九年级三角函数和二次函数经典每日练习问题
初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)
二次函数习题讲解一、二次函数的相关概念1. 若函数的图象与轴只有一个交点, 那么的值为（）A. 0B. 0或2C. 2或－2D. 0, 2或－22．当或（）时, 代数式的值相等, 则时, 代数式的值为。
3．已知和时, 多项式的值相等, 且, 则当时, 多项式的值等于________。
二、二次函数的顶点问题1. 若抛物线的顶点在第一象限, 则的取值范围为________。
2．如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线所表示的函数解析式为, 则下列结论正确的是（）A. ,B. ,C. ,D. ,三、二次函数的对称轴问题1. 已知二次函数, 当时, 的值随值的增大而减小, 则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2. 已知二次函数, 当时, 随的增大而增大, 则实数的取值范围是________。
3．已知二次函数, 当时, 随的增大而增大, 而的取值范围是（）A. B. C. D.四、二次函数的图象共存问题1. 在同一直角坐标系中, 函数和（是常数, 且）的图象可能是（）A B C D2. 二次函数的图象如图所示, 则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）A B C D五、二次函数的图象综合问题1. 已知二次函数 的图象如图所示, 对称轴为 。
下列结论中, 正确的是（ ）A. B. C. D.2．已知二次函数 的图象如图所示, 下列结论：① ；② ；③ ；④ 。
其中, 正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．已知二次函数 的图象如图所示, 下列4个结论：①0abc <；②20a b +=；③420a b c ++>；④b a c <+；⑤()a b m am b +>+（m 为不等于1的任意实数）。
其中正确的结论有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知二次函数 的图象如图所示, 下列结论:①0abc <；②2b a <；③240b ac ->；④0a b c ++>。
初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、难题)
初三《三角函数》经典习题汇编(易错题、
难题)
初三《三角函数》经典题汇编（易错题、难题）
概述
本文档以初三数学学科的《三角函数》为主题，整理了一些经
典的题，主要包括易错题和难题。
这些题旨在帮助学生加深对三角
函数的理解和应用能力。
题目列表
1. 题目：已知直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，求另
一条直角边的长度。
难度：易错题
答案：12
2. 题目：已知角A的正弦值为1/2，求角A的度数。
难度：易错题
答案：30°
3. 题目：已知角B的余弦值为3/5，求角B的度数。
难度：易错题
答案：53.13°
4. 题目：已知角C的正切值为2，求角C的度数。
难度：难题
答案：63.43°
5. 题目：已知直角三角形的一条直角边为8，角A的正弦值为3/4，求斜边的长度。
难度：难题
答案：10
6. 题目：已知角A的弧度为π/6，求角A的正弦值。
难度：难题
答案：1/2
7. 题目：已知角B的弧度为5π/6，求角B的正切值。
难度：难题
答案：√3
结论
通过解答这些经典习题，学生可以巩固对三角函数的基本概念和相关计算方法的掌握。
这些题目既包括易错题，帮助学生强化知识记忆，又包括难题，提高学生的解题能力。
建议学生针对这些题目进行练习，加深对三角函数的理解和应用能力，从而在考试中取得好成绩。
人教版含答案解析-中考复习解答题练习( 二次函数,锐角三角函数 )
应用题二次函数中难题1某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为x 元（x ≥50），一周的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，要使得一周的销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？（3）利用配方法，请你为超市估算一下，若要获得最大利润，一周应进货多少件？2随着社会发展，手机已成为生活中的重要工具，电池充电是各手机厂商关注的重要环节．小明为了了解自己的手机的充电情况，他将一个剩余电量为30%的手机进行充电，并每隔5分钟记录电量变化如下：通过查阅资料，小明发现，现有的手机快充模式一般为：先快速充电至一定电量，再缓慢充电至100%，然后自动停止充电；小明还发现，电量随充电时间的变化可以用已学过的函数类型表示，他根据数据近似求得缓慢充电阶段的函数解析式为y=-x 2+x+35．（1）①求快速充电阶段的函数解析式；②如果从电量10%开始充电，充满电需要分钟；时间x （分钟）05101520253035404550电量y （%）30405060708086919598100（2）小明了解到H品牌手机充满电只需要60分钟，厂家提供充电曲线如图，由线段OA和以点B 为顶点的抛物线组成．若小明的手机从电量10%开始充电，H品牌手机从电量0%同时开始充电，当充电几分钟时，两个手机的电量一样多？3李华同学利用空余时间批发一种成本为5元/个的小玩具，该玩具的日销售量y（个）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求李华销售该玩具获得的最大日利润；（3）经过一段时间，李华决定每销售一个玩具，就捐赠2元钱给希望小学，物价部门规定该商品销售单价不能超过m元，若捐赠后李华销售该玩具的日销售利润最大为150元，求m的值．4疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0≤x≤30．统计数据如下表：时间x（分钟）0510********人数y（人）0275500675800875900（1）求出y与x之间的函数关系式．（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队测温．求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．5一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x （元/件） （x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自交量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．①若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？②抗疫期间，该商场决定每销售一件这种品牌商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．压轴题6小明父母的服装店开业了，销售一种服装，进价40元/件，现每件以60元出售，一星期卖出300件．小明对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了调查．调查结果如下：如降价，每降价1元，每星期可多卖出20件；如涨价，每涨l 元，每星期少卖出10件．请问同学们，如何定价才能使一星期利润最大？7如图，抛物线W 的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为点B （-1，-1）．（1）求抛物线W 的表达式；（2）将抛物线W 绕点A 旋转180°得到抛物线V ，使抛物线V 的顶点为E ，试通过计算判断抛物线V 是否过点B ；（3）在抛物线W 或V 的图象上是否存在点D ，使S △EBD =S △EBO ？若存在，请求出点D 的坐标．8题类: 含三个未知系数：已知顶点和一点坐标求二次函数解析式；已知三角形三个顶点的坐标，求面积；坐标系内双定点双动点平行四边形存在性问题(2019·佛山市中考模拟) 如图，抛物线的顶点为，且经过点、点和坐标原点，点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式．(2)求点的坐标及的面积．(3)若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出和的位置，再直接写出点的坐标．9题类: 含两个未知系数：已知两点坐标求二次函数解析式；含两个未知系数：已知两点坐标求一次函数解析式；二次函数的存在性问题；动态几何之单动点形成的面积最值问题(2020·佛山市禅城区中考模拟) 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为．(1)抛物线及直线的函数关系式；(2)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由；(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值．10题类: 求二次函数顶点坐标；含两个未知系数：已知与坐标轴的两个交点坐标求二次函数解析式；三点坐标在同一条直线上的相关题型；二次函数上满足面积相等的点的存在性问题(2019·佛山市华英学校中考模拟) 如图，已知直线分别与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．(1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；(2)判断点，，是否在同一直线上，并说明理由；(3)若抛物线的对称轴上有一点，使，求点的坐标．11题类: 含两个未知系数：已知两点坐标求二次函数解析式；动态几何之单动点形成的面积问题；坐标系内双定点双动点平行四边形存在性问题(2020·佛山市中考模拟) 如图,抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．(1)求抛物线的函数表达式;(2)当的面积等于的面积的时，求的值;(3)在的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点(为一条边)的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．12题类: 求二次函数顶点坐标；含三个未知系数：已知顶点和一点坐标求二次函数解析式；已知二次函数解析式，求最值如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为米，底部宽度为米，现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．(1)直接写出点及抛物线顶点的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使、点在抛物线上，、点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？13题类: 含两个未知系数：已知两点坐标求一次函数解析式；动态几何之单动点形成的函数关系问题；非坐标系平行四边形存在性问题如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为点．(1)求直线的函数关系式；(2)动点在线段上从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点移动的时间为秒，的长度为个单位，求与的函数关系是，并写出的取值范围；(3)设在⑵的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值时，四边形为平行四边形？问对于所求的值，平行四边形是否菱形？请说明理由．14题类: 含两个未知系数：已知与坐标轴的两个交点坐标求二次函数解析式；根据一次函数与二次函数图象的位置关系求自变量的取值范围；将军饮马模型：两定点在直线同侧，动点在直线上，求线段和最小值如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标是．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出当时，的取值范围；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．15题类: 含两个未知系数：已知两点坐标求二次函数解析式；求二次函数顶点坐标；求二次函数与坐标轴交点；动态几何之单动点形成的线段最值问题如图，二次函数的图象交轴于、两点，并经过点，已知点坐标是，点坐标是．(1)求二次函数的解析式；(2)求函数图象的顶点坐标及点的坐标；(3)二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．16题类: 含三个未知系数：已知对称轴和两点坐标求二次函数解析式；求二次函数顶点坐标；坐标系内正方形的存在性问题；坐标系内菱形的存在性问题(2014·中山市桂山君里学校中考模拟)如图，对称轴为直线的抛物线经过点和．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求▱的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①▱的面积为时，请判断▱是否为菱形？