高考文科数学常考题型训练平面向量
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
第13讲 平面向量十大题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型
第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】 非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。
文科平面向量专题
平面向量专题复习一题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1.设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP += ，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=2.已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________. 3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF = _________4、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的 中点,则AE BD ⋅= ________.5、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60 ,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,则t =_____ 2; 题型二： 平面向量基本定理1、在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD = _________2、 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE = , 则AB 的长为______.123、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=23 ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD = ______________ 4455a b - 题型三: 平面向量的坐标表示与运算1、已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 值为________2、已知向量(1sin )a θ= ，，(13cos )b θ= ，，则a b - 的最大值为_______ 3、设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______24、已知向量(1,0)a = ，()11b = ，，则 （Ⅰ）与2a b + 同向的单位向量的坐标表示为____________；31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）向量3b a - 与向量a 夹角的余弦值为____________。
平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案
平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。
2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。
3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______； 答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=， 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα2,a b =则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确. 6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。
2024全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用章节综合
2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。
高考数学文科试题汇编平面向量
高考数学文科试题汇编平面向量数学F元素平面向量f1平面向量的概念及其线性运算10.F1[2022年福建卷]设m为平行四边形ABCD对角线的交点，且→ + ob→ + OC→ + OD→ o是平行四边形ABCD平面上的任意点，那么OA等于（）→b．2om→a.om→d、4om→c、 3om10．d[解析]如图所示，因为m为平行四边形abcd对角线→＝－mc→，mb→＝－md→.的交点，所以m是ac与bd的中点，即ma→＋oc→＝（嗯→＋文科硕士→)＋（嗯→＋司仪→)＝20公分→. 在里面△ OAC，OA→＋od→＝(om→＋mb→)＋(om→＋md→)＝2om→，在△obd中，ob→ + OC→ + ob→ + OD→ = 4om→, 所以12．f1[2021江西卷]已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα1＝3. 如果向量a=3e1-2e2，那么| a |=____12．3[解析]因为|a|2＝9|e1|2－12e1e2＋4|e2|2＝9×1－一12×1×1×3＋4×1＝9，所以|a|＝3.5.F1和A2【辽宁卷2022】设a、B和C为非零向量，已知命题p：如果AB=0，BC=0，则AC=0；命题q：如果a‖B，B‖C，那么a‖C。
那么以下命题中的真命题是（）a．p∨qb．p∧qc、（p）∧（q）民主党∨（q）5．a[解析]由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q一个正确的命题6．f1[2021全国新课标卷ⅰ]设d，e，f分别为△abc的三边→＋fc→＝()bc，ca，ab的中点，则eb1.→→a、亚行。
2ad1→→c、 2bcd。
公元前116．a[解析]eb＋fc＝ec＋cb＋fb＋bc＝2ac＋2ab＝ad.14．f1、f2[2021四川卷]平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈r)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．acbc14．2[解析]c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，|a||c||b||c|（1,2）（M+4,2m+2）（4,2）（M+4,2m+2）即=即5m2221+24+28m＋20+8=2，解为m=2f2平面向量基本定理及向量坐标运算3.F2[北京卷2022]如果向量a=（2,4），B=（-1,1），那么2a-B=（）a．(5，7)b．(5，9)c．(3，7)d．(3，9)3.A[分析]2a-b=2（2,4）-（1,1）=（5,7）3．f2[2021广东卷]已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝()a、（-2,1）b.（2,1）c．(2，0)d．(4，3)3.B[分析]B-A=（3,1）-（1,2）=（2,1）。
高考文科数学专项练习-平面向量
CB专题06 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + A 【解析】通解 如图所示，11111()()22222=+=+=⨯++-EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 优解 111()222=-=-=-⨯+EB AB AE AB AD AB AB AC3144=-AB AC ．故选A ． 2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0B 【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B3．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =，2CN NA =，则·BC OM 的值为NMOCBAA ．15-B ．9-C ．6-D ．0C 【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3||BA MA =． 由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3||CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==，连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =，∴33()BC MN ON OM ==-，23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ． 4．设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则A ．⊥a bB ．||||=a bC ．∥a bD ．||||>a bA 【解析】由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ． 5．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．6．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为A ．85-B ．81 C ．41 D ．811B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.7．已知向量1(,22BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A【解析】由题意得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC +⋅∠===⨯⋅，所以30ABC ∠=，故选A ．8．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1B1C ．2D．2A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．9．如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3IC 【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD∠与BOC∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >，∴312I I I <<，选C ．10．已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =,PM MC =，则2||BM 的最大值是 A ．443 B ．449C ．43637+D ．433237+B 【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则((0,3)B C A ，则点P 的轨迹方程为22(3)1x y +-=．