单样本t检验

• 左侧检验（left-tailed test）：零假设为 大于等于的情况；
• 右侧检验（right-tailed test） ：零假设 为小于等于的情况。
例题
某车间生产的铜丝的折断力服从正态 分布，其平均折断力为570公斤，标准差 为8公斤。
现由于原料更换，虽然认为标准差不 会有什么变化，但不知道平均折断力是 否与原先一样。
关于总体平均数的推断统计
样本平均数的抽样分布
• 需考虑的问题：
– 总体方差σ2是否已知； – 总体是否正态分布； – 样本为大样本还是小样本。
样本平均数的抽样分布（σ2已知）
• 总体方差σ2已知时
若（X1，X2，…，Xn）是抽自总体X
的一个容量为n的简单随机样本，则依据 样本的所有可能观察值计算出的样本均 值的分布，称为样本均值的抽样分布。
函数为：
f (t)

n1 2
n

n 2
1 t2
n1 2
n
－∞＜ｔ＜＋∞
t分布的数学期望和方差分别为： E(t)=0 和 D(t)=n/(n-2)
t 分布的特征
• t 分布与正态分布的相似之处：
– t 分布基线上的t值从－∞～＋∞； – 从平均数等于0处，左侧 t 值为负，右侧 t 值为正； – 曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无
2
n
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 正态总体、总体方差σ２未知时
设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分
布总体X~N(μ,σ2)的一个容量为n的简单 随机样本，则有
• 其中
t

X
S/ n
~
tn1
nwk.baidu.com
(Xi X )2
S i1 n 1
t 分布
• t分布(t-distribution)是一连续型分布，其密度
H0:μ≤μ0 H1:μ＞μ0
检验统计量
Z X 0 / n
H0的拒绝域 |Z|≥Zα/2
Z≤－Zα
Z≥Zα
t X 0
S/ n
自由度df= n-1
|t|≥tα/2
t≤－tα
t≥tα
双侧检验与单侧检验
• 双侧检验（two-tailed test，two-sided test）：零假设为无显著差异的情况；
示意图
总体均值的区间估计
待估 参数
已知条件
置信区间
X~N(μ,σ2)，或非

μ
正态总体、大样本， X Z
σ２已知
2
n
X~N(μ,σ2)，或非
S
正态总体、大样本， X t
σ２未知
2
n
备注
自由度 df=n-1
例题
• 某种零件的长度服从正态分布。已知总 体标准差σ=1.5厘米。从总体中抽取200 个零件组成样本，测得它们的平均长度 为8.8厘米。试估计在95%置信水平下， 全部零件平均长度的置信区间。
样本均值的抽样分布（σ2已知）
• 正态总体、 σ2已知时
设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分
布总体X~N(μ, σ2)的一个容量为n的简单 随机样本，则其样本均值也是一个正态 分布随机变量，且有
样本均值的抽样分布
－－正态总体、 σ2已知时
E(X ) X
D(
X
)


2 X
2
n
从新生产的铜丝中抽取16个样品，测 得其平均折断力为574公斤。
问：能否认为平均折断力无显著变化？
例题
• 某区初三英语测验平均分数为65，该区 某校25份试卷的平均分数和标准差分别 为70和10。问该校初三英语平均分数与 全区是否一样？
例题
• 某市调查大学生在家期间平均每天用于 家务劳动的时间。某教授认为不超过2小 时。随机抽取100名学生进行调查的结果 为：平均时间1.8小时，方差1.69。问： 调查结果是否支持该教授的看法？
例题
• 上例中，若已知该批零件共有2000件， 抽样方式采用不放回抽样，求该批零件 平均长度的置信水平为95%的置信区间。
例题
• 为了制订高中生体锻标准，某区教育局 在该区高中生中随机抽取36名男生测验 100米短跑成绩。结果这些男生的平均成 绩为13.0秒，S为1.2秒。试估计在95%置 信水平下，全区高中生100米跑的平均成 绩。
X ~ N(, 2 )
n
Z X ~ N (0,12 ) / n
样本均值的抽样分布（σ2已知）
• 非正态总体、σ２已知时
设总体X的均值μ和σ2，当样本容量趋 向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于 正态分布，且样本均值的数学期望和方 差分别为
E(X ) X
D(
X
)


2 X
限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。
• 区别之处在于：
– t 分布的形态随自由度（df=n-1）的变化呈一簇分布 形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同。
– 自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。
自由度
• 自由度(degree of freedom)是指总体参数 估计量中变量值独立自由变化的个数。
当总体为非正态分布时，若总体方差 未知，样本为大样本，可以利用 t 分布 或正态分布近似求解；样本为小样本时 无解。
例题
• 某总体总体均值为80，总体分布形式及 方差未知。从该总体中抽取一容量为64 的样本，得出 S = 2。问当 n = 64 时，样 本均值大于80.5的概率是多少？
样本均值的抽样分布（小结）
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ ，拒绝区域 在左侧时β错误的概率 0
β错误的概率
• 若真实的总体平均数μ＜μ ，拒绝区域 (region for rejection)在双侧时0 β错误的
概率
β错误的概率
• 若 在真 右实侧的时β总体错平误均的数概率μ＜μ0，拒绝区域
例题
• 从一零售商店全年的帐目中随机抽取25 天的帐目，计算出这25天的平均零售额 为780元，S为100元。若已知该店的日零 售额服从正态分布，全年的平均日零售 额为825元，问：随机抽取25天帐目，其 平均零售额不到780元的概率是多少？
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 非正态总体、总体方差σ2未知时
总体均值的假设检验
已知条件
X~N(μ,σ2)， 或非正态 总体、大 样本，σ２ 已知
X~N(μ,σ2)， 或非正态 总体、大 样本，σ２ 未知
假设
H0:μ＝μ0 H1:μ≠μ0 H0:μ≥μ0 H1:μ＜μ0 H0:μ≤μ0 H1:μ＞μ0 H0:μ＝μ0 H1:μ≠μ0
H0:μ≥μ0 H1:μ＜μ0