②是否存在点，使▱为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．锐角三角函数中难题17如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E．（1）若BC=BD，tan∠ABE=3，DE=16，求BC的长．（2）若∠DBC=45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF=2EO，求证：CF= CD．18在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，点O是DE的中点，连接CO并延长交AD于点F，在CF上取点G，连接AG．（1）若tan∠B=，AB=5，BC=6，求△ABE的周长．（2）若∠B=∠EAG=60°，求证：AF=CG．19如图，在矩形ABCD中，AD=2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F，若长为，．（1）求圆心角∠CBF的度数；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．20如图，一把圆弧形简易弓，弦AB=60cm，弓高CD=10cm． （1）求弧AB所在圆的半径是多少？（2）拉弓，图2所示，使C′D=A′C′，求阴影部分的面积． （结果精确到个位，sin37°≈0.6，sin53°≈0.8）21如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC=4，BC=3，求sin∠ABD的值．22如图，已知AB是⊙O的直径．如果圆上的点D恰好使∠ADC=∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）过点A作AM⊥CD于点M．若AB=5，sinB=，则AM的长为．23如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）若∠BAC=28°20′，则∠E=；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若tan∠ACB=2，BC=2，求DE的长．24如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E，点F是OA中点，FG⊥OA，FG分别交AD、DE于点H、点G，tan∠BAD=（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：DG=GH；（3）若DG=5，求⊙O的半径长．25如图，四边形ADBC内接于⊙O，AD平分∠EDC，AE∥BC交直线BD于E．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若CD为直径，tan∠ADE=2，求sin∠BDC的值．26在⊙O中，弧AB=弧AC，点F是AC上一点，连接AO并延长交BF于E．（1）如图1，若BF是△ABC的高，求证：∠CBF=∠CAE；（2）如图2，若BF是△ABC的角平分线，BC=10，cos∠BCA=，求AE的长．27如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE交边BC于点E，连接BD．（1）求证：∠ABD=∠CDE．（2）若AC=28，tanA=2，AD：DC=1：3，求DE的长．28如图，在△ABC中，O为AC边上一点，⊙O与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若OC=3，tan∠ABC=，求AD的长．29如图所示，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，OG的延长线交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线：（2）⊙O的半径为10，tanA=，求BF的长．30已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．（1）如图1，求证：AE=CE．（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF=2CD，求sin∠CAB的值．31如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD=AE．（2）若AB=10，sin∠DAC=，求AD的长．32如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接AD、BC、OC，且OC=5．（1）若，求CD的长；（2）若∠OCD=4∠BCD，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．33如图，△ABC中，∠C=90°，以BC边上一点O为圆心，OC为半径作⊙O，∠CAO=∠BAO．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OC=3，sinB=，求BC的长．34如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B．（1）求证：CA是⊙O的切线．（2）在AB上取一点E，若∠BCE=∠B，AB=2AC，求tan∠ACE的值．35如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若BC=8，tanC=，求tan∠DOE的值．36如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD=，sinF=时，求OF的长．37如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°（1）求tan∠OAB的值；（2）求图中阴影部分的面积S；（3）在⊙O上一点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，回到点A，在点P的运动过程中，满足S△POA=S△AOB时，直接写出P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．38如图，在矩形ABCD中，点F在BC边上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作弧交AF于点G，若AD=4，tan∠ADE=，求阴影部分的面积（结果保留π）39如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠；若点E是BC边的中点，点B落在点F处，连接CF．（1）求证：AE∥CF．（2）求sin∠ECF的值．40如图，在△ABC中，CD是AB上的高，将△BCD沿直线CB翻折得到△BCE，使D落到E处，且∠ACE=90°．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）若BD=2，tan∠A=，求AC的长．41已知：在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，使B落到F处，延长EF交CD延长线于G．（1）求证：EG=CG；（2）若BC=8，tan∠BEC=2，求GF的长．二次函数中难题应用题1某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，要使得一周的销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？（3）利用配方法，请你为超市估算一下，若要获得最大利润，一周应进货多少件？答案见解答过程标签[知识点]一元二次方程的解法：因式分解法；二次函数的应用题；解答解：（1）设销售单价为x元，y=500-10（x-50），即y=1000-10x；（2）由题意，得（x-40）（1000-10x）=8000，解得x1=60，x2=80，当x=60时，一周应进货y=1000-10x，y=400件，成本=400×40=16000＞10000，不符合题意，应舍弃；当x=80时，一周应进货y=1000-10x=200件，成本=200×40=8000＜10000，符合题意；答：销售单价应定为80元；（3）利润S=（x-40）（1000-10x），=-10x2+1400x-40000，=-10（x-70）2+9000，当x=70时，获得最大利润，一周应进货y=1000-10x=300件．2随着社会发展，手机已成为生活中的重要工具，电池充电是各手机厂商关注的重要环节．小明为了了解自己的手机的充电情况，他将一个剩余电量为30%的手机进行充电，并每隔5分钟记录电量变化如下：通过查阅资料，小明发现，现有的手机快充模式一般为：先快速充电至一定电量，再缓慢充电至100%，然后自动停止充电；小明还发现，电量随充电时间的变化可以用已学过的函数类型表示，他根据数据近似求得缓慢充电阶段的函数解析式为y=-x 2+x+35．（1）①求快速充电阶段的函数解析式；②如果从电量10%开始充电，充满电需要分钟；（2）小明了解到H 品牌手机充满电只需要60分钟，厂家提供充电曲线如图，由线段OA 和以点B 为顶点的抛物线组成．若小明的手机从电量10%开始充电，H 品牌手机从电量0%同时开始充电，当充电几分钟时，两个手机的电量一样多？时间x （分钟）05101520253035404550电量y （%）30405060708086919598100答案见解答过程标签[知识点] 二次函数的应用题；解答解：（1）①依题得快速充电阶段y 与x 成一次函数，设y=kx+b （k≠0），把（0，30），（5，40）代入得，，解得，∴快速充电阶段的函数解析式主y=2x+30；②由①快速充电阶段速度为2%每分钟，则从10%充到30%需要=10分钟，由表知从30%充到10%需50分钟，故从10%开始充电，充满需要10+50=60分钟；（2）设OA解析式为：y=mx（m≠0），将A（20，60）代入得20m=60，则m=3，即有y=3x（0≤x≤20），设AB解析式为：y=-a（x-60）2+100，将A（20，60）代入得，a=-，即有y=-（x-60）2+100（20≤x≤60），故H牌手机充电函数关系式为：y=，又小明手机充电函数关系式为：y=，设充电t分钟后，两个手机电量一样多，均为w，则H牌W1=，小明手机，W2=，t=0不满足t＞35以及20＜t≤60，故舍，令W1=W2，解得t=10，t=0（舍）或t=60，故当充电10分钟时或60分钟时，两个手机电量一样多．3李华同学利用空余时间批发一种成本为5元/个的小玩具，该玩具的日销售量y（个）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求李华销售该玩具获得的最大日利润；（3）经过一段时间，李华决定每销售一个玩具，就捐赠2元钱给希望小学，物价部门规定该商品销售单价不能超过m元，若捐赠后李华销售该玩具的日销售利润最大为150元，求m的值．答案见解答过程标签[知识点]一元二次方程的应用题；二次函数的应用题；解答解：（1）设y关于x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把（5，100）和（15，0）代人可得，解得，∴y关于x的函数表达式为y=-10x+150（5≤x≤15）；（2）设李华销售该玩具获得的日销售利润为w元，则w=（-10x+150）（x-5）=-10（x-10）2+250，∵-10＜0，当x=10时，w有最大值，最大值250元，李华销售该玩具获得的最大日利润为250元；（3）设李华捐赠后获得的日销售利润为w1，则w1=（x-5-2）（-10x+150）=-10（x-11）2+160，当w1为150时，代人可得-10（x-11）2+160=150，解得x1=10，x2=12，∵5≤x≤m，①当m=10时，在对称轴左侧，w1随x的增大而增大，当x=m=10时，w1最大=150，②当m=12时，在11≤x≤m的范围内，w1最大=160≠150，此种情况不成立，综上：m=10．4疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0≤x≤30．统计数据如下表：时间x（分钟）0510********人数y（人）0275500675800875900（1）求出y与x之间的函数关系式．（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队测温．求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．答案见解答过程标签[知识点] 二次函数的应用题；解答解：（1）设y=ax 2+bx+c ，将点（0，0），（5，275），（10，500）代入函数解析式得；，解得：，∴函数解析式为y=-x 2+60x （0≤x ≤30）；（2）两个测温点每分钟检测40人，x 分钟检测40x 人，则第x 分钟等待检测体温人数为y-40x=-x 2+60x-40x=-x 2+20x ，当x=-=10时，y 取最大值，y=-102+20×10=100（人），答：第10分钟时排队等待人数最多；（3）由（2）得，第x 分钟等待检测人数为y-40x-12（x-4）=-x 2+8x+48（x ＞4），令-x 2+8x+48=0，解得：x 1=12，x 2=-4（舍去），∴x 1-4=12-4=8，∴人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况．