设(,)P x y ，00(,)M x y ，则02x x =，02y y =，代入圆的方程得220031(()24x y -+-=，所以点M 的轨迹方程为2231(()24x y -+-=，它表示以3,)22为圆心，以12为半径的圆，所以max 17||22BM ==，所以2max49||4BM =． 11．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒ=-，()2,1ΑD =，则ΑD ΑC ⋅= A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 A 【解析】由(3,1)AC AB AD =+=-，得(2,1)(3,1)5AD AC ⋅=⋅-=．12．已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9B 【解析】由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++==，已知B 为(1,0)-时，4PB+取得最大值7，故选B ．13．已知向量(1,2),(,1)a b m ==-，且()a a b ⊥+，则m =（ ） A ．-1 B ．-2 C ．- 3 D ．-4 【答案】C 【解析】(1,1)a b m +=+，因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=，解得3m =-.故选： C14．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．45 C ．35 D ．45-【答案】B 【解析】由()()2,1,2,4a b ==，得5,25a b ==.设向量a 与b 的夹角为θ，则84105cos θ===．故选：B ．15．若向量(4,2)a =，(6,)b k =，若//a b ，则(k = ) A ．12- B ．12C ．3-D ．3【答案】D 【解析】解：根据题意，向量(4,2)a =，(6,)b k =，若//a b ，则有426k ⨯=⨯， 解得3k =；故选：D ．16．已知()1,2a =，()1,0b =，则2a b +=（ ）A ．5B ．7C ．5D ．25【答案】C 【解析】()()()221,21,03,4a b +=+=，因此，222345a b +=+=.故选：C.二、填空题17．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+ca b ，则λ=_．12【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ， 18．(2018北京)设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_______．1-【解析】依题意m -a b =(1,)m m +-，根据向量垂直的充要条件可得1(1)0()0m m ⨯++⨯-=，所以1m =-．所以124λ⨯=，即12λ=． 19．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m =__．7【解析】∵(1,3)m +=-a b ，∴()=0+⋅a b a 所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 20．已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m = ． 2【解析】由题意0⋅=a b ，所以2330m -⨯+⨯=，即2m =．21．在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =，AE AC AB λ=-（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=，1233AD AB AC =+,则12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-，311λ=．22．已知向量(2,6)=a ，(1,)λ=-b ，若a ∥b ，则λ= ．3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-23．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45。
高考数学分类练习 F单元 平面向量(文科) Word版含答案
数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算7．F1、F3 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B 如图所示，AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.13．F1、F3 如图13，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．图1313.78 设BD →＝a ，DF →＝b ，则由题意得BA →＝a ＋3b ，CA →＝－a ＋3b ，BF →＝a ＋b ，CF →＝－a ＋b ，BE →＝a ＋2b ，CE →＝－a ＋2b ，所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4，BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1， 解得b 2＝58，a 2＝138，于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算13．F2 已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a∥b ，则m ＝________． 13．－6 因为a∥b ，所以－2m －4×3＝0，解得m ＝－6. F3 平面向量的数量积及应用7．F1、F3 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B 如图所示，AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.12．C4，F3 如图11，已知点O (0，0)，A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则OP →·BA →的取值范围是________．图1112． 由题意，设P (cos α，sin α)，α∈，则OP →＝(cos α，sin α)．又BA →＝(1，1)，所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈．13．F3 已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．13．－5 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，且a ⊥(t a ＋b )，∴a ·(t a ＋b )＝0，即2t＋10＝0，解得t ＝－5.15．F3 已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2，a·b ＝1.若e 为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．15.7 由|a|＝1，|b|＝2，得a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝2cos 〈a ，b 〉＝1，得cos 〈a ，b 〉＝12，则〈a ，b 〉＝π3.不妨设a ＝(1，0)，e ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(1，3)，则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|.当θ为锐角时，才能取得最大值，此时|a·e|＋|b·e|＝2cos θ＋3sin θ＝7sin(θ＋φ)≤7，故|a·e|＋|b·e|的最大值是7.13．F1、F3 如图13，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．图1313.78 设BD →＝a ，DF →＝b ，则由题意得BA →＝a ＋3b ，CA →＝－a ＋3b ，BF →＝a ＋b ，CF →＝－a ＋b ，BE →＝a ＋2b ，CE →＝－a ＋2b ，所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4，BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1， 解得b 2＝58，a 2＝138，于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.9．F3 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 9.π6根据题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a ·b ＝3＋3＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ ＝a ·b |a |·|b |＝232×2＝32，因为θ∈，所以θ＝π6.13．F3 设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a⊥b ，则x ＝________． 13．－23 由题意，a·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，∴x ＝－23.F4 单元综合9．F4 已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634 D.37＋23349．B 方法一：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，则B ，C 两点的坐标分别为(3，－3)，(3，3)．由|AP →|＝1，设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，CO →＝λ()AB →＋AD →，则实数λ＝( )A. －12B. 12C. －2D. 21. A 根据向量平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2OC →，因为CO →＝λ()AB →＋AD →，所以λ＝－12.1. 如图K221所示， 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )图K221A. 12B. －12C. 1D. －1 1. A 因为E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋()DE →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB →＋AC →，又AE →＝λAB →＋μAC →，所以μ＝1，λ＝－12，故λ＋μ的值为12.15. 如图K231所示，已知等边三角形ABC 的边长为2，若BC →＝3BE →，AD →＝DC →，则BD →·AE →＝________．图K23115. －2 ∵AD →＝DC →，∴D 为AC 的中点，即AD →＝12AC →，∴BD →＝BA →＋12AC →.∵BC →＝3BE →，∴AE →＝AB →＋13BC →，∴BD →·AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫BA →＋12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝BA →·AB →＋13BC →·BA →＋12AC →·AB →＋16AC →·BC →＝－4＋13×4×cos 60°＋12×4×cos 60°＋16×4×cos 60°＝－2.。
