单样本t检验
单样本t检验的简单例子
单样本t检验的简单例子假设一个教育研究者想要知道某个班级学生的数学成绩是否高于全国平均水平。
全国平均数学成绩为75分。
这个研究者针对这个班级的30名学生进行了数学成绩收集，并获得以下数据：84, 76, 95, 73, 68, 79, 88, 92, 71, 80,74, 69, 90, 85, 82, 77, 66, 72, 78, 70,81, 91, 83, 89, 96, 76, 87, 94, 93, 67现在我们用单样本t检验来判断这个班级的数学成绩是否显著高于全国平均水平（假定总体标准差未知）。
第一步：设置原假设H0 与备选假设H1H0: μ= 75（班级数学成绩等于全国平均水平）H1: μ> 75（班级数学成绩高于全国平均水平）第二步：计算样本平均值和样本标准差样本平均值（X）= (总分) / (样本数) = 2534 / 30 ≈84.47样本标准差（s）= sqrt[Σ(X - X)^2 / (n - 1)] ≈8.96（大致计算）第三步：计算t统计量t = (X-μ) / (s / sqrt(n)) = (84.47 - 75) / (8.96 / sqrt(30)) ≈6.067第四步：确定显著性水平（如α= 0.05）和查询t分布表得到临界值或者通过t分布计算得到对应的p值假定显著性水平α= 0.05，自由度df = n - 1 = 29通过查询t分布表或使用统计工具，得到单尾t临界值为1.699。
我们也可以通过统计工具计算出对应的p值，例如，双尾的p值为0.00002（即非常接近0）。
第五步：做出统计决策由于t统计量6.067远大于临界值1.699，或者双尾的p值显著小于显著性水平0.05，我们拒绝原假设（H0），接受备选假设（H1），即这个班级的数学成绩显著高于全国平均水平。
依据调查问卷,进行单样本T检验SPSS操作步骤
依据调查问卷，进行单样本T检验SPSS
操作步骤
本文档将介绍如何使用SPSS进行单样本T检验，以便根据调查问卷数据进行统计分析。
步骤一：准备数据
1. 打开SPSS软件并导入数据文件。
2. 确保数据文件中包含了需要分析的目标变量。
步骤二：进行单样本T检验
1. 点击菜单栏中的"分析（Analyse）"选项。
3. 将目标变量拖动到"因变量"栏中，并将参照组变量（在这里通常是一个常数）拖动到"因子"栏中。
4. 点击"确定（OK）"按钮。
步骤三：查看结果
1. 在SPSS输出窗口中，查找单样本T检验的结果。
2. 结果中将显示均值、标准误差、95%置信区间、T值和P值
等统计信息。
请注意，进行单样本T检验前需要确保数据满足一些前提条件，例如正态分布和同方差性。
如果数据不满足这些条件，可能需要使
用非参数测试方法进行分析。
以上是依据调查问卷进行单样本T检验的SPSS操作步骤。
希
望本文档能够帮助您进行统计分析。
单样本t检验
单样本t检验MINITAB 协助⽩⽪书本书包括⼀系列⽂章，解释了 Minitab 统计⼈员为制定在 Minitab 统计软件的“协助”中使⽤的⽅法和数据检查所开展的研究。
单样本 t 检验概述单样本 t 检验⽤于估计检验过程的平均值并将该平均值与⽬标值进⾏⽐较。
该检验操作起来⽐较可靠，因为当样本⼤⼩适中时，它对正态性假设极不敏感。
根据⼤多数统计教材中的内容，单样本 t 检验和平均值的 t 置信区间适合任何⼤⼩为 30 或以上的样本。
在本⽂中，我们介绍了对这个针对⾄少 30 个样本单位的⼀般规则进⾏评估的模拟⽅法。
我们的模拟重点关注⾮正态性对单样本 t 检验产⽣的影响。
我们也希望评估异常数据对检验结果的影响。
根据我们的研究，“协助”会⾃动对您的数据进⾏以下检查并在“报告卡”中显⽰研究结果：?异常数据正态性（样本量是否⾜够⼤，因此正态性不是问题？）样本量有关单样本 t 检验⽅法的⼀般信息，请参见 Arnold (1990), Casella and Berger (1990), Moore and McCabe (1993), and Srivastava (1958)。
注意：本⽂中的研究结果也适⽤于“协助”中的配对 t 检验，因为配对 t 检验对配对差异样本应⽤单样本 t 检验⽅法。
/doc/9c20bbaa67ce0508763231126edb6f1aff007127.html数据检查异常数据异常数据是⾮常⼤或⾮常⼩的数据值，也称为异常值。
异常数据会对分析结果产⽣巨⼤的影响。
当样本量较⼩时，异常数据会影响发现具有重要统计意义的结果的概率。
异常数据可以表明数据收集问题，或者由您正在研究的过程的异常表现产⽣的问题。
这些数据点往往值得研究，应尽可能予以更正。
⽬标我们想要制定⼀种⽅法来检查相对于总体样本⽽⾔，⾮常⼤或⾮常⼩的数据值，这可能会影响分析的结果。