答：人工检测8分钟后，校门口不再出现排队等候情况．5一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y （件）与售价x （元/件） （x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y 与x 的函数关系式（不求自交量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．①若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？②抗疫期间，该商场决定每销售一件这种品牌商品便向某慈善机构捐赠m 元（1≤m ≤6），x （元/件）456y （件）1000095009000捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．答案见解答过程标签[知识点]二次函数的应用题；解答解：（1）设y和x的函数表达式为y=kx+b，则，解得，故y和x的函数表达式为y=-500x+12000；（2）①设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，由题意得：，解得3≤x≤12，则w=y（x-3）=（-500x+12000）（x-3）=-500（x-）2+55125≤55125，∵3≤x≤12，故x=12时，w有最大值为54000，答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元；②根据题意得，w=（x-3-m）（-500x+12000）=-500x2+（13500+500m）x-36000-12000m，∴对称轴为直线x=-=13.5+0.5m，∵-500＜0，∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，而销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，故13.5+0.5m≥15，解得m≥3，∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．6小明父母的服装店开业了，销售一种服装，进价40元/件，现每件以60元出售，一星期卖出300件．小明对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了调查．调查结果如下：如降价，每降价1元，每星期可多卖出20件；如涨价，每涨l元，每星期少卖出10件．请问同学们，如何定价才能使一星期利润最大？答案见解答过程标签[知识点]二次函数的应用题；解答解：设一星期所获利润为y，若每件涨价x元，根据题意得，y=（60+x-40）（300-10x）压轴题=-10x 2+100x+6000=-10（x-5）2+6250（0≤x ≤30），∵a=-10＜0，∴x=5，y 有最大值6250，即定价为65元时，所获利润最大，最大利润为6250元；若每件降价x 元，根据题意得，y=（60-40-x ）（300+20x ）=-20x 2+100x+6000=-20（x-2.5）2+6125（0≤x ≤20），∵a=-20＜0，∴x=2.5时，y 有最大值6125，即定价为57.5元时，所获利润最大，最大利润为6125元．综上所述，定价为65元时，才能使一星期利润最大，最大利润为6250元．7如图，抛物线W 的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为点B （-1，-1）．（1）求抛物线W 的表达式；（2）将抛物线W 绕点A 旋转180°得到抛物线V ，使抛物线V 的顶点为E ，试通过计算判断抛物线V 是否过点B ；（3）在抛物线W 或V 的图象上是否存在点D ，使S △EBD =S △EBO ？若存在，请求出点D 的坐标．答案见解答过程标签[知识点] 二次函数；二次函数的增减性；二次函数平移：上加下减左加右减；二次函数的解析式；二次函数与坐标轴的交点；解答解：（1）∵抛物线的顶点为B （-1，-1），∴可设抛物线的解析式为y=a （x+1）2-1，把O （0，0）代入，得0=a-1，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2-1；（2）令y=0，有y=（x+1）2-1=0，解得，x=0或-2，∴A（-2，0），∵将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V，使抛物线V的顶点为E，B（-1，-1），∴E（-3，1），设抛物线V的解析式为：y=a'（x+3）2+1（a'≠0），∵将抛物线W绕点A旋转180°得到抛物线V，抛物线W的解析式为：y=（x+1）2-1，∴a'=-1，∴抛物线V的解析式为：y=-（x+3）2+1，当x=-1时，y=-4+1=-3≠-1，∴抛物线V是不经过点B；（3）设直线BE的解析式为：y=kx+b（k≠0），则，解得，，∴直线BE的解析式为：y=-x-2，过O作OD∥BE，与抛物线W交于D点，如图1，则S△OBE=S△DBE，设OD的解析式为：y=-x+m，把O（0，0）代入得，m=0，∴OD的解析式为：y=-x，联立方程组解得，，或，∴D（-3，3）；过抛物线V与x轴的交点F（-4，0）作FG∥BE，与抛物线V交于另一点G，如图2，∵OA=AE=2，∴S△OAE=S△AEF，S△OAB=S△ABF，∴S△OBE=S△BEF=S△BEG，设直线FG的解析式为：y=-x+n，把F（-4，0）代入得n=-4，∴直线FG的解析式为：y=-x-4，联立方程组，解得，，或，∴G（-1，-3），当D点与F或G重合时，S△EBD=S△EBO，此时D（-4，0）或（-1，-3），综上，在抛物线W或V的图象上存在点D，使S△EBD=S△EBO，D的坐标为（-3，3）或（-4，0）或（-1，-3）．8题类: 含三个未知系数：已知顶点和一点坐标求二次函数解析式；已知三角形三个顶点的坐标，求面积；坐标系内双定点双动点平行四边形存在性问题(2019·佛山市中考模拟) 如图，抛物线的顶点为，且经过点、点和坐标原点，点的横坐标为．(1)求抛物线的解析式．(2)求点的坐标及的面积．(3)若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出和的位置，再直接写出点的坐标．(1)答案抛物线解析式为．标签[结论]函数与图象点坐标关系：满足解析式的点在图象上，图象上的点满足解析式;[方法]待定系数法;[知识点]二次函数顶点式：y=a（x-h）^2+k；解答设抛物线解析式为，将点代入，得，解得，则抛物线解析式为．(2)答案点坐标为；的面积为．标签[结论]坐标表示距离：p（x，y）到Y轴距离为|x|; 三角形面积的一般表达式：S=1/2ah; 函数与图象点坐标关系：满足解析式的点在图象上，图象上的点满足解析式; 梯形的面积=1/2（上底+下底）×高; 坐标表示距离：p（x，y）到X轴距离为|y|;[方法]割补法;[知识点]二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数；解答当时，，所以点坐标为，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，则梯形(3)答案，点的坐标为或或．标签[结论]函数与图象点坐标关系：满足解析式的点在图象上，图象上的点满足解析式;[数学思想]分类讨论思想;[知识点]二次函数顶点式y=a（x-h）^2+k对称轴x=h；解答如图所示，分三种情况考虑，当在第一象限时，若四边形为平行四边形，，抛物线对称轴为直线，横坐标为,将代入抛物线，即；当在第二象限时，同理；当在第三象限时，若四边形为平行四边形，此时与重合，即；综上，点的坐标为或或．9题类: 含两个未知系数：已知两点坐标求二次函数解析式；含两个未知系数：已知两点坐标求一次函数解析式；二次函数的存在性问题；动态几何之单动点形成的面积最值问题(2020·佛山市禅城区中考模拟) 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为．。
二次函数与三角函数的周期性计算练习题
二次函数与三角函数的周期性计算练习题在数学学习中，二次函数和三角函数是两个重要的概念。
它们在实际问题中的应用非常广泛。
本文将提供一些二次函数和三角函数周期性计算的练习题，帮助读者加深对这两个概念的理解。
题目一：二次函数的周期性计算练习题1. 求函数 f(x) = 2x^2 的周期。
解析：由于二次函数没有固定的周期，我们可以使用图像来观察函数的周期性特点。
将函数 f(x) = 2x^2 的图像绘制出来，我们可以看到函数在原点处有一个最低点，并且向上开口。
根据图像可以清晰地看出，无论x取什么值，函数值都是非负数。
因此，函数 f(x) = 2x^2 的周期为正无穷。
2. 求函数 g(x) = sin(3x) 的周期。
解析：函数 g(x) = sin(3x) 中的3是角频率，它决定了函数的周期。
公式T = 2π/ω 可以用来计算周期，其中 T 是周期，ω 是角频率。
代入公式，我们可以计算得到 g(x) = sin(3x) 的周期为2π/3。
3. 求函数 h(x) = cos(x/4) 的周期。
解析：函数 h(x) = cos(x/4) 中的 1/4 是角频率，它决定了函数的周期。
同样地，我们可以使用公式T = 2π/ω 来计算周期。
代入公式，我们可以计算得到 h(x) = cos(x/4) 的周期为8π。
题目二：三角函数的周期性计算练习题1. 求函数 f(x) = sin(2x) 的周期。
解析：函数 f(x) = sin(2x) 中的2是角频率，它决定了函数的周期。
根据公式T = 2π/ω，我们可以计算得到 f(x) = sin(2x) 的周期为π。
2. 求函数 g(x) = 3cos(4x) 的周期。
解析：函数g(x) = 3cos(4x) 中的4是角频率，它决定了函数的周期。
代入公式T = 2π/ω，我们可以计算得到 g(x) = 3cos(4x) 的周期为π/2。
3. 求函数h(x) = sin(π/6 + x/3) 的周期。
九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇
九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12． 其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________． 三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+1解：A．根据二次函数的定义，y＝4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意．B．根据二次函数的定义，y＝3x﹣5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意．C．根据二次函数的定义，y＝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意．D．根据二次函数的定义，y＝2x2+1是二次函数，故D符合题意．故选：D．2．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．解：A、由图知a＞0，﹣＝1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，故本选项正确；D、∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D．4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故选：D．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+1解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，∵所求抛物线与函数y＝的图象相同且开口方向相反，∴a＝﹣，∴所求的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1．故选：D．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．4解：根据表格数据可知：抛物线的对称轴是直线x＝＝，∴③错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0有两根为x1＝﹣2，x2＝3；故①正确；从表格可知当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6）；∴②正确；从表格可知：当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，故④错误．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∵BE＝CF，∴△BOE≌△COF，∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，即∠EOF＝∠BOC＝90°，且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，由垂线段最短可得，当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，△OEF面积取最小值为×2×2＝2，∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，故选：A．