(word版)(文科)平面向量测试题高考经典试题附详细答案
平面向量专题rrr r1．向量a (5,6)，b (6,5)，那么a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向2、向量a(1，n)，b (1，n)，假设2ab 与b 垂直，那么a〔〕A ．1B ．2C ．2D ．4rr rr rr rr rr 3、假设向量a,b 满足|a||b| 1，a,b 的夹角为 60°，那么aa ab=______；4、在直角 ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，那么以下等式不成立的是 （ uuur （A 〕AC（ uuur（ C 〕AB22uuuruuurAC ABuuuruuurACCDuuur 2 uuuruuur 〔B 〕BC BABCuuur 2 uuur uuu r uuur uuu r(AC AB) (BA BC)〔D 〕CDuuur 2AB5、在?ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD =2DB ，CD =1CACB ,那么=3 211(D)-2(A)(B)(C)-33336、设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，假设 FAFBFC =0，那么|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B) 6(C)4(D)3uuur uuuruuu r 1 uuur uuur7、在△ABC 中，D 是AB 边上一点，假设AD ， CA CB，那么 〔〕2DBCD 32 1 C ．1 2A ．B ．3D ．3338、O 是△ABC 所在平面内一点，uuu r uuur uuur0，那么〔D 为BC 边中点，且2OA OB OC 〕uuur uuuruuu ruuur uuur uuuruuur uuurＡ．AO ODＢ．AO2OD Ｃ．AO 3OD Ｄ．2AO OD9、设a ，b 是非零向量，假设函数f(x) (xab)g(axb)的图象是一条直线，那么必有〔〕A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a||b|D ．|a||b|10、假设O 、E 、F 是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是uuu r uuu r uuu rB.uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A ．EF OF OEEF OF OEC.EFOF OE D.11、设a=(4,3),a 在b 上的投影为5 2,b 在x 轴上的投影为 2,且|b|＜1,那么b为2A.(2,14)B.(2,-22D.(2,8))7uuur uuur uuurEF OF OE112、平面向量a(11)，，b(1，1)，那么向量1a 3b〔〕22Ａ．(2，1)Ｂ．(2，1)Ｃ．(1，0)Ｄ．(1，2)uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur13、向量OA(4,6),OB(3,5),且OC OA,AC//OB,那么向量OC等于〔A〕3,2〔B〕2,4〔C〕3,2〔D〕2,4777217772114、假设向量a与b不共线，agb0，且c=a-aga b，那么向量a与c的夹角为〔〕agbA．0πC．ππB．3D．62uuuruuur uuur15、设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)O为坐标原点，假设为坐标平面上三点，OA与OB在OC方向上的投影相同，那么a与b满足的关系式为〔〕〔A〕4a5b3〔B〕5a4b3〔C〕4a5b14〔D〕5a4b14uuur r uuur r uuur r16、在四面体O-ABC中，OA a,OB b,OC c,D为BC的中点，E为AD的中点，那么OE=〔用a，b，c表示〕17、向量a=2，4，b=11，．假设向量b(a+b)，那么实数的值是．r r60，r r，那么rr r，的夹角为a b1aga b．18、假设向量ab19、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，假设uuur uuuur uuur uuurn的值为AB mAM，AC nAN，那么m．ANB O CM20、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点uuuruuur分别为O(0，0)，B(11)，，那么ABgAC．2平面向量专题rrrr1．向量a(5,6)，b(6,5)，那么a 与b．垂直解．向量B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向r r rrrra (5,6)，b(6,5)，ab 30300，那么a 与b 垂直，选A 。
高考数学专题：平面向量练习试题、答案
高考数学专题：平面向量练习试题 1．已知(3,4)a =，(8,6)b =-，则向量a 与b （ ）A ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为30°D ．夹角为60° 2．已知向量(5,3)a =-，(2,)b x =，且//a b ，则x 的值是（ ） A ．65 B ．103 C ．-65 D ．-103 3．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =，且()()a b a b λ+⊥-，则λ等于（ ） A ．35 B ．35- C ．3- D ．3 4．如果a 、b 都是单位向量，则a b -的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．[1,2]D ．[0,2] 5．已知在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，则O 为ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 6．已知(7,1)A ，(1,4)B ，直线ax y 21=与线段AB 交于点C ，且2AC CB =，则a 等于（ ） A ．2 B ．35 C ．1 D ．54 7．已知直线2y x =上一点P 的横坐标为a ，有两个点(1,1)A -，(3,3)B ，那么使向量PA 与PB 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ）A ．12a -<<B ．01a <<C ．22a -<< D ．02a <<8．已知向量(4,2)a =，(1,1)b =-，则b 在a 方向上的射影长为_________． 9．已知点(2,3)A ，(0,1)C ，且2AB BC =-，则点B 的坐标为_____________．10．已知||2a =，||2b =，a 与b 的夹角为45︒，则()b a a -⋅=________． 11．已知向量(3,1)OA =--，(2,3)OB =，OC OA OB =+，则向量OC 的坐标为____________，将向量OC 按逆时针方向旋转90︒得到向量OD ，则向量OD 的坐标为______________12．已知向量a 、b 的夹角为45︒，且满足||4a =，1()(23)122a b a b +⋅-=，则||b =_________；b 在a 方向上的投影等于_____________． 13．平面上有三个点(2,)A y -，(0,)2y B ，(,,)C x y ，若AB BC ⊥，则动点的轨迹方程为______________．14．将函数2y x =的图象F 按向量(3,2)a =-平移到'F ，则'F 对应的函数解析式为_________________．15．把点(2,2)A 按向量(2,2)a =-平移到点B ，此时点B 分OC （O 为坐标原点）的比为2-，则点C 的坐标为____________．16．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，||1AC =，||4AB =，则ABC ∆的面积为____，||BC =_____________．答案1．B2．C3．B4．D5．B6．A7．B8．59．(2,1)-- 10．2- 11．(1,2)-，(2,1)--12 1 13．28y x =14．2(3)2y x =-- 15．(0,2)16。
高考数学(文科)总复习专题5平面向量、复数练习题(附解析)
高考数学（文科）总复习专题5平面向量、复数练习题（附解析）第1练 平面向量的概念及线性运算[基础保分训练]1.化简：AB →＋BC →－AD →＝________. 2.13(2a －3b )－3(a ＋b )＝________. 3.如果a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－e 2，则3a －2b ＝______________________________.4.已知向量a ，b ，b ≠0，如果存在唯一实数λ，使a ＝λb ，则两向量的关系是________.5.若AP →＝tAB → (t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)6.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA →1的模相等的向量(AA →1本身除外)共有________个，与向量AA →1相等的向量(AA →1本身除外)共有________个.7.若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地位于B 地的________处.8. 向量AB →，BC →，MN →在正方形网格中的位置如图所示，若MN →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.9.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是________.10.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[能力提升训练]1.已知点P 在直线AB 上，且|AB →|＝4|AP →|，设AP →＝λPB →，则实数λ＝________.2.如图为平行四边形ABCD ，G 为BC 的中点，M ，N 分别为AB 和CD 的三等分点(M 靠近A ，N 靠近C )，设AB →＝a ，AD →＝b ，则GN →－GM →＝________.(用a ，b 表示)3.如图，在△ABC 中，AD →＝34AC →，BP →＝23BD →，若AP →＝λBA →＋μBC →，则λ＋μ＝________.4.设向量a ，b 是两个不共线的向量，若3a －b 与a ＋λb 共线，则实数λ＝________.5.