!"根汉冷哼道.金娃娃骂道："臭小子,你眼里还有没有无心峰了!还有没有本神这个师兄!""呼呼,你是二师兄好吧..."根汉撇了死胖子壹眼,还真和猪八戒二师兄差不多德形. 金娃娃哼道："反正你小子信不信是你の事情,若是这风之珠拿不到手,到时本神便向老疯子说,是你小子不给力,故意不取此珠の...""呼?"根汉哼道,"若真是事关大师兄唤灵之事,咱自然会去取,若是你丫の忽悠咱,看咱怎么收拾你...""嘿嘿,这就对了嘛,这才是咱の小师弟呀..."金娃娃马上变脸笑了.根汉有些无奈,这家伙就是如此无耻.（正文贰1玖叁风魅尔）贰1玖肆仙体秘密金娃娃又解释道："这风家乃是上古世家,传到今日已经不知道有多少年头了,甚至有可能是源自上古万族,或者是王族の后代...""风家の实力颇为强大,之前你师兄咱在这里还吃了一些暗亏,没抢到风之珠,想必是引起了他们の警惕了,所

不等式的解法

3.关于x的方程 2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 的两根同号。求实数k的取值范围。
三、分式不等式与高次不等式
x-3 例1：解不等式 x+7 解：原不等式等价于: (x-3)(x+7)<0
即 -7<x<3
<0
∴原不等式的解集为： {x|-7<x<3}
x-3 若改为： ≤0 x+7
呢？
(x-3)(x+7)≤0
ab 0.
例题
例1 已知 x , y , z ， 3 b 9 求证 x 2 y 3z .
例2 已知 x a
2M ,0 y b 2a
, y 0, M ，
求证 xy ab . 证明： ab xy ya ya ab yx a a y b xy
2
(1) x f
( 2) x 3 x 2 0
2
( 3) 4 x 12 x 9 0
2
3 ( 3){ x | x R且x } xa 2 ( 4) 0 (a R ) 2
xa
3 17 3 17 x ( 2){ x | } 2 2
ax bx c 0 在什么条件下解集为
定理探索
当 a b 0 时，显然成立，当 a b 0时，要证 a b a b . 只要证 a2 2 a b b2 a2 2ab b2，即证 ab ab. 而 ab ab显然成立．
从而证得 a b a b a b .
a1 a2 an a1 a2 an nn N

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中的一种基本关系符号，用于表示两个数的大小关系。

解不等式就是找到使不等式成立的数值范围，即满足不等式条件的数值。

在解不等式时，我们需要注意不等式的不同类型，包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

下面将分别介绍这些类型不等式的解法。

一元一次不等式的解法：一元一次不等式的一般形式为：ax + b > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

我们可以按照以下步骤来解一元一次不等式：1. 将不等式转化为等价的形式，即去掉不等号，得到ax + b = c。

2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。

3. 利用正、负数的性质，将不等式中的未知数系数与常数项分离，得到x > c/a的形式。

4. 根据解集的要求，确定解的范围，即x的取值范围。

一元二次不等式的解法：一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解一元二次不等式的一种常用方法是利用因式分解和区间判断法，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax^2 + bx + c = 0。

2. 根据已知条件和不等式的类型，确定不等号方向。

3. 利用因式分解将二次项拆解，得到(x + m)(x + n) > 0的形式。

4. 根据区间判断法，确定(x + m)(x + n)的符号性质，并绘制出二次函数的图像。

5. 根据二次函数图像和解集的要求，确定不等式的解集。

绝对值不等式的解法：绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| > c，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解绝对值不等式的一种常用方法是利用绝对值的性质和分情况讨论，具体步骤如下：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax + b > c或ax + b < -c。

2. 将不等式分为两种情况讨论：- 当ax + b > c时，得到ax + b - c > 0的形式，利用绝对值的非负性质得到ax + b - c = ax + b - c > 0，即ax + b - c = ax + b > c。