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°解：把（25，0.725），（50，0.06），（60，0.09）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝0.0001x2﹣0.008x+0.21＝0.0001（x﹣40）2+0.05，∵0.0001＞0，∴x＝40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为3．解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2且m+3≠0，解得：m＝3．则m的值为3．故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为5．解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A，B关于直线x＝2对称，∵点A横坐标为﹣1，∴点B横坐标为5，故答案为：5．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝5．解：∵|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，解得：a＝﹣1或5，又二次函数y＝ax2开口向上，则a＞0，故a＝5．故答案为：5．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是3．解：∵点A（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴n＝m2﹣3m+1，∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣1＝﹣（m﹣2）2+3，∴当m＝2时，m﹣n有最大值为3，故答案为：3．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为﹣．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为c，当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，解得：x＝2，或x＝0，∴D（2，c），∴CD＝2，∵AB+CD＝3，∴2+2＝3，解得：c＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为142．解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EF＝10，点G是EF的中点，∴BG＝EF＝10＝5，∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD 面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，∴AC＝20，S△ACD＝×12×16＝96，∴BH＝＝，∴G'H＝BH﹣5＝﹣5＝，∴S△ACG'＝AC•G'H＝×20×＝46，∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．故答案为：142．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．解：（1）由图象可知，抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当y＝0时，x的值为﹣1和3；（2）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3）得，﹣3＝﹣3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），令y＝5得5＝（x+1）（x﹣3），解得x1＝4，x2＝﹣2，∴当y＞5时，求x的范围是x＞4或x＜﹣2；（3）∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1，∴y随x的增大而增大时，x的范围是x＞1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答：小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），。
九年级数学 三角函数50道练习题
九年级数学三角函数50道练习题（以上为标题，不计入800字）1. 已知一个角的补角是60度，求该角的大小。
2. 求解sin45°的值。
3. 已知tanθ = 1/√3，求θ的度数。
4. 求解cos30°的值。
5. 若sinθ = cos(180° - θ)，求θ的度数。
6. 求解tan60°的值。
7. 若secθ = 2，求cosθ的值。
8. 若tanθ = 2，求cotθ的值。
9. 求解sin60°的值。
10. 若sinθ = cos90° - θ，求θ的度数。
11. 已知sinθ = 1/2，求θ的度数。
12. 求解tan30°的值。
13. 若cscθ = 4/3，求sinθ的值。
14. 已知cosθ = 1/√2，求θ的度数。
15. 求解cos45°的值。
16. 若secθ = -2，求cosθ的值。
17. 如果tanθ = 4/3，求cotθ的值。
18. 求解sin30°的值。
19. 若sinθ = cos(90° - θ)，求θ的度数。
20. 已知cosθ = 1/2，求θ的度数。
21. 求解tan45°的值。
22. 若secθ = -1/2，求cosθ的值。
23. 如果tanθ = 3/4，求cotθ的值。
24. 求解sin120°的值。
25. 若sinθ - cosθ = 0，求θ的度数。
26. 已知tanθ = √3，求θ的度数。
27. 求解cos60°的值。
28. 若secθ = -√2，求cosθ的值。
29. 如果tanθ = -2/3，求cotθ的值。
30. 求解sin150°的值。
31. 若sinθ + cosθ = 1，求θ的度数。
32. 已知cotθ = 4/3，求θ的度数。
33. 求解cos75°的值。
34. 若secθ = -1/√3，求cosθ的值。
初三二次函数、相似、三角函数难题选讲
一．任意凸四边形的两条对角线长分别为a、b，两条对角线所夹锐角为α，求证：四边形的面积S=ab sinα/2二．如图,BC为半圆O的直径,D,E两点在直线BC上,DB=BC=CE,A为半圆O上任意一点，求tan∠DAB与tan∠EAC的乘积。
三．角A在0到45°之间时，他的正弦，余弦和正切的大小顺序怎么样的？四．在△ABC中，已知a/cosA=b/cosB=c/cosC,求证：a=b=c（纯属娱乐，放松心情）五．已知y=x²- 2x + m 与x轴交于点A（x1，0）B（x2，0) (x2>X1)设抛物线的顶点为M，若△AMB 是直角三角形，求m值(很简单吧？)六．1. 已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线y=x+m 与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上.（1）求m值及这个二次函数关系式；（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由（没什么难度，就是比较烦）。
七．已知二次函数y=x²-(m²+8)x+2(m²+6),设抛物线顶点为A,与x轴交与b，c两点，问是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形，如果存在m；若不存在说明理由（做多了就习惯了）。
八．（这是我看到的比较有意思的一道题）九．锐角三角形ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6，AD、BE、CF分别是边BC，CA，AB上的高，D，E，F为垂足，求三角形DEF与三角形ABC的面积之比。
十．已知圆O为△ABC的内切圆，DE//BC,且DE与圆O相切。
三角形ABC的周长为8.求DE的最大值。
中考数学总复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专项训练题(附有答案)
中考数学总复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专项训练题(附有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，点P是抛物线上的动点．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接CD，点E在CD上，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，使得tanα＝2？若存在，求出点P 的横坐标，请说明理由．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是y轴，与x轴交于A、B两点且A点坐标是（﹣2，0），且OB＝2OC．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，若M（﹣4，m），N是抛物线上的两点．求N点坐标；（3）如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称．直线DB、EB 分别交直线x＝﹣1于G、Q两点，请问PG﹣PQ是定值吗？若是请直接写出此定值．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点2+x+8交x轴于点A（﹣4，0）、B，交y 轴于点C．（1）求点B的坐标；（2）点D是第一象限抛物线上的一点，连接AD交y轴于点E，设点D的横坐标为t，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当4＜t＜8时，且横坐标为﹣t，连接BF交y轴于点G，点H 为线段BG的中点，连接AG，若AG＝EH，求tan∠CMD的值．4．二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C （1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m（m＞3），且AQ⊥PQ，若AQ＝2PQ；（3）如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C1交x轴于D、E两点，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若sin∠BME＝5．如图，已知抛物线过平面直角坐标系中A（1，0）、B（3，0）（0，3）三个点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）如图②连接BC、BD、CD，求△BCD的面积．（3）点P是抛物线上的一点，已知，求满足条件的P点的坐标．6．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0），且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当△ACE面积的最大值时，求出此时点E的坐标；（3）点Q是直线上的一动点，连接OQ，设△OQF外接圆的圆心为M，当sin∠OQF 最大时（直接写答案）．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE'的周长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y＝﹣x+2交抛物线于B（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求点D，E，C的坐标；（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，且AF2+EF2＝21．①求证：△DFC是直角三角形；②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时9．已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q？若存在，求出点Q的坐标，请说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）（﹣，0），tan∠ACO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）线段OB上有一动点P，连接CP，当CP+，请直接写出此时点P的坐标和CP+ PB的最小值．（3）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值．11．如图，已知一次函数y1＝kx+m的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，且与x 轴交于点C2＝ax2+bx+4的图象经过点A，C，连接OA．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）求∠OAB的正弦值．