⽅法我们制定了⼀种⽅法，⽤于根据 Hoaglin, Iglewicz, and Tukey (1986) 所述的⽅法检查异常数据，以确定箱线图中的异常值。
8、参数检验——单样本T检验
我们知道，在进行调查时，最常用的方法是随机抽样，但是样本的数据特征真的能代替总体吗？对于我们的结论又有多大的把握呢？怎么样可以通过样本的情况推断出总体特征呢？下面让我们一起通过t检验来得出严谨的结论吧~【注意】要进行t检验，通常需要三步：（1）建立假设检验，确定检验水准（H0，H1，α）；（2）计算检验统计量；（3）确定P值，做出推断。
我们通过SPSS做出的一般为上述（2）（3）的结果。
单样本t检验适用情况：①单个变量的均值与指定的检验值之间是否存在显著性差异；②样本均值与总体均值之间的差异显著性检验。
方法的局限性：①样本量n<15时，数据必须服从正太分布；②15≤n≤40时，只要数据不是呈现强偏态分布即可；③n>40时，均可适用。
【栗子1】某学校调查中，相关人员测得32初中生的体重（kg）情况如下：44，49，50，49，52，47，51，48，46，52，45，52，50，49，51，44，50，49，55，43，48，49，50，51，50，48，47，49，54，46，49，49。
若初中生的平均体重为50kg，则该人群中体重总体均数是否超过一般水平？Step 1：数据录入首先把数据导入SPSS软件中，如图所示。
Step 2：点击"分析(A)",选择"比较平均值(M)",点击"单样本T检验(S)",如图所示。
Step 3：将"体重"放到"检验变量(T)"中,我们在这里将"检验值"设为"50",如图所示。
Step 4：点击"选项(O)",我们会发现"置信区间百分比(C)"的默认值为"0.95"，点击“继续”，“确定”。
Step5：结果读取通过结果我们可以看出：本例中总体均值为48.9375，标准差为2.75842，自由度为31。
t检验的计算方法
t检验的计算方法
t检验的计算方法可以分为两种：单样本t检验和配对样本t检验。
1. 单样本t检验：
- 计算样本均值：计算样本数据的均值X。
- 计算标准误差：计算样本数据的标准误差SE，SE=SD/√n，其中SD为样本数据的标准差，n为样本大小。
- 计算t值：计算t值，t=(X-μ)/SE，其中μ为总体均值。
- 查找t分布表：根据自由度（n-1）和所选的α水平，在t
分布表中找到临界值tα/2。
- 判断结果：当|t|>tα/2时，拒绝原假设，认为样本均值与总
体均值不同。
当|t|<=tα/2时，接受原假设，认为样本均值与总
体均值无显著差异。
2. 配对样本t检验：
- 计算差值：计算配对样本的差值d，d=X - Y，其中X和Y
分别为两组配对样本数据。
- 计算差值的均值和标准误差：计算差值的均值d和标准误
差SEd，SEd=SDd/√n，其中SDd为差值的标准差，n为配对
样本大小。
- 计算t值：计算t值，t=d/SEd。
- 查找t分布表：根据自由度（n-1）和所选的α水平，在t
分布表中找到临界值tα/2。
- 判断结果：当|t|>tα/2时，拒绝原假设，认为配对样本均值
存在显著差异。
当|t|<=tα/2时，接受原假设，认为配对样本均
值无显著差异。
单样本t检验的功率曲线
单样本t检验的功率曲线【实用版】目录1.单样本 t 检验的概述2.功率曲线的定义和意义3.单样本 t 检验的功率曲线特点4.影响功率曲线形状的因素5.实际应用中的考虑因素正文1.单样本 t 检验的概述单样本 t 检验是一种常用的假设检验方法，用于检验一个样本的均值是否与某个已知的总体均值存在显著差异。
在进行单样本 t 检验时，我们通常需要考虑两个关键指标：显著性水平（α）和检验力（power）。
2.功率曲线的定义和意义功率曲线（power curve）是描述单样本 t 检验在不同显著性水平下检验力的变化情况的曲线。
横坐标表示显著性水平α，纵坐标表示检验力1-β。
α和β分别表示第一类错误和第二类错误的发生概率。
第一类错误是拒绝真实假设的错误，即误判；第二类错误是接受错误假设的错误，即漏判。
功率曲线可以帮助我们了解在给定的显著性水平下，单样本 t 检验能够检测到实际存在的差异的概率。
3.单样本 t 检验的功率曲线特点单样本 t 检验的功率曲线具有以下特点：（1）随着显著性水平α的增加，检验力 1-β会减小。
这是因为我们设定的拒绝域增大，使得能够拒绝原假设的证据变得更加严格，从而导致检验力降低。
（2）当显著性水平α固定时，检验力 1-β随着样本量的增加而增加。
这是因为样本量增加可以提高统计量的标准差，使得差异更容易被检测出来。