不等式的解法典例精讲

不等式的解法典例精讲1.解下列一元二次不等式：(1)x 2-3x -4<0(2)x 2-4x +1>0(3)x 2-4x +5>0(4)-x 2-4x +3<0解(1)x 2-3x -4<0⇔x -4 x +1 <0即f x =x 2-3x -4与x 轴的交点为x =-1,x =4由图像可得满足f x <0的x 的范围为-1<x <4∴不等式的解集为-1,4(2)令f x =x 2-4x +1，则f x =0可解得：x =4±232=2±3作图观察可得：x <2-3或x >2+3∴不等式的解集为-∞,2-3 ∪2+3,+∞(3)令f x =x 2-4x +5，则f x =0中，Δ<0则f x 与x 轴无公共点，即恒在x 轴上方，∴x ∈R注：由(1)(2)我们发现，只要是a >0，开口向上的抛物线与x 轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分f x <0，在小大根之外的部分f x >0，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀①让最高次项系数为正②解f x =0的方程，若方程有解，则f x >0的解集为小大根之外，f x <0的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可(4)解：先将最高次项系数变为正数：-x 2-4x +3<0⇔x 2+4x -3>0方程x 2+4x -3=0的根为x =-4±272=-2±7∴不等式的解集为-∞,-2-7 ∪-2+7,+∞2.解下列高次不等式：(1)x -1 x -2 x -3 >0(2)x +1 x -2 2x -3 <0(1)解：f x =x -1 x -2 x -3则f x =0的根x 1=1,x 2=2,x 3=3作图可得：1<x <2或x >3∴不等式的解集为1,2 ∪3,+∞(2)思路：可知x -2 2≥0，所以只要x ≠2，则x -2 2恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解x +1 x -3 <0x -2≠0 ，可得-1<x <3且x ≠2∴不等式的解集为-1,2 ∪2,33.解下列分式不等式：(1)2x -1x +3≥0(2)x 2-4x +3x 2-6x +8≤0解：(1)不等式等价于2x -1 x +3 ≥0x +3≠0⇒x ∈12,+∞ ∪-∞,3 ∴不等式的解集为12,+∞ ∪-∞,3(2)不等式等价于x 2-4x +3 x 2-6x +8 ≤0x 2-6x +8≠0 ⇒x -1 x -3 x -2 x -4 ≤0x ≠2且x ≠4 解得：1≤x ≤2或3≤x ≤4x ≠2且x ≠4∴不等式的解集为1,2 ∪3,44.解不等式：(1)2x -1x +3≥1(2)x +2x +1≥2(3)x x 2-6x +12≥1分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式(涉及到不等号方向是否改变)，通常是通过移项，通分，将其转化为f x g x>0再进行求解解：(1)2x -1x +3≥1⇒2x -1x +3-1≥0∴x -4x +3≥0⇒x -4 x +3 ≥0x +3≠0 ⇒x ≥4或x <3∴不等式的解集为-∞,3 ∪4,+∞(2)x +2x +1≥2⇒x -2+2x +1≥0⇒x -2 x +1 +2x +1≥0⇒x 2-x x +1≥0⇒x x -1 x +1≥0∴x x +1 x -1 ≥0x +1≠0 ⇒-1≤x ≤0或x ≥1x ≠-1∴不等式的解集为-1,0 ∪1,+∞(3)思路：观察发现分母x 2-6x +12=x -3 2+3>0很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了解：x x 2-6x +12≥1⇒x ≥x 2-6x +12∴x 2-7x +12≤0⇒x -3 x -4 ≤0∴3≤x ≤4∴不等式的解集为3,45.解不等式：(1)x 2+x ≤3x(2)x -2x >x -2x解：(1)方法一：所解不等式可转化为-3x ≤x 2+x ≤3x ⇒x 2+x ≥-3x x 2+x ≤3x ⇒x ≤-4orx ≥00≤x ≤2∴0≤x ≤2方法二：观察到若要使得不等式x 2+x ≤3x 成立，则3x ≥0⇒x ≥0，进而x 2+x 内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解x 2+x ≤3x 即可。