（3）在点C右侧的x轴上是否存在一点D，使得△BCD与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标，请说明理由．12．如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，过点P作PE⊥OA于点E，点Q的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）①当PQ∥EQ时，PQ+PE＝；②某班数学科代表经过一番探究后发现：对于A、C间的任意一点P，PQ与PE之和为定值，你是否同意他的观点？请说明理由；（3）延长EP交BC于点F，当∠FPQ为锐角，且时，求点P的坐标．13．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴分别于A，D两点，交y轴于B点（1）求抛物线的对称轴；（2）求tan∠BAC；（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在；如果不存在，请说明理由．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）如图，连接AC，点P在线段AC上，与抛物线交于点Q．以线段PQ为边构造矩形PQMN，边MN在y轴上．①当矩形PQMN周长最大时，求点P坐标．②在①的条件下，点T在第四象限内，作射线AT，求tan∠TAO的值．15．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OQ＝18，点P是x轴正半轴上一点，连接PQ，⊙A经过点O且与QP相切于点P（1）若圆心A在x轴上，求⊙A的半径；（2）若圆心A在x轴的上方，且圆心A到x轴的距离为2，求⊙A的半径；（3）在（2）的条件下，若OP＜10，D，P的抛物线上的一个动点，点F为x轴上的一个动点的点M共有4个，求点F的横坐标的取值范围．参考答案1．解：（1）由题可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+6代入点B，得4a+2＝2∴a＝∴抛物线解析式为：；（2）如图1，过P作PF⊥x轴于F∵PE⊥CD∴∠PEH＝∠PFC＝90°∴∠PHE+∠EPH＝∠CHF+DCB＝90°∵∠PHE＝∠CHF∴∠EPH＝∠DCB令x＝6，则y＝＝∴D（0，）令y＝0，则解得x＝﹣2或3∴C（3，5）∴DO＝，CO＝7∴∴cos∠EPH＝cos∠DCB＝设直线CD为y＝kx+代入点C，得k＝∴直线CD为设P（），则H（）∴∵cos∠EPH＝∴PE＝＝∵P在第一象限∴0＜m＜6∴时，PE最大值为；（3）①如图2，当P在x轴下方时延长AB交CP延长线于K，过A作x轴平行线，两线交于点Q 过C作CR⊥AQ于R∵A（7，2），0），5）∴AB＝同理，AC＝∴AB2+AC2＝BC6，AB＝AC∴∠BAC＝90°∵∠AKQ+∠QAK＝∠QAK+∠RAC＝90°∴∠AKQ＝∠RAC又∠AQK＝∠CRA＝90°∴△AQK∽△CRA∴又tan∠ACK＝∴又AR＝CR＝8∴QK＝AQ＝4∴K（﹣3，﹣2）设直线CK为y＝k1（x﹣3），代入点K解得∴直线CK为联立∴3x3﹣4x﹣15＝0解得x＝或3∴P的横坐标为②如图3，当P在x轴上方时，则K′（﹣2，2）连接CK′交抛物线于点P可设直线CK′为y＝k2（x﹣5），代入点K′解得∴直线CK′为y＝联立∴6x2+4x﹣6＝0∴x＝或3∴P的横坐标为综上，P的横坐标为或．2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是y轴∴b＝3∵A点坐标是（﹣2，0）∴B点坐标是（2，0）∴OB＝2∵OB＝5OC∴OC＝1∴C（0，﹣4）∴c＝﹣1把A（﹣2，5）代入y＝ax2﹣1，得5a﹣1＝0解得：a＝∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣1；（2）当x＝﹣5时，y＝4﹣1＝3∴M（﹣8，3）过点M作MG⊥x轴于点G则MG＝3，OG＝5在Rt△OMG中，OM＝＝过点O作FK⊥OM，使OF＝OK＝，如图，过点K作KL⊥x轴于点L连接MF交抛物线于点N，连接MK交抛物线于点N′则∠MGO＝∠FHO＝∠KLO＝∠MOF＝∠MOK＝90°，tan∠OMN＝＝＝∵∠MOG+∠FOH＝90°，∠OFH+∠FOH＝90°∴∠OFH＝∠MOG∴△FOH∽△OMG∴＝＝，即＝＝∴OH＝1，FH＝∴F（1，）设直线MF的解析式为y＝kx+n，则解得：∴直线MF的解析式为y＝﹣x+与抛物线y＝x2﹣1联立，得：x2﹣6＝﹣x+解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝当x＝时，y＝﹣×+＝∴N（，）；同理可得K（﹣2，﹣），直线MK的解析式为y＝﹣与抛物线y＝x2﹣1联立，得：x2﹣8＝﹣x﹣解得：x6＝﹣4（舍去），x2＝﹣当x＝﹣时，y＝﹣）﹣∴N′（﹣，﹣）；综上所述，N点坐标为（，，﹣）；（3）由（1）知：A（﹣2，7），0）∵D、E两点关于y轴对称设D（m，m2﹣1），则E（﹣m，m2﹣6）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1则解得：∴直线BD的解析式为y＝x﹣当x＝﹣1时，y＝﹣﹣∴G（﹣1，﹣）同理可得：直线BE的解析式为y＝x+当x＝﹣8时，y＝∴Q（﹣1，）∵P（﹣1，4）∴PG＝0﹣（﹣）＝∴PG﹣PQ＝﹣＝3故PG﹣PQ的值为5．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+8交x轴于点A（﹣5，0）∴0＝（﹣4）2+（﹣4）+8解得a＝﹣∴y＝﹣x2+x+2当y＝0时，0＝﹣x2+x+4解得x1＝﹣4，x6＝8∴B（8，5）；（2）如图1，过D作DP⊥x轴于P∵点D的横坐标为t，点D是第一象限抛物线上的一点∴D（t，﹣x2+x+8）∴PD＝﹣x2+x+7，AP＝t+4在Rt△P AD中，tan∠P AD＝＝（t﹣8）在Rt△AOE中，tan∠OAE＝∴OE＝8﹣t在y＝﹣x2+x+8中，令x＝2∴C（0，8）∴OC＝3∴d＝CE＝OC﹣OE＝8﹣（8﹣t）＝t；（3）如图7，连接BC，FT⊥y轴于T在Rt△ABC中，∵OB＝OC＝8∴∠OBC＝∠OCB，BC＝∵∠OBC+∠OCB＝90°∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵点F的横坐标为﹣t，点F在抛物线上∴F（﹣t，﹣t2﹣t+4）∴t6+t﹣8，BR﹣8+t在Rt△BFR中，tan∠FBR＝＝在Rt△BOG中，tan∠OBG＝∴OG＝2t﹣8∴EG＝OE+OG＝6﹣t+2t﹣8＝t＝CE．∵点H为线段BG的中点∴EH∥BC，EH＝∴AG＝EH＝6在Rt△OAG中，OG＝∴∠OAG＝∠OGA∵∠OAG+∠OGA＝90°∴∠OAG＝∠OGA＝45°＝∠OBC∴AE∥GH∴∠CMD＝∠CFB∵OG＝7t﹣8＝4∴t＝4∴﹣t5﹣t+8＝﹣7，CE＝3t＝12∴F（﹣6，﹣7）∴FT＝7，GT＝OT﹣OG＝7﹣4＝6在Rt△FGT中，FG＝＝在Rt△BOG中，BG＝在Rt△CGN中，sin∠CGN＝∴CN＝∴GN＝∴FN＝FG+GN＝3+在Rt△CFN中，tan∠CFN＝＝∴tan∠CMD＝tan∠CFN＝．4．解：（1）将A（﹣1，0），7）解得：∴这个二次函数的表达式是y＝x6﹣2x﹣3；（2）过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线与点N，交过点A与y轴的平行线于点M∵∠NQP+∠MQA＝90°，∠MQA+∠QAM＝90°∴∠NQP＝∠QAM∵∠AMQ＝∠QNP＝90°∴△AMQ∽△QNP∴设点Q的坐标为（1，t），m2﹣6m﹣3）则AM＝t，QN＝m﹣1，NP＝t﹣m8+2m+3即解得m＝6（舍去）或4故m＝4；（3）过点E作EH⊥MB交MB的延长线于点H由抛物线的表达式知，点M（4，BM＝2则tan∠OBM＝＝3＝tan∠HBE∵sin∠BME＝，故tan∠BME＝故设BH＝x，则HE＝2x在Rt△HEM中，tan∠BME＝则tan∠BME＝＝＝，解得x＝在Rt△BHE中，BE＝＝故点E的坐标为（9，0）由旋转的定义知，点R是点A则x R＝（9﹣3）＝4故点R的坐标为（4，8）．5．解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c 把A（1，2），0），3）代入得解方程组得：∴y＝x2﹣6x+3配方得：y＝（x﹣2）2﹣1顶点D的坐标为（2，﹣2）；（2）设直线CD的表达式为y＝kx+m把C（0，3），﹣6）代入得解方程组得：∴y＝﹣7x+3如图（2），设直线y＝﹣2x+8交x轴于点E当y＝0时，﹣2x+7＝0∴点E坐标为：（，2）∴BE＝3﹣过D作DF⊥x轴于点F∴；（3）∵BC5＝32+62＝18，BD2＝72+18＝2，CD2＝72+42＝20∴BC2+BD2＝CD7∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°又∵tan∠BCP＝，即点D为满足条件的点P7（2，﹣1）如图（3），延长DB至点H，得H（2连接CH交抛物线于点P，所得的∠PCB＝∠BCD设直线CH的表达式为y＝k1x+n把C（0，7），1）代入得解得则直线CH的表达式为：由题意得：解得x＝0或当时，∴点满足条件的P点的坐标有P1（2，﹣3），．6．解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移4个单位，再向下平移2个单位2﹣2∵OA＝1∴点A的坐标为（﹣1，3），4a﹣2＝2∴∴抛物线的解析式为，即．令y＝0，则解得：x1＝﹣5，x2＝3∴B（5，0）；∴AB＝OA+OB＝4∵△ABD的面积为4∴∴∴解得：x1＝﹣2，x8＝4∴．设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有解得：∴直线AD的解析式为．（2）如图，过点E作EM∥y轴交AD于M设，则∴∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝＝．∴当此时E点坐标为．（3）如图，H是OF的中点上运动∴∠OQF＝∠OMH∴∴当OM取得最小值时，sin∠OQF的值最大∵MO＝MQ∴当MQ取得最小值时，sin∠OQF的值最大∵当MQ垂直直线时，MQ取得最小值∴此时M、Q在二次函数的对称轴直线x＝7上∴根据对称性，存在故：或．7．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，与y轴交于点C（4∴解得∴抛物线的解析式为．答：抛物线的解析式为．（2）①设P（x，），如图∴∠PEC＝∠CED＝90°∵C（0，﹣2）∴OC＝4∵PD⊥x轴∴∠PDO＝90°∵∠DOC＝90°∴四边形DOCE是矩形∴DE＝OC＝4，OD＝CE＝﹣x∴＝∵∴∴（舍去）∴＝∴P（﹣．②设P（m，）对于，当y＝4时，解得x1＝7，x2＝﹣3∴B（﹣5，0）∵OC＝4∴当点P在第三象限时，如图则四边形DEFO是矩形∴EF＝OD＝﹣m∵点E与点E′关于PC对称∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′∵PE∥y轴∴∠EPC＝∠PCE′∴PE＝CE∴PE＝CE′∴四边形PECE′是菱形∵EF∥OA∴△CEF∽△CBO∴∴∴设直线BC的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2∴∴＝∵，PE＝CE∴解得（舍去）∴∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝4×＝当点P在第二象限时，如图同理可得解得（舍去）∴∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝3×＝综上，四边形PECE′的周长为或．8．（1）解：∵直线y＝﹣x+8交y轴于点D 当x＝0时，y＝2∴D（4，2）当y＝0时，x＝5∴E（6，0）∵直线y＝﹣x+2交抛物线于B∴﹣x7+3x+1＝﹣x+2∴7x2﹣10x+3＝8解得∵点B在点C的左侧∴点C的横坐标为6，当x＝3时∴C（3，3）答：C（3，1），8），0）．（2）如图①证明：∵抛物线y＝﹣x2+5x+1交y轴于点A 当x＝0时，y＝4∴A（0，1）∴OA＝6在Rt△AOF中，∠AOF＝90°∴AF2＝OA2+OF3设F（m，0）∴OF＝m∴AF2＝5+m2∵E（6，2）∴OE＝6∴EF＝OE﹣OF＝6﹣m∵AF5+EF2＝21∴1+m8+（6﹣m）2＝21∴m2＝2，m2＝7∵OF＜EF∴m＝2∴OF＝2∴F（4，0）∵D（0，4）∴OD＝2∴OD＝OF∴△DOF是等腰直角三角形∴∠OFD＝45°过点C作CG⊥x轴于G∵C（3，6）∴CG＝1，OG＝3∵GF＝OG﹣OF＝3∴CG＝GF∴△CGF是等腰直角三角形∴∠GFC＝45°∴∠DFC＝90°∴△DFC是直角三角形．②解：∵FK平分∠DFC，∠DFC＝90°∴∠DEK＝∠CFK＝45°∴∠OFK＝∠OFD+∠DFK＝90°∴FK∥y轴∵3tan∠PFK＝1∴设点P的坐标为（t，﹣t2+5t+1），根据题意得．（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，．过点P1作P6H⊥x轴于H∴P1H∥KF∴∠HP1F＝∠P8FK∴∵HF＝OF﹣OH∴HF＝2﹣t在Rt△P1HF中，∵∴P1H＝3HF∵∴﹣t2+3t+6＝3（2﹣t）∴t3﹣6t+5＝3∴t1＝1，t5＝5（舍去）当t＝1时，﹣t7+3t+1＝2∴P1（1，7）．