4.影响功率曲线形状的因素影响单样本 t 检验功率曲线形状的因素主要有：（1）显著性水平α：显著性水平对检验力的影响已在上文中讨论。
（2）样本量：样本量越大，检验力越高，因为样本量增加可以提高统计量的标准差。
（3）总体标准差：总体标准差越小，检验力越高，因为差异更容易被检测出来。
（4）样本均值与总体均值的差异：样本均值与总体均值的差异越大，检验力越高，因为差异越大，拒绝原假设的证据越强。
5.实际应用中的考虑因素在实际应用中，我们需要根据研究的目的和条件来选择合适的显著性水平和样本量，以达到较好的检验效果。
单样本t检验的原理和步骤
单样本t检验的原理和步骤
单样本t检验，也被称为student t检验，主要用于样本含量较小（n < 30），且总体标准差σ未知的正态分布。
这种检验方法是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。
单样本t检验的步骤：
1. 提出原假设和备择假设：原假设H0认为总体均值与检验值之间不存在显著差异，即原假设H0：μ=μ0，备择假设H1：μ≠μ0。
2. 确定检验统计量：检验统计量为t统计量。
3. 计算检验统计量的观测值和p值：这一步通常需要使用统计软件如SPSS或R语言等进行计算。
4. 确定显著性水平α，并作出决策：一般情况下，最常用的α值是
0.05，但也可以结合具体情况使用0.001、0.005、0.0001等。
如果计算出的p 值小于或等于显著性水平α，那么就拒绝原假设，认为总体均值与检验值之间存在显著差异；如果p值大于显著性水平α，那么就接受原假设，认为总体均值与检验值之间无显著差异。
单样本t检验的目的是通过比较样本均值与某个特定值（如理论值、历史值或其他样本的均值）的大小，以确定样本所代表的总体均值与该特定值是否存在显著性差异。
同时在进行单样本t检验时，需要满足样本来自正态或近似正态总体，样本量足够大等一些前提条件。
如果不能满足这些条件，会导致检验结果的准确性受到影响。
因此在进行单样本t检验前，需要对数据进行适当的检验和处理。
t检验三种类型
t检验三种类型区别：假设检验通常是检验样本对应的总体之间是否有显著性差异⽽关联性检验是检验是否显著相关。
⼀、单样本t检验 1、设计思想： 两个总体，总体A已知；总体B未知，但其样本已知，问题是未知总体B与已知总体A之间有⽆差异？实际上是验证该样本是否就是来⾃这个已知总体A？ 2、适⽤： （1）已知⼀个总体和未知总体中的⼀个样本。
（2）样本数据符合正态分布，不符合时应采⽤⾮参检验。
3、SPSS处理解读三步法： ⼆、配对样本t检验 1、设计思想： 配对样本t检验是配对的两组数据相减变成⼀组数据，然后去和已知总体0⽐较，其实就是转化为单样本t检验。
2、适⽤： （1）检测的两组配对数据之间存在相关性⽽不独⽴，这与两独⽴样本设计有着本质的区别。
包括四种配对类型，3种为同体配对，1种异体配对（条件配对）。
（2）两组样本数据配对差值符合正态分布。
3、SPSS处理解读三步法： ⼀般，第⼆步可以忽略。
但从统计学⾓度，这⼀步是为了验证配对数据的⼀致性，⽤于说明实验措施的稳定性。
三、两独⽴样本t检验(A/Btest 背后原理) 1、设计思想：在两个未知的总体中分别抽取⼀个样本，然后⽐较两个总体之间是否有差异？实际是检验两样本所来⾃总体的均值是否相等。
注意：分为「两总体均值检验」和「两总体率值检验」 2、适⽤： （1）独⽴性。
完全随机设计的两样本均值的⽐较。
实践中，两个样本获取只有两种可能：随机分组或按属性分组。
不管哪种，均是保证两组相互独⽴，不受影响。
（2）正态性。
两独⽴样本t检验要求两样本所代表的总体分别服从正态分布N(µ1，σ^2)和N(µ2，σ^2)。
（3）⽅差齐性。
要求两个t分布形态相差不⼤。
即两总体⽅差σ1^2、σ2^2显著性相等。
（ps：若两总体⽅差不满⾜齐性，需要先进⾏变换校正）。
注意：实践中，两个样本的获取只有两种可能：⼀是随机分组，如60只SD⼤⿏，随机分2组，每组30只，分别接受不同的处理，然后⽐较某个计量效应指标；⼆是按照某种属性特征分组，如某班级按照性别分为男⽣组和⼥⽣组，然后⽐较男⼥⽣某门课程的考试成绩差异。
T检验单样本与独立样本
T检验单样本与独立样本T检验是一种常用的统计方法，用于比较两组数据之间的差异是否显著。
在实际应用中，T检验可以分为单样本T检验和独立样本T检验两种情况。
本文将分别介绍单样本T检验和独立样本T检验的原理、应用场景以及计算方法。
## 单样本T检验单样本T检验用于检验一个样本的均值是否与已知的总体均值存在显著差异。
在进行单样本T检验时，需要满足以下假设：- 零假设（H0）：样本均值与总体均值无显著差异。
- 备择假设（H1）：样本均值与总体均值存在显著差异。
进行单样本T检验的步骤如下：1. 提出假设：设定零假设和备择假设。