下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若非零向量a ，b 共线，则|a |＝|b |； ④若向量a ＝b ，则向量a ，b 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行. 正确的序号为________.6.给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线.以上命题中，正确命题的序号是__________.答案精析基础保分训练1.DC →2.－73a －4b3.－3e 1＋8e 24.a ∥b5.(1－t )OA →＋tOB →6.5 27.西北方向52km8.29.梯形 10.a －b ＋c能力提升训练 1.13或－15解析 ①当点P 在线段AB 上时，因为|AB →|＝4|AP →|，所以点P 是AB 的四等分点， 因此AP →＝13PB →，此时λ＝13；②当点P 在线段AB 的反向延长线上时， 由|AB →|＝4|AP →|，得AP →＝－15PB →，此时λ＝－15.综上，λ＝13或－15.2.13a ＋b 3.－13解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23BD →＝AB →＋23BC →＋16CA →＝－BA →＋16BA →＋12BC →＝－56BA →＋12BC →＝λBA →＋μBC →，λ＝－56，μ＝12，λ＋μ＝－13.4.－13 5.①④6.①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可以不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与向量BA →互为相反向量，故③错误；若AB →与CD →是共线向量，那么A ，B ，C ，D 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误.第2练 平面向量基本定理及坐标表示[基础保分训练]1.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，若向量a ＋2b 与a 平行，则m ＝________.2.若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则a －b 的坐标是________.3.已知点A (1,1)，B (－1,5)，向量AC →＝2AB →，则点C 的坐标为________.4.已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(2,1)，若a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.5.在△BOA 中，点C 满足AC →＝－4CB →，OC →＝xOA →＋yOB →，则y －x ＝________.6.设M 是△ABC 的边BC 上任意一点，且NM →＝4AN →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. 7.在正方形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AF →＝xAB →＋yAE →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.8.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为________.9.已知G 为△ABC 的重心，点P ，Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG →＝tPQ →.若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.10.如图，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________.[能力提升训练]1.已知向量a ＝(2sin θ，1)，b ＝(cos θ，－1)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，则tan θ＝________.2.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连结CE ，DF 交于点G ，若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.3.已知OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，(x ，y )＝λOA →＋μOB →.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z ＝x m ＋y n(m >0，n >0)的最大值为2，则m ＋n 的最小值为________.4.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y的最小值为________.5.若点C 在以P 为圆心，6为半径的(包括A ，B 两点)上，∠APB ＝120°，且PC →＝xPA →＋yPB →，则2x ＋3y 的取值范围为________.6.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________.答案精析基础保分训练1.－122.(－4,3)3.(－3,9)4.05.536.157.12解析 设正方形的边长为a ，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系， 则AB →＝(a,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2，a ， ∵AF →＝xAB →＋yAE →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y a ，y ×a2，AB⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y a ＝a2，y ×a 2＝a ，解得x ＋y ＝12.8.3 9.3解析 设AB →＝c ，AC →＝b ，连结AG 并延长交BC 于M ，此时M 为BC 的中点， 故AM →＝12(b ＋c )，AG →＝23AM →＝13(b ＋c )， 故PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－λc ＋13b ，又PQ →＝AQ →－AP →＝μAC →－λAB →＝μb －λc ， 存在实数t 使得PG →＝tPQ →，即⎩⎪⎨⎪⎧13－λ＝－t λ，13＝t μ，解得1λ＋1μ＝3.10.12解析 如图，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →.又OA →＋OC → ＝－2OB →， ∴OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 能力提升训练 1.－12 2.123.52＋ 6 解析 (x ，y )＝λOA →＋μOB →＝(λ＋μ，μ)⇒λ＝x －y ，μ＝y ，所以0≤x －y ≤1≤y ≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z ＝x m ＋yn 的斜率小于零知，直线z ＝x m ＋y n过点(3,2)时取得最大值，即3m ＋2n＝2，因此m ＋n ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋2n 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋3n m ＋2m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋23nm·2m n＝52＋6，当且仅当3n m ＝2mn 时取等号. 4.6＋4 25.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573解析 以点P 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.由题意得A (6,0)，B (－3,33)， 设∠APC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，则点C 的坐标为(6cos θ，6sin θ). ∵PC →＝xPA →＋yPB →，∴(6cos θ，6sin θ)＝x (6,0)＋y (－3,33)＝(6x －3y,33y )，∴⎩⎨⎧6x －3y ＝6cos θ，33y ＝6sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33sin θ＋cos θ，y ＝233sin θ，∴2x ＋3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫33sin θ＋cos θ＋3×233sin θ ＝833sin θ＋2cos θ＝2573sin(θ＋φ)， 其中sin φ＝5719，cos φ＝41919， ∵0≤θ≤2π3，∴5719≤sin(θ＋φ)≤1，∴2≤2573sin(θ＋φ)≤2573.∴2x ＋3y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573.6.35解析 如图，M 是△ABC 所在平面内的一点，连结AM ，BM ，延长AC 至D 使AD ＝3AC ，延长AM 至E 使AE ＝5AM ，如图所示， 因为5AM →＝AB →＋3AC →， 所以AB →＝5AM →－3AC →＝DE →，连结BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB →和向量DE →平行且模相等)， 由于AD →＝3AC →， 所以S △ABC ＝13S △ABD ，S △AMB＝15S △ABE ， 在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝平行四边形ABED 面积的一半， 故△ABM 与△ABC 的面积比＝15S △ABE 13S △ABD ＝35.第3练 平面向量的数量积[基础保分训练]1.已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________. 2.已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(4a －b )·(a ＋3b )＝2，则向量a ，b 的夹角θ为________.3.已知正三角形ABC 的边长为23，重心为G ，P 是线段AC 上一点，则GP →·AP →的最小值为________.4.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为________.5.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 的中点，则(AB →＋AC →)·(AB →－DB →)的值为________.6.如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝23，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点(靠近点C )，则AD →·BC →的取值范围为________.7.