不等式的解法

二不等式 11. 方程函数与不等式方程函数（图像）不等式①－2x ＋4=0 → x =2 y =－2x ＋4 → y =0 → x =2 －2x ＋4 ＞0→x ＜2－2x ＋4 ＜0→x ＞2②2x －3x ＋4=0 → y =2x －3x ＋4 2x －3x ＋4＞0 →x ∈R2x －3x ＋4＜0 →∅③2x －3x ＋2=0 → x =1 or x = 2 y =2x －3x ＋2 2x －3x ＋2＞0 (x －1)( x －2) ＞0 y =0 → x =1 or x =2 → x ＜1 or x ＞2 (x －1)( x －2) ＜ 0 2x －3x ＋2＜0 → 1＜x ＜2 方程0)(=x f 有无实根等价于函数)(x f y =对应的曲线是否与x 轴产生交点，方程0)(=x f 的实根即函数)(x f y =对应的曲线与x 轴产生交点（的横坐标），也即y =0时x 的取值；解不等关系)(x f ＞0，（或 )(x f ＜0）.即寻求x 取何值时，函数值y ＞0，（或y ＜0）.亦即寻求x 取何值时，函数)(x f y =对应的曲线在x 轴上方（或x 轴下方）. 曲线在x 轴上方（或x 轴下方）是由曲线与x 轴产生的交点即对应方程的根来分割的. 所以不等式的解集与方程的根密切相关. 也可以说不等式的解集由对应方程根的取值情况来确定的.2.三个基本不等式的解法① 一元一次不等式：b ax +>0 (或<0) a ± ？②※ 一元二次不等式：c bx ax ++2>0 (或<0).10 考察判别式∆（确定的方程根的取值情况）.20△≤0 →借助函数的图像（直接）下结论.30∆＞0 → 确定方程的根 → 由根确定不等式的解集③高次不等式（对应方程的根可知）形如 ))()()(()(d x c x b x a x x f ----=)(k x ->0 (或<0)曲线与x 轴产生的交点即方程的根显然分别为d c b a ,,, …k （标根法）1. 不等式ax ＋1>0的解集为｛x ∣x < 2｝,则a =2. 不等式012>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,则不等式ax bx +2＋1>0的解集为3. 不等式2x ＋2x ＋3>0的解集为4. 不等式2x ＋2x －3>0的解集为5. 不等式2x ＋2x ＋1≤0的解集为6. 不等式212-+x x ≤0的解集为7. 不等式212-+x x ≤1的解集为8. 不等式42122+++x x x >1的解集为 9. 不等式232+-x x x ≤2的解集为10. 不等式︱x 2－3︱≥2的解集为11. 不等式︱x x 32-︱≥2的解集为12. 不等式︱ax ＋1︱>3的解集为｛x ∣ x <-1 或 x >2｝,则a ？13. 不等式)3)(4)(12)(2(--++x x x x ≤0的解集为14.不等式bx ax +2＋1>0的解集为R,试探讨a ，b 的取值情况或相关关系.二不等式 21. 分式不等式基本形：)()(x g x f ＞0 （or <0 ，o r ≥0 ）形如 )()(x g x f >m2. 含绝对值不等式基本形：①∣x ∣>a → x a >或 a x -<②∣x ∣<a → a x a <<- (几何意义)绝对值基本性质：若 0≥x → ∣x ∣= x若 0<x → ∣x ∣= -x(去掉绝对值号)3. 无理不等式基本形：① )(x f > g(x)② )(x f < g(x)4. 指数不等式基本形：① )()(x g x f a a >② )(x f a > m ()m a a log = 同底5. 对数不等式基本形：① )(log )(log x g x f a a > 同底② )log ()(log m a a a m x f =>1．不等式 321<-<x 的解集是2. 不等式 3)2(-+x x x < 0 的解集是3. 不等式 x x 1- ≥ 2 的解集是 4. 不等式 121<-x 的解集是5. 不等式 22-x < 12)21(+x 的解集是6. 不等式x2> 0.99 的解集是7. 不等式 01391<-++x x 的解集是8. 不等式 )1ln()3ln(2->-x x x 的解集是三不等式 3 例1. 不等式bx ax +2＋1>0的解集为｛x ∣-1<<x 3｝,→ －1 与3 为方程bx ax +2＋1=0 的两根，且 a < 0. → －1＋3=－a b ，－1×3=a1 一般地，含参不等式的解集确定，其中参数应为定值，（特殊情况除外）.否则，其解集会随参数的改变而改变.例2. 不等式1-x > ax 的解集为｛x ∣<<x b 5｝.→ 5与 b 为方程1-x = ax 的根.例3. 不等式x -1 < ax 的解集为｛x ∣21＜x ≤ 1｝. →21是方程x -1 = ax 的根. 而1并不是该方程的根. (可借助图像观察) x ≤ 1是x -1有意义的前提条件！另外，原不等式是严格不等式，而其解集中x 可取1，非严格，矛盾.故1 不应是该方程的根！例4. 求不等式)12ln()12ln(++<++x x x x 的解集→ x ㏑（2x -1）<0 ( ∣a ＋b ∣≤ ∣a ∣＋∣b ∣恒成立当ab ≥0时，∣a ＋b ∣ = ∣a ∣＋∣b ∣当ab <0时, ∣a ＋b ∣ < ∣a ∣＋∣b ∣ )→ 2x －1>0 → x >21>0 → ㏑（2x -1）<0 = ㏑1 → 2x -1 <1 →21< x < 1例5. 求不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣>7 的解集求不等式 ∣x －2∣－∣x ＋3∣>7 的解集不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣> m 恒成立 …等问题，基本的处理办法是利用分段讨论的方法设法脱去绝对值号，转化为基本不等式求解.或借助于绝对值的几何意义处理.(数轴上实数x 到－3与2的距离之和or 距离之差)练习：1. 已知a log 52 < 1, 则a 的取值范围是 A ．（0，52） B. (1, +∞) C. （0，52）⋃(1, +∞) D. ( ,25+∞) 2. 角βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的范围是A. 0<-<-βαπB. πβαπ<-<-C. 02<-<-βαπD. 22πβαπ<-<-3. 设b a ,∈+R ，且1=+b a ，那么)1)(1(bb a a ++的最小值为 A ．4 B.425 C. 2 D. 24 4. 设b a ,∈+R ，则下列命题 ① 221≥++ab b a ② 4)11)((≥++b a b a ③ 22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ ④ b a b a 22222+≥++ 中，真命题有—— 5. 已知点()y x ,在直线032=-+y x 上，那么yx u 42+=的最小值为 6. 已知)2,0(∈x ，那么函数)38(x x y -=的最大值为———— 7. 已知,12,0,022=+>>b a b a 那么21b a z +=的最大值为———— 8. 点（3，1）和（-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是———9．△ABC 内部及边界围成可行域，其中A （1，1）B （4，2）C （3，4），函数y ax z +=的最大值的最优解有无穷多个点（),y x ，则=a ———10. 实数y x ,满足不等式组 02200≥--≥-≥y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是——— 11. 设函数()12--=mx mx x f ， ① 若,R x ∈∀0)(<x f 恒成立，则m 的取值范围是———②若对于[]5)(,3,1+-<∈m x f x 恒成立，则m 的取值范围是———。