2. 收集数据：获取样本数据。
3. 计算T值：根据样本数据计算T值。
4. 确定显著性水平：设定显著性水平（通常为0.05）。
5. 判断结果：比较计算得到的T值与临界T值，判断是否拒绝零假设。
## 独立样本T检验独立样本T检验用于比较两组独立样本的均值是否存在显著差异。
在进行独立样本T检验时，同样需要满足零假设和备择假设。
独立样本T检验的步骤如下：1. 提出假设：设定零假设和备择假设。
2. 收集数据：获取两组独立样本数据。
3. 计算T值：根据两组样本数据计算T值。
4. 确定显著性水平：设定显著性水平（通常为0.05）。
5. 判断结果：比较计算得到的T值与临界T值，判断是否拒绝零假设。
在实际应用中，单样本T检验常用于分析一个样本的均值是否与总体均值存在显著差异，例如某一产品的平均质量是否符合标准要求；而独立样本T检验常用于比较两组独立样本的均值，例如男性和女性在某项指标上的平均差异是否显著。
总之，T检验是一种重要的统计方法，可以帮助研究者判断样本数据之间的差异是否具有统计学意义。
通过合理应用T检验，可以更准确地进行数据分析和决策制定。
希望本文对T检验的单样本和独立样本应用有所帮助。
三种t检验的应用条件
三种t检验的应用条件t检验是统计学中一种常用的假设检验方法，被广泛应用于各个领域的研究中。
t检验根据数据的不同特征和研究目的的不同，可以分为三种类型的应用条件，分别是单样本t检验、独立样本t检验和配对样本t检验。
一、单样本t检验单样本t检验是指对一个样本进行假设检验，用于检验样本的平均值是否与一个已知的常数有显著差异。
单样本t检验的应用条件如下：1. 样本数据应符合正态分布，即样本数据呈现出钟形曲线的分布形态。
2. 样本数据应是随机抽样的，即样本中每个个体都有同等概率被抽取到。
3. 样本数据应是独立的，即样本中每个个体之间的差异是相互独立的。
4. 样本数据应是连续性的，即样本数据是数值型数据，而非分类变量。
二、独立样本t检验独立样本t检验是指对两个独立的样本进行假设检验，用于检验两个样本之间的平均值是否存在显著性差异。
独立样本t检验的应用条件如下：1. 两个样本的数据应符合正态分布，即两个样本的数据分布形态应呈现出钟形曲线。
2. 两个样本的数据应是独立的，即两个样本中的个体之间没有相互影响。
3. 两个样本的数据应是连续性的，即两个样本的数据是数值型数据，而非分类变量。
4. 两个样本的方差应相等，即两个样本的方差应该相近。
三、配对样本t检验配对样本t检验是指对同一组个体在两个不同时间点或不同条件下的数据进行假设检验，用于检验两组数据之间的平均值是否存在显著性差异。
配对样本t检验的应用条件如下：1. 两组数据应是配对的，即两组数据应该来自同一组个体，且每个个体在两个时间点或不同条件下的数据是相互对应的。
2. 两组数据应符合正态分布，即两组数据的分布形态应呈现出钟形曲线。
3. 两组数据应是连续性的，即两组数据是数值型数据，而非分类变量。
4. 两组数据的差值应符合正态分布，即两组数据的差值应呈现出钟形曲线的分布形态。
t检验是一种非常有用的假设检验方法，但在应用时需要根据数据的特征和研究目的的不同，选择适当的t检验类型，并遵循相应的应用条件，以保证检验结果的准确性和可靠性。
实验六 单个独立样本t检验
1
一、单样本t检验的基本概念
假设检验是在小概率原理的基础上，以样本统计量的值来推断总 体参数的一种统计推断方法。
单样本t检验：是利用来自某一个正态总体的样本数据，来推断该 总体的均值是否与指定的检验值之间存在显著差异 。
二、单样本t检验的基本步骤
1、提出原假设：单样本t检验的原假设为总体均值与指定检验值 之间不存在显著差异。即：H0： 0 式中， 为总体值， 0 为检验值。
Mean Difference .54896
结论:大连市内4区现住房面积没有达到人均30平方米的目标
7
8
2、确定检验统计量：单样本t检验的检验统计量为： t 式中 s 2 为样本方差， 为样本均值，n为样本容量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 0 s2 / n
2
x
3
4
单样本t 检验操作步骤： 1、选择菜单【Anaiyze】 【Compare Mears】 【OneSample T test】,弹出如下所示“One-Sample T test”对话框。 2、在此对话框中选择待检验的变量家庭人均建筑面积 （RJMJ ）, 进入“Test Variable(s)” 框中，并在“Test Value” 框中输入检 验值30。
家 庭 人 均 建 筑 面 积