如图，A ，B 是函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上两点，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.8.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________.9.已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |的值为________. 10.设m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，则向量a ，b 的夹角为锐角的概率是__________.[能力提升训练]1.设向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角是90°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则t 的取值范围是________.2.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AP →·AB →的最大值为________.3.已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝23，动点P 位于线段AB 上，则PA →·PO →的最小值是________.4.已知a ，b 是不共线的两个向量，a ·b 的最小值为43，若对任意m ，n ∈R ，|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，则|b |的最小值为________.5.已知|OA →|＝2，|OB →|＝4，OA →·OB →＝4，则以向量OA →，OB →为邻边的平行四边形的面积为________. 6.在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则的AE →·BF →最小值为________.答案精析基础保分训练1.－12.2π33.－344.245.326.(5,9)7.68.49.2 10.512能力提升训练 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0 解析 由已知可得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2 ＝2×1×cos90°＝0，∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 从而得到15t <0，即t <0，∵两个向量不共线，故2t e 1＋7e 2≠a (e 1＋t e 2)，令⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝a ，7＝at ，解得t ＝±142， ∴t ≠±142， 综上可得t <0且t ≠－142，即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0. 2.1＋255解析 如图以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，D (0,2)，C (1,2)，∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ， ∵BC ＝2，CD ＝1，∴BD ＝22＋12＝5， ∴12BC ·CD ＝12BD ·r ， ∴r ＝25＝255，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝45，设P ⎝⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，AB →＝(1,0)，∴AP →·AB →＝255cos θ＋1≤1＋255，∴AP →·AB →的最大值为1＋255.3.－34解析 如图，建立直角坐标系，易知A (－3，0)，B (3，0)，O (0,1)，设P (x,0)，－3≤x ≤3， 则PA →＝(－3－x,0)，PO →＝(－x,1)， 所以PA →·PO →＝x 2＋3x ，所以当x ＝－32时，取最小值－34. 4.4解析 设a ，b 的夹角为θ，则0≤θ<π2，则由|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，可得|a |sin θ＝1，|b |sin θ＝2， 两式相乘可得|a ||b |sin 2θ＝2， 即|a ||b |＝2sin 2θ(*)，而a ·b ＝|a ||b |cos θ≥43， 结合(*)可得2cos θsin 2θ≥43， 所以(2cos θ－3)(3cos θ＋2)≥0， 解得cos θ≥32或cos θ≤－23(舍)， 所以sin θ≤12，则|b |＝2sin θ≥4.5.4 3解析 OA →·OB →＝2×4×cos〈OA →，OB →〉＝4， 所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，因为〈OA →，OB →〉∈[0，π]， 故〈OA →，OB →〉＝π3.平行四边形的面积S ＝|OA →||OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝2×4×32＝4 3.6.－3解析 根据题意，设E (0，a )，F (0，b )； ∴|EF →|＝|a －b |＝2， ∴a ＝b ＋2或b ＝a ＋2， 且AE →＝(1，a )，BF →＝(－2，b )， ∴AE →·BF →＝－2＋ab ，当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)·b ＝b 2＋2b －2，∵b 2＋2b －2＝(b ＋1)2－3， 最小值为－3，∴AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF →的最小值为－3. 所以AE →·BF →的最小值为－3.第4练 平面向量的应用[基础保分训练]1.已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝5，则|a |＋|b |的取值范围是________.2.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形.3.一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，则河水的流速为________ km/h.4.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 的形状为________.5.已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为________N.6.若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝|a －b |，则|t a ＋(1－t )b |(t ∈R )的最小值为________.7.设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0，则O 为△ABC 的________.8.△ABC 所在平面上一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为________.9.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC ，若BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.10.已知P 为锐角△ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA →＋3PC →|的最小值为________.[能力提升训练]1.平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·CB →＝0，则△ABC 的形状为________三角形.2.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是________.3.已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形.4.设点G 为△ABC 的重心，BG →·CG →＝0，且|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值是________. 5.在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠B ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上(不与端点重合)，且BE EC ＝CF DF，则AE →·AF →的取值范围为________.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.答案精析基础保分训练1.[5,52]2.等腰3.2 34.菱形5.5 36.2557.外心解析 若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0， 可得CB →·(OB →＋OC →)＝AC →·(OC →＋OA →)＝BA →·(OA →＋OB →)＝0，即(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝(OC →－OA →)·(OC →＋OA →)＝(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝0， 即有|OA →|2＝|OB →|2＝|OC →|2，则|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，故O 为△ABC 的外心. 8.1∶3解析 由已知得，PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝AP →＋PB →，解得PC →＝2AP →，所以|PC →|＝2|AP →|，作图如图所示：设点B 到线段AC 的距离是h ，所以S △PAB S △ABC ＝12×AP ×h12×AC ×h ＝AP AC ＝AP AP ＋PC ＝AP AP ＋2AP ＝13.9.－1解析 如图，过D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于M ，设∠BAC ＝α，则∠ACD ＝2α，∠ACB ＝90°－α， ∴∠DCM ＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α， ∴Rt△ABC ∽Rt△DMC ， ∴DM AB ＝CM BC＝k (k 为相似比).又B D →＝xBA →＋yBC →＝MD →＋BM →，∴x ＝DM AB ＝k ，y ＝BM BC ＝BC ＋CMBC＝k ＋1，∴x －y ＝－1. 10.6 3解析 PA →＋3PC →＝PA →＋3(PA →＋AC →)＝4PA →＋3AC →， (4PA →＋3AC →)2＝16|PA →|2＋9|AC →|2＋24|PA →||AC →|cos120° ＝16|PA →|2－48|PA →|＋144，∴当|PA →|＝32时，(4PA →＋3AC →)2最小为108.