（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，过点P7作P2M⊥x轴于M∴P2M∥KF∴∠MP8F＝∠P2FK∴∴P3M＝3MF∵∴﹣t7+3t+1＝6（t﹣2）∴（舍去）当t＝时，∴．∴点P的坐标为（3，3）或（）．9．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（7，0），0）解得：∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+2；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+2，当x＝0时∴C（0，3）∵△P AC的周长等于P A+PC+AC，AC为定长∴当P A+PC的值最小时，△P AC的周长最小∵A，B关于抛物线的对称轴对称∴P A+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，P A+PC的值最小，此时点P为直线BC与对称轴的交点设直线BC的解析式为：y＝mx+n则：解得：∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4当时，∴∵A（1，8），4）∴P A＝＝，PC＝＝∴；（3）存在∵D为OC的中点∴D（5，2）∴OD＝2∵B（3，0）∴OB＝4在Rt△BOD中，∴∠QDB＝∠OBD；①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，此时Q点纵坐标为2设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：∴Q（，2）或（；②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E则：DE＝BE设E（p，0）2＝OE4+OD2＝p2+7，BE2＝（4﹣p）6∴p2+4＝（6﹣p）2解得：∴设DE的解析式为：y＝kx+q则：解得：∴联立解得：或∴Q（3，﹣2）或；综上所述，或（，﹣2）或．10．解：（1）∵A（﹣，0）∴OA＝∵tan∠ACO＝∴OC＝4∴C（0，3）将A，C的坐标代入y＝ax3+x+c得，∴∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；（2）令y＝4，则y＝﹣x3+x+3＝0解得x＝﹣或x＝3∴B（8，0）∴OC＝6，OB＝3∴tan∠OBC＝＝∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°；如图1，作点C关于x轴的对称点C′，C′H与x轴的交点即为所求点P∴PH＝PB∴CP+PB＝CP+PH＝C′P+PH＝C′H∵OC＝OC′＝3∴CC′＝6∴C′H＝6；连接CP∴C′P＝CP，∠PCC′＝∠PC′C＝30°∴OP＝综上，当P（，CP+；（3）如图2，过点D作DG⊥x轴于点G，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K ∴△DEF∽△AEK∴＝∵C（0，3），0）∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；设点D的横坐标为t∴D（t，﹣t2+t+3）∴F（t，﹣t+3），4）∴AF＝4，DF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t2+t；∴＝＝﹣t2+t＝﹣）2+∴当t＝时，的最大值为．11．解：（1）将A（﹣1，﹣5），﹣3）代入y1＝kx+m ∴解得∴y＝x﹣5令y＝0，则x＝4∴C（6，0）将A（﹣1，﹣2），0）代入y2＝ax2+bx+4∴解得∴y＝﹣2x2+7x+7；（2）过点O作OH⊥AC交于H∵B（0，﹣4），2）∴∠OCB＝45°∵OC＝4∴OH＝CH＝2∵AC＝5∴AH＝8∴AO＝∴sin∠AOB＝＝；（3）存在点D，使得△BCD与△OAB相似∵D点在C点右侧∴∠BCD＝135°∵∠ABO＝135°∴∠CBD＝∠OAB或∠CDB＝∠OAB当∠OAB＝∠CBD时，△OAB∽△DBC∴＝∵OB＝4，BC＝2∴CD＝16∴D（20，6）；当∠OAB＝∠BCD时，△OAB∽△BDC∴＝∴CD＝2∴D（6，6）；综上所述：D点坐标为（20，0）或（6．12．解：（1）∵边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上∴点C坐标为（0，8），0）根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+6将点A（﹣4，0）代入可得16a+3＝0解得a＝﹣∴此抛物线关系式为：y＝﹣x3+4；（2）①当点P与点A重合时，PQ+PE＝AQ＝当点P与点C重合时，PQ+PE＝CQ+CO＝2+4＝5故答案为：2；②对于A，C间的任意一点P理由如下：过点P作PD⊥y轴于点D设点P的坐标为（m，﹣m7+4）∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点∴PD＝﹣m，QD＝|﹣m2+4﹣4|∴PQ＝＝m2+1∴PQ+PE＝m2+6+（﹣m3+4）＝5；（3）由（2）得PQ+PE＝6设点P的坐标为（x，y）∴PE＝y，PQ＝5﹣y∵∠FPQ为锐角，则y＜3∴QD＝8﹣y∵cos∠FPQ＝而∠FPQ＝∠DQP∴＝解得：y＝1把y＝1代入抛物线解析式得y＝﹣x2+5＝1解得x＝±2∵点P在AC段上∴x＝﹣2∴点P坐标为（﹣6，1）．13．解（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵二次函数y＝﹣x3+2x+3＝﹣（x﹣6）2+4∴C（7，4），3）把y＝3代入y＝﹣x2+2x+8解得：x1＝﹣1，x7＝3∴D（﹣1，5），0）过点C作CE⊥y轴，垂足为点E则BE＝4﹣3＝1，CE＝1∴BC＝，∠EBC＝∠ECB＝45°又∵OB＝OA＝3∴AB＝3，∠OBA＝∠OAB＝45°∴∠CBA＝180°﹣45°﹣45°＝90°又∵BC＝，AB＝3∴tan∠BAC＝＝；（3）存在，P（6，（0，﹣）当点P在原点时，∠BPD＝90°，∴，∠BPD＝∠ABC则△BPD∽△ABC；在Rt△ABC中，BC＝∴AC＝2在Rt△BOD中，OD＝1∴BD＝当PD⊥BD时，设点P的坐标为（0若△BDP∽△ABC，则，即＝解得y＝﹣∴点P的坐标为（0，﹣）∴当P的坐标为（0，0）或（3，﹣，以P、B．14．解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x6﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）①由点A、C的坐标得设点P（x，﹣x+3），﹣x2+2x+6）则PQ＝（﹣x2+2x+5）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x则矩形PQMN的周长＝2（PQ+PN）＝2（﹣x6+3x+x）＝﹣2（x8﹣4x）∵﹣2＜7，故矩形PQMN的周长有最大值即点P（2，1）；②由①知，点P的坐标为（7，则NP＝2当x＝2时，PQ＝﹣x2+3x＝2故PQ＝PQ＝5＝PN故矩形PQMN为正方形，如图连接AQ、AN，设CP交AQ于点M由正方形轴对称性知，AQ＝AN∵∠TAQ＝3∠P AN∴∠TAN＝∠P AN设AT交y轴于点H，即∠HAN＝∠P AN在等腰Rt△MNP中，PN＝2由点P、A的坐标得则tan∠P AN＝＝＝＝tan∠NAH过点H作HK⊥AN于点K在Rt△ONA中，tan∠ONA＝设HK＝3t，则NK＝t在Rt△AHK中，tan∠NAH＝则AK＝6t则AN＝NK+AK＝t+6t＝＝则t＝则HN＝t＝则OH＝HN﹣ON＝﹣1＝则tan∠TAO＝＝＝．15．解：（1）∵圆心A在x轴上，⊙A经过点O且与QP相切于点P ∴PQ⊥x轴，OP为直径∵tan∠POC＝1，∴PQ＝OP∵在Rt△OPQ中，．∴OP＝18．∴⊙A的半径为9；（2）如图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，连接AP∵PQ是⊙A的切线∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°∵AM⊥x轴，QB⊥x轴∴∠AMP＝∠PBC＝90°∴∠P AM＝90°﹣∠APM＝∠QPB∴△APM∽△PBQ∴∵tan∠POC＝1，QB＝18∴OB＝QB＝18∵AM＝2，设MP＝MO＝x∴PB＝18﹣2x∴解得x＝3或x＝6∴MO＝3或MO＝x∴A（3，3）或A（6∴AP＝＝或AP＝．∴半径为或2．（3）∵OP＜10∴BO＝3，P（8∴A（3，2）∵tan∠POC＝6，设D（a∵∴（3﹣a）2+（7﹣a）2＝13解得：a＝0或a＝5∴D（5，5）设抛物线解析式为y＝ax7+bx将点P（6，0），2）代入得，解得：∴y＝﹣x2+6x∵点F可能在点O的左边或点P的右边，则|K FM|＝设直线MF：或联立，得或当或解得：或∴直线MF：或令y＝0，解得：或∴或．。
九下三角函数、二次函数综合练习(精选)
雕庄中学九年级综合练习卷（三角函数、二次函数）班级_________姓名___________命题：刁正久一、填空：1、在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB= 。
2、计算：tan 245°－1＝ 。
3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于D ，E 两点，连接CD 。
如果AD=1，那么tan ∠BCD=__________。
4、如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米。
已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为________米。
5.不论x 取何值，函数y =x 2-2x +a 的函数值永远大于零，则a 的取值范围是 . 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，则tan A = ,cosB= . 7、利用计算器求值（保留4位有效数字）：cos75°12′= ； cot44°13′8、在锐角△ABC 中，∠A ＝75°,sin C ＝2＝9、在Rt △ABC 中，∠C =90°,直角边AC 的长是斜边AB 长的31，则cos B 的值等于 .10、已知sinC=0。
65，则锐角C= （精确到分） 11、如图，在高2米，坡角为30少需 米。
（精确到0.1米）12、已知抛物线342++=x x y ，请回答以下问题：它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；⑵ 图象与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 ；（3）当x__________时，y 的值随着x 的值增大而增大；当x_________时，y 的值随着x 的值增大而减小。
13、一条抛物线的对称轴是ｘ＝１且与ｘ轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的表达式是 （任写一个）14、抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线y=6x 2向 平移1个单位得到．再向 平移个单位得到的。
2024年数学九年级下册三角函数基础练习题(含答案)
2024年数学九年级下册三角函数基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知sinA = 0.6，cosA = 0.8，那么tanA的值为（）A. 0.75B. 0.75C. 0.75D. 0.752. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若sinB = 3/5，则cosA 的值为（）A. 4/5B. 3/4C. 4/3D. 3/43. 若0°＜θ＜90°，且cosθ = 4/5，则sin(90° θ)的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/34. 已知tanα = 1，则sinα和cosα的值分别为（）A. 1, 1B. 1, 0C. 1, 1D. 1, 05. 在直角坐标系中，点P(3, 4)位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 若sinθ = 0.5，则θ的终边可能位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 已知sinα = √3/2，且α为锐角，则cosα的值为（）A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. 1/28. 若0°＜θ＜180°，且cosθ = 1/2，则sinθ的值为（）A. √3/2B. √3/2C. 1/2D. 1/29. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为1/2，则这个锐角的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°A. sinAB. cosAC. tan(90° A)D. cotA二、判断题：1. 若一个角的正弦值等于它的余弦值，则这个角为45°。