One-Sample Test Test Value = 30 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper -.0277 1.1256
家 庭 人 均 建 筑 面 积
t 1.866
df 6951
Sig . (2-tailed) .062
5
单样本t检验统计原理
单样本t检验统计原理一、引言单样本t检验（one-sample t-test）是统计学中常用的一种假设检验方法，用于检验一个样本的均值是否等于给定的值。
该方法可以判断样本和总体均值之间是否存在显著差异，从而判断样本是否代表了总体。
在实际应用中，单样本t检验被广泛应用于医学、心理学、社会科学等领域。
二、假设检验的基本思想假设检验是指在给定显著性水平α下，根据样本数据对总体参数进行推断的方法。
其基本思想是：根据已知信息提出一个关于总体参数的假设，并根据样本数据来判断这个假设是否成立。
通常将原假设（null hypothesis）记为H0，备择假设（alternative hypothesis）记为H1。
原假设通常是我们想要证明或者反驳的命题，而备择假设则是与原假设互为对立的命题。
三、单样本t检验的基本原理单样本t检验用于比较一个变量在一个组中的平均值和已知或者理论上预期的平均值之间是否存在显著差异。
其基本原理可以分为以下几个步骤：1. 提出假设：在单样本t检验中，原假设通常是样本的均值等于给定的值。
备择假设则是样本的均值不等于给定的值。
2. 选择显著性水平：显著性水平α代表了我们在进行假设检验时所允许的错误率。
通常情况下，α取0.05或0.01。
3. 计算t值：根据样本数据计算出t值，公式为：t = (x̄ - μ) / (s / √n)其中，x̄代表样本均值，μ表示给定的总体均值，s表示样本标准差，n表示样本容量。
4. 计算p值：根据t分布表查找对应的p值，并与显著性水平进行比较。
如果p值小于α，则拒绝原假设；否则接受原假设。
四、单样本t检验的应用举例以下是一个单样本t检验的具体应用举例：某公司想要测试其员工每天工作时间是否符合标准。
标准规定每天工作时间为8小时。
该公司随机抽取了20名员工，并记录了他们每天工作时间（单位为小时）。
现在想要知道这些员工每天工作时间是否符合标准。
1. 提出假设：原假设为样本均值等于8，备择假设为样本均值不等于8。
单样本t检验
实验三单样本t检验练习
1 2 3
掌握单样本t检验方法
通过本次实验，我深入理解了单样本t检验的原 理和应用，掌握了其操作步骤和数据分析方法。
培养实验技能
实验过程中，我提高了实验操作能力，学会了如 何设计和实施实验，以及如何处理和分析实验数 据。
增强统计学思维
通过单样本t检验的实践应用，我增强了统计思 维，学会了如何运用统计方法解决实际问题。
确定p值
根据t统计量和自由度，计算p值，并 根据p值判断样本均值与已知值或理 论值之间的差异是否显著。
结果解释与结论
结果解释
根据p值和实际情境，判断样本均值与已知值或理论值之间的差异是否显著，并解释结果的意义。
结论
根据结果解释，得出结论，并提出相应的建议或措施。
05
实验总结与展望
实验收获与体会
实验不足与改进
实验设计需完善
在实验设计阶段，应充分考虑实验的随机性和控 制组的设计，以提高实验的准确性和可靠性。
数据分析需深入
在数据分析阶段，应进一步挖掘数据背后的信息 和规律，以更全面地解释实验结果。
实验操作需规范
在实验操作过程中，应严格按照操作规程进行， 以确保数据的准确性和可靠性。
未来研究方向与实践意义
感谢您的观看
THANKS
显著性水平
在提出假设的同时，我们需要确定显 著性水平，通常选择0.05或0.01。显 著性水平用于判断结果是否具有统计 显著性。
计算t统计量及其对应的自由度
计算t统计量
根据样本数据和样本大小，我们可以使用t分布表或统计软件来计算t统计量。t统计量用于衡量样本均值与已知值 之间的差异程度。
确定自由度
拓展应用领域
单样本t检验在许多领域都有广泛的应用，如医学、生物学、 心理学等。未来可以进一步拓展其应用范围。
单样本t检验 置信区间
单样本t检验置信区间
单样本t检验用于检验一个样本均值与总体均值之间是否存在显著差异。
在进行单样本t检验后，我们可以计算出置信区间来估计总体均值的范围。
进行单样本t检验的步骤如下：
1. 提出假设，建立零假设和备择假设，通常零假设是总体均值等于某个特定值，备择假设是总体均值不等于该特定值。
2. 收集数据，收集样本数据，记录样本均值、样本标准差和样本容量。
3. 计算t值，利用样本数据计算t值，公式为 t = (样本均值总体假设均值) / (样本标准差/ √样本容量)。
4. 确定自由度，根据样本容量确定t分布的自由度。
5. 查表或计算P值，根据t值和自由度查找t分布表格或计算P值。