故|PA →＋3PC →|min ＝6 3. 能力提升训练 1.等腰 2.⎝⎛⎦⎥⎤72，2 解析 ∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→ ＝－OA →2， ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→，∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →－OB 1→＝OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →， ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→)＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2， ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 3.等边 解析 易知AB→|AB →|＋AC→|AC →|在∠BAC 的角平分线上，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，可知在△ABC 中∠BAC 的角平分线与BC 垂直，易判断AB ＝AC ， 又由AB →|AB →|·AC→|AC →|＝12，得∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形. 4.32解析 由BG →·CG →＝0，可得BG ⊥CG ， 取BC 的中点D ，则GD ＝22，GA ＝2， 设GC ＝2x ，GB ＝2y ，所以三角形的面积为S ＝2x ·2y ·12＋2x ·2·sin∠CGA ·12＋2y ·2·sin∠BGA ·12，且∠CGA ＋∠BGA ＝270°，所以S ＝2xy ＋2x ·sin∠CGA －2y ·cos∠CGA ＝2xy ＋x 2＋y 2sin(∠CGA ＋φ).而BG ⊥CG ，故在Rt△BCG 中4x 2＋4y 2＝2，即x 2＋y 2＝12，所以S ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ).又x 2＋y 2＝12≥2xy ，所以S max ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ)≤12＋1＝32.5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1解析 以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 垂线为y 轴建立平面直角坐标系，由BE EC ＝CF DF，可设BE ＝tBC ＝3t ，CF ＝tCD ＝2t (0<t <1)， 则A (3，1)，E (3t,0)，F (3＋3t ，t )， ∴AE →＝(3t －3，－1)，AF →＝(3t ，t －1) ∴AE →·AF →＝3t ·(3t －3)－(t －1)＝3t 2－4t ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13，又0<t <1，∴当t ＝23时，最小值为－13；当t ＝0时，最大值为1.故AE →·AF →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.6.2第5练 平面向量小题综合练[基础保分训练]1.如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②AD →与BC →；③OA →与OC →；④CA →与DC →，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________.2.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若(a ＋b )∥(4b －2a )，则实数x 的值是________.3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝________.4.给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a 是单位向量，则|a |＝1；③a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量.其中真命题是________.(填序号)5.若AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，设BA →＝a ，BD →＝b ，则BC →＝________.6.两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为________.7.如图所示，在△ABC 中，AD →＝13AC →，P 是BD 上的一点，若AP →＝mAB →＋213AC →则，实数m 的值为__________.8.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，M 为AB 边上的中点，则CM →·CA →＋CM →·CB →＝________. 9.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 10.已知△OAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足OP →＝(2－t )OA →＋tOB →(t ∈R )，则|AP →|的最小值为________.[能力提升训练]1.(2018·南通调研)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是________.2.在△ABC 中，E 为AC 上一点，AC →＝3AE →，P 为BE 上任一点，若AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则3m ＋1n的最小值是________.3.已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________.4.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若BE →＝λBA →＋μBC →，则s ＝λ·μ的最大值为________.5.在△ABC 中，D 是边BC 上一点，且BD →＝DC →，点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，且满足P n A →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，若a 1＝1，则数列{a n }的通项a n ＝________.6.△ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①b 为单位向量；②a 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →； ⑤(6a ＋b )⊥BC →.答案精析基础保分训练1.①④2.23.－34.②③5.12a ＋b6.π47.713 8.50 9.内心 10.32解析 以O 为原点，以OB 为x 轴，建立平面直角坐标系， ∵△AOB 为边长为1的正三角形， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (1,0)， OP →＝(2－t )OA →＋tOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，3－32t ，AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12，32－32t ，|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32t 2 ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32.能力提升训练 1.2 2解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1tb 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t c ·a ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝c 2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t.∵c ·a ＝c ·b ＝1，∴c ·(a －b )＝0，∴|c |＝2， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t . 令t ＋1t＝m ≥2(当且仅当t ＝1时，取等号)，∴⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＝(m ＋1)2－1≥8， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ≥2 2.2.12解析 由题意可知AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →，P ，B ，E 三点共线，则m ＋3n ＝1，据此有3m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n (m ＋3n )＝6＋9n m＋mn≥6＋29n m ×mn＝12，当且仅当m ＝12，n ＝16时等号成立.综上可得3m ＋1n的最小值是12.3.923 解析 取AD 的中点E ，连结CE ，BE ，则四边形ABCE 为平行四边形，如图所示，则有AE →＝BC →，又AE →＝ED →，∴BC →＝ED →，∴四边形BCDE 为平行四边形，又BE 为等边△ABD 的中线，∴BE ⊥AD ，∴平行四边形BCDE 是矩形，∴四边形ABCD 是直角梯形.又BE ＝CD ＝3，∴AD ＝23，BC ＝12AD ＝3， ∴四边形ABCD 的面积为S ＝12(BC ＋AD )·CD ＝12×(3＋23)×3＝923. 4.18解析 因为A ，D ，E 共线，故存在0≤t ≤1，使得BE →＝tBA →＋(1－t )BD →＝tBA →＋－t 2BC →，而BE →＝λBA →＋μBC →且BA →，BC →不共线，所以λ＝t ，μ＝12(1－t )，消去t 得到λ＋2μ＝1. s ＝λμ＝(1－2μ)μ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－142＋18，μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12， 当μ＝14时，s 有最大值18. 