（）2. 在直角三角形中，锐角的正弦值随着角度的增大而增大。
（）3. 若sinA = 0，则A为90°。
（）4. 对于任意锐角α，sinα和cosα的值都在0到1之间。
（）5. 在直角坐标系中，第二象限的点的横坐标为正，纵坐标为负。
二次函数、三角函数、相似三角形专题训练
二次函数、三角函数、相似三角形专题训练一、二次函数定义、图象和性质1、,_______,,_____,.222时当它的图象开口向上时当数已知函x m mx y m ==+y 随x 增大而增大.3．将抛物线y=3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线解析式为_________.4．若抛物线y=x 2-2x-4与y 轴交于A ，与x 轴交于B 、C 两点，则S ΔABC =__________.5.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 6.二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-27．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）8．要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2必须（ ）A 向左平移1个单位，再向上平移3个单位.B 向左平移1个单位，再向下平移3个单位.C 向右平移1个单位，再向上平移3个单位.D 向右平移1个单位，再向下平移3个单位.9.已知函数 。
（1）m 取什么值时，此函数是二次函数？（2）m 取什么值时，此函数一次是函数？（3） m 取什么值时，此函数是正比例函数？2x ._____1)1(2=-++=-m mx x m y m m 是二次函数，则函数1)2()1(22+--+-=-m x m x m y mm10.已知一个二次函数图像的顶点在y 轴上，并且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该二次函数解析式。
11.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若△ABC 是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？12.一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面高 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)
二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。
初三数学二次函数和锐角三角函数习题训练
(1)求b和c的值； (2〕试判断点P〔－1，2〕是否在此函数图像上？23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米.（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.24、某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384•件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，•由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．〔1〕如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；〔2〕增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？25、如图，有一个抛物线的拱形立交桥，•这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它放在如下列图的直角坐标系里，•假设要在离跨度中心点M5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？2经过点A(1，0)，与y轴交于点B.24、如图，抛物线n-=5y++xx⑴求抛物线的解析式；⑵P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标.〔〕A ．150 B ．375 C ．9 D ．7 8．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2sin 3A =，那么边AC 的长是〔 〕 A ．5B ．3C ．43D ．13 9．如图，两条宽度均为40m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共局部(图中阴影局部)的路面面积是〔 〕 A.αsin 1600(m 2) B.αcos 1600(m 2) C.1600sin α(m 2) D.1600cos α(m 2) 10.如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，假设tan ∠BCD ＝31，那么tanA ＝〔 〕A.1B. 31C.23D.32α第4题图CDBA〔第9题〕 〔第10题〕二、填空题11．α为锐角,sin(α-090)=0.625,那么cos α=___ 。
九年级数学,二次函数,三角函数练习,
初中数学组卷一．选择题（共20小题）1．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒．A．20（+1） B．20（﹣1）C．200 D．3004．如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．5．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤166．如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=（0＜k＜2）的图象=2S△BEF，则k值为（）分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEFA．B．1 C．D．7．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞09．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．110．如图1是手机放在手机支架上，其侧面示意图如图2所示，AB，CD是长度不变的活动片，一端A固定在0A上，另一端B可在0C上变动位置，若将AB变到AB′的位置，则0C旋转一定角度到达0C′的位置．已知0A=8cm，AB⊥0C，∠B0A=60°，sin∠B′A0=，则点B′到0A的距离为（）A．cm B．cm C．cm D．cm11．如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm212．如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）A．200cm2B．600cm2C．100πcm2D．200πcm213．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜1），其中y随x的增大而减小的函数是（）A．①②③④B．②③④C．②④D．②③14．在函数的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列正确的是（）A．y1＜0＜y2＜y3B．y2＜y3＜0＜y1C．y2＜y3＜y1＜0 D．0＜y2＜y1＜y3 15．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的16．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y317．重庆市南岸区协信星光时代广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，协信星光时代广场从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度（或坡比）i=1：2，AC=6米，BE是二楼楼顶，EF∥MN，点B在EF上且在自动扶梯顶端C的正上方，若BC⊥EF，在自动扶梯底端A处测得B点仰角为40°，二楼的层高BC约为（精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（）A．3.6米B．4.9米C．4.1米D．5.2米18．某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是（）A．南偏东25°，50千米B．北偏西25°，50千米C．南偏东70°，100千米D．北偏西20°，100千米19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B（1，3），连接BO，下面三个结=1.5，；②点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1论：①S△AOB＞x2，则y1＜y2；③不等式x+2＜的解集是0＜x＜1．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个20．已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x ≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3二．填空题（共4小题）21．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=．22．如图，已知二次函数y=﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是．23．如图，抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上的M处，则平移后抛物线的解析式为．24．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．三．解答题（共5小题）25．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．26．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆．测量人员在山脚A 点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C 地比A地高200m，电缆BC至少长多少米（精确到1m）？27．在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°（∠MON=30°），站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树的高度．28．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？29．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
初三上学期期中数学复习题(三角函数与二次函数)
15．如图，某校九年级 3 班的数学学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚 点 A 测得山腰上一点 D 的仰角为 30°，并测得 AD 的长度为 180 米；另一部分同学在山顶点 B 测得山脚点 A 的俯角为 45°，山腰点 D 的俯角为 60°．请你帮助他们计算出小山的高度 BC 为？米．（计算过程和结果都不取近似值）
北师版初三上期中数学复习题 1、已知 600 , 则 sin （） A、
1 2
B、
3 2
C、 3
D、
2 2
2、二次函数 y=-2x2+4x+3 的对称轴方程为（ ） A．直线 x=2 B．直线 x=-2 C．直线 x=1 D．直线 x=-1 2 3．直角坐标平面内将二次函数 y=-2（x-1） -1 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单 位，则其顶点为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 2 11．若抛物线 y=x -2x-3 与 x 轴分别交于 A，B 两点，则 AB 的长为
。
13．抛物线 y=8x -（m-1）x+m-7 的顶点在 x 轴上，则 m 的值等于
。
14．小红、小明、小芳在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪刀、 布、锤子”的方式确定，则在一回合中三个人都出“剪刀”的概率是 。
21．如图，直线 y=x+m 和抛物线 y=x +bx+c 都经过点 A（1，0） ，B（3，2） ． （1）求 m 的值和抛物线的解析式； 2 （2）求不等式 x +bx+c＞x+m 的解集． （直接写出答案）
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三角函数问题1.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。