6. 做出决策，比较P值与显著性水平，若P值小于显著性水平，则拒绝零假设，否则接受零假设。
在进行单样本t检验后，我们可以计算出置信区间来估计总体
均值的范围。
置信区间表示我们对总体参数的估计范围，通常以置
信水平表示。
置信水平为95%的置信区间表示我们有95%的把握总体
参数落在该区间内。
计算置信区间的公式为：
置信区间 = 样本均值± t × (样本标准差/ √样本容量)。
其中t为t分布上的临界值，可以根据置信水平和自由度查找
t分布表格得到。
最后，得到的置信区间可以帮助我们对总体均值进行估计，并
且可以帮助我们判断总体均值是否落在某个特定范围内。
T检验及应用
X ~ N ( ,
N ( , 2 )
2
时，样本均值的抽样分布仍为
1 2 1
2 2 S S2 式中，1 ， 分别为第一组和第二组样本的方差；n1，n2分别为第一组和第二组样
本的样本数。此时两样本均值差的抽样分布的方差 12 为
2
2 12
Sp2 Sp2 n1 n2
第二种情况：当两总体方差未知且不相等，即 1 2 时，分别采用各 自的方差，此时两样本均值差的抽样分布的方差为：
t检验是检验样本的均值和给定的均值是否存在显著性差异一单样本t检验1检验目的利用来自某总体的样本数据推断总体均值与制定的检验值之间是否存在显著性差异
T检验
基本概念
T检验是检验样本的均值和给定的均值是否存在显著性差 异 l单样本T检验
l两独立样本T检验
l两配对样本T检验。
一、单样本T检验
1、检验目的-利用来自某总体的样本数据，推断总体均值与制定的检验 值之间是否存在显著性差异。 2.单样本T检验的基本步骤。
⑵将数学成绩到【检验变量（T）】 框中。于是出现如图所示的窗口。
⑶选择总体标识变量到【分组变 量】框中。
样本均值有一定的差异
p>0.05，认为二者方差 无显著差异
P＞0.05，因此认为两 总体的均值无显著差异。
两总体差的95%置 信区间的上下限
三．两配对样本T检验
1.检验的目的-利用来自两个不同总体的配对样本，推断两个总体的均值是否存在显 著差异。配对样本通常有两个特征：第一，两组样本的样本数相同;第二，两组样本 观测值的先后顺序是一一对应的，不能随意更改。 2.基本步骤 ⑴提出原假设 H 0 两总体
T检验分为三种方法
T检验分为三种方法
T检验是一种常见的统计推断方法，它用于比较两个样本之间的差异。
T检验分为三种方法：独立样本T检验、配对样本T检验和单样本T检验。
下面将对这三种方法进行介绍。
1.独立样本T检验：
独立样本T检验用于比较两个不相关的样本之间的均值差异。
要进行
独立样本T检验，首先需要收集两个独立的样本数据，然后根据这些数据
计算出两个样本的均值和方差。
T检验的原假设是这两个样本的均值相等，备择假设是这两个样本的均值不相等。
根据计算的T值和自由度，可以计
算出P值，从而判断原假设是否成立。
2.配对样本T检验：
配对样本T检验用于比较同一个样本在不同条件下的均值差异。
配对
样本T检验适用于两种情况：一是两个样本是相关的，例如同一个受试者
在不同时间点的数据；二是两个样本是配对的，例如同一组受试者在不同
条件下的数据。
在配对样本T检验中，计算的T值和自由度与独立样本T
检验类似，根据P值判断原假设是否成立。
3.单样本T检验：
单样本T检验用于判断一个样本的均值是否与一个已知的总体均值相等。
在单样本T检验中，收集一个样本的数据，计算样本的均值和标准差。
T检验的原假设是样本的均值等于总体的均值，备择假设是样本的均值不
等于总体的均值。
根据计算的T值和自由度，计算P值，从而判断原假设
是否成立。
总的来说，T检验是一种常用的统计方法，可以用于比较两个样本均值是否有差异，并判断这种差异是否显著。
根据实际问题的需求，可以选择独立样本T检验、配对样本T检验或单样本T检验来进行分析。
实验三基本统计分析与单一样本t检验
本实验的主要发现
实验结果显示，样本均值与已 知总体均值存在显著差异，说 明样本数据与总体数据存在偏 离。
通过单一样本t检验，我们发现 样本数据的标准差较小，说明 样本数据相对集中。
本实验中，样本数据的分布呈 现出正态分布的特点，符合统 计学中的正态分布假设。
对实际应用的启示
在实际应用中，当需要对总体数据进 行推断时，可以采用本实验的方法对 样本数据进行统计分析，以了解样本 数据与总体数据的差异。
样本选取
为了保证实验结果的可靠性，我们选 取了其中50名年龄、性别、体重等特 征相似的受试者作为样本。
使用统计软件进行单一样本t检验
01
软件选择：我们选择了SPSS软件进行统计分析，因为其 功能强大且易于操作。
04
2. 在菜单栏中选择“分析”-“比较均值”-“单一样本t 检验”。
02
实验步骤
05