5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 解析 由BD →＝DC →，可知D 为BC 的中点，∴P n D →＝P n B →＋BD →＝12BC →－BP n →， ∵P n A →＝P n B →＋BA →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，∴BA →－BP n →＝a n ＋1P n B →＋a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BP n →， ∴BA →＝(1－a n ＋1－a n )BP n →＋12a n BC →， 又点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，即A ，P n ，C 三点共线，∴1－a n ＋1－a n ＋12a n ＝1， ∴a n ＋1＝－12a n ， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，－12为公比的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 6.②④⑤解析 因为△ABC 是边长为3的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则a ＝13AB →， 所以|a |＝13|AB →|＝1，因此a 为单位向量，故②正确； 又AC →＝AB →＋BC →＝3a ＋b ，所以BC →＝b ，因此|b |＝|BC →|＝3，故①不正确；对于③，由AC →＝3a ＋b 可得AC →2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，故9＝9＋9＋6a ·b ，可得a ·b ＝－32≠0，所以a ⊥b 不成立，故③不正确； 对于④，由AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，得BC →＝AC →－AB →＝b ，所以b ∥BC →，故④正确；对于⑤，因为(6a ＋b )·BC →＝(6a ＋b )·b ＝6a ·b ＋b 2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9＝0，所以(6a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.综上可得②④⑤正确.第6练 复数[基础保分训练]1.已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________.2.已知θ为实数，若复数z ＝sin2θ－1＋i(2cos θ－1)是纯虚数，则z 的虚部为________.3.已知i 是虚数单位，则复数1－2i 1＋2i＝________. 4.已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝sin β＋icos β(α，β∈R ，i 为虚数单位)，复数z ＝z 1·z 2在复平面内所对应的点在第二象限，则角α＋β的终边所在的象限为________.5.若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝________.6.设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为________. 7.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于________. 8.已知0<a <2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是________.9.若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则b ＋a i ＝________.10.设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________.[能力提升训练]1.若(a －2)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.2.3＋i 1＋i＝________. 3.设z 是复数，a (z )表示满足z n ＝1时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ＝________. 4.若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________.5.已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 6.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为________. 答案精析基础保分训练1.22.－23.－35－45i 4.第三象限 5.1 6.－3 7.第四象限 8.(1，5)9.－2＋i 10.1能力提升训练1.12.2－i3.44.(－∞，－1)5.5 26.－2。
2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练
（ （2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的基本定理例 1 给出下列命题：（1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量；（2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ；（3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形；（4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。
两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0时， a 与 b 可以共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。
l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。
【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．1（ （例 2 已知 a = (1,2) , b = (2 x, -3) 且 a ∥ b ,则 x =．【答案】 -34【解析】根据 a ∥ b 有 x y - x y = 0 ,可知1 ⨯ (-3) - 2 ⨯ 2 x = 0 ,得 x = -1 22 134【易错点】 1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 x 1x 2 - y 1 y 2 = 0 ． 2）a || b ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 ，不是 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 0 ，可以记为 “斜乘相减等于零 ”． a ^ b ?x 1x2y y =0 1 2，可以记为“竖乘相加等于 零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．【思维点拨】1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（3）向量平行与起点的位置无关．题型二 平面向量的线性运算例 1 在 ABCD 中，错误的式子是（）A ． AD - AB = BDB ． AD - AB = DBC ． AB + BC = ACD ． AD + AB = AC【答案】D ．【解析】根据平行四边形法则知，错误的为 B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如 AB + BC = AC ，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如 AD - AB = BD ，对于 D 选项，利用平行四边形法则结合图像可得 AD + AB = AC ．【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
高考文科数学平面向量专题(可编辑修改word版)
5 10 2- - - - BQ 平面向量专题一、选择题例 1. ∆ABC 中， AB 边的高为CD ，若CB = a ， CA = b ， a ⋅ b = 0 ， | a |= 1， | b |= 2 ，则 AD =1 1 （A ） a b332 2（B ） a b3 3 3 3（C ） a b5 54 4 （D ） a b55例 2.设 x ∈ R ，向量 a = (x ,1), b = (1, -2), 且 a ⊥ b ，则| a + b |=（A ） （B ） （C ） 2 例 3.设 a ，b 是两个非零向量。
（D ）10 A.若|a+b|=|a|-|b|，则 a⊥bB.若 a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得 b=λaD.若存在实数λ，使得 b=λa，则|a+b|=|a|-|b|a b例 4.设 a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 = 成立的充分条件是（）| a | | b | A 、| a |=| b | 且 a // b B 、 a = -bC 、 a // bD 、 a = 2b例 5.设向量 a =（1. cos ）与b =（-1， 2 cos ）垂直，则cos 2等于 （）1 A BC .0 D.-1 2211 例 6.已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =(A) —1(B) —(C)(D)122例 7.若向量 AB = (1, 2) ， BC = (3, 4) ，则 AC =A. (4, 6)B. (-4, -6)C. (-2, -2)⋅ D. (2, 2)例 8.对任意两个非零的平面向量和 ， 定义=⋅. 若两个非零的平面向量 a ， b 满足 a 与 b 的夹角∈⎛⎫⎧ n ⎫, ⎪ ，且a b 和b a 都在集合⎨ n ∈ Z ⎬中，则a b =⎝ 4 2 ⎭ 5 3 ⎩ 2⎭ 1A.B.C. 1D.2 22例 9.已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a ⊥b 的充要条件 1A.x=-2B.x-1C.x=5D.x=0例 10.在△ABC 中， ∠ A=90°，AB=1，设点 P ，Q 满足 AP =AB ， AQ=(1- ) AC ，∈R 。
平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案
平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。
2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)303n n n n ⋅-=-+=⇒=±， 2=a 。
3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a aab ⋅+⋅=______；答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=，4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是(A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。
高考文科数学常考题型训练平面向量
r
rr
rr
3、已知非零向量 a ,b 满足 a 7 1, b 7 1,且 a b 4 ,则 a b _________.
