小学奥数第33讲--平面图形的计算(含解题思路)

33、平面图形的计算

【周长的计算】

例1有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。

（第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）

讲析：设每个小长方形的长是a厘米，宽是b厘米。于是有

a×b=45÷9＝5；

又有：4a=5b。

可求得b=2，a=。

所以大长方形的周长为6a＋7b=29（厘米）。

例 2 图中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大大多少（全国第四届“华杯赛”决赛试题）

讲析：图（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者相差2·AB。

从图（2）的竖直方向看，AB＝a－CD

图（2）中大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD，

所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）

故：图（1）中画斜线区域的周长比图（2）中画斜线区域的周长大，大12厘米。

【面积的计算】

例1如图，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC的面积是______。

（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

讲析：连结AE（如图），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF 与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。

同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE=

从而，△ABC的面积是16-（3＋4+）=。

例2 如图5．58，在等边三角形ABC中，AF=3FB，FH垂直于BC，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米

（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

讲析：如图，连接△ABC各边中点，则△ABC被分成了大小相等的四个小三角形。

在△DBG中，再连接各边中点，得出将△DBG又分成了四个很小的三角形。

经观察，容易得出△ABC的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。

例3 三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图（2）。那么，图（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。

（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

讲析：如图（2），设EC等于a厘米，那么DE也为a厘米。

△ABC的面积等于△ABE的面积加上△AEC的面积。

例4 如图，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。

（广州市小学数学竞赛试题）

讲析：可设△AOD的面积为S1。

则，△BOC的面积为S1＋12。

于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，

S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）

=24（平方厘米）。

所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。

例5 梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面积。

（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）

讲析：三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；

则：DO∶OB=1∶3。

△ADB和△ADC是同底等高三角形，

所以，S1=S3=2厘米2。

三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1∶

所以，梯形ABCD的面积为

例6 正方形边长为20厘米（如图），已知DD′=EE′，CE=6厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是______平方厘米。

（海口市小学数学竞赛试题）

讲析：E′点在BE段滑动，D′点在DC段滑动。

设DD′长a厘米。

D′C=20-a，E′C=a＋6。

又因为D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。

运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a＋6=13时，即a=7

=（平方厘米）。

例7 图是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米

（全国第四届“华杯赛”决赛试题）

讲析：如图，连接AC，所分成的四个小三角形分别用S1、S2、S3、S4表示。

容易看出S2和S3是关于OC为对称轴的对称图形。

所以S2=S3。

从而不难得出S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角

例8 一个正方形（如图），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：平方米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是______。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：可将四个长方形分别用A、B、C、D表示（如图），阴影部分是B中的一部分。

大正方形的面积为1平方米，所以它的边长为1米。

因为长方形C和D的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得C的

米。

例9 把大的正三角形每边8等分，组成图所示的三角形网。如果每个小三角形面积是1，那么图中粗线围成的三角形面积是______。

（1988年北京市奥林匹克邀请赛试题）

讲析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：

这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的2倍。

题中，格子面积为1×2=2，内部格点数为12，边上格点数为4。

所以，粗线围成的面积是