3. 在弹出的对话框中，将体重作为检验变量，将标准值 设定为某个特定值（例如，正常体重范围的中值）。
实验三基本统计分析与单一样本t 检验
目录
• 引言 • 基本统计概念 • 单一样本t检验的原理 • 单一样本t检验的步骤 • 实验操作与演示 • 结论
01 引言
主题简介
01
基本统计分析与单一样本t检验是 统计学中常用的方法，用于分析 单一样本数据的均值与已知的参 考值或理论值之间的差异。
02
在科学实验、医学研究、社会科 学调查等领域，单一样本t检验被 广泛应用于检验样本均值是否显 著不同于已知的参考值。
实验目的
掌握单一样本t检验 的基本原理和方法。
了解单一样本t检验 在实际问题中的应用 和注意事项。
学习如何使用统计软 件进行单一样本t检 验。
ttest函数
ttest函数ttest函数是统计学中最常用的检验工具之一，用以检验两组样本之间的差异是否显著，它主要包括单样本和双样本的t检验，这两种检验方法的应用场景是不一样的。
一、单样本t检验单样本t检验也称为独立样本t检验，是统计面常见的一种检验方法，主要用于检验一组样本的总体均值与其对应分布中的真实均值之间是否存在显著性差异。
单样本t检验的假设条件包括：（1）样本是从同一总体中取出的；（2）样本的数据独立，每一个样本的观测值不会影响到另一个样本的观测值；（3）样本数据符合正态分布。
单样本t检验可以用于检验样本数据是否均匀分布在某个特定范围内，均值是否超过某个特定水平，以及样本标准差是否超过某一特定水平等。
二、双样本t检验双样本t检验也称为相关样本t检验或两个独立样本检验，是用来检验两组样本之间的差异是否显著的一种统计检验方法，双样本t 检验的假设条件也包括上面单样本t检验的三个假设条件，同时，要求两组样本服从正态分布，且两组样本的方差相等。
双样本t检验的应用是多方面的，既可以用于检验两组样本的数据是否从同一个总体中取出，也可以用于检验两组样本在某一变量上是否具有显著性差异，还可以用于检验两组样本相关性是否显著。
三、ttest函数的使用进行ttest检验时，首先要用特定的统计软件来读取样本数据，然后按照检验所需的指标来输入相关的代码，最后，根据统计软件计算出的结果来判断样本数据是否存在显著性差异。
下面给出的是SPSS的t-test的代码：ttest/variables=x/groups=grouping_variable/paired=pairing_variable/equalvar.其中，x代表待检验的一个变量，grouping_variable代表组别变量，pairing_variable代表配对变量。
最后，通过t检验所得到的结果也要结合检验假设条件以及样本的样本量、样本分布状况来进行判断，以决定是否允许拒绝原假设，以支持对立的假设，得出最后结论。
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• 右侧检验（right-tailed test） ：零假设 为小于等于的情况。
例题
某车间生产的铜丝的折断力服从正态 分布，其平均折断力为570公斤，标准差 为8公斤。
现由于原料更换，虽然认为标准差不 会有什么变化，但不知道平均折断力是 否与原先一样。
总体均值的假设检验
已知条件
X~N(μ,σ2)， 或非正态 总体、大 样本，σ２ 已知
X~N(μ,σ2)， 或非正态 总体、大 样本，σ２ 未知
假设
H0:μ＝μ0 H1:μ≠μ0 H0:μ≥μ0 H1:μ＜μ0 H0:μ≤μ0 H1:μ＞μ0 H0:μ＝μ0 H1:μ≠μ0
H0:μ≥μ0 H1:μ＜μ0
关于总体平均数的推断统计
样本平均数的抽样分布
• 需考虑的问题：
– 总体方差σ2是否已知； – 总体是否正态分布； – 样本为大样本还是小样本。
样本平均数的抽样分布（σ2已知）
• 总体方差σ2已知时
若（X1，X2，…，Xn）是抽自总体X
的一个容量为n的简单随机样本，则依据 样本的所有可能观察值计算出的样本均 值的分布，称为样本均值的抽样分布。
从新生产的铜丝中抽取16个样品，测 得其平均折断力为574公斤。
问：能否认为平均折断力无显著变化？
例题
• 某区初三英语测验平均分数为65，该区 某校25份试卷的平均分数和标准差分别 为70和10。问该校初三英语平均分数与 全区是否一样？
例题
• 某市调查大学生在家期间平均每天用于 家务劳动的时间。某教授认为不超过2小 时。随机抽取100名学生进行调查的结果 为：平均时间1.8小时，方差1.69。问： 调查结果是否支持该教授的看法？
当总体为非正态分布时，若总体方差 未知，样本为大样本，可以利用 t 分布 或正态分布近似求解；样本为小样本时 无解。
例题
• 某总体总体均值为80，总体分布形式及 方差未知。从该总体中抽取一容量为64 的样本，得出 S = 2。问当 n = 64 时，样 本均值大于80.5的概率是多少？