rr
rr
rr
rr rr
4、若向量 a, b 满足 a 8, b 12,则 a b 的最小值是 _________; 当非零向量 a, b ( a ,b 不共线 )
rr
rr
uuur uuur
满足 __________时 ,能使 a b 平分 a,b 的夹角 ( AOB 是向量 OA, OB 的夹
角, 0 AOB 180 ).
uuur
uuur uuur
5、在菱形 ABCD 中 , DAB 60 , AB 2 ,则 BC DC __________.
r 6、已知向量 a
r 1,2 ， b
rr 3， a b
14 答案及解析：
答案： 45 解析：
15 答案及解析： 答案： 5 2,1
解析：以点 A 为坐标原点， AB, AC 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系 (如图 )，
uur uur 则 A(0,0), B(2,0), C( 0,2) .设 P( x, y) ，则由 PA PB 1 得，( x, y) (2 x, y)
3
解析： Q 2a b 4 3, 4a 2 b2 4a b 48, 即 4 4 16 4a b 48, 解得 a b 4, 因此
cos a, b
ab
4
1 , 则 a与 b的夹角为
π .
a b 24 2
3
9 答案及解析：
答案： 5 6
解析：
10 答案及解析：
答案： 2
解析：因为 ar
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常考题型大通关：第14题 平面向量
1、已知向量(,1),(4,2)a x b ==-,若//a b ,则a b +=_________.
2、设向量(),,11,2()a m b ==，且222a b a b +=+，则m =___________________________
3、已知非零向量,a b 满足71,71a b =+=-,且4a b -=,则a b +=_________.
4、若向量,a b 满足8,12a b ==,则a b +的最小值是_________;当非零向量,a b (,a b 不共线)满足__________时,能使a b +平分,a b 的夹角(AOB ∠是向量,OA OB 的夹
角,0180AOB ︒≤∠≤︒). 5、在菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,2AB =,则BC DC +=__________.
6、已知向量()1,2a =-，3b =，7a b -=，则|a b +=____________．
7、已知向量,a b 满足1,1a b ==，a 与b 的夹角为60°，则2a b +=__________．
8、已知平面向量,a b 满足2,4,2a b a b ==+=则a 与b 的夹角为_______. 9、已知平面向量(1,3),(3,1)a b =-=-,则a 与b 的夹角为__________
10、已知向量(2,3)a =-,(3,)b m =,且a b ⊥,则m =__________.
11、已知()()1,21,2,2a m b m =-=--,若向量//a b ,则实数m 的值为__________.
12、向量()()1,1,1,0a b =-=,若()()
2a b a b λ-⊥+,则λ=__________. 13、若2sin15a =︒,4cos15,b =︒a 与b 的夹角为︒30,则a b ⋅的值_______________ 14、设()5,2a -＝，()6,2b ＝，则212|a|a b 2
-⋅＝______________. 15、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ⋅=，则PC 的取值范围是 。
答案以及解析 1答案及解析： 答案：5
解析：由//a b ,得24x -=,即2x =-,则(2,1)a b +=-,所以5a b +=.
2答案及解析：
答案： -2
解析：
3答案及解析：
答案：4
解析：如图所示,设OA a =,OB b =,则BA a b =-.
以,OA OB 为邻边作平行四边形OACB ,则OC a b =+. 由于222(71)(71)4+=,故222OA OB BA +=, 所以OAB △是直角三角形,90AOB ∠=︒,
从而OA OB ⊥,所以平行四边形OACB 是矩形.
根据矩形的对角线相等得4OC BA ==,即4a b +=.
4答案及解析：
答案：4;a b =
解析：由已知及向量的三角形不等式,知a b b a +≥-,当且仅当a 与b 反向时,等号成立,故a b +的最小值为4.由向量加法的平行四边形法则,知a b =时,平行四边形为菱形,对角线平分一组内角.
5答案及解析：
答案：23
解析：如图所示,设菱形对角线的交点为O .BC DC AD DC AC +=+=.
∵60DAB ∠=︒,∴ABD △为等边三角形. 又∵2AB =,∴1OB =.
在Rt AOB △中,22
3AO AB OB =-=∴223AC AO ==即23BC DC +=
6答案及解析：
答案：3
解析：
7答案及解析： 7 解析：
8答案及解析：
答案：
π3 解析：243,a b +=224448,a b a b ∴++⋅=即4416448,a b ⨯++⋅=解得4,a b ⋅=因此41cos ,,242a b a b a b ⋅===⋅⨯则a 与b 的夹角为π.3
9答案及解析：
答案：56
π 解析：
10答案及解析：
答案：2
解析：因为a b ⊥,所以0a b ⋅=,得630m -+=,所以2m =.
11答案及解析：
答案：0m =或52
m =
解析：
12答案及解析：
答案：3 解析：由于()()2,1,22,2a b a b λλ-=-+=-+,
则由()()2a b a b λ-⊥+
可得()()
()22220a b a b λλ-⋅+=--++=,
解得3λ=.
13答案及解析：
解析：
14答案及解析： 答案：45
解析：
15答案及解析：
答案：⎤⎦
解析：以点A 为坐标原点，AB AC ,所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(如图)，
则()()(00202)0A B C ,,,,,.设()P x y ,，则由1PA PB ⋅=得，
()(2)x y x y ---⋅-,,2221x x y =-+=， 则点P 的轨迹方程是()2
212x y -+=，
轨迹是位于三角形内(含边界)的一段圆弧.
设点F 为其圆心，则0(1)F ,
，如图.当点C P F ,,共线时，
min CP CF PF =-，当点P 的坐标为(0)1,
时，
CP 取得最大值1.故CP 的取值范围是⎤⎦.。