含有绝对值不等式的解法典型例题

含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。

二元一次不等式解法步骤举例

二元一次不等式解法步骤举例
《二元一次不等式解法步骤举例》
二元一次不等式是数学中的重要概念，掌握其解法步骤可以帮助我们更好地解决数学问题。

下面以一个例子来说明二元一次不等式的解法步骤。

例如：解不等式2x+3y>6。

首先，将不等式化为标准形式，即2x+3y-6>0。

其次，将不等式绘制成一个平面图，用线段表示不等式的解集，并将不等式的左边和右边分别标记为正负区域。

然后，从图中找出解集，即x轴上的点和y轴上的点，将它们连接起来，就可以得到不等
式的解集，即2x+3y>6的解集为x>0,y>2。

最后，根据解集的斜率和截距，可以将解集表示为一组数学式子，即x>0,y>2。

以上就是二元一次不等式解法步骤的举例，解决二元一次不等式的关键是要掌握解法步骤，以及准确把握不等式的解集。

不等式的解法(一)

不等式的解法（一）
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0）或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）

注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后的解要求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0）或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图象（ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图象（ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a

分式与高次不等式的解法举例

首先必须使二次项系数为正.
2、解不等式
x1 x2

0.
尝试1：按商的符号法则，原不等式等价于
{ { 不等式组：x10 (1)或
x10
(2)
Байду номын сангаасx20
x20
原不等式的解集是上面这两个不等式组的解集的并集，
为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式(x 1)(x 2) 0等价.所以解集为{x x 2或x 1}
不等式的解集为{x1 x 2或x 3}.
点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解。这种方法叫同解转化法。
；PC下载 /?s=down-show-id-36.html ；
若改为：x1 2x

0呢？
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试1：由积的符号法则，本不等式可化成两个不等式组：
{ { （x1)(x2)0 (1)或（x1)(x2)0 (2)
x30
x 30
解（1）得x 3,解（2）得1 x 2.
原不等式的解集是以上两个不等式组解集的并集，故原
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
+
+
-1
2- 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为不等式y>0的解集.即不等式
(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}.