样本均值的抽样分布（小结）
例题
• 从一零售商店全年的帐目中随机抽取25 天的帐目，计算出这25天的平均零售额 为780元，S为100元。若已知该店的日零 售额服从正态分布，全年的平均日零售 额为825元，问：随机抽取25天帐目，其 平均零售额不到780元的概率是多少？
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 非正态总体、总体方差σ2未知时
X ~ N(, 2 )
n
Z X ~ N (0,12 ) / n
样本均值的抽样分布（σ2已知）
• 非正态总体、σ２已知时
设总体X的均值μ和σ2，当样本容量趋 向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于 正态分布，且样本均值的数学期望和方 差分别为
E(X ) X
D(
X
)
2 X
限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。
• 区别之处在于：
– t 分布的形态随自由度（df=n-1）的变化呈一簇分布 形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同。
– 自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。
自由度
• 自由度(degree of freedom)是指总体参数 估计量中变量值独立自由变化的个数。
示意图
总体均值的区间估计
待估 参数
已知条件
置信区间
X~N(μ,σ2)，或非
μ
正态总体、大样本， X Z
σ２已知
2
n
X~N(μ,σ2)，或非
S
正态总体、大样本， X t
σ２未知
2
n
备注
自由度 df=n-1
例题
• 某种零件的长度服从正态分布。已知总 体标准差σ=1.5厘米。从总体中抽取200 个零件组成样本，测得它们的平均长度 为8.8厘米。试估计在95%置信水平下， 全部零件平均长度的置信区间。
函数为：
f (t)
n1 2
n
n 2
1 t2
n1 2
n
－∞＜ｔ＜＋∞
t分布的数学期望和方差分别为： E(t)=0 和 D(t)=n/(n-2)
t 分布的特征
• t 分布与正态分布的相似之处：
– t 分布基线上的t值从－∞～＋∞； – 从平均数等于0处，左侧 t 值为负，右侧 t 值为正； – 曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无
样本均值的抽样分布（σ2已知）
n）是抽自正态分
布总体X~N(μ, σ2)的一个容量为n的简单 随机样本，则其样本均值也是一个正态 分布随机变量，且有
样本均值的抽样分布
－－正态总体、 σ2已知时
E(X ) X
D(
X
)
2 X
2
n
例题
• 上例中，若已知该批零件共有2000件， 抽样方式采用不放回抽样，求该批零件 平均长度的置信水平为95%的置信区间。
例题
• 为了制订高中生体锻标准，某区教育局 在该区高中生中随机抽取36名男生测验 100米短跑成绩。结果这些男生的平均成 绩为13.0秒，S为1.2秒。试估计在95%置 信水平下，全区高中生100米跑的平均成 绩。
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ ，拒绝区域 在左侧时β错误的概率 0
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ ，拒绝区域 (region for rejection)在双侧时0 β错误的
概率
β错误的概率
• 若 在真 右实侧的时β总体错平误均的数概率μ＜μ0，拒绝区域
H0:μ≤μ0 H1:μ＞μ0
检验统计量
Z X 0 / n
H0的拒绝域 |Z|≥Zα/2
Z≤－Zα
Z≥Zα
t X 0
S/ n
自由度df= n-1
|t|≥tα/2
t≤－tα
t≥tα
双侧检验与单侧检验
• 双侧检验（two-tailed test，two-sided test）：零假设为无显著差异的情况；
2
n
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 正态总体、总体方差σ２未知时
设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分
布总体X~N(μ,σ2)的一个容量为n的简单 随机样本，则有
• 其中
t
X
S/ n
~
tn1
n
(Xi X )2
S i1 n 1
t 分布
• t分布(t-distribution)是一连续型分布，其密度