东北大学概率论课后习题答案PPT2-3

第三节连续型随机变量及其分布
如果存在实数域上的非负函数f(x)，使对于任一实数 a，b(a<b)，随机变量X的取值在区间(a,b]中的概率为
P(a x b) f ( x)dx
a
b
则称X为连续型随机变量。其中，非负函数f(x)即是描述 连续型随机变量X取值规律的概率函数，称为X的概率密度 函数，记为 X ~ f ( x) ，概率密度函数简称为密度函数。 X的密度函数有时记为 f X ( x)
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例10 将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器 定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～ N(d,0.52)。(1)若d=90，求X<90的概率；(2)若要求保持液体 的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？
解 （1）所求概率为 X 90 89 90 P{ X 89} P 0.5 0.5 89 90 ( 2 ) 0.5 1 ( 2) 1 0.9772 0.0228.
1 2
e

( x )2 2 2
, x ,
其中,(>0)为常数，则X为正态变量，称其服从参数 为, 2 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X～ N(,2)。
f ( x)
正态分布密度函数图示
o

x
性质：1.曲线关于x=对称。
2.当x=时取到最大值。
例2 判断函数
| x| G (1,2) (5,6) ，求 f ( x ) Ae 例3 是随机变量X的密度函数为 ，
（1）常数A；（2）P{-1<X<2}和
P( x G )
常见的连续型随机变量及其分布
均匀变量及其分布
如果随机变量X只在区间（a,b）内取值，且在（a,b） 内等长度的任意区间上取值的概率相同，那么X记为均匀 变量。 设连续型随机变量X只在区间（a,b）内取值，其概率 密度
( 2)按 题 意 需 求 d满 足 X d 80 d 0.99 P { X 80} P 0 .5 0.5 X d 80 d 80 d 1 P 1 0. 5 0.5 0. 5 80 d 即 99 1 ( 2.327) ( 2.327) 1 0。 0. 5 80 d 亦即 2.327 0.5 故 需 d 81.1635
为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？
正态分布表现为其取值具有对称性，极大部分取值 集中在以对称点为中心的一个小区间内，只有少量取值 落在区间外。在自然现象和社会现象中，大量随机变量 都服从或近似服从正态分布。如人的身体特征指标(身 高、体重)，学习成绩，产品的数量指标等等都服从正 态分布。许多较复杂的指标，只要在受到的大量因素作 用下每个因素的影响都不显著，且因素相互独立，也可 认为近似服从正态分布。又如二项分布、泊松分布在n 很大时，也以正态分布为极限分布。因此，可以说正态 分布是最重要的分布。
3.固定,改变，曲线沿Ox轴平移；固定,改变 ， 越 大，曲线变得越平坦， 越小，曲线变得越陡峭。因而X落 在附近的概率越大。
4.曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为 渐近线。
5.
x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
标准正态分布
当=0,=1时称X服从标准正态分布，记为X～N(0,1)。 其概率密度和分布函数用(x)表示，即有
( x)
设函数
( x)
x
1 e 2
t2 2
x2 2
,
x 1 e dt (t )dt, 2
性质
(1) (0) 0.5 ( 2) ( x ) 1 ( x ) (3) ( x)是x的单调增函数 (4) () 0， () 1
P ( x G ) f ( x) dx
G
[注意} 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时， 可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如 有 P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b>。 在这里，事件{X=a}并非不可能事件，但有P{X＝ a}=0．这就是说，若A是不可能事件，则有P(A)=0；反之， 若P(A)＝0，并不一定意味着A是不可能事件。 以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时， 指的是它的分布函数；或者，当X是连续型时指的是它的 概率密度，当X是离散型时指的是它的分布律。
1)，计算P{ X 0}，P{2， 31 X 1,25}， 例7 设X ~ N (0， P{| X | 1.54}，P{1.23 X 2.15}
例8 某地区18岁女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）， X ~ N（ 110， 12 2 ） 求: (1)18岁女青年血压低于100mm-Hg或高于120mm-Hg的概 率； （2）确定x，使 P{| x - | a}
a b
例6 打一次电话所用时间(单位：分钟)服从参数为0.2的指 数分布，如果有人刚好在您之前走进公用电话亭，那么你 等待时间超过5分钟的可能性与等待时间在5-10分钟之间的 可能性各有多大？
指数分布的无记忆性
对于任意 s , t 0, 有 P { X s t X s } P { X t }.
e x , f ( x) 0,
x 0, x 0.
其中 0为常数
则X为指数变量，称其服从参数为 的指数分布。记为 X ~ E ( )
显然f ( x) 0, 且 f ( x)dx e x dx 1, 而且对任意实数
0


a, b(0 a b), 有 P(a x b) e x dx e a e b
例5 已知随机变量X的密度函数为
3 3 , 0 x 1, 1 f ( x) (1 ), 1 x 2, 2 其它. 0 ,
求常数 及p{0.5<X<1.2}
指数变量及其分布
设连续型随机变量X只在区间（0, ）内取值，其概 率密度为
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例4 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900～1100。求 R的概率密度及R落在950～1050的概率。 解 按题意，R的概率密度为
1 , f ( r ) 1100 900 0, 故有
900 r 1100, 其 它. 1 dr 0.5. 200
例1
设随机变量X具有概率密度
kx, 0 x 3, x f ( x ) 2 , 3 x 4, 2 其它. 0,
⑴确定常数k；⑵求P{1<X≤7/2}。
0.5, 1 x 0, f ( x) 0.25, 0 x 2, 是否可作为密度函数 0, 其它.
1 , f ( x) b a 0,
a x b, 其它.
则X为均匀变量，称其服从参数为a,b的均匀分布。记为 X～U(a,b).
p( x )
1 ba
o
a
b
x
均匀分布的密度函数
例4 某公交汽车站在上午7时起每隔15分钟有一班车，有一乘客 在7:00-7:30之间等可能地到达该站，为他候车时间不到五分 钟的可能性有多大？
概率密度函数的性质
(1)f(x)≥0，函数曲线位于x轴上方；

(2) f ( x)dx 1

f (x)
面积为1
o
x
反之，对于定义在（-∞, ∞)上的可积函数f(x),若 它满足性质1和性质2，则可以将它视为一个连续型随机变 量的密度函数。
连续型随机变量在任何一点的概率
（1） 对于连续性随机变量X，X取任一指定实数值a的 概率均为0，即P{X=a}=0。 （2）X在区间G中取值的概率为
证
P{ X s t X s} P{( X s t ) ( X s )} P{ X s} P{ X s t} P{ X s} e ( s t ) s e t P{ X t}. e
这一性质称为指数分布的无记忆性。事实上指数分布 是唯一具有上述性质的连续型分布。
一、正态分布
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 德莫佛（De Moivre)最早 发现了二项分布的一个近似公 式，这一公式被认为是正态分 布的首次露面. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通 常称为高斯分布.
德莫佛
正态变量及其分布
设连续型随机变量X的概 X | a} X ~ N ( ， ) ，求：（1） 例9 设
； （2）当 a k 时，分析正整数k的取值对（1）中所 求概率的影响。
一般的正态分布, X ~ N ( , 2 ) 时，
P(| X | ) 0.6826 P(| X | 2 ) 0.9544
P {950 R 1050}

1050
950
P(| X | 3 ) 0.9974
可以认为，X的取值几乎全部集中在 这在统计学上称作“ 3 准则” （三倍标准差原则）.
[ 3 , 3 ] 区间内.
设X ~ N (0， 1)，对任意给定的 (0 1)，称使 P{ X z } 成立的z 为标准正态分布N (0， 1)的上分位数。 易见， ( z ) 1