2.如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为030，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为060，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）3.大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60º，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30º，求塔BC的高度。
DB三角函数问题1.一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？2.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）AD 45°30°3.如图，在斜坡AB 上有一棵树BD ，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C 点处测得树顶部D 的仰角为60°，测得坡角∠BAE ＝30°，AB ＝6米，AC ＝4米．求树高BD 的长是多少米？(结果保留根号)4.某风景区内有一古塔AB ，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ；而当光线与地面的夹角是45°时，塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 有15米的距离（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度（结果保留根号）．图5B80°CA25°20°5.如图5，客轮在海上以30 km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80°，测得C 处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20°，则C 到A 的距离是（ ）A.615kmB.215kmC.)26(15+kmD.)236(5+km二次函数1、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系 2、已知函数 y ＝(m ＋2) 22-mx 是二次函数，则 m 等于（ ）A 、±2B 、2C 、－2D 、±3、函数 y ＝2 (x －1)2 图象的开口，对称轴为 ，顶点坐标为 。
4、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。
5、函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝ 。
6、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
7、函数 y ＝ (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
8、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ 。
9、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
。
10、如图，根据图像写出二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 与0的大小关系。
2127.抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 8.将抛物线向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____． 9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线(a ≠0)上的两点．当时，，则a 的取值范围是________．10.抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线. 11.抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．23y x =-2y x =-2y ax =210x x <<21y y <2172y x =-+2132y x =--2y ax c =+23y x =平移二次函数的平移规律：2(0)y ax bx c a =++≠的图像可以由2y ax =的图像平移得到，其步骤是：① 先将2y ax bx c =++配方为2()y a x h k =-+的形式。
② 根据“上加下减（ ）外，左加右减（内）”的原则；2()y a x h k =-+向上平移t 个单位→2()y a x h k t =-++ 2()y a x h k =-+向下平移t 个单位→2()y a x h k t =-+- 2()y a x h k =-+向左平移t 个单位→2()y a x h t k =-++ 2()y a x h k =-+向右平移t 个单位→2()y a x h t k =--+例1.①将抛物线22(1)3y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为___________. ②将抛物线215322y x x =++向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为___________________.③(2009年鄂州)把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235,y x x =-+则a b c ++=__________.④将23y x =向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是______. 例2.①把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A.23(3)2y x =+- B.23(3)2y x =++ C.23(3)2y x =-- D.23(3)2y x =-+ ③（2008泰州市）二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得 到，下列平移正确的是 ( )A 、先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B 、先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C 、先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D 、先向右平移2个单位，再向下平移1个单位ABC 符号问题完成下表：二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系20()y ax bx c a =++≠yxO yxO B ．C ．yxO A ．y xO D ．①（云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可 能为 （ ）②（2009湖北省荆门市）函数1y ax =+与21(0)y ax bx a =++≠的图象可能是 （ ）③（2009烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为 （ ）A B C D1111xo yyo x yo xxoy-1O x y 第3题O xy Ox y Oxy O xyA B C DOy x1-1A xyO 1-1B xy O1-1xyO1-1④（2009年嘉兴市）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）方法： a(开口方向，上正下负)b 左同右异 （对称轴在Y 轴左，a,b 同号；反之则异号）c （Y 轴交点，正半轴正，负半轴负，原点为0）a+b+c （当X=1，Y 的函数值） 同理a-b+c(X=-1) 4a+2b+c(X=2) 24b ac -(X 轴交点，两个正，一个等，没有负) 例3：①（天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；②b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个③（南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是 （ ）． A.②④B.①④C.②③D.①③0≠a ax y =2ax y =4. 2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ） A.4个 B ．3个 C.2个 D.1个7.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图．则下列5个代数式,,42,2,2ac a b c a b c a b a b ++-++-中，其值大于0的个数为（ ）A ．2 B.3 C. 4 D. 5例4. ①（2007广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3②函数21(0)y ax bx a =+-≠的图像如图2所示，那么关于x 的方程240ax bx +-=的根的情况是( )A 有两个不相等的实数根B 有两个异号的实数根C 有两个相等的实数根D 没有实数根③（吉林长春市）二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A 3<kB 03≠<k k 且C 3≤kD 03≠≤k k 且xy1 03xy图23、已知函数2+(0)y ax bx c a =+≠图象如图3所示，则下列结论中正确的有 （ ） ①0abc < ②a c b +< ③0a b c ++> ④23c b < A. １个 B.２ 个 C. ３个 D.４个4、如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息： （1）0a <；（2） 0bc >；（3）4-2+<0a b c ；（4）5+<0a c ；（5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个求二次函数解析式的方法类型一、根据一般式、顶点式、交点式用待定系数法求二次函数解析式1、（一般式）已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.变式：已知抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．2、（顶点式）已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.1211O1xy （第4题）变式：在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.3、（交点式）已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A ，B （1，0），且经过点C （2，8）.（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.变式：已知一抛物线与x 轴的交点是A （8,0），B （-1，0），且经过点C （1，-14），求该抛物线的解析式.4、（普通两点）一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式.类型二、根据图象找出已知点，再用待定系数法解题例1、已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如下图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.例2、已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．面积问题例1、如图所示，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．变式：如图，顶点为D 的抛物线y=x 2+bx-3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连结BC ，已知△BOC 是等腰三角形． （1）求抛物线y=x 2+bx-3的解析式； （2）求四边形ACDB 的面积．如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.变式：已知：抛物线的对称轴为直线x=—1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（—3,0），C（0，—2）．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC△的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，PDE△的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．。