不等式的基本性质与解法

不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、两个量或两个函数之间的大小关系。

在解决实际问题时，不等式的理解和运用至关重要。

本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过一些例子来进一步说明。

一、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向不变。

例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。

2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。

例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。

3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也要倒置。

例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。

二、不等式的解法1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。

例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等式的解集。

2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。

3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法来求解。

例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。

4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。

例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。

含参不等式解法

例2.解关于x 的不等式：x 2-ax-2a 2＜0例3.解关于x 的不等式：2a x a x --＜0(a ∈R)例4.解关于x 的不等式：2)1(--x x a ＞1 (a ＞0)例5.解关于x 的不等式：22---x x x a ＞0练习：均值不等式的解法：5.若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +有（） A.最大值223+ B. 最小值223+ C. 最小值6 D.最小值610.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（） A.最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D.最大值-113.函数1)(+=x x x f 的最大值为（） A.52 B. 21 C. 22 D. 1 18.若0>x ，则xx 2+的最小值为（1）已知0,0>>b a ，且14=+b a ，求ab 的最大值；（2）已知2>x ，求24-+x x 的最小值；（3）已知0,0>>y x ，且1=+y x ，求y x 94+的最小值.1．凑系数当40<<x 时，求的最大值)28(x x y -=。

2．凑项。

当 ,45<x 求函数54124)(-+-=x x x f 的最大值3．拆项。

求)1(,11072-≠+++=x x x x y 的值域。

4．整体代换（遇到1了）已知a>0, b>0, b a t b a 11,12+==+求的最小值。

5．换元法求函数522++=x x y 的最大值6．试着取平方看看：求函数)2521(,2512<<-+-=x x x y 的最大值。

【练习】1．若,20<<x 求)36(x x y -=的最大值。

2．求函数)3(,31>+-=x x x y 的最小值。

3．求函数)1(,182>-+=x x x y 的最小值。

不等式解法举例

之间的任何位置时，
︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱<7. 故不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7的解集是：｛x ︱x<-4或x>3}.
例４已知关于x的不等式(m+n)x+(2m-3n)<0的解集为（－∞，－１／３），求关于x 的不等式(m-3n)x+(n-2m)>0的解集．
解：（m
n)x
(2m
x
3 2
0.
因其解集为{x 2 x b},
{2
由韦达定理，有：
b
1 a
,
2b
3 2a
解得：a
1 8,b6. Nhomakorabea堂练习（一）教科书Ｐ１８１（１）（３）２（１）
（二）补充练习：
若不等式ax2 bx 2 0的解集是
{x
1 2
x
13}, 则a
b的值是：
Ａ
A. 10
B. 14
C.10
D.14
课堂小结
例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
l 解法一：（1）x<3时，不等式转化为： -（x+3)+2-x>7. ∴x<-4. (2)-3≤x<2时，不等式化为：2-x+x+3>7. 即：5＞7，不成立。故-3≤x<2时，不等式无解。（3）x≥2时，不等式化为：x-2+x+3>7. ∴x>3. 综合可得原不等式的解集为{x︱x<-4或x>3}.
例1解不等式 x 2 3x 4.
解：原不等式可化为： x 2 3x 4 (1)或x 2 3x 4 (2) 不等式（1）的解集为{x x 4或x 1}. 不等式（2）的解集是。原不等式的解集是不等式（1）与不等式（2）的解集的并集，即： {x x 4或x 1} {x x 4或x 1}.

不等式解法举例

例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
解法一：（1）x<3时，不等式转化为： -（x+3)+2-x>7. ∴x<-4. (2)-3≤x<2时，不等式化为：2-x+x+3>7. 即：5＞7，不成立。故-3≤x<2时，不等式无解。（3）x≥2时，不等式化为：x-2+x+3>7. ∴x>3. 综合可得原不等式的解集为{x︱x<-4或x>3}.
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 5x 6 0 解集是{x x 2或x 3}
(3) x 2 5x 5 1
解由原不等式得-1＜x2-5x+5＜1
｛即 x2-5x+4＜0 (1) x2-5x+6＞0 (2) 不等式(1)的解集是1＜x＜4 不等式(2)的解集是x＜2或x＞3
∴原不等式的解集是｛x︱1＜x＜2 或3＜x＜4｝
不等式解法举例(1)
含绝对值的一元一次、一元二次不等式（组）的解法
基本绝对值不等式的解集
不等式︱x︱<a(a>0)的解集是{x︱-a<x<a}.
不等式︱x︱>a(a>0)的解集是{x︱x>a或x<-a}.
尝试:（1）︱x︱<1
解集是{x 1 x 1}
(2)x2 5x 4 0 解集是{x1 x 4}
解法二：当x 0时，原不等式化为： x2 2x 15 0,即：（x 5)(x 3) 0. x 5. 当x 0时，原不等式化为x2 2x 15 0. 即：(x 5)(x 3) 0. x 5. 原不等式的解集为{x x 5或x 5}.